复合函数 总结 复习

课次教学计划（教案）

课题 复合函数

教学目标

掌握复合函数的复合过程，定义域，值域，单调性与奇偶性的求法

一、复合函数的构成

设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =

是'B 到'C 上的函数，且

B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍

C ，那么(())y f g x =就是A

到C 上的函数。此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复

合而成的复合函数。 说明：

⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =

中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(． 注意：)(x g 的值域'M M ⊆．

解复合函数题的关键之一是写出复合过程 例1：指出下列函数的复合过程。

（1）y=√2-x 2 (2)y=sin3x (3)y=3cos√1-x 2 解：(１) y=√2-x 2是由y=√u,u=2-x 2复合而成的。 （2）y=sin3x 是由y=sinu,u=3x 复合而成的。

（3）y=3cos√1+x 2是由y=3cosu,u=√r,r=1-x 2复合而成的。

例2：复合函数的定义域问题

⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．

要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答：

⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合

而成的函数．

函数)(x f 的定义域是[0，1]，

∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]． ∴1210≤-≤x ，

∴021≤-≤-x ，即2

10≤≤x ， ∴函数)21(x f -的定义域[0，2

1]．

⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合

而成的函数．

)12(-x f 的定义域是[-1，1]，

∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，

∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]， ∴)(x f y =

的定义域是[-3，1]．

要点2：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的

x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g

)(A x ∈的值域。

⑶ 函数)3(+x f 是由A 到B 上的函数3+=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合

而成的函数．

)3(+x f 的定义域是[-4，5),

∴A=[-4,5)即54<≤-x ，

∴831<+≤-x 即3+=x u 的值域B=[-1，8）

又)32(-x f 是由'A 到'B 上的函数32'-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的

函数，而'B B =,从而32'-=x u 的值域)8,1['-=B ∴8321<-≤-x ∴,1122<≤x ∴2

111<

≤x ∴)32(-x f 的定义域是[1，2

11）．

练习：1，已知f(x)的定义域为[0，1],求f(2x-1)的定义域。 2，已知f(2x-1)的定义域为[0，1],求f(x)的定义域。

3，已知f(x+3)的定义域为[１，２],求f （2x-5）的定义域。

说明：

① 已知)(x f 的定义域为(a,b)，求))((x g f 的定义域的方法：

已知)(x f 的定义域为)(b a ，，求))((x g f 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ，∈，)()(b a x g ，∈。通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。

② 已知))((x g f 的定义域为(a,b)，求)(x f 的定义域的方法：

若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。实际上是已知复合函数))((x g f 直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。先利用b x a <<求得)(x g 的

范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域,即使函数)(x f 的解析式形式所要求定义域真包含)(x g 的值域，也应以)(x g 的值域做为所求)(x f 的定义域，因为要确保所求外含数)(x f 与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数)(x f 将失去解决问题的有效性。

2．求有关复合函数的解析式， 例6．①已知

,1)(2+=x x f 求)1(-x f ； ②已知

1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ．

例7．①已知x

x x f 1)1(+=- ，求)(x f ； ②已知2

21)1

(x x x

x f +=-，求)1(+x f ．

要点3：

已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。

已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。

换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。

例8．①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ；