第四章插值和曲线拟合
合集下载
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
4-曲线拟合
2 ( y i C 0 C1 x1i C 2 x 2 i ) 0 C 0 Q 2 ( y i C 0 C1 x1i C 2 x 2 i ) x1i 0 C1 Q 2 ( y i C 0 C1 x1i C 2 x 2 i ) x 2 i 0 C 2
• 拟合直线方程中的b可写为
b
Lxy Lxx
x i yi
1 ( xi )( yi ) m 1 2 xi ( xi )2 m
•与插值法比较 ① 离散数据点含有随机误差，拟合曲线不必通过所 有数据点，（插值多项式必须通过插值节点） ② 曲线拟合处理随机变量问题，允许一个自变量对 应多个不同的函数值；
• 插值法只适用于确定性变量问题，自变量与函数 值有确定的一一对应关系。 ③ 插值法一般不能外推
• 问题：
*
y
*
* * *
x
*
*
*
* * *
• 是否可拟合成直线？ • 得到的直线方程是否可用？ ＃
• 4.1.2 线性相关系数与显著性检验
拟合的方程能否使用（反映原函数关系），必须通 过检验 •以实验观测值的平均值为基准 • 实验值yi的离差为
第四章 曲线拟合
4 曲线拟合
• 插值法适用于处理确定性变量问题，即变 量与自变量有确定的函数关系。如数据表误 差大，插值法则不适合，应该用曲线拟合。
拟合：离散数据→连续光滑曲线
• 曲线拟合应用 1. 经验建模——通过观测数据寻找相关变量之 间的数学表达式 （能否举出所学化工课程中 的这种表达式或经验模型？） 2. 参数估值——数学关系或模型可从理论导出， 模型关系式中的参数由实验数据求取（如化 工热力学中的安托因方程、化学反应工程中 的阿累尼乌斯方程等）。 • 本节讨论：最小二乘法、一元线性拟合、显 著性检验、多元线性拟合 ＃
• 拟合直线方程中的b可写为
b
Lxy Lxx
x i yi
1 ( xi )( yi ) m 1 2 xi ( xi )2 m
•与插值法比较 ① 离散数据点含有随机误差，拟合曲线不必通过所 有数据点，（插值多项式必须通过插值节点） ② 曲线拟合处理随机变量问题，允许一个自变量对 应多个不同的函数值；
• 插值法只适用于确定性变量问题，自变量与函数 值有确定的一一对应关系。 ③ 插值法一般不能外推
• 问题：
*
y
*
* * *
x
*
*
*
* * *
• 是否可拟合成直线？ • 得到的直线方程是否可用？ ＃
• 4.1.2 线性相关系数与显著性检验
拟合的方程能否使用（反映原函数关系），必须通 过检验 •以实验观测值的平均值为基准 • 实验值yi的离差为
第四章 曲线拟合
4 曲线拟合
• 插值法适用于处理确定性变量问题，即变 量与自变量有确定的函数关系。如数据表误 差大，插值法则不适合，应该用曲线拟合。
拟合：离散数据→连续光滑曲线
• 曲线拟合应用 1. 经验建模——通过观测数据寻找相关变量之 间的数学表达式 （能否举出所学化工课程中 的这种表达式或经验模型？） 2. 参数估值——数学关系或模型可从理论导出， 模型关系式中的参数由实验数据求取（如化 工热力学中的安托因方程、化学反应工程中 的阿累尼乌斯方程等）。 • 本节讨论：最小二乘法、一元线性拟合、显 著性检验、多元线性拟合 ＃
数值计算方法第四章插值1
代数插值
代数插值
当f(x)是次数不超过n的多项式时,给定n+1个节点,其n次插值多项式就是f(x)本身.
代数插值几何意义
拉格朗日插值 逐次线性插值 牛顿插值 等距节点插值 反插值 埃尔米特插值 分段插值法 三次样条插值
拉格朗日插值 线性插值
格朗日插值 抛物线插值
基函数之和为1.
拉格朗日插值 n次插值
当插值点x∈(a,b)时称为内插，否则称为外插。
内插的精度高于外插的精度。
拉格朗日插值余项
余项 设函数f(x)在包含节点x0 , x1 ,…, xn的区间[a,b]上有n+1阶导数，则
拉格朗日插值
活动14
写出3次拉格朗日插值多项式及余项
拉格朗日插值
拉格朗日插值
作业5
已知函数表
应用拉格朗日插值公式计算f(1.300)的近似值.
