正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)
4π
6π
正弦函数y=sinx的图 象
-
-
-
x
-
每隔2π ，图象重复出现
− 6π − 4π
-
y
即对任意x，y = sin x + 2π） sin x （ =
1-1-
− 2π
-
o
2π
4π
6π
如果令f（x）＝ 如果令 （ ）＝sinx，则 f（x＋2π）＝ （x) ， （ ＋ ）＝f（ ）＝ ）＝ 抽象 f (x +T) = f(x)
y
2
+ kπ，k ∈ Z
（kπ，0）,k∈Z ， ） ∈
余 弦函 数 y=cosx的 图象 的
1-
− 4π
-
− 2π
-
o
- 1心： 无数个 对称中心：
-
-
x
0 k （ + kπ， ）（ ∈ z） 2
π
巩固运用
例4、判断下列函数的奇偶 性 5 （1） f（ x） 2sin （2x＋ π）； = 2
-
-
-
-
x
-
正弦余弦函数对称性
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
y
正弦 函数 y=sinx的 图象 的
1-
− 6π
对称轴： 无数条 对称轴：
x=
− 6π
-
对称轴： 无数条 对称轴： x=kπ， x=kπ，k∈Z
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
6π
x
π
对称中心： 无数个 对称中心：
答： T =
2π
正余弦函数知识点总结
正余弦函数知识点总结一、正余弦函数的定义正弦函数和余弦函数都是圆的点在坐标轴上的投影，它们通常用来表示一个角的正弦和余弦值。
正弦函数和余弦函数分别由下面的公式所定义：sin(θ) = opp/hypcos(θ) = adj/hyp在上面的公式中，θ是角的大小，opp是对边的长度，adj是邻边的长度，hyp是斜边的长度。
这些定义和公式都是从直角三角形中得到的，因此在使用正弦函数和余弦函数的时候，我们通常需要先将问题转化成三角形来求解。
二、正余弦函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。
这意味着在一个周期内，这两个函数的值会不断重复。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
这意味着sin(-θ) = -sin(θ)，cos(-θ) = cos(θ)。
这是通过函数图像的对称性可以得到的。
3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]。
这说明它们的取值范围都是有限的，并且是相同的。
4. 同一角的正弦和余弦的关系：在一个直角三角形中，我们可以用正弦和余弦函数来表示同一个角的两个边的关系。
如果我们知道一个角的正弦值，可以通过反正弦函数来求出这个角的大小；同样，如果我们知道一个角的余弦值，也可以通过反余弦函数来求出这个角的大小。
三、正余弦函数的图像正弦函数和余弦函数的图像是非常典型的周期函数的图像。
正弦函数的图像是一条波浪线，而余弦函数的图像是一条钟形曲线。
这两个函数的图像有着一些非常明显的特点：1. 周期性：这两个函数的图像都是在一个周期内不断重复的，因此整个图像是无限延伸的。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，所以它的图像具有原点对称的性质；而余弦函数是偶函数，所以它的图像具有y轴对称的性质。
3. 值域：这两个函数的值域都是[-1,1]，因此它们的图像都在y轴上有一个水平的渐近线。
四、正余弦函数的应用正弦函数和余弦函数在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正弦函数、余弦函数的性质
1 变式2 : 求函数y cos( x ), x [2,2] 2 3 的单调递减区间 .
2 4 ( , ) 3 3
例2、求使下列不等式成立 x的集合 : 的
3 (1) sin x ( x R ); 2
( 2) 2 2 cos x 0( x R ).
5 3 ＋４kπ, 3 +4kπ］
， sin( x ), x [2 ,2 ] 2 3 的单调递增区间.
练习
1 练习 、求函数y cos( x )的单调递减 1 2 3 2 4 区间. (4k ,4k )
1 例3、求函数y sin( x )的单调递增 2 3 区间. 1 例4、求函数y cos( x )的单调递减 2 3 区间.
