数值计算方法第四章

58 第四章 函数插值

插值是对函数进行近似的基本方法，本章介绍了代数插值时常用的Lagrange 插值法、Newton 插值法、Hermite 插值法和三次样条插值法，并相应的介绍了差商，差分和插值余项等概念．

§4.1 引 言

在科学与工程计算中，常会遇到如下问题：已知)(x f y =在区间[,]a b 上的一系列点{}n

i i x 0=处的函数值{}n

i i y 0=，需要利用这些数据来求某点)(i x x x ≠处的函数值

的近似值．若能利用这组数据建立一个近似)(x f 的函数)(x φ，)(x f 的值就可以用

)(x φ近似求出．

已知函数)(x f 在区间],[b a 上1+n 个互异节点{}n

i i x 0=处的函数值{}n

i i y 0=．若函

数集合Φ中函数()x φ满足条件

()() (0,1,2,,)i i x f x i n φ==

(4.1)

则称)(x φ为)(x f 在Φ中关于节点{}n

i i x 0=的一个插值函数，并称)(x f 为被插值函数，],[b a 为插值区间，{}n

i i x 0=为插值节点．式(4.1)被称为插值条件．

函数集合Φ可以有不同的选择，最常用的是形式简单的多项式函数集合．将多项式作为插值函数进行插值的方法称为代数插值．针对区间],[b a 上1+n 个互异节点，代数插值就是要确定一个不超过n 次的多项式

n n x a x a a x +++= 10)(φ (4.2)

使其满足插值条件(4.1)，即选取参数{}0n

i i a =，满足线性方程组

000

1111111n

n n n n n

n a y x x a y x x a y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ (4.3)

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记方程组(4.3)的系数矩阵为A ．由于插值节点互异，故

0)()det(1)

(0≠∏-=

->=n j i j j i x x A ．

线性方程组(4.3)存在惟一的一组解T ),,,(10n a a a ．若0≠n a ，)(x φ是一个n 次多项式，否则)(x φ的次数低于n ．于是有下面的结论．

定理4.1 满足插值条件(4.1)的不超过n 次的多项式存在并且惟一．

)(x φ与)(x f 在插值节点{}n i i x 0=处函数值相同，但它们在其它x 处的函数值并

不一定相同．将

()()()n R x f x x φ=- (4.4)

称为用插值多项式)(x φ近似)(x f 的插值余项．

定理4.2 )(x φ是对)(x f 关于节点{}n

i i x 0=的n 次插值多项式，若)()1(x f n +在区间],[b a 内存在，则对[,]x a b ∀∈，有插值余项

(1)1()

()()()()(1)!

n n n f R x f x x x n ξφω++=-=+ (4.5)

其中),()(b a x ∈=ξξ，101()()()

()n n x x x x x x x ω+=---．

证明 由于)(x φ与)(x f 在插值节点上函数值相同，故 ()()()0 (0,1,n i i i R x f x x i n

φ=-=

= 因此插值余项可设为

)

()()(1x x k x R n n +=ω

(4.6)

将x 视为区间],[b a 上异于{}n

i i x 0=的任一固定点，作辅助函数

)()()()()(1t x k t t f t g n +--=ωϕ

易于验证01,,

,n x x x 和x 为)(t g 在区间],[b a 上的2+n 个零点．

由Rolle 中值定理知，函数)(t g '在区间),(b a 上至少有1+n 个互异零点，这1+n 个零点形成n 个子区间，在这些子区间上对)(t g '再次使用Rolle 定理，可知函数

)(t g ''在),(b a 上至少有n 个互异零点．依次类推，函数)()1(t g n +在),(b a 上至少有1

个零点，即存在ξ，使得

0)()!1()()()1()1(=+-=++x k n f g n n ξξ

从而得到

)!

1()

()()1(+=

+n f x k n ξ

60 将上式代入式(4.6)就得到插值余项(4.5)，定理得证．

虽然通过1+n 个点{}n

i i i y x 0),(=的不超过n 次的多项式惟一，但可以选用不同的基来表示这个多项式．在本章，将选取两组不同的基函数表示该插值多项式，即Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式．

§4.2 Lagrange 插值

在构造n 次插值多项式时，式(4.2)简单地选取了n x x x ,,,12作为n 次多项式空间的一组基函数．为确定待定系数n a a a ,,,10 ，需要求解线性方程组(4.3)．能否选择另外一组基函数来避免求解线性方程组？下面从线性插值来着手分析．

线性插值就是构造一条直线使其通过两点),(00y x 和),(11y x ．此直线的两点式方程为

)(00

10

10x x x x y y y y ---=

-

将其等价变形为

10

100101

y x x x x y x x x x y --+--=

(4.7)

式(4.7)满足插值条件，并且右端是关于x 的一次多项式，故式(4.7)就是所求的插值多项式．将其记为)(1x L ，并引入记号

,)(101

0x x x x x l --=

101)(x x x x x l --=

式(4.7)就可以写成

11001)()()(y x l y x l x L += (4.8) 容易验证)()(10x l x l 和线性无关，它们被称为线性插值的Lagrange 插值基函数．

观察两个基函数，发现它们具有如下性质

⎩⎨⎧==0

)(1)(1000x l x l 1011()0()1l x l x =⎧⎨

=⎩ 对于三点),(00y x 、),(11y x 及),(22y x 的插值可以类似地写出一个二次多项式