过圆锥曲线上一点的切线方程的另一种初等求法
圆锥曲线过准线上一点的切线两个性质的推广
对应的类焦点为
F（′
p t
，0）.
设点 P（ -
p t
，y0 ），（ y0
∈
图6
R），过点 P 的切线方程为 y
=
kx + m，则有 y0
=
-
kp t
{ + m，故 m
=
y0
+ ktp. 联立方程
y = kx + m ，消去 y
y2 = 2px
得 k2 x2 + 2（ km - p）x + m2 = 0，则由题意可知 Δ =
·26·
中学数学研究
2014 年第 7 期
圆锥曲线过准线上一点的切线两个性质的推广
江西省都昌县第一中学 （332600） 刘南山 江西省都昌县东湖中学 （332600） 袁 平
文［1］介绍了圆锥曲线过准线上一点的切线的
两个性质，拜读以后，深受启发，笔者经过探究发现，
文［1］的结论可以推广，现将推广结论和证明陈述
=
p（ y1
x
-
x1 ），即为
y1 y = （p x + x1 ），同理切线 PB
的方程为 y2 y = （p x + x2 ），将
点 P 的坐标代入 PA、PB 的方程
得 y1 y0
= （p -
p t
+ x1 ），y2 y0
=
（p -
p t
+ x2 ），所以直线 AB 的
图2
方程为 y0 y
= （p -
=
b2 n
上.
（2）当曲线 Γ 为双曲线时，证明类似，略.
（3）当 曲 线 Γ 为 抛 物 线
时，如图 4，不妨设抛物线的标
彭赛列闭合定理及其应用
彭赛列闭合定理及其应用王正勇(如皋市搬经中学ꎬ江苏如皋２２６５６１)摘㊀要:文章先给出彭赛列(Ｐｏｎｃｅｌｅｔ)闭合定理的特殊情形及初等证明ꎬ然后给出定理的一般情形以及在高考中的应用.关键词:彭赛列闭合定理ꎻ圆锥曲线ꎻ切线ꎻ初等证明中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００５９－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:王正勇(１９８１.６－)ꎬ男ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀彭赛列(Ｐｏｎｃｅｌｅｔ)闭合定理曾几度出现在高考题中ꎬ令很多考生不知所措.笔者现将彭赛列闭合定理进行简单梳理ꎬ并用初等方法由特殊到一般㊁由具体到抽象地给予介绍ꎬ最后给出彭赛列闭合定理在高考中的应用.１彭塞列闭合定理的特殊情形定理１㊀(抛物线与圆)已知抛物线Ｅ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)和圆Ｍ:(ｘ－ｍ)２＋ｙ２＝ｒ２(ｍ>０ꎬｒ>０)ꎬ过抛物线Ｅ上任一点Ａ作圆Ｍ的两条切线ꎬ分别与Ｅ交于ＢꎬＣ两点ꎬ若满足ｒ２＝２ｐ(ｍ－ｒ)ꎬ则直线ＢＣ与圆Ｍ相切.证明㊀设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬＣｘ３ꎬｙ３()ꎬ当ｘ１ʂｘ２时ꎬ由于ｋＡＢ＝ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１＝２ｐｙ２＋ｙ１ꎬ所以直线ＡＢ的方程为ｙ－ｙ１＝２ｐｙ２＋ｙ１ｘ－ｘ１().整理ꎬ得２ｐｘ－ｙ１＋ｙ２()ｙ＋ｙ１ｙ２＝０ꎬ经检验ꎬ当ｘ１＝ｘ２时也满足.综上ꎬ直线ＡＢ的方程为２ｐｘ－ｙ１＋ｙ２()ｙ＋ｙ１ｙ２＝０.同理可得ꎬ直线ＡＣ的方程为２ｐｘ－ｙ１＋ｙ３()ｙ＋ｙ１ｙ３＝０ꎬ直线ＢＣ的方程为２ｐｘ－ｙ２＋ｙ３()ｙ＋ｙ２ｙ３＝０.由ＡＢ与圆Ｍ相切ꎬ得２ｐｍ＋ｙ１ｙ２４ｐ２＋ｙ１＋ｙ２()２＝ｒ.即ｙ２１－ｒ２()ｙ２２＋(４ｐｍ－２ｒ２)ｙ１ｙ２＋４ｐ２ｍ２－４ｐ２ｒ２－ｒ２ｙ２１＝０.同理可得ꎬｙ２１－ｒ２()ｙ２３＋(４ｐｍ－２ｒ２)ｙ１ｙ３＋４ｐ２ｍ２－４ｐ２ｒ２－ｒ２ｙ２１＝０.所以ｙ２ꎬｙ３是方程ｙ２１－ｒ２()ｙ２＋(４ｐｍ－２ｒ２)ｙ１ｙ＋４ｐ２ｍ２－４ｐ２ｒ２－ｒ２ｙ２１＝０的两根ꎬ故ｙ２＋ｙ３＝(２ｒ２－４ｐｍ)ｙ１ｙ２１－ｒ２ꎬｙ２ｙ３＝４ｐ２ｍ２－４ｐ２ｒ２－ｒ２ｙ２１ｙ２１－ｒ２.由ｒ２＝２ｐ(ｍ－ｒ)ꎬ得２ｒ２－４ｐｍ＝－４ｐｒ.所以４ｐ２＋(ｙ２＋ｙ３)２＝４ｐ２(ｙ２１－ｒ２)２＋１６ｐ２ｒ２ｙ２１(ｙ２１－ｒ２)２＝４ｐ２ｙ４１＋８ｐ２ｒ２ｙ２１＋４ｐ２ｒ４ｙ２１－ｒ２＝２ｐ(ｙ２１＋ｒ２)ｙ２１－ｒ２.由ｒ２＝２ｐ(ｍ－ｒ)ꎬ得９５４ｐ２ｍ２－２ｐｍｒ２－４ｐ２ｒ２＝２ｐｍ(２ｐｍ－ｒ２)－４ｐ２ｒ２＝２ｐｍ ２ｐｒ－４ｐ２ｒ２＝２ｐｒ(２ｐｍ－２ｐｒ)＝２ｐｒ３.故２ｐｍ＋ｙ２ｙ３＝２ｐｍ(ｙ２１－ｒ２)＋４ｐ２ｍ２－４ｐ２ｒ２－ｒ２ｙ２１ｙ２１－ｒ２＝２ｐｒｙ２１＋２ｐｒ３ｙ２１－ｒ２＝２ｐｒｙ２１＋ｒ２ｙ２１－ｒ２.所以２ｐｍ＋ｙ２ｙ３４ｐ２＋(ｙ２＋ｙ３)２＝ｒ.即直线ＢＣ与圆Ｍ相切.定理２㊀(椭圆与圆)设点Ａ为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上任一点ꎬ过点Ａ作圆Ｍ:ｘ２＋ｙ２＝ｒ２(ｒ>０)的两条切线ꎬ分别与椭圆Ｅ交于ＢꎬＣ两点ꎬ则直线ＢＣ与圆Ｍ相切的充要条件是ｒ＝ａｂａ＋ｂ.证明㊀设Ａ(ａｃｏｓθ１ꎬｂｓｉｎθ１)ꎬＢ(ａｃｏｓθ２ꎬｂｓｉｎθ２)ꎬＣ(ａｃｏｓθ３ꎬｂｓｉｎθ３)ꎬ则直线ＡＢ的方程为ｂｘｃｏｓθ１＋θ２２＋ａｙｓｉｎθ１＋θ２２－ａｂｃｏｓθ１－θ２２＝０.因为ＡＢ与圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２相切ꎬ所以ａｂｃｏｓθ１－θ２２æèçöø÷２＝ｂｒｃｏｓθ１＋θ２２æèçöø÷２＋ａｒｓｉｎθ１＋θ２２æèçöø÷２.整理ꎬ得ａ２ｂ２＋(ａ２－ｂ２)ｒ２[]ｃｏｓθ１ａ(ａｃｏｓθ２)＋(ｂｓｉｎθ２)ａ２ｂ２－(ａ２－ｂ２)ｒ２[]ｓｉｎθ１ｂ＋ａ２ｂ２－(ａ２＋ｂ２)ｒ２[]＝０.同理ꎬ由ＡＣ与圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２相切ꎬ有ａ２ｂ２＋(ａ２－ｂ２)ｒ２[]ｃｏｓθ１ａ(ａｃｏｓθ３)＋(ｂｓｉｎθ３)ａ２ｂ２－(ａ２－ｂ２)ｒ２[]ｓｉｎθ１ｂ＋[ａ２ｂ２－(ａ２＋ｂ２)ｒ２]＝０.所以点ＢꎬＣ在直线ａ２ｂ２＋(ａ２－ｂ２)ｒ２[]ｘ１ａ２ｘ＋ａ２ｂ２－(ａ２－ｂ２)ｒ２[]ｙ１ｂ２ｙ＋ａ２ｂ２－(ａ２＋ｂ２)ｒ２[]＝０上ꎬ即直线ＢＣ的方程为ｂ２[ａ２ｂ２＋(ａ２－ｂ２)ｒ２]ｘ１ｘ＋ａ２[ａ２ｂ２－(ａ２－ｂ２)ｒ２]ｙ１ｙ＋ａ２ｂ２[ａ２ｂ２－(ａ２＋ｂ２)ｒ２]＝０.直线ＢＣ与圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２相切的充要条件是｜ａ２ｂ２[ａ２ｂ２－(ａ２＋ｂ２)ｒ２]｜{ｂ２ｘ１[ａ２ｂ２＋(ａ２－ｂ２)ｒ２]}２＋{ａ２ｙ１[ａ２ｂ２－(ａ２－ｂ２)ｒ２]}２＝ｒ.①又ｂ２ｘ２１＋ａ２ｙ２１＝ａ２ｂ２ꎬ所以①式恒成立的充要条件是ｂａ２ｂ２＋(ａ２－ｂ２)ｒ２[]＝ａａ２ｂ２－(ａ２－ｂ２)ｒ２[].因为ａ>ｂ>０ꎬ解得ｒ２＝ａ２ｂ２(ａ＋ｂ)２ꎬ即ｒ＝ａｂａ＋ｂ.定理３㊀(圆与圆)设Ａ为圆Ｅ:ｘ２＋ｙ２＝Ｒ２(Ｒ>０)上任一点ꎬ过点Ａ作圆Ｍ:ｘ２＋ｙ２＝ｒ２(ｒ>０)的两条切线ꎬ分别与圆Ｅ交于ＢꎬＣ两点ꎬ则直线ＢＣ与圆Ｍ相切的充要条件是Ｒ＝２ｒ.这是定理２中ａ＝ｂ的情形ꎬ类似可证.２彭赛列闭合定理的一般情形定理４㊀平面上给定两条圆锥曲线ꎬ若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线ꎬ则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样(切㊁内接)性质的封闭多边形的顶点ꎬ且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.注㊀最简明的彭赛列闭合定理表示为:一个三角形外接于一个圆ꎬ内切于一个圆ꎬ则外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述的同一个.两条圆锥曲线都是圆的情形如下.定理５㊀设Ｃ１和Ｃ２是两个圆.过Ｃ１上一点Ｐ０作Ｃ２的切线ꎬ交Ｃ１于另一点Ｐ１ꎻ再过Ｐ１作Ｃ２的另一条切线ꎬ交Ｃ１于另一点Ｐ２ꎻ如此反复ꎬ得到Ｃ１上的一系列点Ｐｉꎬｉ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬ .如果有自然数ｎȡ３ꎬ使得Ｐｎ＝Ｐ０ꎬ证明:对于Ｃ１上任一点Ｑ０ꎬ按上述方式得到Ｑ１ꎬＱ２ꎬ ꎬＱｎꎬ也有Ｑｎ＝Ｑ０.定理中ꎬｎ＝３时的情形如图１ꎬｎ＝４时的情形如图２.０６图１㊀ｎ＝３时的彭赛列定理㊀图２㊀ｎ＝４时的彭赛列定理３在高考中的应用通过上文的证明过程可知ꎬ以彭赛列闭合定理为背景的试题ꎬ属于 双切线问题 ꎬ解题的关键步骤是:表示出两条切线的方程ꎬ利用 同构法 求第三条直线的方程ꎬ利用点到直线的距离进行验证.应用１㊀抛物线Ｃ的顶点为坐标原点Ｏꎬ焦点在ｘ轴上ꎬ直线ｌ:ｘ＝１交Ｃ于ＰꎬＱ两点ꎬ且ＯＰʅＯＱꎬ点Ｍ(２ꎬ０)ꎬ且☉Ｍ与ｌ相切.(１)求Ｃꎬ☉Ｍ的方程ꎻ(２)设Ａ１ꎬＡ２ꎬＡ３是Ｃ上的三个点ꎬ直线Ａ１Ａ２ꎬＡ１Ａ３均与☉Ｍ相切ꎬ判断直线Ａ２Ａ３与☉Ｍ的位置关系ꎬ并说明理由.解析㊀(１)设抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)ꎬ由题意可知Ｐ(１ꎬ１)ꎬ从而２ｐ＝１ꎬ得Ｃ:ｙ２＝ｘ和☉Ｍ:ｘ－２()２＋ｙ２＝１.(２)设Ａ１ｘ１ꎬｙ１()ꎬＡ２ｘ２ꎬｙ２()ꎬＡ３ｘ３ꎬｙ３()ꎬ则ｋＡ１Ａ２＝ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１＝１ｙ２＋ｙ１.所以直线Ａ１Ａ２的方程为ｙ－ｙ１＝１ｙ２＋ｙ１(ｘ－ｘ１).整理ꎬ得ｘ－ｙ１＋ｙ２()ｙ＋ｙ１ｙ２＝０.同理可得直线Ａ２Ａ３的方程为ｘ－ｙ２＋ｙ３()ｙ＋ｙ２ｙ３＝０.由Ａ１Ａ２与☉Ｍ相切ꎬ得２＋ｙ１ｙ２１＋ｙ１＋ｙ２()２＝１.即ｙ２１－１()ｙ２２＋２ｙ２ｙ１＋３－ｙ２１＝０.同理ꎬ由Ａ１Ａ３与☉Ｍ相切可得ｙ２１－１()ｙ２３＋２ｙ３ｙ１＋３－ｙ２１＝０.所以ｙ２ꎬｙ３是方程ｙ２１－１()ｙ２＋２ｙ１ｙ＋３－ｙ２１＝０的两根.由韦达定理有ｙ２＋ｙ３＝－２ｙ１ｙ２１－１ꎬｙ２ｙ３＝３－ｙ２１ｙ２１－１.点Ｍ(２ꎬ０)到直线Ａ２Ａ３的距离为２＋ｙ２ｙ３１＋ｙ２＋ｙ３()２＝２＋(３－ｘ１)/(ｘ１－１)１＋４ｘ１/(ｘ１－１)２＝ｘ１＋１(ｘ１＋１)２＝１.所以直线Ａ２Ａ３与☉Ｍ相切.应用２㊀已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ上三点Ａ(２ꎬ２)ꎬＢꎬＣꎬ直线ＡＢꎬＡＣ是圆(ｘ－２)２＋ｙ２＝１的两条切线ꎬ则直线ＢＣ的方程为.解析㊀易得抛物线方程为ｙ２＝２ｘ.设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＣ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬ其中ｘ１＝ｙ１＝２.直线ＢＣ的方程为ｙ－ｙ２＝２ｙ２＋ｙ３(ｘ－ｘ２)ꎬ整理ꎬ得２ｘ－(ｙ２＋ｙ３)ｙ＋ｙ２ｙ３＝０ꎬ同理可得直线ＡＢ的方程为２ｘ－(２＋ｙ２)ｙ＋２ｙ２＝０.由圆心(２ꎬ０)到直线ＡＢ的距离等于１ꎬ得４＋２ｙ２４＋(２＋ｙ２)２＝１ꎬ化简得ｙ２２＋４ｙ２＋８３＝０ꎬ同理可得ｙ２３＋４ｙ３＋８３＝０.从而ｙ２ꎬｙ３是方程ｙ２＋４ｙ＋８３＝０的两根.即ｙ２＋ｙ３＝－４ꎬｙ２ｙ３＝８３.故直线ＢＣ的方程为３ｘ＋６ｙ＋４＝０.彭赛列闭合定理涉及圆锥曲线的两条切线ꎬ故其本质上是处理圆锥曲线的双切线问题.此类题型的运算量较大ꎬ考查了数学运算和逻辑推理等核心素养.破解此类题型的关键是灵活运用同构思想和韦达定理[１].参考文献:[１]谢贤祖ꎬ李鸿昌.以彭赛列闭合为背景的试题探源及应用[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０２１(２１):３２－３４.[责任编辑:李㊀璟]１６。
圆锥曲线专题：定点问题中常见4种考法-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)
圆锥曲线专题：定点问题中常见的4种考法一、常用方法技巧 1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。
2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围； 第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =； 第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定. 三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程； 第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。
四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b +=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=； 五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论） 2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b+=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B CC ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一 手电筒模型恒过定点问题【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，且椭圆C 过点()2,1P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点,A B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为12,k k ，若1212k k =-，试问直线AB 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）22+=182x y ；（2）过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，所以28a =，因为椭圆C 过点()2,1P ，所以22411a b +=，24118b+=，得22b =， 所以椭圆方程为22+=182x y ，（2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1122,(,),(,)y kx t A x y B x y =+，由22=++4=8y kx t x y ⎧⎨⎩，得222(41)8480k x ktx t +++-=， 222222644(41)(48)820k t k t k t ∆=-+-=-+>，所以12221228+=4+148=4+1kt x x k t x x k --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 所以121222()241ty y k x x t k +=++=+， 22221212121228()()()41t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+，因为1212k k =-，所以12121212121211()11222()42y y y y y y x x x x x x ---++⋅==----++，所以1212121222()22()4y y y y x x x x -++=-++-，所以2222222824882222441414141t k t t ktk k k k ---⋅-⋅+=-+⋅-++++， 所以222222164824816164t k t k t kt k --++=-+---， 化简得22438210k t kt t ++--=，即(21)(231)0k t k t +-++=， 所以12t k =-或123kt +=-， 当12t k =-时，直线AB 的方程为12(2)1y kx k k x =+-=-+， 则直线过定点(2,1)（舍去）， 当123k t +=-时，直线AB 的方程为1221333k y kx k x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当直线AB 的斜率不存在时，设直线为=x m （2m ≠），由22=+4=8x m x y ⎧⎨⎩，得22218m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以=y所以21222111241(2)442m k k m m m ⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===---+， 解得=2m （舍去），或23m =， 所以直线也过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =. （1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212y x -=；（2）证明见解析，直线PQ 恒过定点（-2，0）【解析】（1）因为AF AB ⊥，所以2AF =，4BF =，||AB =设双曲线C 的焦距为2c，由双曲线的对称性知||2AB c ==设双曲线C 的右焦点为F '，则22BF AF BF BF a '-=-==，得1a =，则b ==C 的方程为2212y x -=.（2）由已知得()1,0M ，设直线MP 与MQ 的斜率分别为1k ，2k ，①当直线PQ 不垂直于x 轴时：设直线PQ 的斜率为k ，PQ 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22,1,2y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222220k x kmx m -+++=，当()22820m k ∆=-+>时，12222km x x k -+=-，212222m x x k +=-，那么()()()()()()()()2121212111212121212211111kx kx k y y m m x x km x x k k x x x m x x x x x ===----+++++-++ ()()()()()222222222222222222312222k m k mm k m k m k m k k m kmk mk m k k -++----====-++++-+-+， 得2m k =，符合题意.所以直线PQ 的方程为()2y k x =+，恒过定点（-2，0）. ②当直线PQ 垂直于x 轴时：设(),P t h ，因为P 是C 上的点，所以2222h t =-， 则()()()221222212221311t h t k k tt t +--====----，解得2t =-， 故直线PQ 过点（-2，0）. 综上，直线PQ 恒过定点（-2，0）.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A ，B 两点，||8AB =. （1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M ，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【答案】（1）24y x = （2）过定点，9,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）由已知,02PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-联立直线与抛物线222y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消y 可得，22304p x px -+=， 所以3A B x x p +=，因为||A B AB x x p =++4p =8=，所以24p =，即抛物线的方程为24y x =.