数值计算方法
苏 强
江苏师范大学连云港校区
数学与信息工程学院 E-mail: 412707233@
数值计算方法 第四章 插值与曲线拟合
没有明显的解析表达式
使用不便的解析表达式
简单函数代替
插值问题
插值问题
代数插值 插值函数
被插值函数 插值节点
插值区间
三角多项式插值 有理函数插值
代数插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
拉格朗日插值 n次插值
称为关于节点
的n次插值基函数.
拉格朗日插值n次插值
基函数的个数等于节点数.
n+1个节点的基函数是n次代数多项式 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。 基函数和被插值函数无关
常用数值分析方法3插值法与曲线拟合
8/37
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合是数据处理和分析中常用的方法，它们的主要差异如下：
1. 目标不同：
- 插值法的主要目标是通过已知数据点的函数值推断未知数据点的函数值，以填充数据的空缺部分或者进行数据的重构。
- 曲线拟合的主要目标是通过已知数据点拟合出一条函数曲线，以描述数据点之间的趋势或模式。
2. 数据使用方式不同：
- 插值法使用已知数据点的函数值作为输入，通过构造插值函数来推断未知数据点的函数值。
- 曲线拟合使用已知数据点的函数值作为输入，并通过选择合适的拟合函数参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
3. 数据点要求不同：
- 插值法要求已知数据点间的函数值比较准确，以保证插值函数的质量，并要求数据点间的间距不会过大，避免出现过度插值或者不稳定的现象。
- 曲线拟合对于数据点的要求相对较松，可以容忍噪声、异常值等因素，因为它不需要将函数曲线完全通过所有数据点。
4. 应用场景不同：
- 插值法常见应用于信号处理、图像处理等领域，可以用于填充缺失数据、图像重构等任务。
- 曲线拟合常见应用于数据分析、模型建立等领域，可以用
于描述数据间的趋势、拟合科学模型等。
综上所述，插值法和曲线拟合在目标、数据使用方式、数据点要求和应用场景等方面存在明显的差异。
数学实验第四章插值方法
在对精度要求较高时,这种处理方法可能受到质疑, 2.3456789介于2.34与2.35之间,不适于用Φ(2.35)作为近 似值.于是改进,函数值取二者的中点,即
Φ(2.3456789)≈[(Φ(2.34)+Φ(2.35))]/2=0.990485
对已知的红点按一定的规律插入的兰色点 . 这个规律叫做插值函数
插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为
加权平均。插值操作在工程实践和科学实验中有着 非常广泛而又十分重要的应用。例如，信息技术中 的图像重建、图像放大中为避免图像的扭曲失真的 而做的插值补点、建筑工程的外观设计、物理、化 学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、地 理信息数据的处理（如天气预报）以及社会经济现 象的统计分析等等。
本章主要介绍插值的思想、方法和技术；如何 利用MATLAB软件作插值计算；针对实际问题，进 行建模、求解与分析；最后给出实验题目。
4.2.1 引例1:函数查表问题 标准正态分布函数值Φ(2.3456789)等于多少？
一般是通过查表的方法.先对自变量作近似, 2.3456789≈2.35,再查表得到Φ(2.35)=0.99061,所以 (2.Байду номын сангаас456789)≈Φ (2.35)=0.99061.
导言 在工程实践和科学实验中，常常需要从
一组实验观测数据 ( xi , yi ), i= 0,1,…,n,...
中揭示出自变量x与因变量y之间的解析关 系.
