2020-2021学年高2018级高三第三次阶段质量检测12月月考数学(理科)答案

2020－2021学年高2018级高三第三次阶段质量检测

数学试卷（理科）参考答案

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分． BCAAC DDDBB AC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.

2π 14. 1

2n n a -= 15.e .

三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 17．(本小题满分12分)

解：（1）ABC 中，7a =，8b =，1

cos 7

B =-.

所以：sin B ==，……2分

利用正弦定理得：

sin sin a b A B =，解得：sin 2A =，……4分 由于1cos 7B =-，所以：2

B π

π<<，

利用三角形内角和，所以：3

A π

∠=；……6分

（2）利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，解得：3c =.……9分

所以：1

sin 2

ABC S ac B ==△……12分

18．(本小题满分12分)

∴22

200(100206020) 2.083 2.0721208016040

K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，……5分

即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．……6分 （2）由（1）的列联表可知，

经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为

1001

2002

=， 即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为1

2

，……8分

∵1

~(3,)2

X B ，0,1,2,3X =

∴3

11(0)(1)2

8P X ==-=

，1

23113(1)()()228

P X C ==⋅⋅= 3(2)8P X ==，1

(3)8

P X ==，……10分

X X

0 1 2 3

P

18 38 38 18

∴X 的数学期望()322

E X =⨯

=．……12分 19．(本小题满分12分) 证明：（Ⅰ）存在PA 的中点G 满足条件。

连接GE ，GD ，则GE 是三角形PAB 的中位线， 所以AB GE //，又由已知DC AB //

所以DC GE //，所以G,E,C,D 四点共面……5分

（Ⅱ）取AB 的中点G ，连结CG ，以点C 为坐标原点，分别以CG 、CD 、CP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，……6分

则()0,0,0C ，()002P ,

,，()1,1,0A ，()1,1,0B -，11,,122E ⎛⎫- ⎪⎝

⎭， ∴()1,1,0CA =，)2,0,0(=CP ，1

1,,12

2CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

.……8分 设()111,,m x y z =为平面PAC 的法向量，

则110m CA x y ⋅=+=，120m CP z ⋅==，得10z =，取

11x =，11y =-，

得.)0,1,1(-=m ……9分

设()222,,n x y z =平面ACE 的法向量， 则220n CA x y ⋅=+=，22211

022

n CE x y z ⋅=

-+=，取21x =，21y =-，21z =-，得()1,1,1n =--.……10分

∴1111016

cos ,3

23

m n ⨯+-⨯-+⨯-<>=

=

⋅. 又因为所求二面角为锐角，所以二面角P AC E --的余弦值为6

……12分 20.（本小题满分12分）

解：(1)把点Q (1,2)的坐标代入y 2=2px ,解得2p=4,

所以抛物线方程为y 2=4x , 准线l 的方程为1x =-. ……1分

设AB 的中点为点C ，直线AB 的倾斜角为α。过C 作l CE ⊥,则AB CE 2

1

= 而AB 2

121=+=+=AB AB BC MB MC ……3分

1

cos 2

CE MC α∴

==3πα=∴

∴直线AB

5分

(2)由条件可设直线AB 的方程为(1)y k x =-，0k ≠， 由抛物线准线:1l x =-，可知(1,2)M k --.

又Q (1,2),所以322111

k

k k +=

=++……6分 由()214y k x y x

⎧=-⎨=⎩消去y 整理得22222(2)0k x k x k -++=, 显然2242

=4(2)416(1)0k k k ∆+-=+>， 设1122(,),(,)A x y B x y ,

则212122

24

=,=1k x x x x k ++，……7分

又Q (1,2),则12

1112

22,11y y k k x x --==--．……8分 因为A ,F ,B 三点共线,

所以AF BF k k k ==，

即

12

1211

y y k x x ==--,……9分 所以12121212

121212222(22)()24

2(1)11()

y y kx x k x x k k k k x x x x x x ---+++++=+==+---+……11分 即存在常数λ=2,使得k 1+k 2=2k 3成立.……12分

21．(本小题满分12分)

解：（1）因为()sin f x x ax =-，所以()cos f x x a '=-，……1分 易知()f x '在(0,)x π∈单调递减；

(0,)x π∈，1cos 1∴-<<

i ）当1a ≥时，()cos 0f x x a '=-<，所以()sin f x x ax =-在(0,)π单调递减， 故()(0)0f x f <=，符合题意；……2分

ii ）当11a -<<时，0(0,)x π∈使()00cos =0f x x a '=-，

则()f x 在0(0,)x 单调递增，在0(,)x π单调递减；

故当0(0,)x x ∈时，()(0)0f x f >=，不符合题意；……3分

iii ）当1a ≤-时，()cos 0f x x a '=->，所以()sin f x x ax =-在(0,)π单调递增， 故()(0)0f x f >=，不符合题意；……4分 综上所述，1a ≥……5分

（2）()ln e sin 1x

h x x x x =-++，

①当(]0,1x ∈时，ln 0x x ≤，

令()e sin 1x

t x x =--，()e cos x

t x x '=-，此时e 1x >，cos 1x <，

所以()0t x '>，()t x 在(]0,1单调递增，()0

e sin010t x >--=，

所以ln e sin 1x x x x <--恒成立，