高中数学新教材变式题4：《三角》
高中数学三角函数变式练习
玉林高中2014级高一（下）数学周测（3）补充（3）变式练习一．选择题（共5小题）1．函数的零点个数为（）2．函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx﹣cosπx|对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为（）3．）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则二．填空题（共14小题）6．已知函数f（x）=πcos（+），如果存在实数x1、x2，使得对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是．7．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．8．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是．9．为了使函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现4次最大值，则ω的最小值是．10．函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是．11．函数y=sinx+2|sinx|x∈[0，2π]的图象与直线的交点的个数为个．12．若函数f（x）=cosx+|sinx|（x∈[0，2π]）的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是．13．已知函数f（x）=sinx+2|sinx|﹣k，x∈[0，2π]有且仅有两个零点，则k的取值范围是．14．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜ϕ≤π）的部分图象如图所示，与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离是．15．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上有一个最高点的坐标为（2，），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6，0），则此解析式为．16．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象经过点（π，0），若函数f（x）在[0，3]上恰好一次取得最大值2，一次取得最小值﹣2，则ω的值是．17．已知函数f（x）=sin（2x+）若y=f（x﹣φ）（0＜φ＜）是偶函数则φ=．18．已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=．19．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g （x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为．三．解答题（共11小题）20．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π ）的一个最高点坐标为（，3），其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（1）求f（x）的最小正周期及解析式；（2）若x∈[﹣，），求函数g（x）=f（x+）的值域．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．22．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[，]x时，f（x）﹣m≥1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若f （x 0）=1，x 0∈[﹣π，π]，求x 0的值．23．已知函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示，其中与x 轴有交点 （﹣2，0）、（6，0），图象有一个最高点（2，）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，若f （x ）在x ∈[4，12]上的最大值为c 且C=60°，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．24．已知函数f （x ）=•，且向量=（4m ，﹣1），=（sin （π﹣x ），sin （+2x ）），（m ∈R ）（I ）求m=0，求f （x ）的单调递增区间； （II ）若m ＜﹣1，求f （x ）的最小值和最大值．25．已知函数．（1）已知f （α）=3，且α∈（0，π），求α的值； （2）当x ∈[0，π]时，求函数f （x ）的单调递增区间；（3）若对任意的，不等式f （x ）＞m ﹣3恒成立，求实数m 的取值范围．26．已知函数f （x ）=sin （ωx ﹣）（ω＞0）在（0，]上单调递增，在（，2π]上单调递减，（1）求ω的值；（2）当x ∈[π，2π]时，不等式m ﹣3≤f （x ）≤m+3恒成立，求实数m 的取值范围．27．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）+b （ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f （x ）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g （x ）的为奇函数．（1）求f （x ）的解析式，并求f （x ）的对称中心； （2）若关于x 的方程3[g （x ）]2+m•g （x ）+2=0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．28．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ） 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，cos （φ+）=0，其中ω＞0，|φ|＜．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）求最小正实数m ，使得函数f （x ）的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．29．将函数g （x ）=sin （ωx ﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度后得到函数y=f （x ）图象，若函数f （x ）的图象过点（，0），且相邻两对称轴的距离为．（1）求ω，φ的值；（2）求y=f （x ）的单调增区间（3）若＜A ＜，求f （A ）的取值范围．30．将函数y=f （x ）的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位后，得到的图象与函数g （x ）=sin2x 的图象重合．（1）写出函数y=f （x ）的图象的一条对称轴方程；（2）若A 为三角形的内角，且f （A ）=•，求g （）的值．玉林高中2014级高一（下）数学周测（3）补充（3）变式练习参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．函数的零点个数为（）y=3cos的图象，2．函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx﹣cosπx|对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为（）=时，函数取得最大值时，=3．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c 的取值范围是（））个周期即可，进而求出49×T≤1×ω≥．，然后，根据条件，得到，然后，求解，∴，二．填空题（共14小题）6．已知函数f（x）=πcos（+），如果存在实数x1、x2，使得对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是4π．+|=n×=4nπ+=8π|=n×7．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（2，2015）．8．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是[6，8）．，c+4≤19．为了使函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现4次最大值，则ω的最小值是．=3×+3T+=3×+=1ω=．10．函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（1，3）．11．函数y=sinx+2|sinx|x∈[0，2π]的图象与直线的交点的个数为4个．y=sinx+2|sinx|=有四个交点12．若函数f（x）=cosx+|sinx|（x∈[0，2π]）的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是1≤k ＜．y=sinx+cosx=sinx+cosx=＜14．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜ϕ≤π）的部分图象如图所示，与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离是．=，得到函数的周期为、﹣T=15．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上有一个最高点的坐标为（2，），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6，0），则此解析式为y=sin（x+）．A=∴=6=16ω=sin x+φsin×2+ψ，+φ=+2kπ+2kπ，φ=，sin x+）．）16．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象经过点（π，0），若函数f（x）在[0，3]上恰好一次取得最大值2，一次取得最小值﹣2，则ω的值是2．（不唯一）．πω+ω=，从而可得当ωx+）的图象经过点（πω+∴πω+ω=∴T=，17．已知函数f（x）=sin（2x+）若y=f（x﹣φ）（0＜φ＜）是偶函数则φ=．），由=k）+]2φ+=k，φ=．=k18．已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=﹣．T=sinφ=∴3•+φ（=19．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g （x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为2．个单位，三．解答题（共11小题）20．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π ）的一个最高点坐标为（，3），其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（1）求f（x）的最小正周期及解析式；（2）若x∈[﹣，），求函数g（x）=f（x+）的值域．，可求得2×+φ，∈，）的值域．T=π=2×+φφ+=2k，φ=2kπ+φ=2x+2x+，），2x+，21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小=∴）∵=，即时，22．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[，]x时，f（x）﹣m≥1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若f（x0）=1，x0∈[﹣π，π]，求x0的值．≤x≤，利用正弦函数的单调性质可求得﹣T=2×=πω=）∴+φ=2kπ+π，φ=2x+≤x≤时，≤2x+≤ (5)+） (9)+=2kπ+=2kπ+（（，23．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示，其中与x轴有交点（﹣2，0）、（6，0），图象有一个最高点（2，）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若f（x）在x∈[4，12]上的最大值为c且C=60°，求△ABC 的面积S△ABC的最大值．，===∴×，∴，∴x+sin x+，∴≤x+≤，=cosC==≤．．24．已知函数f（x）=•，且向量=（4m，﹣1），=（sin（π﹣x），sin（+2x）），（m∈R）（I）求m=0，求f（x）的单调递增区间；（II）若m＜﹣1，求f（x）的最小值和最大值．）得，sin，．25．已知函数．（1）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值；（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；（3）若对任意的，不等式f（x）＞m﹣3恒成立，求实数m的取值范围．）求出），∴．∴，）的单调递增区间为，，26．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）在（0，]上单调递增，在（，2π]上单调递减，（1）求ω的值；（2）当x∈[π，2π]时，不等式m﹣3≤f（x）≤m+3恒成立，求实数m的取值范围．时且，从而可求t=，时，T0，，，，]27．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+b（ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；（2）若关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2=0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．2x+==+φ+φ=kπ=nπ+，∴+，，228．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，cos（φ+）=0，其中ω＞0，|φ|＜．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．φ+φ+=kπ+（，∴φ=．，∴=，∴T==3）．]3x+3m+3m+（+（．29．将函数g（x）=sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度后得到函数y=f（x）图象，若函数f（x）的图象过点（，0），且相邻两对称轴的距离为．（1）求ω，φ的值；（2）求y=f（x）的单调增区间（3）若＜A＜，求f（A）的取值范围．＜，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求xx﹣2×+φ=φ=．≤2x≤2kπ+≤x≤kπ+，kπ+），∵＜30．将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位后，得到的图象与函数g（x）=sin2x的图象重合．（1）写出函数y=f（x）的图象的一条对称轴方程；（2）若A为三角形的内角，且f（A）=•，求g（）的值．个单位，再将横坐标伸长到原来的），令可得，==可得）=）∴可得，）===。