一般可以用一个近似的函数关系式y=f(x)来处理这 一问题。给出函数关系式的方法，因观测数据与要求的 不同而异，通常可以采用两种方法：曲线拟合和插值。
拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响， 寻求整体误差最小、较好地反映观测数据的近似函 数，并不保证或追求所得到的函数一定满足yi=f(xi)。 侧重于从整体上把握问题， 拟合的方法将在第五章
Φ(2.3456789)≈[(Φ(2.34)+Φ(2.35))]/2=0.990485
对已知的红点按一定的规律插入的兰色点 . 这个规律叫做插值函数
插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为
加权平均。插值操作在工程实践和科学实验中有着 非常广泛而又十分重要的应用。例如，信息技术中 的图像重建、图像放大中为避免图像的扭曲失真的 而做的插值补点、建筑工程的外观设计、物理、化 学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、地 理信息数据的处理（如天气预报）以及社会经济现 象的统计分析等等。
本章主要介绍插值的思想、方法和技术；如何 利用MATLAB软件作插值计算；针对实际问题，进 行建模、求解与分析；最后给出实验题目。
4.2.1 引例1:函数查表问题 标准正态分布函数值Φ(2.3456789)等于多少？
一般是通过查表的方法.先对自变量作近似, 2.3456789≈2.35,再查表得到Φ(2.35)=0.99061,所以 (2.Байду номын сангаас456789)≈Φ (2.35)=0.99061.
导言 在工程实践和科学实验中，常常需要从
一组实验观测数据 ( xi , yi ), i= 0,1,…,n,...
中揭示出自变量x与因变量y之间的解析关 系.
一般可以用一个近似的函数关系式y=f(x)来处理这 一问题。给出函数关系式的方法，因观测数据与要求的 不同而异，通常可以采用两种方法：曲线拟合和插值。
拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响， 寻求整体误差最小、较好地反映观测数据的近似函 数，并不保证或追求所得到的函数一定满足yi=f(xi)。 侧重于从整体上把握问题， 拟合的方法将在第五章
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
计算机应用基础-4-积分方程及应用
ˆ J min yi y xi min yi f a, xi
a i 1 a i 1 N 2 N 2
为最小。Matlab调用格式如下：
[a, J m ] lsqcurvefi (Fun, a 0 , x, y) t
4.2 拟合函数
其中 Fun为原型函数的Matlab表示，可以使M函数inline( ) 函数；
%计算插值点的函数值 %将插值多项式展开 %将插值多项式的系数化成6位精度的小数
4.1 插值函数
三 Matlab 自带函数插值 3.1 一维插值
Matlab提供了interp1函数用于一维插值，其调用格式为
yi=interp1(x,Y,xi,method)
对节点（x,Y)进行插值，计算插值点xi的函数值； Method插值算法，默认的为线性插值： nearest:线性最近插值 linear:线性插值（默认） spline:三次样条插值 pchip:分段三次埃尔米特插值 cubic: 双三次插值
a0 为最优化的初值；
x,y 为原始输入和输出数据向量；
a为返回的待定系数向量； Jm为在此待定系数下目标函数的值。
4.2 拟合函数
二 最小二乘多项式拟合
对于离散型函数，若数据点较多，若将每个数据点 都当做插值节点，运算显得非常复杂。在工程试验中， 常测得一组离散数据点（xi,yi), (i=1,2…N),要求 y=(x），这种应变量只有一个自变量的数据拟合方法 称之为直线拟合。(仍然采用最小二乘方法) p=polyfit(x,y,n)
拟合的函数形式可任意, 因此拟合调用需要注明拟合函数, 即需要建立一个Fun的函数，需要初值，而且结果与初值 密切相关。
4.2 拟合函数
【例4-5】已知的数据点来自f(x)=(x2-3x+5)e-5xsinx
a i 1 a i 1 N 2 N 2
为最小。Matlab调用格式如下：
[a, J m ] lsqcurvefi (Fun, a 0 , x, y) t
4.2 拟合函数
其中 Fun为原型函数的Matlab表示，可以使M函数inline( ) 函数；
%计算插值点的函数值 %将插值多项式展开 %将插值多项式的系数化成6位精度的小数
4.1 插值函数
三 Matlab 自带函数插值 3.1 一维插值
Matlab提供了interp1函数用于一维插值，其调用格式为
yi=interp1(x,Y,xi,method)
对节点（x,Y)进行插值，计算插值点xi的函数值； Method插值算法，默认的为线性插值： nearest:线性最近插值 linear:线性插值（默认） spline:三次样条插值 pchip:分段三次埃尔米特插值 cubic: 双三次插值
a0 为最优化的初值；
x,y 为原始输入和输出数据向量；
