五年级奥数第18讲-分解质因数(教)

学科教师辅导讲义

知识梳理

一、分解质因数

一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。

我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

二、解题策略

许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分

解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题

典例分析

考点一：简单的分解质因数

例1、把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？

【解析】先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

例2、有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？

【解析】先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。

例3、将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

【解析】 14=2×7 55=5×11

24=2×2×2×3 56=2×2×2×7

27=3×3×3 99=3×3×11

可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。

例4、王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？

【解析】根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48人。

例4、把155/186和221/187约分。

【解析】这两个分数的分子和分母都比较大，不能一眼看出分子和分母的公约数。我们可以先求出分子与分母的差，如果差是质数，就直接用这个质数去约分；如果差是合数，就把这个合数分解质因数，然后用其中的一个质数去约分。

（1）186－155=31，31是质数，用31约分得：155/186=5/6；

（2）221－187=34，34=2×17，用17约分得：221/187=13/11。

例5、小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。小明买了多少张画片？

【解析】根据题意可知：画片的单价×张数=216分，它们乘积的质因数和216的质因数相同。我们可以先把216分解质因数，再写成两数相乘的形式分析：216=2^3×3^3=8×27=9×24，显然，216分可以买8分的画片27张，也可以买9分的画片24张。所以，小明买了24张画片，符合题意。

P(Practice-Oriented)——实战演练

实战演练

➢课堂狙击

1、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？

【解析】根据195=3×65，195=5×39，195=13×15

可得排法如下

3行65列，5行39列，13行15列，

65行3列，39行5列，15行13列。

7、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？

【解析】将3024分解质因数得：

3024=6×7×8×9，

∴这四个孩子的年龄分别=6、7、8、9岁。

8、王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？

【解析】.因为师生共檫玻璃111块，111=3×37，可理解为师生每人檫3块玻璃，37-1=36人，共有老师1人，学生36人；

36/3=12人，即，每组12人，共分3组；

9、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？

【解析】2376=6^2×6×11

自然数a乘以2376,所得的积正好是自然数b的平方，说明a最小应该是6×11=66，否则只会更大，才能保证是一个完全平方数

直击赛场

S(Summary-Embedded)——归纳总结

重点回顾

（1）理解质因数的概念；

（2）利用我们分解质因数来解决一些较简单的问题；

（3）通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。

名师点拨

重点和难点突破：

（1）对于很多题目，我们可以用分解质因数的方法求解。掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许（2）掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许一般方法不能解答的与积有关的应用题。

学霸经验

➢本节课我学到了

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