【新教材】8.2.3 倍角公式 教学设计(1)-人教B版高中数学必修第三册
8.2.3 倍角公式本节课是人教B 版必修3《三角恒等变换》的第三课时，是在学生学过三角函数时的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式，它为今后研究三角函数图象和性质等问题提供了又一必备的要素。
因此它起着承上启下的作用，同时也是培养了学生逻辑思维能力和划归的数学思想方法。
本节课的知识目是倍角公式和两角和公式的内在联系，并熟练倍角公式结构，培养学生利用划归思想导出倍角公式，了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式的结构。
通过本节的学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神。
【教学重点】二倍角公式与两角和与差的正弦余弦正切公式的区别与联系、二倍角公式及其变形公式的应用【教学难点】二倍角公式及其变形公式的应用如若在两角和的正弦公式S αβ+中，令βα=，则可求出sin2α的公式，即sin2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=类似的，可得22cos 2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-22tan tan 2tan tan 2tan()1tan 1tan αααααααα+=+==-- 因此：这3个公式称为倍角公式。
需要注意的是，因为22sin cos 1αα+=，所以2C α也可以改写为：【对点快练】1．sin π12cos π12等于( ) A ．12B ．14C ．32D ．34答案：B sin π12cos π12＝12sin π6＝12×12＝14. 2．已知tan α＝12，则tan 2α＝____________. 答案：43 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43. 例1.已知5sin ,(,),132πααπ=∈ 求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值。
高中数学题型全面归纳 三角恒等变换19改
第三节 三角恒等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究 高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度.考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲常用三角恒等变形公式 和角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-差角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+倍角公式sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===半角公式sin22αα==sin 1cos tan.21cos sin a αααα-==+辅助角公式sin cos ),tan (0),ba b ab aαααϕϕ+=+=≠角ϕ的终边过点(,)a b ，特殊地，若sin cos a b αα+=或tan .baα=常用的几个公式sin cos );4πααα±=±sin 2sin();3πααα=±cos 2sin();6πααα±=±题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例4.33 证明(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=-(2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ+++=-变式１ 证明：(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ--=+ (2):sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ--=- tan tan (3):tan().1tan tan T αβαβαβαβ---=+题型66 化简求值 思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 一、化同角同函例4.34 已知3cos()45x π+=则2sin 22sin ()1tan x xx -=-7.25A 12.25B 11.25C 18.25D 解析 解法一：化简所求式评注 解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单.变式1 若13cos(),cos(),55αβαβ+=-=则tan tan _______.αβ=变式2 若4cos 5α=-，α是第三象限角，则1tan2()1tan 2αα+=- 1.2A - 1.2B .2C .2D -变式3 若1tan 4tan θθ+=，则sin 2().θ= 1.5A 1.4B 1.3C 1.2D二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1.和、差角变换如α可变为()αββ+-；2α可变为()()αβαβ++-；2αβ-可变为()αβα-+例4.35 若330,cos ,sin(),255παβπααβ<<<<=+=-则cos β的值为（ ）. .1A - .1B -或72524.25C - 24.25D ±评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：();();()()βαβαβααβαβαγβγ=+-=--+=-++等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号. 变式1已知sin ),(0,)2πααβαβ=-=∈则().β=.3B π .4C π .6D π5.12A π变式2 若3335(,),(0,),cos(),sin()44445413πππππαβαβ∈∈-=+=，则sin()______.αβ+=二、辅助角公式变换例4.36 已知cos()sin 6παα-+=，则7sin()6πα+的值为（ ）..A B 4.5C - 4.5D变式1设6sin14cos14,sin16cos16,,b c α=+=+=则a,b,c 的大小关系为（ ）.A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c变式2将函数()cos 22x x f x =-的图象向右平移23π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递减区间是（ ） A ．(,)42ππ- B ．(,)2ππ C ．(,)24ππ-- D ．3(,2)2ππ变式3 已知sin cos 6παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．．13- D ．13变式4 设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________3.倍角，降幂（次）变换例4.37 已知α为第二象限角，sin cos αα+=则cos 2().α=变式1 若1sin()63πα-=则2cos()().3πα+= 7.9A - 1.3B - 1.3C 7.9D变式2 已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）. A ．79-B ．29-C ． 29D ．79变式3已知312sin(2),sin 513αββ-==-且(,),(,0),22ππαπβ∈∈-求sin α值.变式4若31sin ,(,),tan()522πααππβ=∈-=，则tan(2)().αβ-=24.7A - 7.24B - 24.7C 7.24D变式5已知1sin cos 2αα=+，且(0.)2πα∈，则cos 2_____.sin()4απα=-4.诱导变换例4.38若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )().f x =.3cos 2A x - .3sin 2B x - .3c o s C x +.3s i nD x +变式1 α是第二象限角，4tan(2)3πα+=-，则tan _______.α=变式2 若5sin(),(0,)4132ππαα-=∈，则cos 2_____.cos()4απα=+变式3 2tan sin 2cos ,,42ππααααπ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan πα-=____________．最有效训练题19（限时45分钟）1.已知函数()sin ,f x x x =设(),(),()763a fb fc f πππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）.A.a<b<cB. c<a<bC.b<a<cD.b<c<a2.函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）. A ．65 B ．1 C ．35 D ．153.若1tan 2α=，则cos(2)().2πα+= 4.5A 4.5B - 1.2C 1.2D - 4.已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，则2().αβ-= .4A π 3.4B π- 5.,44C ππ 35.,,444D πππ- 5.函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图像如图4－33所示，设Ｐ是图像的最高点，Ａ，Ｂ是图像与x 轴的交点，则tan ().APB ∠= Ａ.10 Ｂ.8 8.7C 4.7D6.函数sin 3cos 4x y x -=+的最大值是（ ）.1.2A - B 4.3C - D 7.已知tan()34πθ+=，则2sin 22cos ______.θθ-=8. 已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .________.2)sin10= 10.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<，则tan 2____,____.αβ==11.已知函数2()2cos .2x f x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若α是第二象限角，且1()33fπα-=，求cos21cos2sin2ααα+-的值.12.已知三点3 (3,0),(0,3),(cos,sin),(,).22 A B Cππααα∈（1）若AC BC=，求角α；（2）若1AC BC⋅=-，求22sin sin21tanααα++的值.。
高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳
高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳知识点（一）任意角和弧度制1．与θ终边相同的角的集合是 ；第一或第三象限角的集合是 ；x 轴上的角的集合是 ；2.若α是锐角，则πα-是第 象限角；πα+是第 象限角；2πα-是第 象限角；α-是第 象限角；32πα-是第 象限角；2πα+是第 象限角。
3.180°=π；1°= 弧度； 1弧度= ；圆心角α弧度数的绝对值||α= ；扇形面积公式S = 。
4.角ααcos 2=-，则2α角是 象限角。
知识点二．任意角的三角函数1.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，(,)P x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin α= ，cos α= ,tan α= 。
2.如图，三角函数线：正弦线是 、余弦线是 、正切线是 ；4.已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin tan αα+的值为 ； 5．函数sin cos tan |sin ||cos ||tan |y αααααα=++的值域是 ； 6．sin cos θθ<⇔ ；sin cos θθ>⇔ 。
知识点三．同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.平方关系：22sin cos αα+= ；商数关系：tan α= ；2.已知tan 2α=，则ααααcos sin cos 3sin +-＝ ；sin cos αα⋅＝ ；4.1419costan()34ππ+-的值为 ； 5.化简23sin (180)cos(360)sin(270)cos (180)cos(90)tan(180)αααααα+⋅-⋅-=--⋅+⋅+ 。