a为返回的待定系数向量； Jm为在此待定系数下目标函数的值。
4.2 拟合函数
二 最小二乘多项式拟合
对于离散型函数，若数据点较多，若将每个数据点 都当做插值节点，运算显得非常复杂。在工程试验中， 常测得一组离散数据点（xi,yi), (i=1,2…N),要求 y=(x），这种应变量只有一个自变量的数据拟合方法 称之为直线拟合。(仍然采用最小二乘方法) p=polyfit(x,y,n)
拟合的函数形式可任意, 因此拟合调用需要注明拟合函数, 即需要建立一个Fun的函数，需要初值，而且结果与初值 密切相关。
4.2 拟合函数
【例4-5】已知的数据点来自f(x)=(x2-3x+5)e-5xsinx
《数值计算方法》复习资料
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
插值法与曲线拟合
故用线性插值求得的近似值为
y
(x , y ) 00
y L2x
(x , y ) 11
y f x
(x , y ) 22
0
x0
x1
x
图2-3
11515 100
121 121
11*115 100 121 100
10.714
15
仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为
例1 已知 100 10, 121 11, 144 12分别用线性插值和抛物插值
求 115 的值。
14
解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有
y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(x)
10
*
x 121 100 121
11*
x 100 121 100
为插值多项式Pn (x) 的余项。
17
关于误差有如下定理2中的估计式。
定理2 设 f (x) 在区间 a,b
上有直到n+1阶导数，x0, x1,, xn
为区间 a,b 上n+1个互异的节点， Pn (x) 为满足条件:
Pn (xi ) f (xi )(i 0,1,, n)
（2.9）
的n次插值多项式，则对于任何 x a,b ，有
的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插 插多项式 l0 (x), l1(x),,ln (x) 。容易看出，这组多项式仅与节点的取
法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值
基函数。
11
2.2 拉格朗日插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值
第4章_插值与拟合-牛顿法
设给定函数个互异的节点处的函数值为关于节点的二阶差商缺倒数第二个节点缺最后一个节点最后一个节点倒数第二个节点缺倒数第二个节点缺最后一个节点最后一个节点倒数第二个节点由此定义显然
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数：
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点－倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
第4章 插值与拟合
4.3 差商与牛顿插值公式
Lagrange 插值多项式的基函数：
l j ( x)
( x x0 )(x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
4.3.3 牛顿插值余项
若将 x xi , (i 0,1,, n) 视为一个节点,则由一阶均差定义 有
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 )
同理,由二阶均差定义 有
f ( x0 ) f ( x) f [ x, x0 ] f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0x ,0x1 ]( xx x1 )
j 1 k 0
n
j 1
2.差商的性质
性质1：差商与函数值的关系 f(x) 关于 x0 , x1 ,, xk 1 , xk 的 k 阶差商是 f(x) 在这些点上 函数值的线性组合,即
1 f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f ( x j ) j 0 i 0 x j xi
(i j k )
为 f ( x) 关于节点 xi , x j , xk 的二阶差商
最后一个节点－倒 数第二个节点
称
缺倒数第二个节点
缺最后一个节点
f [ x0 , x1,, xk 1, xk ]
f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] xk xk 1
代数多项式插值问题
（拉格朗日二次插值多项式 ） P2(x)的截断误差为
R2 ( x ) f ( x ) P2 ( x ) f ' ' ' ( ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3!
