64用留数定理计算实积分共27页

解
sinx 1 dx
sinx dx
0x
2 x
函 数 f ( z ) e z iz在 x 轴 上 有 一 个 奇 点 z 0 .
y
CR
r
Cr
Or
R
奇点
Rx
r R e x ix d x C R e z izd z R re x ix d x C re z izd z 0
r R e x ix d x C R e z izd z R re x ix d x C re z izd z 0
m
m
lim g(z)eim zdz0(m 0) R R
定理6.8
设 g(z)
P(z) Q(z)
，其中P(z)与
Q(z) 是互质的多项式，且符合条件：
1. Q(z)的次数比P(z)的次数高；
2. 在实轴上Q(z) ≠0；
3. m > 0 ；
则 g(x)eim xdx2i R es[g(x)eim x]
| g (z)e im zd z| | g (R e i)e im R e iR e iid|
R Re m R sin d R 2 R 2e m R sin d
0
0
R em Rsind 2R 2em Rsind
0
0
2R02e(21m R demR)m e2m R
2 0
S R :z R e i(12 ,R 充 分 大 )
上连续，且 limzf(z) R
于S R 上一致成立（即与 1 2 的
无关），则
R l im SRf(z)dzi(21)
引理6.3 设f(z)沿圆弧
S r:z a r e i(1 2 ,r 充 分 小 )
上连续，且
lim(za)f(z)
Im ak0zak
g (x )c o sm x d x , g (x )sin m x d x? ?
例6.13 计算积分
cosmx 0 1x2 dx(m0)
解0 c 1 o sm x2 xdx1 2 c 1 o sm x2 xdx
不 难 验 证 f( z ) 1 e im z z 2 满 足 定 理 6 .8 的 条 件
第六章 留数理论及其应用
§6.1 留数 §6.2 用留数定理计算实积分 §6.3 辐角原理及其应用
3.计算
P( x) eimxdx型积分
Q( x)
源自文库
若尔当引理
引理6.2 设函数g(z)沿半圆
R :z R e i(0 ,R 充 分 大 ）
连续，且 lim g(z) 0
在 R 上一致R成立. 则
xcosx
x2
dx 2x10
解 不 难 验 证 f(z)z2 z 2 e ziz 1 0
满 足 定 理 6 .8 的 条 件 ， m 1 .
xeim x
zeim z
x22x10dx2izR 1 e s 3iz22z10
2i2 z z e iz 2 |z 1 3 i 2i(1 3 6 ii)e 3 i
r
1
Q lim (z a )f(z ) 0 ,() 0 ,
当 0 r |0 rS r f((z)d )时 z ， i(有 2 |r1 e )i |f ( a 2 r e 1i ()2 |1 ) 2 1
例6.15 计算狄里克莱积分
sinxdx(有 阻 尼 的 振 动 )
0x
lim g(z)eim zdz0(m0)
R R
若 尔 当 不 等 式 ：
2sin(0)
2
y yx y 2x
y sin x
O
x
2
若尔当引理的证明
Q R l im g (z) 0 在 R 上 一 致 成 立
0 , R 0 () 0 ,当 R R 0 () 时 有
|g(Rei)|,(0）
由 引 理 6 .2 知 R li m C Re zizd z0 . 由 引 理 6 .3 知 lri m C re z izd zi .
令 r 0 .R 得
P.V. exixdxi
P .V . cosx xisinxdxi
P .V . c o x sx d x 0 ， P .V . s in x x d x 0 sin x x d x1 2 sin x x d x2
故 x 2x c 2 o x s x 1 0d x3e 3 (c o s1 3 sin 1 ),
x2x s 2 in x x1 0d x3e 3(3co s1sin 1 )
4 . 积 分 路 径 上 有 奇 点 的 积 分
y
C
r O r
R
奇点C
Rx
引理6.1 设f(z)沿圆弧
积分路径C R .
B
O
4
R
RA x
0 e z2 d ze z2 d ze z2 d ze z2 d z
P.V. cox sxdx0是 显 然 的 ， 但 coxsxdx不 收 敛 .
杂例
已知泊松（Poisson）积分
et2dt 0
2
试计算弗莱聂尔（Frensnel）积分
co sx 2 d x及 sin x 2 d x(光 的 折 射 )
0
0
解 考察整函数f (z) ez2并取如图
故 1eim x x2dx2iR z eis1eim zz2
2i em em
2i
1eimxx2dxem
即 c 1 o sm x 2 xd xe m ， s 1 in m x 2 xd x 0
故0 c 1 o sm x2 xdx1 2em2em
例6.14 计算积分
r 0
于 S r上一致成立（即与 1 2
中的θ无关），则
lim
r 0 Sr
f(z)dzi(21)
证 明 ||(zS r fa ()z) fd (z z ) i(2 |d s 1 )2|| r|eiS R f((z a a rz )e fi(a )z ) |d d z|
SR
2i2 z z e iz 2 |z 1 3 i 2i(1 3 6 ii)e 3 i
3 e 3 ( 1 3 i) ( c o s 1 is in 1 )
3 e 3 ( c o s 1 3 s i n 1 ) i 3 e 3 ( 3 c o s 1 s i n 1 ) .