yTA xα B SO M P知识点四．正弦、余弦、正切公式及倍角公式1.基本公式及变式()()22222sin sin cos cos sin sin 22sin cos 1sin 2(sin cos )cos cos cos sin sin cos2cos sin 2cos 112sin t αβαβαβαβαβαααααααβαβαβααααα==±=±−−−→=⇒±=±±=−−−→=-=-=-↓↓令令 ()222tan tan 2tan 1+cos21cos2an tan 2cos sin 1tan tan 1tan 22αβααααβααααβα±-±=→=- ＝ ,＝变式：1tantan tan tan()(1tan tan),tan()1tan4απαβαβαβαα++=+⋅-⋅=+-；sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436πππθθθθθθθθθ±=±±=±±=±2.4411111212cos sin ππ-= ；sin163sin 223sin 253sin313+= ； 3.在ABC ∆中，53sin ,cos 135A B ==,则cos C = ； 4.在直角ABC ∆中，sin sin A B ⋅的最大值为 ；5.已知等腰三角形的一个底角的正弦值为13，则这个三角形的顶角的余弦值是 。
高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4(2021学年)
高中数学第三章三角恒等变换3．２倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换 3.２倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为高中数学第三章三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4的全部内容。
3.２ 倍角公式和半角公式典题精讲例1 求下列各式的值:(１)c ｏｓ12πc ｏs 125π； （2)(ｃos 12π－s ｉn 12π）（c ｏs 12π+sin 12π);(3）21－ｃos 28π；（４)-32+34cos 215°．思路分析：本题考查倍角公式的变形及应用。
(1）题添加系数２，即可逆用倍角公式;（2）题利用平方差公式之后再逆用倍角公式;（3）中提取系数21后产生倍角公式的形式;(4）则需提取系数32. 解:(1)cos 12πc ｏｓ125π=cos 12πsin 12π＝21×2cos 12πsin 12π=21s ｉn 6π=41; (2)(cos12π—s ｉn 12π)（co ｓ12π+s ｉn 12π)＝ｃos 212π-si ｎ212π=c ｏs 6π=23； （3)21-ｃos28π＝－21(2c ｏｓ２8π－1)=—21co ｓ4π=—42；(4）-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1）＝32ｃos ３0°=33。
绿色通道：根据式子本身的特征,经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征。
高中数学三角函数的恒等变形
知识框架三角 恒 等 变 换和差化积公式sin sin 2sin cos 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+= sin sin 2cos sin 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+=cos cos 2sin sin 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--=- 两角和与差的公式正弦公式：:sin()sin cos cos sin :sin()sin cos cos sin S S αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+⎧⎪⎨-=-⎪⎩余弦公式：()()+C :cos cos cos sin sin C :cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-⎧+=-⎪⎨-=+⎪⎩正切公式：tan tan tan tan :tan();:tan()1tan tan 1tan tan T T αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=-⋅+⋅221cos 1cos :sin;:cos2222S C αααααα-+=±=±21cos sin 1cos :tan21cos 1cos sin T αααααααα--=±==++ 半角公式二倍角公式2:sin 22sin cos S αααα=22222:cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan :tan 21tan T αααα=-积化和差公式()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=++- ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=+-- ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=++- ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=-+--三角函数的恒等变形三角函数 的恒等变形要求层次重难点两角和与差的正弦、余弦、正切公式C 掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．二倍角的正弦、余弦、正切公式 C 简单的恒等变形B（一）知识内容1.两角和与差的三角函数公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.倍角公式 sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=-3.半角公式1cos sin22αα-=±1cos cos 22αα+=± 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 4.万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-5.积化和差公式例题精讲高考要求1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--6.和差化积公式 sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=-【说明】这里的三倍角公式、万能公式、积化和差公式、和差化积公式都属于了解内容，不要求必须掌握.不建议大家去记这些公式，首先sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+这个公式比较容易记，而且如果大家不记其他公式不记其他公式的话，应该很容易了．下面给出其他公式通过这个公式的推导过程： 2.公式的推导：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-sin cos cos sin αβαβ=- cos()sin[()]sin[()()]22ππαβαβαβ+=-+=-+-sin()cos()cos()sin()cos cos sin sin()22ππαβαβαβαβ=--+--=+- cos cos sin sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()]22ππαβαβαβ-=--=-+ sin()cos cos()sin cos cos sin sin 22ππαβαβαβαβ=-+-=+ sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-两边同时除以cos cos αβ可得tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-tan tan()tan tan tan()tan[()]1tan tan()1tan tan a αβαβαββαβαβ+---=+-==--+然后把上面各式中的β代换为α，则可得到二倍角公式sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=-再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos 2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin2cossinsin 222tan21cos cos 2cos cos 222ααααααααα===+【说明】这里没有考虑cos sin 022αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．建议大家刚学的时候自己每次推导一下要用的公式，这样比较容易记忆，加深对公式的理解，让自己能够更熟练的使用公式．同时告诉大家数学没有需要记忆的东西，大家在学习数学时不要有任何记忆的想法，要去理解它，才能掌握它，把它变成自己的东西，每学一个东西就像知道一个常识一样的去对待．如果靠记忆来学习数学的话，你学的仍然是别人的东西，而且用起来必然不够熟练.（二）主要方法1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用(1)并项功能：2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± (2)升次功能2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(3)降次功能221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== (4)一个重要的构造22sin cos cos )ba b a b αααα+=++令sin β=，则cos β=cos cos sin )αβαβ+（sin β=）可知：sin cos a b αα+2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：⑴角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑵函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； ⑶常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值， 例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2sin 2464αααα=+=-====； ⑷幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法，常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如：221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；⑸公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； ⑹辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式 ()22 sin cos sin y a b a b αααϕ=+=++的应用，其中tan baϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．(三)典例分析：【例1】 运用两角和与差的三角函数公式推导倍角公式：sin 2,cos 2,tan 2ααα．【例2】 若04παβ<<<,sin cos a αα+=,sin cos b ββ+=,判断,a b 的大小关系及求ab 的范围.板块一：三角函数中角的变换【变式】 已知sin cos αα+=,则求tan cot αα+的值.【点评】解题时有时根据已知条件很难找到和要求问题的关系,这时候可以从要求的问题出发,进行推导,化简可能就会得到已知条件能够得到的简单形式.这是数学解题常用的一种方法.【变式】 若04παβ<<<,sin cos ,sin cos a b ααββ+=+=,求,a b 的大小关系及ab 的范围.【例3】 若三角形的两个内角,αβ满足cos cos sin sin αβαβ⋅>⋅,试判断此三角形的形状.【变式】 若三角形的两个内角,αβ满足tan tan 1αβ>,试判断这个三角形的形状.【变式】 在三角形ABC 中,如果22sin sin sin()A B A B +=+,且,A B 都是锐角,求A B +的值.【变式】 关于x 的方程22cos cos cos02Cx x A B --=有一根为1,判断ABC ∆的形状.【例4】 已知α为锐角，且π5cos 613α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos α的值.【变式】 已知π2π63α<<，πcos (0)3m m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭≠，求2πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【例5】 ⑴α、β均为锐角，且sin cosαβ==，则αβ+=＿＿＿＿．⑵已知2π1tan(),tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭＿＿＿＿．【例6】 已知π02α<<,4sin 5α=. ⑴求tan α的值；⑵求πcos2sin 2αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.【例7】 （2008山东卷）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是( )A ．BC ．45-D ．45【例8】 求tan 20tan 30tan 30tan 40tan 40tan 20︒⋅︒+︒⋅︒+︒⋅︒的值.【例9】 ()2cos 40sin101⎤︒+︒︒⎦的值．【例10】 已知π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3π22α≤≤，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．【解析】 已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<．⑴求tan 2α的值. ⑵求β.