ξ是包含x0,x1,x2,x的区间内某数。
例2 已知函数y=f(x)的观测数据如表所示，试求 其拉格朗日插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。
f ( 2 ) f ( 2 ) R1 ( x ) 2 ( x) ( x 100)( x 144) 2! 2! 3 1 1 1 1 2 2 f ( x) x , f ' ( x ) x , f ' ' ( x ) x 2 4 4x x 1 1 ( 2) max max f ( ) 100 x 144 100 144 4 4000 1 1 | ( x 100)( x 144) | | R1 ( x ) | 2 4000 1 | (110 100)(110 144) | 17 0.0425 | R1 (110) | 8000 400
2 1 x0 x0 n x0
其系数行列式
2 n 1 x x x 1 1 1 (x x ) 0 V ( x0 , x1 ,, xn ) i j 0 j i n
1 xn
2 n xn xn
因此方程组存在唯一的解a0 , a1 ,, an ，因此Pn(x)存在并唯一。
4.1.2 插值多项式的误差 截断误差： Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
F(t)在区间[a,b]上至少有n+2个互异的零点x, x0 , x1 ,…, xn。
根据罗尔定理，在F(t)的两个零点之间至少有一点使导 数为0，即
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Rn (x) = f (n+1) (ξ ) (n +1 )! w +1(x) n
其中 wn+1(x) = (x-x0)(x-x1) …(x-xn)
第二节 拉格朗日插值
为了得到n次的拉格朗日插值多项式，我们从最简单的一次、 二次插值开始。
一、一次插值（线性插值） 一次插值（线性插值）
x0 x1 求 P1(x) y0 y1 因 P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 所以 P1(x)=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) （线性插值多项式） 上式可改写为： P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x ) （拉格朗日线性插值多项式） L0(x)=(x-x1)/(x0-x1),L1(x)=(x-x0)/(x1-x0) L0(x)、L1(x)特点： L0(x)= 1 , x = x0 L1(x)= 1 , x = x1 0 , x = x1 , 0 , x = x0 已知
n次拉格朗日插值计算机实现 次拉格朗日插值计算机实现
按n次拉格朗日插值公式实现 次拉格朗日插值公式实现
第三节 牛顿插值
拉格朗日插值多项式结构对称, 使用方便, 但公式 不具备递推性,当需要增加基点时必须全部重新计算。 因此，我们希望构造具有如下形式的插值多项式 Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1) …(x-xn-1) 这种形式的优点是便于改变基点数，每增加一个基点 只需增加相应的一项即可 (具有递推性) 。为了确定出 a0 、a1、…、an , 我们就需要讨论牛顿均差插值多项式。 下面首先介绍均差的概念。
例 已知函数表 x 1.1275 1.1503 1.1735 y 0.1191 0.13954 0.15932 应用朗格拉日插值公式计算f(1.1300)的近似值。 解 P3(x) = L0(x)y0+L1(x)y1+L2(x)y2 +L3(x)y3 = …… f(1.1300) ≈ P3(1.1300) = 0.1214 1.972 0.17903
第一节
一、 插值问题
插值法的基本理论
设函数 y = f(x) 给出了一组函数值 yi = f(xi) , i = 0, 1, …, n ，或 者给出了如下的一张表 x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn 构造一个简单的函数φ(x) 作为f(x)的近似表达式，以满足 i=0,1,…, n 我们称这样的问题为插值问题。 其中φ(xi) = yi 称为插值原则;φ(x)称为f(x)的插值函数； f(x)称为被插值函数; x0 , x1 , x2 , … , xn称为插值基点 (或节点)。 根据已知点的函数值求其余点x的函数值φ(x) φ(x)称为插值,x称 φ(x) 为插值点；求f(x)近似函数φ(x) φ(x)的方法称为插值法。 φ(x)
抛物线插值) 二、二次插值(抛物线插值 二次插值 抛物线插值
二次插值问题：已知f(x)在三个互异点x0,x1,x2的函数值y0,y1,y2 ,要构造次 数不超过二次的多项式P2(x)=a0+a1x+a2x2,使满足 P2(xi)=yi , i = 0, 1, 2 设 P2(x) = L0(x)y0+L1(x)y1+L2(x)y2 , 则 L0(x) = 1, L1(x) = 0, L2(x) = 0 当x = x0 时, P2(x0) = y0 当x = x1时，P2(x1) = y1 L0(x) = 0, L1(x) = 1, L2(x) = 0 当x = x2时，P2(x2) = y2 L0(x) = 0, L1(x) = 0, L2(x) = 1 由上知 L0(x) = 1, x = x0 0, x = x1, x2 令 L0(x)=A0(x-x1)(x-x2) 则 A0=1/[(x0-x1)(x0-x2)] 所以 L0(x)= (x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] 同理可得 L1(x)=(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)] L2(x)=(x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)] 综上可得 P2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)] +y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)] 该式称为拉格朗日二次插值多项式。
