八年级数学第4届“希望杯”第2试试题

山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第4届“希望杯”第2

试试题

一、 选择题:（每题1分，共10分）

1.若a<0,则化简22(1)a a +-得[ ] A ．1 B ． 1 C ．2a 1 D ．12a

2.若一个数的平方是5-26,则这个数的立方是[ ]

A.93112+或11293-;

B.93112- 或11293+;

C.93112- 或11293-;

D.93112+ 或11293--.

3.在四边形ABCD 中,AB=1,BC=2,CD=3,DA=2,S ΔABD =1, S ΔBCD =

62

,则 ∠ABC+∠CDA 等于[ ]

A ．150°

B ．180°.

C ．200°

D ．210°． 4．一个三角形的三边长分别为2，4，a ，如果a 的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周长为 [ ]

A.712;

B.812

; C.9; D.10. 5．如果实数x ，y 满足等式2x+x 2+x 2y 2+2=-2xy ，那么x+y 的值是 [ ]

A.1. B ．0. C ．1 .D ．2．

6.设x=11n n n n +-++,y=11n n n n

+++-,n 为正整数,如果2x 2+197xy+2y 2=1993 成立,那么n 的值为[ ] A ．7.

B ．8.

C ．9. D.10 7．如图81，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC 、B

D 平分∠ABC ．若△ABD 的周长比△BCD 的周长多1厘米，则BD 的长是 [ ]

A ．0.5厘米.

B ．1厘米.

C ．1.5厘米.

D ．2厘米

8．方程x 2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 [ ]

A ． 2 .

B ．0.

C ．-2 .

D ．4．

9．如图82，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长至B ＇，C ＇，A ＇，

且使BB ＇=AB ，CC ＇=2BC ，AA ＇=3AC ．若S △ABC =1，那么S △A ＇B ＇C ＇是 [ ]

A ．15.

B ．16.

C ．17.

D ．18.

10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a 的取值范围是 [ ]

A．a＞3. B.a≥3. C．a＜3. D．a≤3.

二、填空题（每题1分，共10分）

1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是______．

2．设x1，x2是方程x2+px+1993=0的两个负整数根,则

22

12

12

x x

x x

+

=_______.

3.方程

1

1111

1

x x

x

--+-+=

-

的解是____________.

4．如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，

如果S△A BD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______．

5．设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2,

S2=x12+1993x22,┉┉,S n=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=__________.

6．设[x]表示不大于x的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么

[1900]+[1901]+[1902]+┉+[1992]+[1993]=_________.

7．已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且a＞b，那么两根之和超过3的方程是______．

8．如图84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______．

9．已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根，则k=______．

10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有______人．

三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）

1．如图85，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条角平分线的交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由．

2.如果111

22

288

+求a241

a a

++的值.

答案与提示

一、选择题

提示：

5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，

y=1．则x+y=0．∴应选(B)．

6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．

7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．

9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．

10．原方程为|3x|=ax+1．

(1)若a=3，则|3x|=3x+1．

当x≥0时，3x=3x+1，不成立．

(2)若a＞3．

综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．

另解：（图象解法）

设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．

二、填空题

提示：

1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m ＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．

2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则

4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．

6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．

其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．

8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB AE=144=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有

3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①

由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得

n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．