小结
1.正余弦函数的最值 2.正弦函数及余弦函数的单调
性与奇偶性
作业
课本40页练习
2
＋2kπ 2
＋2kπ
时
时取得
最小值-1 最大值1,当且仅当x=
值-1
对余弦函数当且仅当x= (2k+1)π 时取得
(2k－1)π
时取得最小
新课
记忆方法:
y
sin x 1 sin x 0 cos x 1
o
y
cos x 0 cos x 1
x
sin x 0
o
x
y sin x
]
y
2
3 2
2
o
2
3 2
2
x
余弦函数在每个闭区间[2k ,2k ]( k Z )上都是增函数, 在每一个闭区间[2k ,2k
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是常见的三角函数之一，它们有着许多重要的性质。
其中之一就是它们的单调性，即在一定的定义域内，函数值是单调增加或单调减少的。
我们来讨论正弦函数的单调性。
正弦函数通常表示为sin(x)，其中x是自变量。
正弦函数的定义域是实数集，而值域是[-1,1]。
在定义域内，正弦函数是周期性函数，其周期是2π。
1. 正弦函数在每个周期内是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
正弦函数在[0,π/2]内是单调增加的，即当x1 < x2时，有sin(x1) < sin(x2)。
2. 在每个周期内，正弦函数的增长速度是不同的。
在[0,π/2]内，正弦函数的增长速度最快，当x接近π/2时，增长速度逐渐减小。
3. 在每个周期内，余弦函数在[π/2,π]、[π,3π/2]、[3π/2,2π]等区间内的单调性与[0,π/2]内相同。
即在这些区间内，当x1 < x2时，有cos(x1) > cos(x2)。
正弦函数在每个周期内从0到π/2是单调增加的，而余弦函数在每个周期内从0到π/2是单调减少的。
在其他区间内，它们的单调性与[0,π/2]内相同。
这些性质可以通过函数图像和函数的导数等方法进行证明。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是高中数学中的基础函数，也是三角函数中最常见的函数之一。
这两个函数有许多重要的性质，其中包括它们的单调性。
正弦函数是以π/2为周期的函数，表示为y=sin x。
在每个周期内，正弦函数分别在
x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2等点上取得最大值1，同时在x=π/2、x=3π/2、x=5π/2、
x=7π/2等点上取得最小值-1。
在每个周期内，正弦函数是一个奇函数，即满足
sin(-x)=-sin(x)。
因为正弦函数在每个周期内都是周期性的，并且在一个周期内单调递增，所以可以得
到以下结论：
当0<x<π/2时，sin x单调递增。
综合以上结论，可以得到在[2kπ,2(k+1)π]区间内，当k是奇数时，sin x单调递减；当k是偶数时，sin x单调递增。
总结
正弦函数和余弦函数的单调性是学习三角函数的初学者必须掌握的基础知识。
在计算中，可以通过掌握正弦函数和余弦函数的单调性来简化计算，提高计算效率。
在实际应用中，也有很多场合需要用到正弦函数和余弦函数的单调性，比如在信号处理、音频处理、
图像处理等领域中。
因此，正确理解和运用正弦函数和余弦函数的单调性具有十分重要的
意义。
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。
正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x
2
时，有最大值 y 1
最小值：当x
2
时，有最小值y 1
探究：余弦函数的最大值和最小值
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值： 当 x 0
时，有最大值 y 1
最小值：当 x
时，有最小值y 1
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
故 2k 1 x 2k ,
2
2 32
得 5 4k x 4k , k Z.
3
3
则函数y sin(1 x )，x R的单调递增区间是[ 5 4k, 4k]。
23
33
练习：求函数y sin( 1 x)，x R的单调递增区间 32
得 5 4k x 11 4k , k Z.
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(全)上课用
最大值： 当
x 0 2 k 时， 有最大值 y 1
最小值：当
x 2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1
练习
下列等式能否成立？
(1)2cos x 3
(2)sin 2 x 0.5
3 1 cos x 2
×
√
sin x 0.5 [1,1]
例1.求下列函数的定义域和值域。
定义域
值域
[2,4]
(1) y 3 sin x
三.定义域和值域
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数 y sin x
定义域：R 值域：[-1，1] y
1
2
O
2
3 5 2
2 3
2
1
3 2
2
5 2
3
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
x
当且仅当 x 2 k ， （ k Z ） 时 ， (cos x ) max 1；
当且仅当 x 2 k ， （ k Z ） 时 ， (cos x ) min 1 .