（2）将()0,1P x -代入24y x =可得1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设直线MN 的方程为(0),x my t m =+≠()11,,M x y ()22,N x y ，联立24y x x my t⎧=⎨=+⎩，消x 得2440y my t --=，则有124,y y m +=124,y y t =-21616m t ∆=+， 由题意1212111144PM PN y y k k x x ++⋅=⨯--124411y y =⨯--()1212161y y y y =-++2=-， 化简可得，94t m =-，代入21616m t ∆=+29164m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21163202m ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭此时直线MN 的方程为9(1)4x m y =-+，所以直线MN 过定点9,14⎛⎫⎪⎝⎭.【变式1-3】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，12,F F 为C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S 最大值为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设不过点F 2的直线l ：y ＝kx +m （m ≠0）交椭圆C 于A ，B 两点．若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，定点坐标为()2,0【解析】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为()10，，则1c =， 当点M 为椭圆的短轴端点时，12MF F △面积最大，此时121212MF F Sc b =⋅⋅=，则1b =，所以a =故椭圆的方程为2212x y +=.（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()222124220k x kmx m +++-=，()()()22222216412228210k m k m k m ∆=-+-=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，1122121122,1111y kx m y kx mk k x x x x ++====----，由题意可得120k k +=，1212011kx m kx m x x +++=--，即()()1212220kx x m k x x m +-+-=， ()2222242201212m km k m k m k k -⎛⎫⋅+-⋅--= ⎪++⎝⎭，解得2m k =-， 所以直线l 的方程为()2y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为()2,0题型二 切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】（1）221124x y +=；（2）是过定点，定点为121,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意得2221222,c a b c a b ⎧=⎪⎪⨯⋅=⎨⎪=-⎪⎩解得22212,4,8,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=．（2）当椭圆C 的切线斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y，1x ≠±2x ≠±(),420P d d -+， 切线PM 的方程为y kx m =+．联立22,1,124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2221363120k x kmx m +++-=．因为直线PM 与椭圆C 相切，故()()2222364133120k m k m ∆=-+-=，即22124m k =+，1223312134km km kx m k m --===-+，2221112124k m k y kx m m m m m-=+=-+==， 所以14m y =，113x k y =-，则切线PM 的方程为11143x y x y y =-+，即11312x x y y +=， 同理，切线PN 的方程为22312x x y y +=．当椭圆C的切线斜率不存在时，切点()或()-，当切点为()时，切线为x =3012y +⨯⨯=；当切点为()-时，切线为x =-3012y -+⨯⨯=． 又切点()11,M x y ，()22,N x y ，则切线PM 方程为11312x x y y +=， 切线PN 方程为22312x x y y +=．因为直线PM 与直线PN 相交于点P ，故()()1122342012,342012,x d y d x d y d ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩由两点确定一条直线有直线MN 的方程为()342012xd y d +-+=， 整理得()1260120d x y y -+-=，联立120,60120,x y y -=⎧⎨-=⎩解得12,51,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故直线MN 过定点121,55⎛⎫⎪⎝⎭．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y += （2） 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】（1） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A∴可得2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1a b ==∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设切线方程为1y kx =+r =即()2221210r k k r --+-=设两切线,AB AD 的斜率分别为()1212,k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，根据韦达定理可得:121k k ⋅=由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消掉y 得:()221480k x kx ++=设()()1122,,,B x y D x y∴ 211112211814,1414k k x y k k -=-=++同理可得222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k --=-=-==++++221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==--+++∴∴直线BD 方程为2211122111141814314k k k y x k k k ⎛⎫-+-=-+ ⎪++⎝⎭ 令0x =，得()2221111222111114185205143143314k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++，∴ 故直线BD 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由. 【答案】（1）1y =-；（2）直线MN 恒过定点(1,2)Q .【解析】（1）椭圆22134x y +=的焦点坐标为(0,1)和(0,1)-，又因为C 的焦点在y 轴正半轴上，所以C 的焦点坐标为(0,1)， 从而准线方程为1y =-；（2）由（1）知C 的方程为24x y =，即为24x y =，则2x y '=，设00(,)P x y ，切点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 从而切线PM 方程为1111()2y y x x x -=-，即1112y x x y =-， 同理切线PN 方程为2212y x x y =-分别代入00(,)P x y 有010*******12y x x y y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 从而11(,)x y 和22(,)x y 均满足直线方程0012y xx y =-， 所以直线MN 的方程为0012y xx y =-，即0012y x x y =-， 又因为00(,)P x y 在直线240x y --=上，所以00122y x =-，所以直线MN 的方程为01(1)22y x x =-+， 从而直线MN 恒过定点(1,2)Q .【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析【解析】（1）设曲线C 上任意一点P 的坐标为(,)x y ，由题意知3y >-(3)1y =+-，即222(2)(2)x y y +-=+，化简得28x y =，所以曲线C 的方程为28x y = （2）证明：设222121,,,88x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB l 的方程为y kx n =+，联立方程28y kx n x y=+⎧⎨=⎩，整理得2880x kx n --=，所以264320k n ∆=+>，且12128,8x x k x x n +==-，又由28x y =，即28x y =，可得4x y '=，所以抛物线C 在点A 处的切线1l 的方程为()211148x x y x x =-+，即21148x x y x =-，同理直线2l 的方程为22248x x y x =-，联立方程2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得128x x y =， 又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，所以1228x x =-，即1216x x =-， 所以12816x x n =-=-，解得2n =.故直线l 的方程为2y kx =+，所以直线l 恒过定点()0,2题型三 相交弦中恒过定点问题【例3】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点P ⎝⎭在E 上. （1）求E 的方程；（2）过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）设122F F c =，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以b c =，因为点P ⎝⎭在E 上，所以2223144a b +=，又222a b c =+， 解得222,1a b ==，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由（1）知2(1,0)F ，由题意知直线AB 和直线CD 的斜率都存在且不为0，设直线AB 方程为：1(0)x my m =+≠，与E 的方程联立221,21,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理，得()222210m y my ++-=，且()224420m m ∆=++>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12222m y y m +=-+，所以()12122422x x m y y m +=++=+， 所以点M 的坐标为222,22mm m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为AB CD ⊥，则直线CD 的方程为11x y m=-+， 同理得2222,2121m m N m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，当22222212m m m ≠++，即1m ≠±时，直线MN 的斜率()22222232122221212MNm mm m m k m m m m +++==--++， 所以直线MN 的方程为()222322221m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭，所以()()()()2222222213232222212132m m m m y x x m m m m m m ⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=--=-- ⎪+++--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为()()()()()()222222221621222223323232m m m m m m m -+-++===++++， 所以直线MN 的方程即为()232321m y x m ⎛⎫=-⎪-⎝⎭，显然直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 当22222212m m m =++，即1m =±时，则2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时直线MN 的方程为23x =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的距离P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析，直线MN 过定点()3,0【解析】（1）设(),P x y， 化简得曲线C 的方程为2213x y -=.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，①若直线1l ，2l 都存且不为零，设直线1l 的方程为()2y k x =-，则直线2l 的方程为()12y x k=--，由()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，得()222231121230k x k x k --++=， 当2310k -=时，这个方程变为470x -+=只有一解， 直线1l 与曲线C 只有一个交点，不合题意，当2310k -≠时，()()()42221444311231210k k k k ∆=--+=+>，直线1l 与曲线C 恒有两个交点，由韦达定理， 21221231k x x k +=-，故线段AB 的中点为222623131k k M k k ，⎛⎫⎪--⎝⎭，同理，线段PQ 的中点为226233k N k k ，-⎛⎫⎪--⎝⎭， 若1k ≠±，则()2222222223136631313MNk kk k k k k k k k +--==----， 直线MN 的方程为()2222263331k k y x k k k ⎛⎫+=- ⎪---⎝⎭，即()()22331k y x k =--， 此时，直线MN 恒过点()3,0．若1k =±，则()3,1M ，()3,1N -或()3,1M -，()31N ,，直线MN 的方程为3x =， 此时直线MN 也过点()3,0，②若直线1l ，2l 中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在， 不妨设1l 的斜率为0，则直线1l ：0y =，2l ：2x =x ＝2， 此时，直线MN 的方程为0y =，此时，直线MN 也过点()3,0， 综上，直线MN 恒过点()3,0．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC的内切圆的半径为4． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）()40，. 【解析】（1）ABC的内切圆的半径为4，2,,,AB a AO a OC b CB AC ====由等面积法得 11112222AC r CB r AB r AB OC ∴⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯，22111222222a b r ar ab +⨯⨯+⨯=⨯， 32223c a b c a ==+，解得2a b =， 22111222222a b r ar ab +⨯⨯+⨯=⨯得1,2b a ==.综上所述椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（2）设()()1122(1,),,,,M t P x y Q x y ，则直线AM 的方程为()23t y x =+与2214x y +=联立， 解得22281812,4949t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭ 同理可得222824,4141t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.则直线PQ 的斜率为22222221242494181882434941t tt t t t t t t t -++=--+-+-++， 所以直线PQ 的方程为：2222122818494349t t t y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭，即22(4)43ty x t =--+ 故直线PQ 恒过定点，定点坐标为()40，.【变式3-3】双曲线221169x y -=，过点P （5，0）的直线AB 和CD 相互垂直（斜率存在），M 、N分别是线段AB 和线段CD 的中点．求证：直线MN 过定点．【答案】证明见解析【解析】设AB 直线为(5)y k x =-，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，可得0121()2x x x =+且0121()2y y y =+，由22111169x y -=，22221169x y -=，两式相减得到12121212916y y y y x x x x +-⋅=+-，即00916y k x ⋅=， 又由0011916(5)y k x y k x ⎧⋅=⎪⎨⎪=-⎩，解得211228045,169169k x k y k k ==--，即2228045,169169k k M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 当0k ≠时，将上式M 点坐标中的k 换成1k -，同理可得228045,169169k N k k -⎛⎫⎪--⎝⎭． ①当直线MN 不垂直于x 轴时，直线MN 的斜率()222222454571691698080161169169MNk kk k k k k k k k +--==----， 其方程()22245780169169161k k y x k k k -⎛⎫-=- ⎪---⎝⎭，化简得278016(1)7k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 此时直线MN 过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．②当直线MN 垂直于x 轴时，2228080169169k k k =--，此时1k =±，直线MN 也过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线MN 过定点80,07⎛⎫⎪⎝⎭．