不连续随机算子随机不动点定理及其应用

２ 预 备 知 识 和 引理
本文 假设 （ ∑， 为一 完备 的概率 测度 空 间， （ Ｉ １ 为可分 Ｂａ ａｈ空 间 （ Ｐ ｌｈ Ｑ， ） Ｅ， ． ） Ｉ１ ｎｃ 即 ｏｉ ｓ
空 间） ， 为 可测 空间 ，其 中 为 的一切 Ｂ ｒｌ ， ） （ ｏｅ子集 的 一 数． 代 称映象 ：２ Ｅ 为 Ｅ 一 强 ∑一 【一 值 可测 （ Ｅ 一 强 随机变 量）若对 Ｅ 中任 意 闭集 Ｓ 或 值 ， ， 集合 ｛ ｌｘ￣ Ｅ ｝∈∑； 映象 Ｘ： ∈ｆ （） Ｉ 称 Ｑ— Ｅ 为 一 弱 ∑一 值 可测 （ Ｅ ． 或 值弱 随机 变量 ） ， 若对 Ｅ 中任意 开集 Ｂ， 合 ｆ Ｅｆｌ（）∈Ｂ 集 ｘ￣ ｌ ∈∑． Ｐ ｌｈ空 间，强 ∑一 在 ｏｉ ｓ 可测 与 弱 ∑一 可 测等价 （ 文献 ［） 本文 将强 ∑一 见 ２． ］ 可测 和弱 ∑ 一 可测都 简称 为可 测 ，不再 加 以 区分 ． 算子 Ａ： Ｑ×Ｅ — Ｅ 称为 随机算 子 ，若对 任意 的 ＥＥ， ｃ ） Ｅ 一 随机变 量 ，即 Ａ（， 为 ｏ 值 对 Ｅ 中任意 闭集 Ｓ 集合 ｛ ∈ａｌ ｗ ） ）Ｅ∑． ， Ａ（， ∈ｓ 特别 地 ，若 算子 （ ： — Ｅ对 任意 的 ） Ｅ ｚ∈Ｅ， ｗ ｘ为 Ｅ 一 Ａ（） 值随 机变 量，则 （ 为 一随 机算 子． ） 假设 Ａ（） Ｅ — Ｅ 为 随机算 子 ，若 存在 Ｅ 一 随机变 量 ）使得 Ａ（）（） ） ｗ ： 值 ， ｗ ｘｃ ＝ ｏ ， Ｖ ∈Ｑ 则称 ） ， 为算 子 Ａ（） 随机不 动点 ． ａ 的 Ｊ 设 Ｐ 为 Ｅ 中的锥 ，由锥 Ｐ 导 出 Ｅ 中的半 序如 下： ＶＸ Ｙ∈Ｅ， —Ｙ∈Ｐ 甘 Ｙ Ｘ 若存 ， ． 在常数 Ｎ ＞０ 使得 ０ Ｙ ｆ ｌ ＮＩｌＶ ， Ｉｆ ｘ ｌｌ Ｙ∈Ｅ 则称锥 Ｐ为正规的． Ｅ＝Ｐ—Ｐ ｙ， Ｘ ， 若 ， 即对 Ｅ 中任何 元素 Ｘ均 可表 示成 ＝Ｙ—ｚ的形 式 ，其 中 ＹＸ∈Ｐ， 称锥 Ｐ 为再 生的 ．若 ， 则 锥 尸 有 内点 ，则称 其为体 锥 ． 引理 １１］ 若 Ｐ 为一体锥 ，则 Ｐ是 再生 的 ． 【 ７ 引理 ２１ 锥 Ｐ是 再生 的当且仅 当存在 常数 丁＞０ 使 任何 ＸＥＥ 均可表 示成 ＝ Ｙ ， 【］ ７ ， — 其中 Ｙ ∈Ｐ 且 Ｉｌ ＴｌｌＩｌ ｄｌｌ ， ｌｌ ｌ ＩＩｌ ｙ ｘ ，ｚ ｘＩ ． 引理 ３２ 】 设 为 可分完 备度 量 空间，随机 映象 ： ×Ｘ — Ｘ， ［７ ， Ｑ 若存 在 非负 实值 随 机变 量 七 ）＜１ 使 得 ｄ （ ）Ａ（ ） ， （ ， ， ｕ， ） 离 ，则 存在 唯一 随机 不动 点． （ ｄ ）Ｖ Ｙ∈ ， 中 ｄ．） ）（， ， ， 其 （ ・为 中的距 ，
一
存在定理 ．作为应用，考虑 了 Ｒ 中含 间断项的一阶随机微分积分 方程初值 问题．
关键词：不连续 随机算子；随机压缩映象原理 ；随机不动点；随机微分积分类 ：７ ０ ４ Ｂ ０ ６ Ｈ２ 中图分类号 ： ７ ．１ 文献标识码： ４ Ｈ１ ； ７ ８ ； ０ ５ Ｏ１ ７９ Ａ 文章编号 ：０ ３３ ９ （０ ００ —４ —６ １ ０ —９ ８２ １）２５ ２０
收稿 日期： ０ ％１ —５ 修订 日期 ： ０ ９０ —５ ２ ０ ２２ ； ２ ０ — ５２
Ｅ－ ａ ｌ ｈ ｌ ｎｇ ｉ ７ ｓ ｈｕ．ｏ ；ｌ ｌ １ １ ＠ ｓ ｎ ｔ ｍ ｍ ｉ：ｚ ｉｏ ｌ７ ￣ ｏ ｃｒ ｎ ｚ ７７ ２ ８ ｉ ａ．ｏ
基金项 目：国家 自然科学基金 （０２ ０９ １７１４ ） １６ ６２ ，０ ０００ 、江西 省自然科学基金 （ ０ＧＱ ００） 江西 省高校人 ２ ９ Ｓ ０７ 、 ０ 文社科项 目 （Ｊ９６ 和 江西财经大学项 目 （ＸＣ Ｊ ８３ 资助 Ｊ ０４ ） Ｊ Ｄ Ｇ０ １）
１ 引言