n x − xk yi Pn(x) = ∑Li (x) yi = ∑ ∏ xi − xk i=0 i=0 k =0,k ≠i
n n
w(x) Pn(x) = ∑ yi ' i i=0 (x − x )w (x ) i
其中 w(x) = (x-x0) …(x-xn)
n
n次拉格朗日插值举例 次拉格朗日插值举例
三、n次拉格朗日插值 次拉格朗日插值
仿照P2 (x)的构造方法，可得出 Pn(x)=L0(x)y0+L1(x)y1+…+Ln(x)yn 其中 L0(x)=[(x-x1)(x-x2)…(x-xn)]/ [(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)] Lk(x)= [(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xn)] /[(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(xk-xn)] ( k = 0, 1, …, n ) 这就是n次拉格朗日插值多项式。 也可写为 或
二、插值多项式的误差
函数 f(x)用n次插值多项式Pn(x)近似代替时，截断 误差记为 Rn(x)=f(x)-Pn(x) ξ ∈(a, b) 称 Rn(x)为n次插值多项式Pn(x)的余项。 定理 设函数f(x)在包含基点x0 , x1 , x2 , … , xn 的 区间[a,b]上具有n+1阶导数, Pn(x)为满足Pn(xi) = yi的n次 插值多项式，则对任一点x∈[a,b],总存在相应的点 ∈ ζ∈( ∈(a,b) ，使 ∈(
第四章 插值和曲线拟合
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往 没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一 系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较 复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知 的数据去寻求某个简单的函数φ(x)来逼近f(x),即用φ(x) φ 作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是 两种用来求 f(x) 的近似函数φ(x) 的重要方法。 的近似函数φ
一、均差及均差表
1. 均差定义
在区间[a,b]上，函数f(x)关于两点xi , xj的一阶均差定义为 f [xi, xj] = [f(xj)-f(xi)]/(xj-xi) f(x)关于三点xi, xj, xk的二阶均差定义为 f [xi, xj, xk]=(f[xj, xk] - f[xi, xj])/(xk-xi) f(x)关于k+1个点xi-k, xi-k+1, … , xi 的k阶均差定义为 f [xi-k,xi-k+1,…, xi ] = (f [xi-k+1,…,xi ] – f [xi-k, … , xi-1])/(xi-xi-k) f(x)关于一个点 xi 的零阶均差定义为函数本身，即 f [xi] = f(xi) 不论几阶均差，均差均有对称性（任意改变基点的次序后其值 不变）。即 f [x0,x1,…, xk ] = f [ xj 0, xj1,..., xjk ] 其中 xj 0, xj1,..., xjk 是 0, 1, …, k 的任一种排列。（证略）
二次插值举例
例 已知函数y=f(x)的观测数据如下表所示，试求其拉格朗 日插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。
x y
0 2
1 -1
2 4
解 P2(x) = y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2) /[(x1-x0)(x1-x2)]+y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)] = 2*(x-1)(x-2)/[(0-1)(0-2)] +(-1)*(x-0)(x-2)/[(1-0)(1- 2)]+4*(x-0)(x-1)/[(2-0)(2-1)] = 4x2-7x+2 f(1.5) ≈ P2 (1.5)=4*1.52-7*1.5+2 = 0.5
2. 均差表
对于给定的基点及其函数值，我们可按表计算各阶均差， 这样的表就叫均差表。如下: … 四阶均差 x f(x ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差
i i
x0 f(x0) x1 f(x1) f [x0, x1]
x2 f(x2) f [x , x ] f [x , x , x ] 1 2 0 1 2 x3 f(x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3] x4 f(x4) f [x3, x4] f [x2, x3, x4] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0 , x1, x2 , x3 , x4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
φ(xi) = yi ,
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点: (xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ(x) 代替y=f(x)。如下图所示。 y=f(x) (xn,yn) y= φ(x) y
(x1,y1) (x0,y0) (x2,y2) (xn-1,yn-1)
0
x0
x1