题型四 动圆恒过定点问题【例4】如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，其左､右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且121sin 3PF F ∠=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，()0,1.【解析】（1）法一：2121211sin ,23PF PF F PF PF a PF ∠==+=，123,22aPF a PF ∴==,222212112,2,PF F F PF F F c +==a ∴=，221a c =+,1,c a ∴=∴椭圆方程为：22 1.2x y +=. 法二：设()0,P c y ，代入椭圆方程，由221a c =+，解得201PF y a==， 21211sin ,3PF PF F PF ∠==1123,2,PF PF PF a a∴=+=a ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=.（2）设动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22416210,39k k x x +--=设()()1122,,,A x y B x y ， 则()()121222416,321921k x x x x k k +==-++，()222166464Δ12160.999k k k =++=+> 由对称性可设存在定点()0,M m 满足题设， 则()()1122,,,MA x y m MB x y m =-=-，由0MA MB ⋅=，可得()()12120x x y m y m +--=， 所以()()221212111033kx x k m x x m ⎛⎫⎛⎫+-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()()2222161411033921321k k k m m k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+--+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()()222613250m k m m -++-=，由题意知上式对k ∀∈R 成立，210m ∴-=且23250m m +-=，解得1m =.∴存在定点M ，使得以AB 为直径的适恒过这个点，且点M 的坐标为()0,1.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）因为椭圆Cc a =. 又当T 位于上顶点或者下顶点时，12TF F △面积最大，即1bc =. 又222a b c =+，所以1b c ==，a =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题知，直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线l 代入椭圆C 的方程得：()2242430k x kx ++-=，由韦达定理得：122442k x x k -+=+，122342x x k -=+， 直线AM 的方程为1111y y x x -=+，直线AN 的方程为2211y y x x -=+，所以11,01x P y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，22,01x Q y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以以PQ 为直径的圆为21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()221212121201111xxx xx y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()121212222212121212412611114211284222x x x x x x y y k x x k x x k k k kx kx -====----++-+++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令①中的0x =，可得26y =，所以，以PQ为直径的圆过定点(0,.【变式4-2】已知定点()1,0A -，()2,0F ，定直线l ：12x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N ． （1）求E 的方程；（2）试判断以线段MN 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（0y ≠）．；（2）以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．【解析】（1）设(),P x y122x =-，化简可得2213y x -=（0y ≠）．（2）解法1：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上，设(),0D t ．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290m y my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ， 则1221231my y m +=--，122931y y m =-． 因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， 同理()2231,221y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， 于是()1131,221y DM t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()2231,221y DN t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭． 由0DM DN ⋅=可得()()212129102411y y t x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭，即()212212129102439y y t m y y m y y ⎛⎫-+= ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎣⎦， 即2222228113102936493131m t m m m m ⎛⎫--+= ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪--⎝⎭，即219024t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得2t =或1t =-，所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．解法2：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上． 若BC 垂直于x 轴，则()2,3B ，直线AB 方程为1y x =+，所以点M 坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，此时以MN 为直径的圆的方程为21330222x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该圆与x 轴交于点()12,0D 和()21,0D -．下面进行验证．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290m y my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ， 则1221231my y m +=--，122931y y m =-． 因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭． 因为()11133,221y D M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()21233,221y D N x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭， 所以()()()1212112121212999944114439y y y y D M D N x x m y y m y y ⋅=+=+=++⎡⎤+++⎣⎦222228193104936493131m m m m m -=+=⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭． 同理220D M D N ⋅=．所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M ．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）存在,()4,4.【解析】（1）将12y x =-代入22y px =，得280x px -=； ∴882p =，可得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）设直线():84m x t y -=+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立248(4)y x x t y ⎧=⎨-=+⎩，整理得2416320y ty t ---=， 所以124y y t +=，121632y y t =--．假设存在以AB 为直径的圆恒过(),M m n ， 则221212,,044y y MA MB m y n m y n ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 化简得()()222164488432160m t m n t m n m -+--+++-=，令2216404884032160m m n m n m ⎧-=⎪--=⎨⎪++-=⎩，可得4m n ==， 故以弦AB 为直径的圆恒过()4,4．。
圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd143848832211),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M rb y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。
弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。
的切线方程为上一点：经过圆结论。
两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。
又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明：11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202002020222222=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a by a x by y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x)(),()0(2);(),()0(2)2()(),()0(2);(),()0(2)1(511),(1),()00(140000200002000020000220202222002020002222y y p x x y x M p py x y y p x x y x M p py x x x p y y y x M p px y x x p y y y x M p px y by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x +==+==+==+===-=-=-=-弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线：结论。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法
专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法 【微点综述】圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式．此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高．下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的方法及常用结论． 一、圆锥曲线切线方程方法 1．向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式．在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程． 例11．已知圆O 的方程是()()222x a y b r -+-=，求经过圆上一点()00,M x y 的圆的切线l 的方程． 2．变换法设椭圆方程为22221x y a b +=，我们作变换：,,x au y bv =⎧⎨=⎩则可把椭圆化为单位圆：221u v +=，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题． 例22．求过椭圆221169x y +=上一点M ⎛ ⎝⎭的切线l 方程． 3．判别式法可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一．思维导图：设切线方程⇒联立切线与椭圆的方程⇒消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程⇒Δ0=求切线斜率⇒写出切线方程． 注意：过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切． 例33．求经过点()2,1M 的双曲线：2222x y -=的切线l 的方程． 4．导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程． 例44．设为,A B 曲线2:4x C y =上两点，,A B 的横坐标之和为4．设M 为曲线C 上一点，C在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程． 例55．证明：过椭圆C ：22221x y m n+=(m >n >0)上一点Q (x 0，y 0)的切线方程为00221x x y y m n +=．5．几何性质法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：（1）若焦点为12,F F 的椭圆或双曲线上有一点M ，则12F MF ∠的平分线一定与圆锥曲线相切；（2）若焦点为F 的抛物线上有一点M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则FN 的中点P 与M 的连线PM 必与抛物线相切．据此，我们也可以利用圆锥曲线的几何性质作出其切线，然后再求出切线的方程． 例66．求抛物线2:8C y x =上经过点()8,8M 的切线l 的方程． 例77．过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 例8（2022乙卷理科）8．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，且F 与圆M ：()2241y x ++=上点的距离的最小值为4． (1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值． 【强化训练】（2022桃城区校级模拟）9．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2022聊城一模）10．已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．则直线AB 过定点（ ） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022迎泽区校级月考）11．已知圆()22:14C x y -+=.动点P 在直线280x y +-=上，过点P 引圆的切线，切点分别为,A B ，则直线AB 过定点______.12．过圆2216x y +=外一点P （4，2）向圆引切线． (1)求过点P 的圆的切线方程；(2)若过点P 的直线截圆所得的弦长为(3)若过P 点引圆的两条切线，切点分别为1P 、2P ，求过切点1P 、2P 的直线方程． （2021春·黑龙江期中）13．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y+= B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += （2020．新课标△）14．已知△M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作△M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=（2022宿州期末）15．定义：若点()00,P x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，则以 P 为切点的切线方程为：00221x x y y a b +=.已知椭圆 22:132x y C +=，点M 为直线260x y --=上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线 MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点（ ） A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022金安区校级期末）16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ） A ．1BCD ．2（2022吉安期末理）17．过圆222x y r +=上一定点(),o o P x y 的圆的切线方程为20o x x y y r +=.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l .则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．20?x y +-= B ．30x y --= C ．2330x y +-= D ．3100x y --=（2022大连期末）18．已知()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，则过C 上点M 的切线方程为________，若()22,N x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上一点，则过E 上点N 的切线方程为_____________. （2022泸县校级一模）19．椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是______．（2022金安区校级模拟）20．一般情况下，过二次曲线Ax2+By2=C （ABC ≠0）上一点M （x0，y0）的切线方程为Ax0x+By0y=C ，．若过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点M （x0，y0）（x0＜0）作双曲线的切线l ，已知直线l 过点N 0,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率的取值范围是⎣，则该双曲线离心率的取值范围是______． （2022兴庆区校级一模）21．