王梓坤 ｌ 于 １６ ｊ ９ ２年较早 对 随机 泛 函分 析进 行 了研 究．继 ＡＴ Ｂ ａｕｈ－ ｅ ．． ｈｒｃａＲ ｉ ｄ于 １７ ９７ 年 在文献 【 中指 出随机算 子不 动点理 论 以及 随机积 分微分 方程 为随机泛 函分析 的重 要研 究 ２ ］ 内容 之后 ，丁协 平 ［ ４ 、张石 生 ［ ７等在 随机算 子的 随机不 动点理 论方 面、随机 积分微分 ３ 】 － ５ 】 － 方程 以及 随机变 分理 论等方 面做 了大量 的工作 ． 近年来 ，随机算 子随机 不动点 存在性 问题引起 了 国内外众多学 者 的关 注 ， 获得 了诸 多 并 随机 不 动点 定理 ．文 献 【 ｌ】 ９ ３ 利用 随机算 子 的随机 拓 扑度 以及 随机不 动 点指数 理论研 究 了 随机算 子 的随机 不动 点定 理 ．有关 随机 算子 的 随机拓 扑度 以及 随机 不动 点指 数理论 由李 国 祯教 授最先提 出，这 为研 究随机算子 的不 动点 问题提 供 了有力工具 ，并极 大地 丰富 了随机 不 动点存在 性结 果．文献 ｆ ６ 通过 假定确 定型算 子具 有不动 点 的前提 下 ，对算 子 附加一定 １ １１ ４ 紧性 条件 或 闭性 条件 ，获得 了一系列 的随机 算子 随机不 动点定 理． 值得 注意 的是 ，上述文献 中所 研究 的随机算子 必须要 求是连 续的 ．而不 附加 连续性 条件 来对 随机算 子随机不 动点 问题进行研 究 的有关文 献非常少 见．众所 周知 ，即使相 应的确 定型 算 子都 具有 随机 不动 点也 难 以保证 不连 续 随机算子 随 机不 动 点的存 在性 ．这 是不连 续 随机 算子 随机不 动点存在 性 问题 研究 的难点所 在．而在 实际 问题 的研 究 中，不连续 随机算子 随机 不 动 点理论 却往 往有 着 比连续 随机 算子 随机 不动 点理 论更 广泛 的应 用 ，如含 间断 项 的随机 微分 积分 方程 ，无 法用连 续 随机算子 随机不 动点 定理来进 行研 究．因此 ，不连 续随机 算子 随 机不 动 点问题是 非常 有意义 的研 究课题 ．本文 对这 方面 的研 究进行 了一定 的尝试 ． 本文 在可分 Ｂ ｎｃ 间，对一类 随机算 子 随机不动 点存在 问题进 行 了研究 ．值得注 意 ａａｈ空 的是 ，本文对 随机算子 既没有 附加连 续性条件 也没 有附加 任何紧性 或 闭性 条件 ，而是通过 等
且对任 意 的 ∈Ｑ， ｃ 的谱 半径 ｒ日 ）＜ １则 随机 算子 Ａ（ 有 唯一 的 随机不 动点 ，即 Ｈ（） ｏ （ ） ， ｗ） 存 在 唯一 的可测变 量 ） ∈Ｅ 满 足 ） Ａ（） ）Ｖ ∈Ｑ． ＝ ｃｘ ｕ ， 注 １ 本 文 定理 与大 多数 文献 中有关 随机 不 动点 结果 相 比较 没 有要 求 随机 算子 的 连续 性 也没 有 附加任何 的紧性 或 闭性条 件 ．
Ｎ． ｏ２
李志 龙：不连 续 随机算子 随机 不 动点定 理及 其应 用
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价变 换 将不 连续 随机 算子 的 不动 点 问题转 化为 连 续 随机算 子 的不 动点 问题 来 加 以研 究．主 要步 骤为 ：首 先利 用非线 性泛 函分 析半 序理论 ，引入 一个 等价 的新 范数 ；其次 证 明该 随机算 子在新 范数 下为一 随机 压缩 映象 ；最后 利用 随机压缩 映象 原理 ，获得 了该 随机算 子 随机不 动 点 唯一存 在性结 果 ． 定理 设 为可分 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间， Ｊ 为 Ｅ 中 的正规体 锥 ，随 机增 算子 Ａ（ ） Ｅ — ， Ｆ ） ａ ： Ｊ 若存 在随机 线性 正有界 算子 Ｈ（） Ｐ — Ｐ使 得对 任意 的 ｙ ＸＹ∈Ｅ， ｗ ： ，， 都有 Ａ（） ｗ ｙ—Ａ（） Ｈ（） ） ＥＱ， ｗｘ ａ（ Ｊ ｙ— ， Ｖ （） １
数学物理学报
２１ ， Ａ（） ４—４ ００３ ２： ２５ ７ ０ ５ ｈｔ：ａｔｍｓ ｉｍ． ． ｔ ／ ｃａ ． ｐ ａ ａ ｐ／ ｗ ｃｎ
不连续随机算子随机不动点定理及其应用
李志龙
（ 江西财经大学数学系 南昌 ３０ １） ３０３
摘要：该文利用半序理论和 随机压缩映象原理， 得到 了一类不连续随机增算子 随机不动点的唯