空间几何体的表面积及体积学案

空间几何体的表面积与体积学案
【学习目标】
1.通过对柱、锥、台体及球的研究，掌握柱、锥、台体及球的表面积、侧面积和体积的求法；
2.了解柱、锥、台体及球的表面积、侧面积和体积计算公式，能运用柱、锥、台体及球的有关公式进行计算和解决实际问题；
3.培养学生空间想象能力和思维能力. 【先学自研】 一、【知识梳理】
柱、锥、台和球的侧面积和体积 1．多面体的面积和体积公式
表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，
h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式
二、基础练习
1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于
4
3
π，则该圆锥的体积为（ ）
Ａ．
81
Ｂ．
881
π Ｃ．
81
Ｄ．
1081
π 2．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是__________． 3．若球O 1、O 2表面积之比
124S S =，则它们的体积之比12
V
V =________________ 4．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )
A.23
3π B ．2 3 C.736π D.733
π
5．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ）
A ．2
3
B ．3
2
C ．6
D ．
6
6．已知棱台两底面面积分别为80和245，截得这个棱台的棱锥的高是35，求棱台的体积
7．已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm ，全面积为1440 cm 2
，求底面各边之长.
8．设正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求对角面的面积和侧面积.
【点拨讲解】
例1 、已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S ABC -，求它的表面积及体积
变式1： 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a ，求它的表面积及体积
变式2：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，求它的体积是正方体
体积的几分之几？
例2、(1)已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.
(2)一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2
，求球的表面积．
(3)已知球面上过,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球的表面积为
例3、（1）长方体的一个顶点上的三条棱长为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.
（2）记与正方体各个面相切的球为1O ，与各条棱相切的球为2O ，过正方体各顶点的球为3O 则这3个球的体积之比为
（3）半球内有一个内接正方体，
，求球的表面积
和体积。

（4）如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积
（5）求棱长为a 的正四面体的外接球及内切球的体积
（6）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此
球的表面积等于 .
【训练内化】
1、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A 7 Ｂ 6 Ｃ 5 Ｄ 3
2、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ） A
23
B
76
C
45
D
56
3、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ）
A 1:3
B 1:1
C 2:1
D 3:1
4、如图13-一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长为1的正方形, 俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的表面积等于（ ）
正视图俯视图
侧视图1
3-图
A 22+
B 23+
C 24+
D 6
5、如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰
好升高r ，则
r
R
= 。

6、设三棱柱
111C B A ABC -的体积为
V,P 、Q 分别是侧棱
11,CC AA 上的点,且1QC PA =,则四棱柱
APQC B -的体积为（ ）
A
V 61 B V 41 C V 3
1 D
V 2
1
7、若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________
8、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是
S 球___S 正方体
9、半径为10cm 的球被两个平行平面所截，截得的截面的面积分别是36πcm 2
，64πcm 2
则这两个平面的距离是 .
10、一个长方体全面积是20cm 2
，所有棱长的和是24cm ，则长方体的对角线长为 11、已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________
12、已知正三棱锥ABC S -内接于半径为6的球,过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱锥及球面所得的球面
如图14-，则此三棱锥的侧面积为 .
10、如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2？
12、如图16-,已知正四棱锥ABCD S
-中,底面边长为a ,侧棱长为a 2.
（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.
1
6-图1
4-图。