已知()00,P x y 是抛物线()220y px p =>上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在22y px =两边同时求导，得：2'2yy p =，则'py y=，所以过P 的切线的斜率0p k y =.试用上述方法求出双曲线22y x 12－＝在P 处的切线方程为_________.（2022亳州期末）22．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，离心率12e =，点P (2，3)在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程(2)求过点P 的椭圆C 的切线方程(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P 被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．（2022福州二模）23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的两条切线交于点M （4，t ），其中t R ∈，切点分别是A 、B ，试利用结论：在椭圆22221x y a b+=上的点()00,x y 处的椭圆切线方程是00221x x y y a b +=，证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ；(3)试探究2211AF BF +的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由． （2022香坊区校级三模）24．已知点1(,2)2D -，过点D 作抛物线21:C x y =的两切线，切点为,A B .（1）求两切点,A B 所在的直线方程；（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>（1）中直线AB 与椭圆交于点P ，Q ，直线,,PQ OP OQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k k +=，求椭圆的方程. （2022渝中区校级月考）25．已知椭圆22122:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为12，过点)E的椭圆1C 的两条切线相互垂直.（△）求椭圆1C 的方程；（△）在椭圆1C 上是否存在这样的点P ，过点P 引抛物线22:4C x y =的两条切线12,l l ，切点分别为,B C ，且直线BC 过点()1,1A ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由. （2022杭州模拟）26．已知曲线1C 上任意一点到()0,1F 的距离比到x 轴的距离大1，椭圆2C 的中心在原点，一个焦点与1C 的焦点重合，长轴长为4．(1)求曲线1C 和椭圆2C 的方程；(2)椭圆2C 上是否存在一点M ，经过点M 作曲线1C 的两条切线,MA MB （,A B 为切点）使得直线AB 过椭圆的上顶点，若存在，求出切线,MA MB 的方程，不存在，说明理由．参考答案：1．()()()()200x a x a y b y b r --+--=【分析】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，利用0OM ON ⋅=化简整理可得. 【详解】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，由已知得圆心(),O a b ，()()0000,,,OM x a y b MN x x y y ∴=--=--，又0OM ON ⋅=，即()0000()()()0x x x a y y y b --+--= 所以()()()()()()00000x a x a x a y b y b y b ----+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， △过圆上的点()00,M x y 的圆的切线l 的方程是：()()()()()()220000x a x a y b y b x a y b --+--=-+-，又()()22200x a y b r -+-=，△所求圆的切线l 的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=．2．340x y +-=【分析】令,43yx u v ==，利用伸缩变换求得椭圆和点M 在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得.【详解】令,43y x u v ==，则椭圆在新坐标系uOv 下的方程是：221u v +=，点M ⎛ ⎝⎭在新坐标系uOv 下的坐标是：⎝⎭，设过圆221u v +=上的点⎝⎭的切线方程为(22v k u -=-（易得斜率必存在），即(v k u =221u v +=整理得2221(1)(1)(21)02k u k u k k +-+--=由题意可知，22222(1)2(1)(21)0k k k k k =--+--=Δ，整理得2(1)0k +=即1k =-，所以切线方程为(v u =-，即：u v +=∴过椭圆上一点M 的切线l的方程是：43x y+340x y +-=． 3．10x y --=【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解【详解】若直线斜率不存在，过点()2,1M 的直线方程为：2x =，代入2222x y -=可得21y =，与双曲线有两个交点，不是切线；若直线斜率存在，设l 的方程是：()12y k x -=-，即：21y kx k =-+，将它代入方程2222x y -=整理得：()()()222214218840k x k k x k k ---+-+=，由已知20210,k -∆=≠，即()()()2224214218840k k k k k -----+=⎡⎤⎣⎦，解得：1k =，故所求切线l 的方程为：21y x =-+，即：10x y --=． 4．7y x =+【分析】在求得直线AB 的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出点M 的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=，于是直线AB 的斜率为121212121212()()14()4y y x x x x x x k x x x x -+-+====--， 由24x y =，得2x y '=． 设()33,M x y ，由题意可知：312x =，解得32x =，()2,1M ∴． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段的中点为()2,2N m +，1MN m =+将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=，当()1610m ∆=+>，即当1m >-时，12x =+22x =-从而可得12AB x =-= 因为AM BM ⊥，且BN AN =，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 所以BN AN MN ==，所以2AB MN =，即()21m =+， 解得7m =，直线AB 的方程为7y x =+． 5．证明见解析【分析】方法一：分0y >，0y <和0y =，当0y >，0y <时，利用导数求切线方程可得； 方法二：设直线方程联立椭圆方程，利用判别式等于0求切点横坐标，然后可得切线方程. 【详解】法一：由椭圆C ：22221x y m n+=，则有22221y x n m =-当0y >时，y =2nx y m '=-，△当00y >时，2000222001x n n n k x x y mm m y n =-=-=-⋅． △切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，整理为：222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，两边同时除以22m n 得：00221x x y ym n+=． 同理可证：00y <时，切线方程也为00221x x y ym n+=． 当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=． 综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=． 法二：当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y m ny kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，△由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， 化简可得：2222t m k n =+，△式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t =-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m k y n =-，所以2020n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ym n+=． 当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ym n+=， 综上：22221x y m n+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=．6．280x y -+=【分析】根据线段NF 的垂直平分线经过点M 即可求得切线方程.【详解】由抛物线2:8C y x =可得其焦点()2,0F ， 准线方程为：2x =-， 过点()8,8M 作准线的垂线，设垂足为N ，则N 的坐标为()2,8-， 又设FN 的中点为P ，则P 的坐标为()0,4，如图所示：故直线PM 的方程为：84480y x --=-， 即280x y -+=，△切线l 的方程为280x y -+=． 7．答案见解析.【分析】根据两切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+，且均过均过点P ，可知弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【详解】以22y px =（p ＞0）为例说明．设点00(,)Q x y 是抛物线22y px =上的任意一点，则过点00(,)Q x y 且与抛物线相切的直线方程为00()y y k x x -=-，联立2002()y pxy y k x x ⎧=⎨-=-⎩得：222222000000(222)20k x k x p ky x k x y kx y -+-++-=，因为二者相切，所以Δ0=，即222222000000(222)4(2)0k x p ky k k x y kx y +--+-=，化简得：0p k y =，又2002y px =， 代入00()y y k x x -=-得：()00y y p x x =+，即抛物线22y px =在00(,)Q x y 处的切线方程为()00yy p x x =+. 设准线上任一点0,2p P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+两切线均过点P ，则满足1012p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2022p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故过两切点的弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则弦AB 过焦点．【点睛】（1）点()00,P x y 是抛物线()220y mx m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00y y m x x =+；（2）点()00,P x y 是抛物线()220x my m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00x x m y y =+．8．(1)p ＝2(2)【分析】（1）先求42pFM =+，点F 到圆M 上的点的距离的最小值即为FM r -. （2）求出AB =和点P 到直线AB的距离d =322(6)2144PABb S ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭△，根据b 的范围即可求最大值.（1）0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到圆心4(0,)M -的距离42p FM +，所以点F 到圆M 上的点的距离的最小值为4142pFM r -=+-=， 解得p ＝2； （2）由（1）知，抛物线的方程为24x y =， 即214y x =，则12y x '=， 设切点()11,A x y ，()22,B x y ， 则易得PA l ：21124x x y x =-，△PB l ：22224x x y x =-，△联立△△可得1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，设AB l ：y kx b =+，联立抛物线方程，消去y 并整理可得2440x kx b --=， △216160k b ∆=+>，即20k b +>， 且124x x k +=，124x x b =-， △(2,)P k b -△AB ==点P 到直线AB 的距离d =△()322142PABS AB d k b ==+△△，又点(2,)P k b -在圆M ：()2241y x ++=上， 故()22144b k --=，代入△得，332222(6)2112154444PAB b b b S ⎛⎫--+⎛⎫-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 而[]5,3p y b =-∈--，△当b ＝5时，()max=PAB S【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 9．A【分析】设(2,)P t ，圆心C 的坐标为(0,0)，可得以线段PC 为直径的圆N 的方程，两圆方程作差，得两圆公共弦AB 的方程可得答案． 【详解】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ， 由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的圆心为1,2⎛⎫⎪⎝⎭t P所以方程为2220x y x ty +--=，两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，()210-+=x ty ，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A. 10．A【分析】由P A △AC ，PB △BC 可知点A 、B 在以PC 为直径的圆上，设点P 坐标，写出以PC 为直径的圆的方程，然后可得直线AB 方程，再由直线方程可确定所过定点. 【详解】根据题意，P 为直线l ：20x y ++=上的动点，设P 的坐标为(),2t t --， 过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A △AC ，PB △BC ， 则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C （0，0），(),2P t t --，则以PC 为直径的圆的方程为：()()20x x t y y t -+++=，变形可得：()2220x y tx t y +-++=，则有22221(2)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+-++=⎩，联立可得：()120tx t y -++=，变形可得：()120y t x y +--=， 即直线AB 的方程为()120y t x y +--=，变形可得：()120y t x y +--=，则有1200y x y +=⎧⎨-=⎩，解可得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：A ． 11．118,77⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，设P 的坐标为(82,)t t -，由圆的切线的性质分析可得则A 、B 在以CP 为直径的圆上，进而可得该圆的方程，进而分析可得直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，由圆与圆的位置关系分析可得直线AB 的方程，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，动点P 在直线280x y +-=上，设P 的坐标为(82,)t t -， 圆22:(1)4C x y -+=，圆心为(1,0)，过点P 引圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA CA ⊥，PB CB ⊥，则A 、B 在以CP 为直径的圆上，该圆的方程为(1)[(82)](0)()0x x t y y t ---+--=， 变形可得：22(92)(82)0x y t x ty t +---+-=，又由A 、B 在圆C 上，即直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，则有2222230(92)(82)0x y x x y t x ty t ⎧+--=⎨+---+-=⎩， 则直线AB 的方程为(711)(22)x t x y -=--，则有7110220x x y -=⎧⎨--=⎩，解可得：11787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；故直线AB 恒过定点11(7，8)7；故答案为：11(7，8)7．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、公共弦方程求法、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两圆相减可得公共弦直线方程的应用. 12．(1)x ＝4或34200x y +-= (2)y ＝2或43100x y --= (3)280x y +-=【分析】（1）分k 不存在和k 存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可；（22，结合圆心到直线距离公式，可得解； （3）由题意12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径，写出圆的方程，过切点1P 、2P 的直线即为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的交线，求解即可. （1）当切线斜率不存在时，过点P （4，2）的直线为x ＝4，圆心到直线距离等于半径，故x ＝4为切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=．4=，即430k +=解得：34k =-，此时切线方程为34200x y +-=．△过点P 的圆的切线方程为x ＝4或34200x y +-=； （2）由（1）知，所求切线斜率存在，设直线方程为420kx y k --+=．