x2…Leabharlann Xn-1xnx
插值函数φ 的类型 插值函数φ(x)的类型
在插值问题中，插值函数φ(x)的类型可有不同的选择,如代 数多项式、三角多项式、有理函数等，但是最简单而常用的是代 数多项式、三角多项式、 多项式 数多项式，这时就称为代数多项式插值。在本章，我们主要讨论 代数多项式插值 代数多项式插值。 代数多项式插值的任务就是根据 n+1个点 x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn 构造一个次数不超过 n 的多项式 Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn 使满足插值原则 Pn(xi) = yi , i = 0 , 1 , … , n 。 Pn(x)称为 f(x) 的 n次插值多项式。 次插值多项式
其中 wn+1(x) = (x-x0)(x-x1) …(x-xn)
第二节 拉格朗日插值
为了得到n次的拉格朗日插值多项式，我们从最简单的一次、 二次插值开始。
一、一次插值（线性插值） 一次插值（线性插值）
x0 x1 求 P1(x) y0 y1 因 P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 所以 P1(x)=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) （线性插值多项式） 上式可改写为： P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x ) （拉格朗日线性插值多项式） L0(x)=(x-x1)/(x0-x1),L1(x)=(x-x0)/(x1-x0) L0(x)、L1(x)特点： L0(x)= 1 , x = x0 L1(x)= 1 , x = x1 0 , x = x1 , 0 , x = x0 已知
n次拉格朗日插值计算机实现 次拉格朗日插值计算机实现
按n次拉格朗日插值公式实现 次拉格朗日插值公式实现
第三节 牛顿插值
拉格朗日插值多项式结构对称, 使用方便, 但公式 不具备递推性,当需要增加基点时必须全部重新计算。 因此，我们希望构造具有如下形式的插值多项式 Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1) …(x-xn-1) 这种形式的优点是便于改变基点数，每增加一个基点 只需增加相应的一项即可 (具有递推性) 。为了确定出 a0 、a1、…、an , 我们就需要讨论牛顿均差插值多项式。 下面首先介绍均差的概念。
例 已知函数表 x 1.1275 1.1503 1.1735 y 0.1191 0.13954 0.15932 应用朗格拉日插值公式计算f(1.1300)的近似值。 解 P3(x) = L0(x)y0+L1(x)y1+L2(x)y2 +L3(x)y3 = …… f(1.1300) ≈ P3(1.1300) = 0.1214 1.972 0.17903
第一节
一、 插值问题
插值法的基本理论
设函数 y = f(x) 给出了一组函数值 yi = f(xi) , i = 0, 1, …, n ，或 者给出了如下的一张表 x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn 构造一个简单的函数φ(x) 作为f(x)的近似表达式，以满足 i=0,1,…, n 我们称这样的问题为插值问题。 其中φ(xi) = yi 称为插值原则;φ(x)称为f(x)的插值函数； f(x)称为被插值函数; x0 , x1 , x2 , … , xn称为插值基点 (或节点)。 根据已知点的函数值求其余点x的函数值φ(x) φ(x)称为插值,x称 φ(x) 为插值点；求f(x)近似函数φ(x) φ(x)的方法称为插值法。 φ(x)
抛物线插值) 二、二次插值(抛物线插值 二次插值 抛物线插值
二次插值问题：已知f(x)在三个互异点x0,x1,x2的函数值y0,y1,y2 ,要构造次 数不超过二次的多项式P2(x)=a0+a1x+a2x2,使满足 P2(xi)=yi , i = 0, 1, 2 设 P2(x) = L0(x)y0+L1(x)y1+L2(x)y2 , 则 L0(x) = 1, L1(x) = 0, L2(x) = 0 当x = x0 时, P2(x0) = y0 当x = x1时，P2(x1) = y1 L0(x) = 0, L1(x) = 1, L2(x) = 0 当x = x2时，P2(x2) = y2 L0(x) = 0, L1(x) = 0, L2(x) = 1 由上知 L0(x) = 1, x = x0 0, x = x1, x2 令 L0(x)=A0(x-x1)(x-x2) 则 A0=1/[(x0-x1)(x0-x2)] 所以 L0(x)= (x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] 同理可得 L1(x)=(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)] L2(x)=(x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)] 综上可得 P2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)] +y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)] 该式称为拉格朗日二次插值多项式。
n x − xk yi Pn(x) = ∑Li (x) yi = ∑ ∏ xi − xk i=0 i=0 k =0,k ≠i
n n
w(x) Pn(x) = ∑ yi ' i i=0 (x − x )w (x ) i
其中 w(x) = (x-x0) …(x-xn)
n
n次拉格朗日插值举例 次拉格朗日插值举例
三、n次拉格朗日插值 次拉格朗日插值