【例11】 已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，,(0,π)αβ∈，求2αβ-的值．【点评】此题的角的范围容易产生以下错解．∵tan[2()]tan[()()]αβαβαβ-=-+-22tan()41tan ()3αβαβ-==--，∴tan(2)tan[2()]αβαββ-=-+tan[2()]tan 1tan[2()]tan αββαββ-+=--⋅41()371411()37+-==-⨯-． ∵,(0,π)αβ∈，∴022πα<<，π0β-<-<，∴π22παβ-<-<，∴2αβ-的值为3π4-或π4或5π4．【变式】 已知π,0,4αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3sin sin(2)βαβ=+，24tan 1tan 22αα=-，求αβ+的值.【变式】 若,αβ为锐角,且满足43cos ,cos()55ααβ=+=,则求sin β的值.【变式】 已知sin sin sin 0αβγ++=,cos cos cos 0αβγ++=,则求cos()αβ-的值.【变式】 把x x x x 4cos 3cos 2cos cos +++化成积的形式.【例12】 已知53)4πcos(=-α，1312)45πsin(-=+β，且)4π0(，∈β，)43π4π(，∈α 求)sin(βα+．【变式】 已知π432π<<<αβ，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin ．.【变式】 求︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin 的值．【变式】 已知βα，为锐角，54cos =α，31)tan(-=-βα，求βcos 的值．【变式】 已知αtan 与βtan 是一元二次方程02532=-+x x 的2个根，且︒<<︒900α，︒<<︒18090β．（1）求βα+的值；（2）求)cot(βα-的值．【变式】 求+︒+︒40tan 220tan ︒-︒70tan 10tan 4的值．【例13】ππππtan 2tan tan 2tan tan()tan 6363θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________.【变式】 已知π4αβ+=，求(1tan )(1tan )αβ++的值；【变式】 求(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒的值．【变式】 已知2tan()t x y t--=，tan tan 1x y t ⋅=-，2tan ()4x y +=，求实数t 的值.【变式】 已知tan()tan()k αβαβ-=⋅+，求证：sin 21.sin 21k kαβ+=-(一) 知识内容本板块主要是对三角函数的求值与化简以及辅助角公式的应用，并讲解一类特殊问题，即同时含有sin cos αα+及sin cos αα这类题目的处理办法．1.三角函数求值问题一般有三种基本类型：(1)给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；(2)给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；(3)给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．2.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．3.三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.（二）主要方法1.寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2.正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3.一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．4.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．5.三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．板块二：三角函数的化简与求值化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．(三)典例分析【例14】 已知函数()sin cos f x a x b x =-（a ,b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在π3x =处取得最小值2-，则函数π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______________．【解析】 (1)化简6161π()cos π2cos π22(,)333k k f x x x x x k +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++∈∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R Z ， (2)求函数()f x 的值域和最小正周期．【解析】若cos 2sin αα+tan α=( )A ．12B ．2C ．12- D ．2-【例15】 函数2()sin cos f x x x x =在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A ．1 BC ．32D．1 【变式】 已知sin sin cos )x y y x +-，π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则______x y -=．【例16】 已知π02x -<<，1sin cos 5x x +=． ⑴求sin cos x x -的值； ⑵求223sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x -++的值.【变式】 已知1sin cos 5x x +=，π3π,62x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．求tan x 的值．【例17】 已知π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数sin cos 2sin cos 1y x x x x =+++的最大值和最小值，并求出此时x 的值．【变式】 已知02a ≤≤,求函数(sin )(cos )y x a x a =++的最值．【变式】 求函数()sin cos 3sin cos f x x x x x =-+⋅的值域．【例18】 设函数2πππ()sin 2cos 1468x x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ⑴求()f x 的最小正周期．w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m⑵若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当403x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时()y g x =的最大值．【变式】 设θ是锐角，求θ2sin )31(+=y θ2cos )31(-+的最大值及此时θ的值．【变式】 将1块圆心角为︒120，半径为20 cm 的扇形铁片截成1块矩形，如图1-13有2种裁法：让矩形1边在扇形的1条半径OA 上，或让矩形1边与弦AB 平行．请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．【变式】 化简ββαβα2sin )cos()cos(+-+．【变式】 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322．【变式】 求证tan(60)tan(60)tan tan(60)tan tan(60)3A A A A A A +︒-︒++︒+-︒=-【变式】 已知：a A A A =++5sin 3sin sin ，b A A A =++5cos 3cos cos ．求证：（1）当0≠b 时，ba A =3tan ；（2）222)2cos 21(b a A +=+．【变式】 已知222tan -=θ，π22π<<θ，求)2πsin(21sin 2cos 22+--θθθ的值．【例19】 求函数()()()43sin 43cos f x x x =--的值域。
最新人教版高中数学必修第一册第5章三角函数5.4.3 正切函数的性质与图象
=-tan x-
(-)
=- +
所以函数 y=tan x+是奇函数.
答案:A
,
？
3.比较大小:tan
tan.
解析:因为 tan>0,tan<0,
所以 tan >tan .
答案:>
？
4.函数 y=tan - ,x∈ - ,
求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0)的单调区
间的方法
(1)当 ω>0 时,由于 y=tan x 在每一个单调区间上都单调递增,
故可用“整体代换”的思想,令 kπ-<ωx+φ<kπ+,k∈Z,解得 x
的取值范围即可.
(2)当ω<0时,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为
∴tan -
<tan -
答案:(1)< (2)<
,即 tan
<tan -
.
？
反思感悟
运用正切函数的单调性比较大小的步骤
(1)运用正切函数的周期性或诱导公式将角转化到同一单调
区间内;
(2)运用正切函数的单调性比较大小关系.
？
【变式训练 3】 比较大小:tan 解析:tan -
,
(k∈Z).
？
4.做一做:函数 y=tan x(≤x≤ ,且 x≠)的值域是
高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.2正弦型函数的性质与图像学案含解析第三册
7．3.2 正弦型函数的性质与图像［课程目标］1。
了解正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．2．会用“五点法”及“图像变换法”作正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像．［填一填］1．正弦型函数（1）形如y＝A sin(ωx＋φ)（其中A，ω,φ都是常数,且A≠0，ω≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．（2）函数y＝A sin（ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R）的周期T＝错误!,频率f＝错误!，初相为φ，值域为[－｜A|，|A｜］，｜A|也称为振幅,|A|的大小反映了y＝A sin（ωx＋φ）的波动幅度的大小．2．正弦型函数的性质正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)( A〉0,ω〉0）有如下性质．(1）定义域:R。
(2)值域：［－A，A]．(3）周期:T＝错误!。
(4)单调区间：单调增区间由2kπ－错误!≤ωx＋φ≤2kπ＋错误!(k∈Z）求得，单调减区间由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z）求得．3．利用图像变换法作y＝A sin（ωx＋φ)＋b的图像［答一答] 1．怎样得到y＝A sin（ωx＋φ)的图像？提示:(1)“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像：画函数y＝A sin(ωx＋φ）的简图,主要是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．这五个点应该是使函数取得最大值、最小值及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是作变量代换．设X＝ωx＋φ，由X取0，错误!，π，错误!，2π来确定对应的x 值．(2）由函数y＝sin x图像变换到y＝A sin(ωx＋φ)的图像:步骤1:画出正弦曲线在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤2：沿x轴平行移动，得到y＝sin(x＋φ）在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤3：横坐标伸长或缩短，得到y＝sin（ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤4：纵坐标伸长或缩短,得到y＝A sin(ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤5：沿x轴伸展,得到y＝A sin（ωx＋φ），x∈R的简图．上述变换步骤概括如下：步骤1错误!步骤2错误!步骤3错误!步骤4―→步骤5其中相位变换中平移量为｜φ|单位,φ>0时向左移，φ<0时向右移;周期变换中的纵坐标不变,横坐标变为原来的错误!倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍．2．三角函数图像的平移变换和伸缩变换的规律是什么?提示：(1）平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减"规律；②沿y轴平移，按“上加下减"规律．（2）伸缩变换:①沿x轴伸缩：ω>1时,横坐标缩短到原来的错误!倍，0<ω〈1时,横坐标伸长到原来的1ω倍，纵坐标保持不变；②沿y轴伸缩：当A>1时，把纵坐标伸长到原来的A倍,当0〈A〈1时，纵坐标缩短到原来的A倍，横坐标保持不变．3．怎样由图像或部分图像求正弦函数y＝A sin（ωx＋φ）的解析式？提示：关键在于确定参数A，ω，φ。
2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.4二倍角的正弦余弦正切公式
(4)原式＝
2sin20°
2sin40°·cos40°·cos80° 2sin80°·cos80°
＝
4sin20°
＝ 8sin20°
sin160° 1 ＝8sin20°＝8.