△r ＝4，且弦长为△圆心到直线420kx y k --+=的距离2d ==，即2340k k -= 解得k ＝0或43k =．△所求直线方程为y ＝2或43100x y --=； （3）由题意，1122,OP PP OP PP ⊥⊥ 故12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径 △P （4，2），△以PO 为直径的圆圆心为(2,1)，半径||2PO r == 故圆的方程为()()22215x y -+-=，由于12,P P 也在圆2216x y +=上，故过切点1P 、2P 的直线为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的公共弦 两圆方程作差可得过1P 、2P 的直线方程为280x y +-=． 13．C【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上， 故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为： 103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C.【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题. 14．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2d =>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． △()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 15．C【解析】设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，即可表示出MA 的方程，又M 在MA 上，即可得到()1126132x t y t++=，即可得到直线AB 的方程，从而求出直线AB 过的定点； 【详解】解：因为点M 在直线260x y --=上，设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，所以MA 的方程为11132x x y y+=，又M 在MA 上，所以()1126132x t y t ++=△，同理可得()2226132x t y t ++=△； 由△△可得AB 的方程为()26132x t yt++=，即()22636x t yt ++=，即()()431260x y t x ++-=，所以4301260x y x +=⎧⎨-=⎩，解得1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线恒过定点12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C 16．C【解析】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，根据题意，求得过点B 的切线l 的方程，即可求得C 、D 坐标，代入面积公式，即可求得OCD 面积S 的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x y y x =，即111,x y ==时等号成立， 所以OCD. 故选：C【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B 的切线方程，进而求得面积S 的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 17．A【解析】根据类比推理，可得直线l 的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -的切线l 的方程为31124x y-+=， 即40x y --=，切线l 的斜率为1， 与直线l 垂直的直线的斜率为-1， 过A 点且与直线l 垂直的 直线方程为(13)y x +=-一， 即20x y +-=. 故选：A【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题. 18． 111x x y y +=22221x x y ya b+= 【分析】由OM 垂直切线可求出切的斜率，再利用点斜式可求出过C 上点M 的切线方程；利用导数的几何意义在点()22,N x y 处切线的斜率，再利用点斜式求出直线方程 【详解】解：因为11OM y k x =，切线与直线OM ， 所以所求切线的斜率为11x y -， 所以所求的切线方程为1111()x y y x x y -=--，即221111y y y x x x -=-+，得221111x x y y x y +=+，因为点()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，所以22111x y +=，所以过C 上点M 的切线方程为111x x y y +=； 当20y >时，设0y >，由22221x y a b +=得22221y x b a=- 22222y a x b a -= △22222()b y a x a =-△y = △1'222()(2)2b y a x x a-=-⋅-1222()bx a x a -=--=△过点()22,N x y的切线的斜率为△过点()22,N x y的切线的方程为22)y y x x -=-△点()22,N x y 在椭圆上，△2222221x y a b+=，222222222,a y a y b x a b b=+=， △2222()bx b y y x x a ay -=-⋅-， 即222222()b xy y x x a y -=-- 2222222222a y y a y b x x b x -=-+，2222222222a y y b x x a y b x +=+，△222222a y y b x x a b +=，△所求的切线方程为22221x x y ya b+=， 当20y <时，同理可得其切线方程为22221x x y ya b+=所以过E 上点()22,N x y 的切线方程为22221x x y ya b+=， 故答案为：111x x y y +=；22221x x y ya b+= 【点睛】此题考查圆锥曲线的切线方程的求法，属于中档题 19．340x y +-=【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.【详解】△椭圆223144x y +=，△y >0时，y △23xy -'=， △x ＝1时，13y '=-，即切线斜率13k =-，△椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是()1113y x -=--，即340x y +-=． 故答案为：340x y +-=． 20．【分析】求得切线方程，将N 代入切线方程，即可求得M 点坐标，求得切线方程，根据斜率公式及离心率公式即可求得答案． 【详解】双曲线在M （x 0，y 0）的切线方程为00221x x y ya b-=，将N 代入切线方程， 解得y 0＝﹣2b ，代入双曲线方程解得：x 0，21y b =，即y2bx +，由斜率的取值范围是⎣1≤b a ≤2， 由双曲线的离心率e ＝c a1≤22b a ≤4，∴双曲线离心率的取值范围， 故答案为:．【点睛】本题考查双曲线的切线方程的应用及离心率公式，考查转化思想，属于中档题．21．20-=x y【详解】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.详解：用类比的方法对2212y x ＝－两边同时求导得，22x yy x y y '∴'=＝，，0002|2x x x k y y =∴='＝， △切线方程为2(y x ，整理为一般式即：20x y －.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 22．(1)2211612x y +=；(2)280x y +-=； (3)证明见解析.【分析】（1）根据已知条件列方程组即可求出,,a b c .（2）由直线与椭圆相切，根据判别式Δ0=即可求出直线斜率k . （3）利用向量数量积证明直线1PF 与2F P 关于直线m 对称即可；【详解】（1）由题意可得：2222212491c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得216a =，212b =，△椭圆C 的方程为：2211612x y +=；（2）显然，过点P (2，3)的切线存在斜率， 设切线l 的斜率为k ，则l ：3(2)y k x -=-，由22116123(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()222348231648120k x k kx k k +--+--=， 因为直线l 与椭圆C 相切，∴()()()2222Δ64234341648120k k k k k =--+--=，化为：24410k k ++=，解得12k =-．△求过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=． （3）证明：△椭圆C 的方程为：2211612x y +=， 则椭圆左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ， △过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=， △过点P 的椭圆法线方程为m ：210x y --=， 法线的方向向量()1,2m =--， △()14,3PF =--，()20,3PF =-， △1112cos ,PF mPF m PF m⋅==-，2222cos ,PF mPF m PF m⋅==- △直线1PF ，2F P 关于直线m 对称；△从椭圆一个焦点发出的光线照到点P ，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点． 【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：△定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．△待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 23．(1)22143x y +=(2)证明见解析(3)是，常数为43【分析】（1）代入点坐标，结合2221b e a=-求解即可；（2）根据结论设出切线方程，两条切线交于点M （4，t ），可得点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，求出定点坐标即可； （3）联立直线AB 与椭圆，点点距公式表示22,AF BF ，结合韦达定理化简即得解【详解】（1）△椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．△222314b e a =-=，△221914a b +=，△， 由△△得：24a =，23b =，△椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）证明：设切点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，则切线方程分别为11143x x y y+=，22143x x y y +=． 又两条切线交于点M （4，t ），即1113t x y +=，2213tx y +=，即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，令0y =，可得1x = 故对任意实数t ，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB 恒过椭圆的右焦点()21,0F ．（3）将直线AB 的方程13tx y =-+，代入椭圆方程，得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， △122612t y y t +=+，1222712y y t =-+， 不妨设10y >，20y <，21AF y =，同理22BF y =，△211212221111y y y y y y AF BF -⎫+=-=⎪⎭1243==，△2211AF BF +的值恒为常数43． 24．（1）2y x =+；（2）2214812x y +=. 【分析】（1）设出切点，利用切点处的导数是斜率，表示出切线方程，1(,2)2D -在切线上，求出两解，分别对应切点,A B 坐标，则方程可求. （2a b 、的一个关系；联立直线和椭圆方程，用上韦达定理，结合123k k k +=，再建立a b 、的一个关系，则椭圆方程可求. 【详解】解：（1）设切点11(,)A x y 22(,)B x y ，则221122,x y x y ==切线的斜率为2y x '=，所以抛物线上过11(,)A x y 点的切线的斜率为12x ，切线方程为()2111112,2y y x x x y x x x -=-=-，1(,2)2D -在切线上，所以21120x x --=，12x =或11x =-， 当12x =时，2114y x ==；当11x =-，2111y x ==，不妨设()(2,4),1,1A B -，1AB k =， 所以两切点,A B 所在的直线方程2y x =+.（2）由e =2234c a =，又222c a b =-，所以224a b =.222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，得225161640x x b ++-=， 21651645P Q P Q x x b x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 21,Q PP Qk k y y x x ==， 1k =，又因为123k k k +=，()()3,3,223P Q P Q Q P Q Q P P P Q P Q P Qx x x x y y x y x y x x x x x x ++++===+，()2P Q P Q x x x x +=，22161642,1255b b --⨯==，248a =， 所以椭圆的方程2214812x y +=.【点睛】以直线和抛物线、椭圆的位置关系为载体，考查求直线方程、椭圆方程的方法；中档题.25．(△)22143x y +=；(△)满足条件的点P 有两个.【详解】试题分析：(1) 结合椭圆的离心率可求得1c =，则椭圆方程为22143x y +=.(2)由题意首先求得切线方程的参数形式，据此可得直线BC 的方程为002x y x y =-，则点P 的轨迹方程为112y x =-，原问题转化为直线112y x =-与椭圆1C 的交点个数，即满足条件的点P 有两个. 试题解析：（△）由椭圆的对称性，不妨设在x 轴上方的切点为M ，x 轴下方的切点为N ， 则1NE k =，NE的直线方程为y x =因为椭圆22122:1x y C a b+= ()0a b >>的离心率为12，所以椭圆22122:143x y C c c+=，所以22221,43y x x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 0∆=，则1c =， 所以椭圆方程为22143x y +=.（△）设点()11,B x y ，()22,C x y ，()00,P x y ，由24x y =，即214y x =，得12y x '=，△抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为()1112x y y x x -=-， 即2111122x y x y x =+-， △21114y x =，△112x y x y =-.△点()00,P x y 在切线1l 上，△10012x y x y =-.△ 同理，20022x y x y =-.△ 综合△、△得，点()11,B x y ，()22,C x y 的坐标都满足方程002xy x y =-. △经过()11,B x y ，()22,C x y 两点的直线是唯一的， △直线BC 的方程为002x y x y =-， △点()1,1A 在直线BC 上，△00112y x =-， △点P 的轨迹方程为112y x =-.又△点P 在椭圆1C 上，又在直线112y x =-上， △直线112y x =-经过椭圆1C 内一点()0,1-， △直线112y x =-与椭圆1C 交于两点. △满足条件的点P 有两个.26．(1)21:4C x y =，222:134x y C +=(2)2y =-【分析】(1)依据曲线1C 和椭圆的定义求方程.(2) 假设点M 存在，设切线方程，M 即在抛物线又在椭圆上找到等量关系.【详解】（1）由曲线1C 上任意一点到F （0，1）的距离比到x 轴的距离大1，根据抛物线的定义，曲线1C 为以F （0，1）为焦点的抛物线，则曲线1C ：24x y =；设椭圆2C 的方程()222210y x a b a b+=>>，由24a =，a ＝2，c ＝1，2223b a c =-=，△椭圆2C ：22143y x +=；（2）若存在，由题意设AB 方程：y ＝kx +2代入24x y =，化简得2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，△ 由于12y x '=，△切线MA 方程为：()11112y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，△同理切线MB 方程为：2221124y x x x =-，△ 由△△得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，△M （2k ，-2）， 又M （2k ，-2）在椭圆上，24113k +=可得：k ＝0，△M （0，-2）k ＝0代入△有：1x =2x =-△椭圆2C 上存在一点M （0，-2）符合题意，此时两条切线的方程为2y =-． 【点睛】本题要证明切点弦过定点，设切点弦的直线方程，得到韦达定理，然后通过切点写出两条切线方程，可以得到交点M 的坐标，由点M 的特性可以求出M 坐标，进而求出切点，写出切线方程．。
圆锥曲线中的切线问题
