学案导学设计北师大必修一数学课时作业 第三章 指数函数和对数函数 第五节一

§5对数函数（1）
课时目标 1.掌握对数函数的概念、图像和性质.2.能够根据指数函数的图像和性质得出对数函数的图像和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.
2．对数函数的图像与性质
定义y＝log a x (a>0，且a≠1)
底数a>10<a<1
图像
定义域______
值域______
单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数
共点性图像过点______，即log a1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时，
y∈______；
x∈[1，＋∞)时，
y∈______.
x∈(0,1)时，
y∈______；
x∈[1，＋∞)时，
y∈______.
对称性
函数y＝log a x与y＝
1
log
a
x的图像关于______对称
3.反函数
对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．
一、选择题
1．函数y＝log2x－2的定义域是()
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．设集合M＝{y|y＝(
1
2)
x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N是() A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于()
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数f(x)＝|log3x|的图像是()
5．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且过点(9,2)，f (x )的反函数记为y ＝g (x )，则g (x )的解析式是( )
A ．g (x )＝4x
B ．g (x )＝2x
C ．g (x )＝9x
D ．g (x )＝3x
6．若log a 2
3<1，则a 的取值范围是( )
A ．(0，23)
B ．(2
3，＋∞)
C ．(23，1)
D ．(0，2
3)∪(1，＋∞)
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________． 8．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是________．
9．给出函数，则f (log 23)＝________. 三、解答题
10．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)；(2)y ＝log 4(x 2＋8)．
11．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a >0，且a ≠1)． (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值． (2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．
能力提升
12．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝1log a x ，y ＝2log a x ，y ＝3log a x ，y ＝4log a x 的图像，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( ) A ．a 4<a 3<a 2<a 1 B ．a 3<a 4<a 1<a 2 C ．a 2<a 1<a 3<a 4 D ．a 3<a 4<a 2<a 1
13．若不等式x 2－log m x <0在(0，1
2
)内恒成立，求实数m 的取值范围．
1．函数y ＝log m x 与y ＝log n x 中m 、n 的大小与图像的位置关系．
当0<n <m <1时，如图①；当1<n <m 时，如图②；当0<m <1<n 时，如图③.
2．由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y ＝a x 的图像过(0,1)点，故对数函数图像必过(1,0)点．
§5 对数函数(一)
知识梳理
1．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) (0，＋∞) y ＝lg x ln x
2．(0，＋∞) R (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x 轴 3.y ＝a x (a >0且a ≠1) 作业设计
1．D [由题意得：⎩⎨⎧
log 2x －2≥0，
x >0.
解得x ≥4.]
2．C [M ＝(0,1]，N ＝(－∞，0]，因此M ∪N ＝(－∞，1]．] 3．B [α＋1＝2，故α＝1.]
4．A [y ＝|log 3x |的图像是保留y ＝log 3x 的图像位于x 轴上半平面的部分(包括与x 轴的交点)，而把下半平面的部分沿x 轴翻折到上半平面而得到的．] 5．D [由题意得：log a 9＝2，即a 2＝9，又∵a >0，∴a ＝3. 因此f (x )＝log 3x ，所以f (x )的反函数为g (x )＝3x .]
6．D [由log a 23<1得：log a 2
3<log a a .
当a >1时，有a >2
3
，即a >1；
当0<a <1时，则有0<a <2
3
.
综上可知，a 的取值范围是(0，2
3
)∪(1，＋∞)．]
7．(1,2)
解析 由题意，得⎩⎨⎧
0<3－a <1，
0<a <1或⎩⎪⎨⎪⎧
3－a >1，a >1，
解得1<a <2.
8．(4，－1)
解析 y ＝log a x 的图像恒过点(1,0)，令x －3＝1，则x ＝4； 令y ＋1＝0，则y ＝－1.
9.124
解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)
＝f (log 23＋3)＝f (log 224)＝2log 24
12⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝2log 24
2
-＝2
1log 24
2
＝124
. 10．解 (1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R . (2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义，
所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8，
所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝3
2
，
即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[3
2
，＋∞)．
11．解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数， 故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6， f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2.
(2)f (x )－g (x )>0，即log a (1＋x )>log a (1－x )， ①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0<x <1. ②当0<a <1时，0<1＋x <1－x ，得－1<x <0.
12．B [作x 轴的平行线y ＝1，直线y ＝1与曲线C 1，C 2，C 3，C 4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a 1，a 2，a 3，a 4.由图可知a 3<a 4<a 1<a 2.] 13.
解 由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．
要使x 2<log m x 在(0，12)内恒成立，只要y ＝log m x 在(0，1
2)内的图像在y ＝x 2的上方，
于是0<m <1.
∵x ＝12时，y ＝x 2＝14
，
∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥1
4＝1
4log m m .
∴12≤1
4m ，即1
16≤m .又0<m <1， ∴1
16
≤m <1， 即实数m 的取值范围是[1
16
，1)．。