仿照P2 (x)的构造方法，可得出 Pn(x)=L0(x)y0+L1(x)y1+…+Ln(x)yn 其中 L0(x)=[(x-x1)(x-x2)…(x-xn)]/ [(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)] Lk(x)= [(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xn)] /[(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(xk-xn)] ( k = 0, 1, …, n ) 这就是n次拉格朗日插值多项式。 也可写为 或
二、插值多项式的误差
函数 f(x)用n次插值多项式Pn(x)近似代替时，截断 误差记为 Rn(x)=f(x)-Pn(x) ξ ∈(a, b) 称 Rn(x)为n次插值多项式Pn(x)的余项。 定理 设函数f(x)在包含基点x0 , x1 , x2 , … , xn 的 区间[a,b]上具有n+1阶导数, Pn(x)为满足Pn(xi) = yi的n次 插值多项式，则对任一点x∈[a,b],总存在相应的点 ∈ ζ∈( ∈(a,b) ，使 ∈(
第四章 插值和曲线拟合
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往 没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一 系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较 复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知 的数据去寻求某个简单的函数φ(x)来逼近f(x),即用φ(x) φ 作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是 两种用来求 f(x) 的近似函数φ(x) 的重要方法。 的近似函数φ
一、均差及均差表
1. 均差定义
在区间[a,b]上，函数f(x)关于两点xi , xj的一阶均差定义为 f [xi, xj] = [f(xj)-f(xi)]/(xj-xi) f(x)关于三点xi, xj, xk的二阶均差定义为 f [xi, xj, xk]=(f[xj, xk] - f[xi, xj])/(xk-xi) f(x)关于k+1个点xi-k, xi-k+1, … , xi 的k阶均差定义为 f [xi-k,xi-k+1,…, xi ] = (f [xi-k+1,…,xi ] – f [xi-k, … , xi-1])/(xi-xi-k) f(x)关于一个点 xi 的零阶均差定义为函数本身，即 f [xi] = f(xi) 不论几阶均差，均差均有对称性（任意改变基点的次序后其值 不变）。即 f [x0,x1,…, xk ] = f [ xj 0, xj1,..., xjk ] 其中 xj 0, xj1,..., xjk 是 0, 1, …, k 的任一种排列。（证略）
二次插值举例
例 已知函数y=f(x)的观测数据如下表所示，试求其拉格朗 日插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。
x y
0 2
1 -1
2 4
解 P2(x) = y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2) /[(x1-x0)(x1-x2)]+y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)] = 2*(x-1)(x-2)/[(0-1)(0-2)] +(-1)*(x-0)(x-2)/[(1-0)(1- 2)]+4*(x-0)(x-1)/[(2-0)(2-1)] = 4x2-7x+2 f(1.5) ≈ P2 (1.5)=4*1.52-7*1.5+2 = 0.5
2. 均差表
对于给定的基点及其函数值，我们可按表计算各阶均差， 这样的表就叫均差表。如下: … 四阶均差 x f(x ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差
i i
x0 f(x0) x1 f(x1) f [x0, x1]
x2 f(x2) f [x , x ] f [x , x , x ] 1 2 0 1 2 x3 f(x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3] x4 f(x4) f [x3, x4] f [x2, x3, x4] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0 , x1, x2 , x3 , x4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
φ(xi) = yi ,
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点: (xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ(x) 代替y=f(x)。如下图所示。 y=f(x) (xn,yn) y= φ(x) y
(x1,y1) (x0,y0) (x2,y2) (xn-1,yn-1)
0
x0
x1
x2…Leabharlann Xn-1xnx
插值函数φ 的类型 插值函数φ(x)的类型
在插值问题中，插值函数φ(x)的类型可有不同的选择,如代 数多项式、三角多项式、有理函数等，但是最简单而常用的是代 数多项式、三角多项式、 多项式 数多项式，这时就称为代数多项式插值。在本章，我们主要讨论 代数多项式插值 代数多项式插值。 代数多项式插值的任务就是根据 n+1个点 x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn 构造一个次数不超过 n 的多项式 Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn 使满足插值原则 Pn(xi) = yi , i = 0 , 1 , … , n 。 Pn(x)称为 f(x) 的 n次插值多项式。 次插值多项式