圆锥曲线中的切线问题过曲线上一点P(x o ,y o )的切线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以双曲线为例.442222020220220420222022022020242022202222202022222020)(4)1)(b a x (4)2(,012)b a x (x .11.11b a b a a y x b x a x b y b y a x b y y y b y b y ax b y y a x x b y a x b y y a x x ---=---=∆=-+--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-得消去①式平方后除以②式，，，.0012222202202220220，即证，所以，得又=∆=--=-b a b a y a x b b y a x 过曲线外一点P(x o ,y o )作曲线的切线，切点A 、B ，过切点A 、B 的直线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以椭圆为例.设切点),(),,(2211y x B y x A ，以A ，B 为切点的直线方程分别为.1122222121=+=+b y y a x x b y y a x x ，若两切线均是P(x o ,y o )点引出的，即两切线均过点P ，则有.112022********=+=+by y ax x by y ax x ，可知点),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+b y y a x x 上，所以过切点A ，B 的直线方程为12020=+by y a x x .即证.思考１．（2021全国乙卷）已知抛物线C ：x 2=2py(y>0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：x 2+(y+4)2=1上的点最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．).520;2(最大值为=p 解：(1)焦点坐标为(0,2p )，于4142p=-+是得到p=2;(2)设P(x 0,y 0)，切点为),(),,(2211y x B y x A ，设过点),(11y x A 的方程为x 1x=2(y+y 1)，联立x 2=4y ，化为关于x 的一元二次方程X 2-2x 1x+4y 1=0，得0=∆，所以x 1x=2(y+y 1)是抛物线上过A 的切线方程,同理可得x 2x=2(y+y 2)是抛物线上过B 点的切线方程.于是过P(x 0,y 0)作抛物线的切线，则过切点A ，B 的方程为x 0x=2(y+y 0)，联立抛物线方程消去y 得X 2-2x 0x+4y 0=0，4|4|d AB P 16441||200200202+-=-+=x y x y x x AB 的距离到，点.520S -5)35(151221S 4-114)4(214|4|1644121d ||21S PAB 00020PAB 2020202030202002002020PAB取最小值为时，当，）（，于是）（而所以∆∆∆=-≤≤----=+==++-=+--+=⋅=y y y y y x y x y x x y x y x x AB ２．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点M 在直线x=-2上运动，线段MF 2与椭圆相交于N ，当NF 1⊥x 轴时，直线MF 2的斜率的绝对值为42.(1)求椭圆方程；(2)设P 是椭圆上一点，直线PF 1的斜率与直线MF 2的斜率之积为31-，证明直线MP 始终与椭圆相切.（1222=+y x ）解：(1).12.2,0122,,22,22,422222222221=+==--=-====y x a a a c b a a b c c a b k NF MF 所以得所以又得为通径的一半，所以（2）设P(x 0,y 0)，M(-2,y 1)，设过P 的直线方程为1200=+y y xx ，联立椭圆方程消去x 得，.0,12,884024)2(20202020204020022020=∆=+-+=∆=-+-+所以而，y x x y x x x y y y x y .3131,31.121000021-=-⋅+-=⋅=+y x y k k y y x x MF PF 即由是椭圆的切线方程所以.MP .12M )1,2(M ,10000001与椭圆相切即证明直线满足椭圆的切线切线，点于是点=++-+=y y xx y x y x y。
圆锥曲线切线方程的五种求法
圆锥曲线切线方程的五种求法切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。
例1.已知圆0的方程是(x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2，求经过圆上一点M(x0, y0)的圆的切线I的方程.解：设所求切线I上任意一点N的坐标是(x, y)由已知得：点0的坐标是(a，b)，且M的坐标是(x0，y0)，值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.三、判别式法也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.例 3. 求经过点M( 2， 1 )的双曲线：x2-2y2=2 的切线I 的方程.将它代入方程x2-2y2=2 中整理得：( 2k2-1 )x2-4k ( 2k-1 )x+( 8k2-8k+4 ) =0，由已知得：△ =[-4k (2k-1 ) ]2-4 (2k2-1 ) (8k2-8k+4 ) =0, 解得：k=1，故所求切线I的方程为：y=x- (2X1 -1 ), 即：x-y-1=0.四、导数法新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x 的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例 4. 此处仍以上面的例 3 为例.解：对方程：x2-2y2=2 两边都取关于x 的导数，得：2x-4yy' =0,•••过点M(2, 1)的双曲线x2-2y2=2的切线I的方程为：x-y-1=0.五、几何法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M则/F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M, 过M作准线的垂线，垂足为N,贝U FN的中点P与M的连线PM必与抛物线相切。
据此，我们也可以将圆锥曲线的切线先用几何方法做出来，然后再求出切线的方程：例 5. 求抛物线C：y2=8x 上经过点M( 8，8)的切线I 的方程.解：由抛物线C的方程可得其焦点F为(2, 0),准线方程为：x=-2 ，过点M(8, 8)作准线的垂线，设垂足为N,贝U N的坐标是( -2 , 8),又设FN的中点为P,则P的坐标为(0, 4),。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线的切线方程的三种求法
圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式.此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高.下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的三种方法.一、向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式.在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程.例1.已知圆O的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的圆的切线l的方程.解：设切线l上任意一点N的坐标是（x，y）.由(x-a)2+(y-b)2=r2得点O的坐标是(a,b)，所以OM=(x0-a，y0-b)， MN=(x-x0，y-y0).又因为OM∙MN=0，即[(x-a)-(x0-a)](x0-a)+[(y-b)-(y0-b)](y0-b)=0,所以过圆上的点M(x0,y0)的圆的切线l的方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=[(x0-a)2+(y0-b)2]，所以l的方程：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.由已知圆的方程与圆上一点的坐标，可得出圆心的坐标，再设出切线上任意一点N的坐标，即可得到与切线垂直的向量，根据向量运算便可求得切线的方程.二、导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程.例2.设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.设M为曲线C：y=x24上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AB⊥BM，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1≠x2，y1=x124，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率为k=y1-y2x-x=x1+x24=1.由y=x24，得y，=x2.设M(x3,y3)，由题意可知：x32=1，解得x3=2，则M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N(2,2-m)，||MN=||m+1，将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16()m+1>0，即当m>-1时，x1=2+2m+1或x2=2-2m+1，从而可得||AB=2||x1-x2=42(m+1)，由||AB=2||MN得42(m+1)=2(m+1)，解得m=7，所以直线AB的方程为y=x+7.在求得直线AB的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出M点的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程.三、几何性质法在解答圆锥曲线问题时，我们经常要用到椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质，并结合几何图形，如三角形、梯形、平行四边形的性质来解题.采用几何性质法，关键要根据题意绘制出几何图形，明确各个点、直线、曲线的位置关系，然后运用几何性质来解题.例3.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8,8）的切线l的方程.解：由抛物线C：y2=8x可得其焦点F为(2,0)，准线方程为：x=-2，过点M(8,8)作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标为(-2,8)，又设FN的中点为P，则P的坐标为(0,4)，故直线PM的方程为：y=8-48x+4，即x-2y+8=0，所以切线l的方程是：x-2y+8=0.我们根据抛物线的几何性质作出准线，根据图形明确各点、曲线、切线的位置，根据点、直线之间的位置关系以及中点坐标公式建立关系式，求得切线的斜率与方程.相比较而言，几何性质法和导数法比较常用，运用几何性质法和向量法解题过程中的运算量较小.在求圆锥曲线的切线方程时，同学们要结合图形来解题，这样不仅能降低解题的难度，还能提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁中学）周红芹解题宝典40。
论求解圆锥曲线的切线及相关问题的常用结论及推导
论求解圆锥曲线的切线及相关问题的常用结论及推导作者：沈兆益来源：《新教育时代·学生版》2019年第41期摘要：本文探讨过一点求圆锥曲线的切线方程和切点弦的解法推导。
若点在圆锥曲线上，可使用隐函数求导的方式得到相对简便且接近的切线方程和切点弦结论。
若果点在圆锥曲线外，可以使用二次方程有唯一解，其Δ=0的结论，推导出切线方程。
关键词：圆锥曲线切线方程隐函数求导求解过某一点的圆锥曲线切线方程及相关问题题型，是在高等数学的学习中使用隐函数求导需要解决的常规问题，也是中学的解析几何的常见的较为困难的解题类型。
解决这一类性的问题，常用到一个有趣的式子：Amx+B（my+nx）+Cny+D（x+m）+E（y+n）+F，简便起见，把它表示为L（x，y）。
一、已知圆锥曲线上一点，求切线方程如果已知的是圆锥曲线上一点，求解通过该点的圆锥曲线切线，通常使用隐函数求导的方法，对圆锥曲线求导，得到通过该点的导数，即为切线斜率，而后得到切线方程。
这是学习了微积分以后，可以使用的方法。
如：已知圆方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2，过圆上一点（m，n）求圆的切线。
使用隐函数求导，得到：2（x-a）+2（y-b）y’=0，整理可得：，代入点（m，n），得到切线斜率为：，切线方程为，若（m，n）为具体数值，即可进行化简得到最终切线的方程。
但学生若是尚未接触到微积分的知识，就需要使用其他的方法，如：圆心与切点的连线与切线垂直，因此切线斜率为连线斜率的的负倒数，圆心与切点连线斜率为，同样得到切线斜率为，从而求解切线方程。
如果是求解椭圆、双曲线，抛物线的切线，使用隐函数求导同样能够处理，但对于没有学习过微积分知识的学生来说，题目就更难解决了。
但若使用隐函数的求导，不难发现圆锥曲线的切线方程结论，是很便于记忆的。
从圆的切线方程中便不难发现，它可以改变为：（x-m）（m-a）+（y-n）（n-b）=0（1），且由于（m，n）为（x-a）2+（y-b）2=r2上的点，因此有（m-a）2+（n-b）2=r2（2）.将（1）式加（2）式，提取公因式，得到：（m-a）（m-a+x-m）+（n-b）（n-b+y-n）=r2。
圆锥曲线的切线与法线方程的求解技巧总结
圆锥曲线的切线与法线方程的求解技巧总结圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学以及工程学等许多领域都有广泛的应用。
对于圆锥曲线上的任意一点，切线和法线是与其切点和法点相关联的重要性质。
在本文中，我们将总结一些求解圆锥曲线切线和法线方程的技巧与方法。
一、椭圆的切线与法线方程椭圆是圆锥曲线中的一种，具有许多重要的特性。
对于椭圆上的任意一点P(x,y)，我们希望求解它的切线和法线方程。
1. 切线方程的求解对于椭圆上一点P(x,y)，其切线的斜率可以通过对椭圆的导数求解得到。
椭圆的隐式方程可以表示为：Ax² + By² = C，其中A、B、C为常数。
首先，对隐式方程两边同时求导，得到2Ax + 2By(dy/dx) = 0。
然后解出dy/dx，即切线的斜率。
接下来，通过点斜式的切线方程：y - y₁ = k(x - x₁)，其中(k为切线的斜率，(x₁,y₁)为切点坐标)，我们可以代入已知点P(x,y)和切线斜率，求解出切线方程。
2. 法线方程的求解对于椭圆上一点P(x,y)，其法线与切线垂直，因此法线的斜率可以通过切线斜率的倒数得到。
我们可以通过点斜式的法线方程：y - y₁ = (-1/k)(x - x₁)，其中(k为切线的斜率，(x₁,y₁)为切点坐标)，代入已知点P(x,y)和切线斜率的倒数，求解出法线方程。
二、双曲线的切线与法线方程双曲线是圆锥曲线中的另一类，其形状与椭圆类似，但具有不同的数学性质。
对于双曲线上的任意一点P(x,y)，我们也可以求解其切线和法线方程。
1. 切线方程的求解双曲线的隐式方程可以表示为：Ax² - By² = C，其中A、B、C为常数。
我们同样通过对隐式方程两边同时求导，得到2Ax - 2By(dy/dx) = 0。
然后解出dy/dx，即切线的斜率。
利用点斜式的切线方程，代入切点坐标和切线斜率，求解出切线方程。
2. 法线方程的求解与椭圆类似，双曲线上任意一点P(x,y)的法线与切线垂直，因此法线的斜率可以通过切线斜率的倒数得到。
圆锥曲线定点问题含详解
圆锥曲线定点问题一、求解圆锥曲线中定点问题的两种求法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． (2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k 变成变量，将变量x ，y 当成常数，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x ，y ）＝0，g （x ，y ）＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．二、[典例] (2020·高考全国卷Ⅰ)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a2 ＋y 2＝1(a ＞1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG → ·GB →＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．解析：(1)由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1).则AG → ＝(a ，1)，GB → ＝(a ，－1).由AG → ·GB → ＝8，得a 2－1＝8，即a ＝3.所以E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3＜n ＜3. 由于直线PA 的方程为y ＝t 9 (x ＋3)，所以y 1＝t9 (x 1＋3).直线PB 的方程为y ＝t 3 (x －3)，所以y 2＝t3 (x 2－3). 可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).由于x 22 9＋y 22 ＝1，故y 22 ＝－（x 2＋3）（x 2－3）9，可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)，即(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.①将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2＝1得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0.所以y 1＋y 2＝－2mn m 2＋9 ，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9.2222解得n ＝－3(舍去)或n ＝32 .故直线CD 的方程为x ＝my ＋32，即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 . 若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 . 综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 . 三、好题对点训练1．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N ，两点，O 为坐标原点（1）求椭圆E 的方程;（2）设E 的右顶点为D ，若直线:l y kx m =+与椭圆E 交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)且满足DA DB DA DB +=-，证明:直线l 过定点，并求该定点坐标.2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为1．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上一点P 到F 的距离是4，求P 的坐标；（3）若不过原点O 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且OA OB ⊥，求证：直线l 过定点．3．如图，已知抛物线()220y px p =>上一点()2,M m 到焦点F 的距离为3，直线l 与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且10y >，20y <，12OA OB ⋅=（O 为坐标原点）.（1）求抛物线的方程； （2）求证直线l 过定点；4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e =，上顶点是P ，左､右焦点分别是1F ，2F ，若椭圆经过点⎭.（1）求椭圆的方程；（2）点A 和B 是椭圆上的两个动点，点A ，B ，P 不共线，直线PA 和PB 的斜率分别是1k 和2k ，若1223k k =，求证直线AB 经过定点，并求出该定点的坐标. 5．已知点P 到直线y ＝－3的距离比点P 到点A (0，1)的距离多2. （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q (0，2)的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.6．