(1)记住公式的推导过程及公式特征以便于应用． (2)与公式不符，但是适当变形后就可套用公式的，要先变形化简再求值．
[针对训练] 1．求下列各式的值．
( ) ( ) 12
5 120
－
－
因此，sin2α＝2sinαcosα＝2× 13 × 13 ＝169.
故选 D.
[答案] D
2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于( )
635
3
A. 2 B.2 C.4 D．1＋ 4
[解析] 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°
[针对训练] 3．化简：(1) 1＋sin20°＋ 1－sin20°；
1＋sin4α＋cos4α (2)1＋sin4α－cos4α. [解] (1)原式＝ sin210°＋cos210°＋2sin10°cos10°＋
sin210°＋cos210°－2sin10°cos10°
＝ sin10°＋cos10°2＋ sin10°－cos10°2 ＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°|
[答案] B
π
π
2．sin412－cos4 12等于( )
1
31 3
A．－2 B．－ 2 C.2 D. 2
( )( ) π
π
π
π
sin2 ＋cos2 sin2 －cos2
[解析] 原式＝ 12
12
12
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
最新人教版高中数学必修4第三章《三角函数的积化和差与和差化积》示范教案
示范教案整体设计教学分析本节主要包括利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导了公式sinα＋sinβ＝2sin α＋β2cosα－β2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度是一降再降．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道log a m＋log a n＝log a(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？推进新课新知探究提出问题(1)你能从两角和与差的正、余弦公式中发现些什么？(2)积化和差与和差化积公式的特点是什么？活动：考察公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.从公式结构上看，把cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成未知数解方程组，则容易得到如下结论：cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．从上面这四个公式，又可以得出sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ； sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ； cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ； cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ. 设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y 2，β＝x －y2.这样，上面得出的四个式子可以写成sinx ＋siny ＝2sinx ＋y 2cos x －y2； sinx －siny ＝2cos x ＋y 2sin x －y2；cosx ＋cosy ＝2cos x ＋y 2cos x －y2；cosx －cosy ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.利用这四个公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式．教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式． 如图1所示．作单位圆，并任作两个向量图1OP →＝(cosα，sinα)，OQ →＝(cosβ，sinβ)．取的中点M ，则M(cos α＋β2，sin α＋β2)．连接PQ ，OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点且ON ⊥PQ. ∠xOM 和∠MOQ 分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP →，ON →，OQ →之间的关系，并用两种形式表达点N 的坐标，以此导出和差化积公式cosα＋cosβ＝2cos α＋β2cos α－β2；sinα＋sinβ＝2sin α＋β2cos α－β2.讨论结果：略应用示例例 1已知sinx －cosx ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a －b)3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab(a －b)，∴a 3－b 3＝(a －b)3＋3ab(a －b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx 与sinx±cosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)3＋3sinxcosx(sinx －cosx)＝1116.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中．解：由sinx －cosx ＝12，得(sinx －cosx)2＝14，即1－2sinxcosx ＝14，∴sinxcosx ＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)(sin 2x ＋sinxcosx ＋cos 2x)＝12(1＋38)＝1116.例 2已知cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，求证：cos 4B cos 2A ＋sin 4Bsin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A 、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A 、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4Asin 2B ＝1，∴cos 4A·sin 2B ＋sin 4A·cos 2B ＝sin 2B·cos 2B.∴cos 4A(1－cos 2B)＋sin 4A·cos 2B ＝(1－cos 2B)cos 2B ，即cos 4A －cos 2B(cos 4A －sin 4A)＝cos 2B －cos 4B.∴cos 4A －2cos 2Acos 2B ＋cos 4B ＝0. ∴(cos 2A －cos 2B)2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B.∴sin 2A ＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4Bsin 2A＝cos 2B ＋sin 2B ＝1.证法二：令cos 2A cosB ＝cosα，sin 2AsinB ＝sinα，则cos 2A ＝cosBcosα，sin 2A ＝sinBsinα.两式相加得1＝c osBcosα＋sinBsinα，即cos(B －α)＝1.∴B －α＝2kπ(k ∈Z )，即B ＝2kπ＋α(k ∈Z )．∴cosα＝cosB ，sinα＝sinB. ∴cos 2A ＝cosBcosα＝cos 2B ，sin 2A ＝sinBsinα＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4Bsin 2B ＝cos 2B ＋sin 2B ＝1.例3 证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x 2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得tan(π4＋x2)＝sin (π4＋x 2)cos (π4＋x 2)＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sinx2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得(cos x 2＋sin x2)2(cos x 2＋sin x 2)(cos x 2－sin x 2)＝1＋sinxcosx .证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得1＋sinxcosx ＝(cos x 2＋sin x 2)2(cos x 2＋sin x 2)(cos x 2－sin x 2)＝cos x 2＋sinx 2cos x 2－sinx2. 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2).课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本本节习题3—3A 组1～4，B 组1～4.设计感想 1．本节主要学习了怎样推导积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．备课资料 一、一道给值求角类问题错解点击． 解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sinα＝55，sinβ＝1010，α、β均为锐角，求α＋β的值． 错解：∵α为锐角， ∴cosα＝1－sin 2α＝255.又β为锐角， ∴cosβ＝1－sin 2β＝31010. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝22. ∵α，β均为锐角， ∴0°<α＋β<180°. ∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝55<12，sinβ＝1010<12，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝22(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝22，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．二、如何进行三角恒等变式的证明． 三角恒等式证明的基本方法：(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简． (2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦． (4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)． (5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“左边右边＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系； (3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．二、备用习题1．已知tanx ＝－3，则sin2x ＝________，cos2x ＝________.2．已知tanα＝2，则cos2α等于( ) A ．－13 B ．±13C ．－35D ．±353．下列各式化成和差的形式分别是： (1)sin(π3＋2x)cos(π3－2x)；(2)cos α＋β2sin α－β2.4．设α、β≠k π＋π2(k ∈Z )，且cos2α＋sin 2β＝0.求证：tan 2α＝2tan 2β＋1.5．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，试求cos A －C2的值．6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°. 参考答案： 1．－35 －45 2.C3．(1)34＋12sin4x ；(2)12(sin α－sin β). 4．证明：∵cos2α＋sin 2β＝0, ∴1－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2βsin 2β＋cos 2β＝0， 即1－tan 2α1＋tan 2α＋tan 2β1＋tan 2β＝0. 化简得tan 2α＝2tan 2β＋1.5．由题设条件，知B ＝60°，A ＋C ＝120°，设A －C2＝α，则A ＝60°＋α，C ＝60°－α.代入1cosA ＋1cosC ＝－2cosB，可得1cos (60°＋α)＋1cos (60°－α)＝－22，即2cosα－3sinα＋2cosα＋3sinα＝－2，可化为4cos 2α＋2cosα－3＝0， 解得cosα＝22或－324(舍去)． ∴cos A －C 2＝22.6．原式＝tan54°tan6°tan66°tan42°tan78°tan54°＝tan(60°－6°)tan6°tan(60°＋6°)tan42°tan78°tan54°＝tan18°tan42°tan78°tan54°＝tan(60°－18°)tan18°tan(60°＋18°)tan54°＝tan54°tan54°＝1.。
高中数学必修四三角恒等变换题型归纳及训练题
三角恒等变换一、知识概括：1．两角和与差的三角函数公式2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2.二、方法归纳总结：1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．三、典例剖析：题型一、【公式顺用、逆用、变用】例1、sin 75= ； cos15= ； 2、sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.123．设sin 2sin ,(,)2παααπ=-∈，则tan 2α的值是________．4、若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625专题二：【凑角应用】例3、已知0<β<π4<α<34π，135)43sin(,53)4cos(=+=-βπαπ，求)sin(βα+的值．注：常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－()4πα-变式1、若0＜α＜π2，π2＜β＜3π2，14cos(),cos(),43425ππβα+=-=则cos()2βα+=________.变式2、已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.题型三、【三角恒等变换的综合运用】1.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.2.已知函数()sin(),4f x A x x R π=+∈，且53()122f π=. ①求A 的值； ②若f (θ)＋f (－θ)＝32，(0,)2πθ∈，求3()4f πθ-3.已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．三角恒等变形课后训练题1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）A. 0B. 12C.D. 12-2. =+-)12sin 12(cos )12sin12(cosππππ（ ）A. 23-B. 21-C. 21D.23 3.设1tan 2,1tan xx +=-则sin 2x 的值是 ( )A. 35B. 34-C. 34D. 1-4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 （ ）A. 47-B. 47C. 18D. 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是 （ ）A. 3365B.1665C. 5665D. 63656.)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是 （ ）A. 725-B. 2425-C. 2425D. 7257.cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A. 2521≤≤aB. 21≤aC. 25>aD. 2125-≤≤-a 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）A.1010 B. 1010- C. 10103 D. 10103-9. 函数sin22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ） A. x =113π B. x =53π C. 53x π=- D. 3x π=-10.在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=，则C 等于 ( )A.3π B. 23π C. 6π D. 4π11.若βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈则βα+等于 ． 12. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ． 13. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为 ．14. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 ．（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：15.在ABC ∆中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．16.已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．17. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．19.已知函数)0)(6sin(2)(>-=ωπωx x f 的最小正周期为π6（1）求)0(f （2）设56)23(,1310)23(0,2,2,0=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβπαf f ，求)cos(βα+的值.20.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
高中数学必修四第三章三角恒等变换
必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。
例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。
例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。
1.3 三角函数的诱导公式-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
知识点一诱导公式一设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式一sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.知识点二诱导公式二思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.απ+与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平11.熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点。
2.使用诱导公式的目的在于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
【考查内容】诱导公式的应用，三角函数的基本关系式。