正弦函数和余弦函数的性质
正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。
正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。
正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。
2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。
3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。
2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。
正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。
2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。
3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。
就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。
正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。
正余弦函数的性质(最值与单调性)
如果存在一个非零常数T，对于定义域内的每一个x，函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，则称f(x) 是周期函数，T称为这个函数的周期。
周期的求法
直接观察法
ห้องสมุดไป่ตู้
01
通过观察函数的表达式，找出具有相同形式的项，从而确定周
期。
公式法
02
利用三角函数的周期性质，如正弦函数和余弦函数的周期公式，
单调性的判断方法
利用导数判断
求出函数的导数，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。
利用定义判断
在定义域内取两个数，比较函数值的大小，若函数值随自变量的增大而增大，则函数在该区间内单调 递增；反之，则函数在该区间内单调递减。
03
正余弦函数的周期性
周期的定义
周期函数
如果一个函数在一定周期内的变化情况与整个定义域内的变化情况完全相同，则称该函 数是周期函数。
函数性质
正余弦函数的图像是周期函数，具有对称性和周 期性。
图像的特点
1 2
周期性
正余弦函数的图像是周期函数，具有固定的周期。
对称性
正余弦函数的图像具有对称性，即关于y轴对称 或关于原点对称。
3
极值点
正余弦函数的图像在极值点处达到最大值或最小 值。
图像的应用
物理应用
正余弦函数在物理中有广泛的应用，如交流电、振动、波动等。
03
奇偶性的判断方法
观察函数图像是否关 于原点或y轴对称
利用定义域排除特殊 点，确定奇偶性
检查$f(-x)$与$f(x)$ 的关系，是否满足奇 偶性定义
05
正余弦函数的图像与性质
图像的绘制
手工绘制
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y 1
y=sinx
-6π
-4π
-2π -π π
O
-5π -3π
-1
y
2
2
1 22
3π 5π x
2π
4π
6π
y=cosx
2
2
x
2
O
2
2
.
-1
2
2
25
思考2：上述对称性反映出正、余弦函数 分别具有什么性质？如何从理论上加以 验证？
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
s in ( x ) s in x ,c o s ( x ) c o sx
.
9
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
思考2：当自变量x分别取何值时，正弦 函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？
正弦函数当且仅当 x 值1, 当且仅当 x 2k
2k时 取最时小取值最-大1
正弦曲线关于点（kπ，0）和直线
x k 2(k Z)对称.
.
12
思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
余弦曲线关于点 (k 对称.
2 , 0)和直线x=kπ
.
13
理论迁移
例1 求下列函数的最大值和最小值，并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合
（1） y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R.
思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上
是增函数？在哪些区间上是减函数？
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2Hale Waihona Puke 余弦函数在每一个闭区间 [2k2k
上都是增函数；在每一个闭区间
[2 k 2 k 上. 都是减函数. 8
思考5：正弦函数在每一个开区间 （2kπ，2 ＋2kπ） (k∈Z)上都是增函 数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 ， y=Asinωx 是 奇 函 数 ， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
.
16
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：5，6.
.
17
.
10
思考3：当自变量x分别取何值时，余弦 函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？
余弦函数当且仅当 x 2k时取最大值1,
当且仅当 x(2k1)时取最小值-1.
.
11
思考4：根据上述结论，正、余弦函数的 值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0） 的值域是什么？ [-|A|，|A|]
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
函数
y Asin(x和 ) y Acos(x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
.
3
.
4
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
对称性，你有什么发现？
.
14
例2 比较下列各组数的大小:
(1)sin()与 sin();
18
10
(2)cos(23)与 cos(17).
5
例3 求函数 y sin(1 x ，)
23
x∈[－2π，2π]的单调递增区间.
.
15
小结作业
1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期 性、奇偶性、单调性、对称性和最值， 它们都是结合图象得出来的，要求熟练 掌握.
.
6
思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些
区间上是增函数？在哪些区间上是减函
数？如何将这些单调区间进行整合？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
正弦函数在每一个闭区间
[2k2k
2
上都是增函数；在每一个闭区间
[ 22k 2k .上都是减函数. 7
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时
.
1
问题提出
1.周期函数是怎样定义的？
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就 叫做这个函数的周期.
.
2
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？