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x y a b a b+=>>（，短轴长为左焦点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．7．已知经过圆2221:C x y r +=上点00(,)x y 的切线方程是200x x y y r +=.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点00(,)x y 的切线方程；（2）已知椭圆22:16x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ､B ，求证：直线AB 过定点.8．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 是椭圆22143x y +=的一个焦点. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ，M ，N 为抛物线C 上的不同三点，点()1,2P ，且PM PN ⊥.求证：直线MN 过定点.9．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>E 的长轴长为．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设()0,1A -，()0,2B ，过A 且斜率为1k 的动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交☉C ：()2211x y +-=于异于点B 的点P ，Q ，设直线PQ 的斜率为2k ，直线BM ，BN 的斜率分别为34,k k ． ①求证：34k k ⋅为定值； ②求证：直线PQ 过定点.10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点()0,1M -是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程；（2）过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且124k k +=，求证：直线AB 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.11．已知抛物线2:4C y x =上有一动点()()000,0P x y y >，过点P 作抛物线C 的切线l 交x 轴于点M ．（1）判断线段MP 的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由； （2）过点P 作l 的垂线交抛物线C 于另一点N ，求PMN 的面积的最小值． 12．已知动点M 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1． （1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）若点()()001,0P y y >、M 、N 在抛物线上，且12PM PN k k =-⋅，求证：直线MN 过定点．13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(1,)M m 为抛物线上一点，且2MF =. （1）求抛物线的标准方程；（2）直线l 交抛物线于不同的,A B 两点，O 为坐标原点，且4OA OB ⋅=-求证：直线l 恒过定点，并求出这个定点.14．过点(0,2)D 的任一直线l 与抛物线220C :x py(p )=＞交于两点,A B ，且4OA OB =-． （1）求p 的值．（2）已知,M N 为抛物线C 上的两点，分别过,M N 作抛物线C 的切线12l l 和，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点．15．已知点P 与定点F 的距离和它到定直线x = （1）求点P 的轨迹方程C ；（2）点M ，N 在C 上，(2,1)A 且,AM AN AD MN ⊥⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．16．已知点(0,2)A -，(0,2)B ，动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为23-.记点P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）过x 轴上一点Q 且不与坐标轴平行的直线与C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点R ，若|||MN QR =，求点Q 的坐标. 17．已知双曲线2214x y -=.（1）过(1,0)P -的直线1l 与双曲线有且只有一个公共点，求直线1l 的斜率；（2）若直线2:l y kx m =+与双曲线相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以线段AB 为直径的圆过双曲线的左顶点C ，求证：直线2l 过定点.18．已知点P 是曲线C 上任意一点，点P 到点()1,0F 的距离与到直线y 轴的距离之差为1.（1）求曲线C 的方程；（2）设直线1l ，2l 为曲线C 的两条互相垂直切线，切点为A ，B ，交点为点M . （i ）求点M 的轨迹方程；（ii ）求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标.19．1.双线曲2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，一条渐近线的倾斜角为3π，直线l 交双曲线于A 、B ．（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB →→⋅=成立？若存在，求出M 的坐标，若不存在，请说明理由． 20．如图：已知抛物线C ：2y x =与()1,2P ，Q 为不在抛物线上的一点，若过点Q 的直线的l 与抛物线C 相交于AB 两点，直线PA 与抛物线C 交于另一点M ，直线PB 与抛物线C 交于另一点N ，直线MB 与NA 交于点R .（1）已知点A 的坐标为(9，3)，求点M 的坐标；（2）是否存在点Q ，使得对动直线l ，点R 是定点？若存在，求出所有点Q 组成的集合；若不存在，请说明理由.21．已知动点P 到点(的距离与到直线x =（1）求动点的轨迹C 的标准方程；（2）过点(4,0)A -的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点(2,1)B --，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F .试问在轴上是否存在一点G ，使得0BE GF GE BF ⋅+⋅=？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．（1）22184x y += （2）证明见解析， 【分析】（1）将椭圆上的两点代入椭圆方程中，再解方程即可；（2）先将DA DB DA DB +=-转化为DA DB ⊥，再直线与椭圆联立，建立方程后进一步化简直线方程即可获得解决. （1）因为椭圆E : 22221x y a b+=（a ，b >0）过M N ，两点，所以2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2284a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为22184x y +=. （2）由（1）知D ，设1122(,),(,)A x y B x y由DA DB DA DB +=-可知，DA DB ⊥，所以，0DA DB ⋅=即：1212(0x x y y --+=所以221212(1)()80k x x km x x m ++-+++= （※） 联立直线和椭圆方程，消去y ，得：222(12)4280k x kmx m +++-= 由22Δ0,84m k ><+得所以2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++0=，即得22380m k ++=所以，()(3)0m m ++=所以，m m =-=或 所以，直线l的方程为y kx y kx =-=或 所以，过定点0)或，根据题意，舍去0)所以，直线过定点 2．（1）28y x = （2）(2,)4± （3）证明见解析 【分析】（1）利用点到直线距离得到参数即可； （2）利用抛物线定义即可得到P 的坐标；（3）联立方程，利用韦达定理表示垂直关系，即可得到直线l 过定点． （1）抛物线的焦点F 为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线方程为：y x =，即：0x =1=，解得4p =故抛物线C 的方程为：28y x =； （2）设()00,P x y ，由抛物线的定义可知：042p x +=，即0442x +=，解得：02x =将02x =代入方程28y x =得：04y =±，即P 的坐标为(2,)4±； （3）由题意可知直线l 不能与x 轴平行，故方程可设为(0)x my n n =+≠与抛物线方程联立得28x my ny x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2880y my n --=设()()1122,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y n +==- 由OA OB ⊥可得：12120x x y y +=，即()21212064y y y y +=即：12121064y y y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭亦即：881064n n -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又0n ≠，解得：8n =所以直线l 的方程为8x my =+，易得直线l 过定点(8,0).3．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，求p ，得到抛物线的方程；（2）首先设直线方程x my t =+，()0t >，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示OA OB ⋅的坐标表示，求得t ，即可说明直线过定点. 【详解】（1）由题意可得232p+=，2p = 抛物线方程为24y x =（2）设直线l 方程为x my t =+，()0t >，代入抛物线方程24y x =中，消去x 得，2440y my t --= 124y y t ，()221212116x x y y t ==. 22212121212·41244y y OA OB x x y y y y t t ⋅=+=+=-=解得6t =或2t =-（舍去）直线l 方程为6x my =+，直线过定点()6,0Q . 4．（1）2213x y +=；（2）直线AB 过定点(0,3)-【分析】（1）因为椭圆的离心率e，椭圆经过点，列方程组，解得2a ，2b ，2c ，即可得出答案．（2）设直线AB 的方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与椭圆的方程，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，再计算1223k k ⋅=，解得b ，即可得出答案． 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率e，椭圆经过点⎭，所以222231c e a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，又222a b c =+， 解得23a =，21b =，22c =， 所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）证明：设直线AB 的方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2213x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(13)6330k x kbx b +++-=，所以122613kb x x k +=-+，21223313b x x k -=+，所以1111y k x -=，2221y k x -=，所以222121212122121211(1)()(1)(1)23(1)3kx b kx b k x x k b x x b b k k x x x x b +-+-+-++--⋅=⋅===-， 解得3b =-，所以直线AB 过定点(0,3)-．5．（1）x 2＝4y ；（2）存在，定点R (0，－2). 【分析】（1）由|PA |等于点P 到直线y ＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P 的轨迹方程； （2）由对称性确定点R 必在y 轴上，再由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0，联立直线l 与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R (0，－2). 【详解】（1）由题知，|PA |等于点P 到直线y ＝－1的距离，故P 点的轨迹是以A 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝4y .（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为(0，r )此时由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则11y rx -＋22y r x -＝0由题知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx －8＝0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－811y r x -＋22y r x -＝112kx r x +-＋222kx r x +-＝2k ＋1212(2)()r x x x x -+＝2k －(2)2k r -＝0故r ＝－2，即存在满足条件的定点R (0，－2). 【点睛】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R 必在y 轴上，进而设出其坐标. 6．（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0).【分析】（1）利用已知和,,a b c 的关系，列方程组可得椭圆C 的标准方程；（2）直线l 斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， APE OPF ∠=∠可得0PE PF k k +=，利用根与系数的关系代入化简，可得直线l 所过定点． 【详解】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+.因为APE OPF ∠=∠， 所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033mkx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-， 所以直线l 过定点(6,0). 7．（1）00221x x y ya b+=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据已知直接类比求解即可；（2）根据（1），根据题意，得到方程组，根据方程组的特征求出A ､B 两点坐标特征，最后可以求出直线AB 过定点. 【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为00221x x y ya b+=.（2）设切点为1222(,),(,)A x y B x y ，点(3,)P t ， 由（1）的结论的AP 直线方程：1116x x y y +=，BP 直线方程：2216x xy y +=， 通过点(3,)P t ，∴有1122316316x y t x y t ⋅⎧+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪+⋅=⎪⎩，∴A ，B 满足方程：12xty +=，∴直线AB 恒过点：1020xy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，即直线AB 恒过点(2,0).8．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）椭圆22143x y +=的焦点为()1,0±，由题意可知12p =，由此即可求出抛物线的方程；（2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得，可得211244y y y y m n ==-+，，再根据PM PN ⊥，可得0PM PN ⋅=，列出方程代入211244y y y y m n ==-+，，化简可得2264850n n m m ---+=，再因式分解可得25n m =+或21n m =-+，再代入方程进行检验，即可求出结果. 【详解】（1）因为椭圆22143x y +=的焦点为()1,0±， 依题意，12p=，2p =，所以C ：24y x =（2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得2440y my n --=， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则211244y y y y m n ==-+，，由PM PN ⊥，则0PM PN ⋅=，即()()11221,21,20x y x y --⋅--=， 所以()()()()121211+220x x y y ----=即()()()()121211+220my n my n y y +-+---=，整理得到()()()()22121212+140m y y mn m y y n ++--+-+=，所以()()()224142+140n m m mn m n -++---+=，化简得2264850n n m m ---+=即()()22341n m -=-， 解得25n m =+或21n m =-+.当25n m =+时，直线MN 的方程为25x my m =++，即为()52x m y -=+，即直线过定点()5,2-；当21n m =-+时，直线MN 的方程为21xmy m ，即为()12x m y -=-，即直线过定点()1,2，此时与点P 重合，故应舍去，所以直线MN 过定点()5,2-. 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 9．