【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.α-与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平 13.απ-与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平14.απ±2与α的正弦、余弦、正切值的关系数学抽象水平1 水平1第三讲三角函数的诱导公式知识通关答案 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，P 2与P 也关于x 轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二知识点三 诱导公式三思考 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P 3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P (cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案 角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式三梳理 公式一～三都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这三组公式的共同特点是：2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．知识点四 诱导公式四完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系．(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得 诱导公式四知识点五 诱导公式五思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案 以－α代替公式四中的α得到 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin(－α)． 由此可得 诱导公式五知识点六 诱导公式的推广与规律1．sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α.2．诱导公式记忆规律：公式一～三归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式四～五归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”． 五组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．题型一 利用诱导公式求值 命题角度1 给角求值问题变式训练1-1 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(3)tan(－945°)．解析： (1) sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2) cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.命题角度2 给值求值或给值求角问题 例1-2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3答案 D－α)题型三 利用诱导公式求值例3、 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2， 求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 解析： ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.变式训练3已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值． 解析： ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 题型四 利用诱导公式证明三角恒等式 规律方法 例4、求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明： ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 变式训练4求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).证明： 右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立．题型五 诱导公式的综合应用 规律方法例5 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值． 解析： (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.变式训练5已知f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. 解析：(1)f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35， 又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45， 则tan α＝sin αcos α＝－43.一、选择题1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A ．π－4 B ．4 C ．－4 D ．4－π 解析： tan(π－α)＝－tan α＝－4. 答案 C2．cos(π＋x )等于( ) A ．cos x B ．－cos x C ．sin xD ．－sin x解析： 由诱导公式得cos(π＋x )＝－cos x . 答案 B3．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.35解析： 因为sin(π＋α)＝35，且sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝－35，又因为α是第四象限角，所以cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. 答案 B4．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2解析： ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2，则tan 80°＝1－k 2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.A 组 基础演练答案 B5．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对解析： ∵sin(π－α)＝sin α＝32log 2－2＝－23，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 答案 B6．若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α等于( ) A ．－53B ．－23C.53D ．±53解析： ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α＝－53. 答案 A7．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)等于( )A ．2B ．－2C ．0 D.23解析： sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案 B8．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析： sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝cos α，故cos α＝15，故选C. 答案 C9．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±k D ．不确定解析： cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k 答案 B.10．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析： ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 项正确． 答案 D二、填空题11．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为______． 解析： tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝－3a＝3，即a ＝－ 3.答案 －3 12.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析： 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2.答案 2－213．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析： ∵a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22，∴b ＞a ＞c . 答案 b ＞a ＞c14．化简sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝ .解析： 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1.答案 －1三、解答题16.化简下列各式：(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)；(2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).解析： (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin 30°－tan 45°＝12.17．已知角α的终边经过单位圆上的点P ⎝⎛⎭⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求cos (2π－α)sin (π＋α)·tan (π＋α)cos (3π－α)的值．解析： (1)∵点P 在单位圆上，∴由正弦的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦的定义得cos α＝45，故原式＝54.一、选择题1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析： sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32.答案 C2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2解析： 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.答案 D3．已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α解析： 当n ＝2k ，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α.故选C.答案 C4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13解析： cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13.答案 C5．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( )A ．1B ．sin 2αC ．－cos 2αD ．－1解析： 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α，tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α，所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，故选C.答案 C6．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析： f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.答案 A7．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m2解析： ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.答案 C解析：∵f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＋4＝3，∴a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝－1，∴f (2018)＝a sin(2017π＋α＋π)＋b cos(2017π＋β＋π)＋4＝－a sin(2017π＋α)－b cos(2017π＋β)＋4＝1＋4＝5.答案 C10．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( )A ．89B ．90 C.892D ．45解析：原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 答案 C二、填空题11．化简cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________. 解析： cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α ＝cos αtan αsin α＝cos αsin αcos αsin α＝1. 答案 112．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数，若f (2 017)＝－1，则f (2 018)＝________. 解析： ∵f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin(π＋2 017π＋α)＋b cos(π＋2 017π＋β)＝－a sin(2 017π＋α)－b cos(2 017π＋β)＝－f (2 017)，又f (2 017)＝－1，∴f (2 018)＝1.答案 113．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析： 因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案 －214．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是 ．①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角；②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13； ③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α. 解析： 由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13， 当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos [(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误． 若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确． 答案 ③三、解答题15. 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解析： (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.16．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值．解析： ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38，∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.17．已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．解析： f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60° ＝－233.高中数学，同步讲义必修四第一章三角函数第三讲三角函数的诱导公式。
高中数学：第三章 三角恒等变换 第2节 简单的三角恒等变换 Word版含答案
3.2 简单的三角恒等变换[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 139～P 142的内容，回答下列问题． (1)α与α2是什么关系？提示：倍角关系．(2)如何用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2和tan 2 α2？提示：sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2，tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式(2)三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．[问题思考](1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan α2吗？提示：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(2)如何用tan α2表示sin α，cos α及tan α？提示：sin α＝2sin α2·cosα2＝2sinα2·cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2. cos α＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2.tan α＝sin αcos α＝2tanα21－tan2α2.[课前反思](1)半角公式的有理形式：；(2)半角公式的无理形式：.知识点1求值问题讲一讲1．已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[尝试解答] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－55，tan α2＝sin α2cos α2＝－2.类题·通法解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 练一练1．已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， 即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.知识点2三角函数式的化简讲一讲2．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[尝试解答] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2 α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.类题·通法化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．练一练 2．化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛⎭⎫3π2<θ<2π； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2， ∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0.∴原式＝－⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2－⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. (2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，∴原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x ·tan x 2＝tan x . [尝试解答] 法一：左边＝2sin x cos x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋sin x cos x ·1－cos x sin x ＝sin x ⎝⎛⎭⎫1＋1－cos x cos x ＝sin x cos x ＝tan x ＝右边．法二：左边＝sin 2x2cos x ·tan x －tan x2tan ⎝⎛⎭⎫x －x 2＝sin 2x 2cos x ·sin x cos x －sin x2cos x 2tan x 2＝sin 2x 2cos x ·sin x cos x 2－sin x 2cos x cos x cos x 2·tan x 2＝2sin x cos x2cos x ·sinx 2cos x cos x 2·tanx2＝sin xcos x＝tan x ＝右边． 类题·通法三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．练一练3．求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明：左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2 x 2＝2sin x cos x 4sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x ＝右边．∴原等式成立．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用． 2．要掌握三角恒等变换的三个应用 (1)求值问题，见讲1； (2)化简问题，见讲2； (3)三角恒等式的证明，见讲3. 3．对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2 α2＝1－cos α2，cos 2 α2＝1＋cos α2求解．课下能力提升(二十五)[学业水平达标练]题组1 求值问题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝( )A. 1＋a2B. 1－a2C ．－1＋a2D ．－ 1－a2解析：选D ∵θ4∈⎝⎛⎭⎫5π4，6π4， ∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－ 1－a2.2．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( ) A ．－433 B ．8 C ．4 3 D ．－4 3解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－sin 2 x 2－cos 2x 212sin x＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1tan x )．又tan π12＝sin π61＋cosπ6＝13＋2，∴原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫13＋2＋3＋2＝8.3．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.题组2 三角函数式的化简4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1解析：选C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝3(1－sin 21)＝3cos 21＝3cos 1.5．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos2π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.题组3 三角恒等式的证明6．求证：cos 4θ＝14＋12cos 2θ＋14cos 22θ.证明：法一：原式左边＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 2θ22＝14＋12cos 2θ＋14cos 22θ＝右边，∴原式成立． 法二：原式右边＝14(cos 22θ＋2cos 2θ＋1)＝14(cos 2θ＋1)2＝14(2cos 2θ－1＋1)2＝cos 4θ＝左边， ∴原式成立．7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )．证明：左边＝2⎝⎛⎭⎫1－cos 2x 22＋34sin 22x ＋5⎝⎛⎭⎫1＋cos 2x 22－12(cos 4x ＋cos 2x )＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x 4＋34sin 22x ＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12(2cos 22x －1＋cos 2x )＝2×14＋54＋12＋2×－2cos 2x 4＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ＋2×cos 22x 4＋5×cos 22x 4－12×2cos 22x ＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34cos 22x ＋34sin 22x＝94＋cos 2x ＋34＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1)＝2(1＋cos 2x )＝右边． ∴原式成立．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2x ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝12＋12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12－sin 2x 2， 所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2 C 2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B ＝12⎝⎛⎭⎫－2sin 2 C 2， 即cos A cos B ＝sin 2 C 2＝sin 2π－(A ＋B )2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B )＝1.∴A ＝B .4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin π6＋α＝23.所以cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－α2＝1＋232＝56. ★答案★：565．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是________． 解析：法一：设x ＝cos α·sin β，则sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝12＋x ，sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝12－x . 因为－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，所以⎩⎨⎧ －1≤12＋x ≤1，－1≤12－x ≤1，所以⎩⎨⎧ －32≤x ≤12，－12≤x ≤32，所以－12≤x ≤12. 法二：设x ＝cos α·sin β，sin α·cos β·cos α·sin β＝12x ，即sin 2α·sin 2β＝2x .由|sin 2α·sin 2β|≤1，得|2x |≤1，所以－12≤x ≤12. ★答案★：⎣⎡⎦⎤－12，12 6．已知tan α2＝12，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值． 解：∵tan α2＝12，∴sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋14＝45， cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－141＋14＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6＝45×32＋35×12＝3＋4310. 7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ . 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋13(k ∈Z )． 又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。
高中数学新人教A版必修4课件：第3章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换6
思路点拨：三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公 式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数(或 余弦函数)的性质得出结论．
[解] (1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin 2x＋14 ＝12cos x－ 23sin x12cos x＋ 23sin x－12sin 2x＋14
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条 件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
2．求证：
（sin
x＋cos
2sin xcos x x－1）（sin
x－cos
x＋1）＝1＋sincoxs
x .
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x
1．已知 180°＜α＜360°，则 cosα2的值等于( )
A．－
1－cos α 2
B．
1－cos α 2
C．－
1＋cos α 2
D．
1＋cos α 2
C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，
∴cos α2＜0，故应选 C.]
2．2sin θ＋2cos θ＝( )
A．sinθ＋π4 C．2 2sinθ＋π4
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
学习目标
核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式， 体会三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技 巧，掌握三角恒等变换的基本思想方 法．(重点) 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三 角函数式的化简、求值以及证明，进 而进行简单的应用．(难点、易混点)
1.2 任意角的三角函数-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.三角函数的定义数学抽象水平1 水平11.以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义。
2.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件及公式的变形。
3.理解并记忆求值、化简及证明的模型，领会解题常用的方法技巧。
【考查内容】根据三角函数的定义求值，三角函数平方关系的应用。
【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.终边相同的角的同一三角函数值的关系数学运算水平1 水平23.单位圆数学直观水平1 水平24.同角三角函数的两个基本关系式数学运算水平1 水平2第二讲任意角的三角函数知识通关①y 叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一知识点四 三角函数的定义域思考 正切函数y ＝tan x 为什么规定x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z?答案 当x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，角x 的终边在y 轴上，此时任取终边上一点P (0，y P )，因为y P0无意义，因而x 的正切值不存在．所以对正切函数y ＝tan x ，必须要求x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .梳理 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .知识点五 三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴，过点A (1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T ，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP ，OM ，AT 的关系吗？答案 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . 思考2 三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM 垂直于x 轴，有向线知识点六 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x . ∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案 ∵tan α＝y x (x ≠0)，∴tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式＝sin αtan α.此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值规律方法例1-2已知角α的终边在直线y＝3x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．解析：因为角α的终边在直线y＝3x上，所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝a2＋(3a)2＝2|a|(a≠0)．若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sin α＝3a2a＝32，cos α＝a2a＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sin α＝3a－2a＝－32，cos α＝－a2a＝－12，tan α＝3aa＝ 3.答案32，12，3或－32，－12， 3变式训练1-2在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．解析：当角α的终边在射线y＝－34x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sin α＝yr＝－35＝－35，cos α＝xr＝45，tan α＝yx＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y＝－34x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，所以sin α＝yr＝35，cos α＝xr＝－45，tan α＝yx＝3－4＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×⎝⎛⎭⎫－45－34＝35＋125－34＝94.综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.题型二 三角函数值符号的判断 规律方法例2、 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 解析： (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.变式训练2 sin1cos3tan5的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在解析： π3π013π52π22<<<<<<，， ∴sin10cos30tan50><<，，．答案 B题型三 诱导公式一的应用 规律方法(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；变式训练3tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析： tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案32题型四 三角函数线 规律方法sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ，cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 变式训练4、 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．解析： 已知角α的正弦值，可知P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .题型五 利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值则tan α的值为( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 解析： ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.答案 D(2) 已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则tan α的值为( ) A ．－43 B ．－34 C.34 D.43解析： ∵sin α＋cos α＝15，等号两边同时平方得1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225，∴sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，又∵－π2<α<0，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－34.答案 B变式训练5-1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解析： 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 规律方法：例5-2已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.变式训练5-2 已知cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝1213>0且cos α≠1，∴α是第一或第四象限角． (1)当α是第一象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.(2)当α是第四象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－513，tan α＝－512.题型六 齐次式求值问题 规律方法：例6 已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.解析： (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.变式训练6 已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解析： 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611，解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ－4tan θ＋31＋tan2θ＝－15.例8-1 ∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2α>的角α的范围．∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2≤α的角α的范围．解析：∴如图所示，π5π2π2π66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ∴如图所示，5π132ππ2π66k k k αα⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤，．（1）（2）变式训练8-1 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．解析： 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 规律方法例8-2 求函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫sin x －22＋1－2cos x 的定义域．解析： 由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.12(1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．一、选择题1．已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为()A.55 B.255C．－55D．－255答案 D2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于()A.12B．－12C．－32D．－33解析：由题意得P(1，－3)，它与原点的距离r＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 答案 C3.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线为PM，正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案 C4．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x－π3的定义域为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠π3，x∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋π6，k∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋5π6，k∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ－5π6，k∈Z解析：∵x－π3≠kπ＋π2，k∈Z，∴x≠kπ＋5π6，k∈Z.答案 CA组基础演练5．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析： 角α的取值范围为图中阴影部分， 即⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π.答案 D7．已知tan θ＝2，则1sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45答案 B 8.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°解析： 1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.答案 B9．若α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α等于（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-解析：因为5tan 12α=-，所以sin 5cos 12αα=-，即12cos sin 5αα=-，因为22sin cos 1αα+=， 所以22144sin sin 125αα+=，即225sin 169α=，因为α是第四象限角，所以5sin 13α=-。
2025年高考数学一轮复习课件第四章三角函数与解三角形-4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式
)
D.2
√
C.−2
=
8+4tan
tan2 +1
=
8+12
9+1
= 2.故选D.
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考点二 诱导公式的应用
例3（1） 若sin +
解：因为 ∈
cos +
π
6
sin +
2π
3
π
6
=−
π
( ,π)，所以
2
5
，且
13
π
+
6
∈
= − 1 − sin 2 +
【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角统一后再用同角三角函数关系
式求解.②正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率，即诱导公式可推广
归结为要求角
π
⋅
2
± 的三角函数值，只需直接求 的三角函数值，其转化过程及
所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限.③对于 ∈ ，sin π + = −1 sin ,
又sin + cos =
1
,所以cos
5
=
3
− ,D错误.
5
故选ABC.
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【点拨】知一求二问题，注意判断角的范围，熟记一些常见勾股数，可以提高解
题速度.有些题型可利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有
sin ± cos
2
= 1 ± 2sin cos , sin + cos
正切).
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【教材梳理】
1.同角三角函数的基本关系
sin2 + cos2
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四、三角（命题人：广州市第87中学 赖青松）1．（北师大版第59页A 组第2题）正弦定理与余弦定理在∆ABC 中，若 ()()3a b c c b a bc +++-=，则()A =．A ． 150B ．120C ． 60D ． 30变式1：在∆ABC 中，若 a =4c =，60A = ，则b =__________．答案：1或3变式2：在∆ABC 中，若 b =，30A = ，105C =，则此三角形的周长为__________．答案：22变式3：已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a =4，b =5，S =53，求c 的长度． 解：∵S ＝21ab sin C ，∴sin C ＝23，于是∠C ＝60°或∠C ＝120°又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，当∠C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－ab ，c ＝21当∠C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2＋ab ，c ＝61∴c 的长度为21或612．（北师大版第63页A 组第6题）三角形中的几何计算在∆ABC 中，3A B A C ==，2B C =，B ∠的平分线交过点A 且与B C 平行的线于点D ．求∆ABD 的面积．变式1：已知A B C △1+，且sin sin A B C +=．（I ）求边A B 的长； （II ）若A B C △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由A B C △的面积11sin sin 26B C A C C C =，得13B C A C =，由余弦定理，得222cos 2AC BC ABC AC BC+-=22()2122AC BC AC BC ABAC BC+--==，所以60C = ． 变式2：△ABC 中，,3,3A B C π==则△ABC 的周长为（ ）． A．)33B π++ B．)36B π++C ．6sin()33B π++ D ．6sin()36B π++解：在ABC ∆中，由正弦定理得：,233sin =BAC 化简得：AC=,sin 32Bsin[()]32A BB ππ=-+，化简得：AB=)32sin(32B -π，所以三角形△ABC 的周长为：3+AC+AB=3+B sin 32+)32sin(32B -π=3+3cos 6sin()36B B B π+=++故选D变式3：在45,cos 5ABC B AC C ∆∠=︒==中，，求（1）?B C =（2）若点D A B 是的中点，求中线CD 的长度。
解：（1）由cos 5C =得：sin 5C =sin sin(18045)sin )210A C C C =--=+=，由正弦定理知:sin sin 102AC BC A B=⋅==（2）sin 2sin 52AC AB C B=⋅==，112BD AB ==由余弦定理知：C D ===3．（北师大版第69页练习2第2题）解三角形的实际应用某观察站B 在城A 的南偏西20 的方向，由A 出发的一条公路走向是南偏东40 ，在B处测得公路上距B31km 的C 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20km 之后到达D 处，此时B ，D 间的距离为21km 。
这个人要走多少路才能到达A 城？ 变式1：如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船 立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ， 相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少 度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？ 解析：连接BC,由余弦定理得： BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700. 即BC=107∵sin 20ACB∠=∴sin∠ACB=73，∵∠ACB<90°，∴41ACB ∠≈．∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援．变式2：如图，测量河对岸的塔高A B 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高A B ．北2010 A B••C解：在B C D △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得：sin sin B C C D B D CC B D=∠∠．所以sin sin sin sin()C D BDC s BC CBDβαβ∠==∠+.．在A B C R t △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+.．变式3：如图，甲船以每小时当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图，连结12A B，由已知22A B =122060A A ==1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1A2A1A2A1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，得：22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯200=．12B B ∴=6020=/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1120A B =，122060A A ==112105B A A =∠，cos105cos(4560)=+cos 45cos 60sin 45sin 60=-4=，sin 105sin(4560)=+sin 45cos 60cos 45sin 60=+4=．在211A A B △中，由余弦定理，22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-1A2A22202204-=+-⨯⨯100(4=+．2110(1A B∴=+．由正弦定理，得：1112111221sin sin42A BA AB B A AA B+===∠∠，12145A A B∴=∠，即121604515B A B=-=∠，cos15sin1054+==．在112B A B△中，由已知12A B=，由余弦定理，得：22212212221222cos15B B A B A B A B A B=+-22210(1210(14+=++-⨯+⨯200=．12B B∴=乙船的速度的大小为6020=/小时．答：乙船每小时航行海里．4．（北师大版第60页A组第4题）三角函数图像变换将函数12cos()32y xπ=+的图像作怎样的变换可以得到函数cosy x=的图像？变式1：将函数cosy x=的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y xπ=-的图像？解：（1）先将函数cosy x=图象上各点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），即可得到函数2cosy x=的图象；（2）再将函数2c o sy x=上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数2cos 2y x =的图象；（3）再将函数2cos 2y x =的图象向右平移π8个单位，得到函数2cos(2)4y x π=-的图象．变式2：将函数12cos()26y x π=-的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 解：（1）先将函数12cos()26y x π=-图象上各点的纵坐标缩小为原来的12（横坐标不变），即可得到函数1cos()26y x π=-的图象；（2）再将函数1cos()26y x π=-上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数cos()6y x π=-的图象；（3）再将函数cos()6y x π=-的图象向右平移π6个单位，得到函数cos y x =的图象．变式3：将函数1sin(2)33y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数sin y x =的图像？解：1sin(2)33y x π=+）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x yxy sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另解：（1）先将函数1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得到函数1sin 23y x =的图象；（2）再将函数1sin 23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数1sin 3y x =的图象；（3）再将函数1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数sin y x =的图象．5．（北师大版第60页B 组第1题）三角函数图像函数sin()(0,0,02)y A x A ωϕωϕπ=+>><<一个周期的图像如图所示，试确定A ，,ωϕ的值．变式1：已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ ） Ａ．6T =，π6ϕ=Ｂ．6T =，π3ϕ=Ｃ．6πT =，π6ϕ=Ｄ．6πT =，π3ϕ=答案选A变式2：函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ） 答案选A变式3：如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-求θ和ω的值． 解：将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得： c o s 2θ=因为02θπ≤≤，所以6θπ=．又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=，因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．6．（北师大版第60页A 组第6题）三角函数性质求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合． (1) 34sin(2)23y x ππ=+； (2) 6sin(2.52)2y x =-++变式1：已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）（A ）23（B ）32（C ）2 （D ）3答案选B变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是（ ）A ．［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ）B ．［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ）C ．［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D ．［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）答案选A ．因为函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间．变式3：关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题：①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使f （x ）是奇函数； ④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。