（1）22164x y += （2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）由已知条件列出关于,,a b c 的方程组，解之可得；（2）设MN 的方程为11y k x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线方程代入椭圆方程，整理后由韦达定理得1212,x x x x +，然后计算34k k ⋅可得结论；②设PQ 的方程为2y k x t =+ ，设33(,)P x y ，44()Q x y ，，直线方程代入圆方程，整理后应用韦达定理得3434,x x x x +，由点的坐标求得BP BQ k k ⋅，利用它等于34k k ⋅可求得t 值，从而由直线方程得定点． （1）由题意2222a ca b c a⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2b a c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为：22164x y +=；（2）① 设MN 的方程为11y k x =-，与22164x y +=联立得：2211(32)690k x k x +--=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则112212222111632932Δ72(21)0k x x k x x k k ⎧+=⎪+⎪⎪=-⎨+⎪⎪=+>⎪⎩，12111234121222(3)(3)y y k x k x k k x x x x ----⋅=⋅==2112112123()92k x x k x x x x -++=- ②设PQ 的方程为2,2y k x t t =+≠ ，与22(1)1y x +-=联立2222(1)2(1)(2)0k x k t x t t ++-+-=，设33(,)P x y ，44()Q x y ，，则23422342222222(1)1(2)1Δ4(2)0k t x x k t t x x k k t t =-⎧+-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-+>⎪⎩222232324422234342(2)(2)2(2)2(2)(1)(1)(2)(2)BP BQ y k x t k x t y k t t k t t k t k k x x x x t t -+-+------++-⋅=⋅==-2222222(1)(1)(2)2k t k t k t t t t--++--==由34BP BQ k k k k ⋅=⋅，即222,,3t t t -=-∴=此时22284()09k ∆=+>， 所以PQ 的方程为223y k x =+，故直线PQ 恒过定点2(0,)3.10．（1）2212x y +=（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组求得,a b ，即可得到椭圆的标准方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，分直线AB 斜率存在与不存在两种情况证明.当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y kx m =+，联立椭圆方程消元后利用韦达定理及判别式求得22212122242221,,2121km m k m x x x x k k -+>+=-⋅=++，由124k k +=求得12k m =-，代入直线方程可证得直线过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，再考虑直线AB 的斜率不存在时情况，易证得结果.（1）由题意可得2221b c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y .①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+， 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=. 由()()()222222Δ16421228210k m k m k m =-+-=-+>，得2221k m +>.所以2121222422,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++．所以12121212121111y y kx m kx m k k x x x x +++++++=+=+()1212214x x k m x x +=++=， 即2241km k m -=-，所以21km k m =--，即()()2122km k m km k m =--=--+， 所以12k m =-，所以11122k y kx m kx k x ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.②当直线AB 斜率不存在时，()()1111,,,A x y B x y -，则11121111124y y k k x x x +-++=+==，所以112x =，则直线AB 也过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.综合①②，可得直线AB 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.11．（1）存在，过定点()1,0F （2【分析】（1）设直线MP 的方程为y kx b =+与抛物线方程联立方程组，消元后由判别式为0，得1kb =，这样可用k 表示出P 点坐标，从而也可得M 点坐标，然后求出MP 中垂线方程后可得定点；（2）由（1），求出PN 方程，与抛物线方程联立求得N 点坐标后，计算出PM ，PN ，从而得PMN 面积S 为k 的函数，其中0k >，利用导数可求得其最小值． （1）解：设直线MP 的方程为y kx b =+，和抛物线方程24y x =联立得：2440ky y b -+=， 由0k ≠，0∆=得1kb =，则2440ky y b -+=的解为2y k=， 由020y k =>得0k >，21y b x k k -==，得212,P k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 在y kx b =+中，令0y =得21b x k k =-=-，所以21,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，MP 中点为1(0,)k ，所以线段MP 的中垂线方程为()11y x k=--，所以线段MP 的中垂线过定点()1,0F . （2）解：由（1）可知，直线NP 的方程为23112112y x x k k k k k k⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭将其与抛物线方程24y x =联立得：2311204y y k k k ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，24,4N P N y y k y k k ⎛⎫∴+=-∴=-+ ⎪⎝⎭，22P M PM x k =-=，44N P PN y k k=-=-. 所以PMN 的面积为()()223410k S k k+=>，所以()()224413k k S k+-'=，当0k <<0S '<，S 单调递减，当k >0S '>，S 单调递增，所以k =min S =. 12．（1）24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩；（2）证明见解析. 【分析】（1）令(,)M x y ||1x =+，讨论0x ≥、0x <化简整理求轨迹方程.（2）由（1）得()1,2P ，设MN 为x my n =+，2111,4M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立抛物线方程应用韦达定理得124y y m +=，124y y n =-，根据题设条件有()12122360y y y y +++=，进而可得,n m 的数量关系，即可证明结论. （1）由题设，(,)M x y 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1，||1x =+，当0x ≥时，222(1)(1)x y x -+=+，整理得24y x =； 当0x <时，222(1)(1)x y x -+=-，整理得0y =；∴动点M 的轨迹W 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）证明：()()001,0P y y >，由（1）知：()1,2P ，设MN 的方程为x my n =+，2111,4M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，∴124y y m +=，124y y n =-，由1211241214PM y k y y -==+-，同理242PN k y =+，又12PM PN k k =-⋅， ∴()()12161222y y =-++， ∴()12122360y y y y +++=，则290n m -++=，即29n m =+（满足Δ0>）， 直线MN 的方程为()2929x my m m y =++=++， ∴直线MN 过定点()9,2-，得证． 13．（1）24y x =（2）直线过定点(2,0)【分析】（1）利用焦半径的定义可得P 的值，即可得到答案；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:l x my n =+，根据4OA OB ⋅=-可求得n 的值，即可得到答案； （1）2MF =，∴1222pp +=⇒=， ∴抛物线的标准方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:l x my n =+代入抛物线24y x =得： 2440y my n --=，∴121244y y my y n +=⎧⎨⋅=-⎩，12124OA OB x x y y ⋅=+=-，①又22112244y x y x ==，，()2212121616x x y y n ∴==，∴212x x n =，∴①等价于22440(2)02n n n n -+=⇒-=⇒=， ∴直线l 恒过定点(2,0).14． （1）2p = （2）证明见解析 【分析】(1) 设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为2y kx =+，与抛物线方程联立， 可求1212,x x x x +⋅，由4OA OB =-列方程求p 的值；(2) 设3344(,),(,)M x y N x y 利用导数的几何意义求切线12l l 和的方程，根据12l l ⊥可得344x x =-，化简直线MN 的方程，证明直线MN 过定点．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为2y kx =+，与抛物线方程联立， 整理可得2240.x pkx p --= 所以，12122,4x x pk x x p +=⋅=-，所以，221212122444 4.4x x OA OB x x y y p p p ⋅=+=-=-=- 所以， 2.p = （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设3344(,),(,)M x y N x y ，则抛物线在点M 处的切线方程为333()2xy y x x -=-，从而312x k =，同理422x k =， 因为12l l ⊥，所以121k k =-，即344x x =-， 又34343434223434()()4MN y y y y x x x x k x x x x --++===--， 从而直线MN 的方程为：3433()4x x y y x x +-=-， 将2334x y =，344x x =-带入化简得：3414x x y x +=+， 所以，直线MN 恒过定点(0,1)． 15．（1）22163x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设(,)P x y ，利用两点距离公式及点线距，结合已知条件可得2226x y +=，即可写出P 的轨迹方程C .（2）由（1）易知A 在椭圆C 上，设1122(,),(,)M x y N x y ，讨论MN 斜率：存在时令MN 为y kx m =+，联立椭圆方程结合韦达定理及0AM AN ⋅=可得2310k m ++=，可知MN 过定点；斜率不存在时由0AM AN ⋅=求M 、N 的横坐标，判断是否过同一定点，最后根据AD MN ⊥确定D 的轨迹为圆，进而确定圆心即可证结论. （1）设(,)P x y ，由题设2222[(](x y x +=-，整理得：2226x y +=，∴P 的轨迹方程C 为22163x y +=.（2）由（1）知：A 在椭圆C 上，设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 斜率存在时，令MN 为y kx m =+，联立椭圆C 并整理得：222(21)4260k x kmx m +++-=，∴222222168(3)(21)488240k m m k k m ∆=--+=-+>，则122421km x x k +=-+，21222(3)21m x x k -=+，故121222()221m y y k x x m k +=++=+，222212121226()21m k y y k x x km x x m k -=+++=+， ∵AM AN ⊥，而11(2,1)AM x y =--，22(2,1)AN x y =--，∴121212121212(2)(2)(1)(1)2()()5AM AN x x y y x x x x y y y y ⋅=--+--=-++-++=0； ∴由上整理得：2234821(231)(21)0m k km m k m k m ++--=+++-=.由题设知：A 不在MN 上，即210k m +-≠，故2310k m ++=，则2133k m +=-，∴MN 过定点21(,)33E -，当直线MN 斜率不存在时，则11(,)N x y -，由2211(2)10AM AN x y ⋅=-+-=，又221126x y +=，可得2113840x x -+=，解得123x =或12x =(舍)，∴此时MN 也过定点21(,)33E -，又AD MN ⊥，即90ADE ∠=︒，故D 在以AE 为直径的圆上且圆心为41(,)33.∴定点Q 41(,)33，使得||DQ 为定值，得证.【点睛】关键点点睛：第二问，讨论MN 斜率，联立椭圆方程及线段的垂直关系，利用向量垂直的坐标表示判断MN 所过的定点坐标，再由AD MN ⊥判断D 的轨迹为圆，找到圆心坐标，即为所要证的定点Q . 16．（1）221(2)64x y y +=≠±；（2）(Q . 【分析】（1）设(,)P x y ，应用斜率的两点式及已知条件可得222(2)3y y y x x +-⋅=-≠±，化简整理即可得C 的方程；（2）设(,0)Q n ，:MN l x my n =+(0)m ≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立曲线C ，结合韦达定理求MN 的中点坐标，进而写出MN 垂直平分线方程即可得R 的坐标，根据弦长公式及|||MN QR =可得22(42)(23)0n m -+=，即可求Q 的坐标.（1）设(,)P x y ，则直线PA ，PB 的斜率之积为222(2)3y y y x x +-⋅=-≠±， ∴整理得222312+=x y ，即221(2)64x y y +=≠±，因此，点P 的轨迹曲线C 的方程为221(2)64x y y +=≠±.（2）设(,0)Q n ，:MN l x my n =+(0)m ≠，11(,)M x y ，22(,)N x y .由2223120x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得222(23)42120m y mny n +++-=， 当2224(46)0m n ∆=-+>时，122423mn y y m -+=+，212221223n y y m -=+，∴||MN =又线段MN 的中点为22222,2323m n mn n m m ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，即2232,2323nmn m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， ∴线段MN 的垂直平分线为22232323mn n y m x m m -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得223R n x m =+，故2,023n m R ⎛+⎫⎪⎝⎭.由|||MN QR =223nm -+，整理得|2n =∴22(42)(23)0n m -+=，则有n =(Q . 17．（1）11,22-（2）证明见解析 【分析】（1）设出直线方程，与双曲线联立，利用判别式可求；（2）联立直线2l 与双曲线方程，利用韦达定理结合0AC BC ⋅=求出m 和k 关系即可证明. （1）由题意得直线1l 的斜率必存在，设()1:1l y k x =+，联立()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，得()2222148440k x k x k ----= 若2140k -=，即12k =±时，满足题意； 若2140k -≠，即12k ≠±时，令()()()22228414440k k k ∆=-----=，解之得k = 综上，1l的斜率为11,22-（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()()222148410k x kmx m ---+=，则：()()221222122164108144114m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=-⎩以线段AB 为直径的圆过双曲线的左顶点C ()2,0-，∴0AC BC ⋅=，即()121212240x x x x y y ++++=，由韦达定理知，()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-.则()2222224141640141414m m k mk k k k -+-+++=---， 整理得22316200m mk k -+=， 解得2m k =或103km =（均满足0∆>）. 当2m k =时，直线l ：()+2+2y kx m kx k k x =+==，此时，直线过点()2,0-，不满足题意，故舍去； 当103k m =时，直线l ：1010++33y kx m kx k k x ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，此时，直线恒过点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，满足题意.所以原题得证，即直线2l 过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.18．（1）24y x =或0(0)y x =<（2）(i)1x =-；(ii)证明见解析，定点为(1,0) 【分析】(1)设出P 点坐标，根据题意列式化简即可.(2) (i)设出切点，表示出切线方程，再联立两切线方程即可求出交点坐标；(ii)根据A 、B 两点坐标表示出直线AB 的点斜式方程，化简求出定点. （1）设(,)P x y ，则当0x ≥时，1PF x -=，1x =+，当x>0时化简得24y x =；当0x <时，由题意得0(0)y x =<，所以曲线C 的方程为：24y x =或0(0)y x =<.（2）(i)当0(0)y x =<时，不合题意，故设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则过点A 的切线为：1122y y x y =+，同理可得过点B 的切线为：2222yy x y =+.根据12l l ⊥可得124y y =-. 所以联立两条切线方程11222222y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得1M x =-，所以M 的轨迹为1x =-(ii)由题意可得AB l 的直线方程为：()211211122221211444444y y y y y y y x x y y y y -⎛⎫--=-=+ ⎪---⎝⎭， 所以必过()1,0 【点睛】求曲线方程的题通常有两种做法，一种是直接根据题意列式化简即可，一种需要结合图像，先根据定义分析出曲线为何种曲线，再进行计算.证明直线过定点常用方法为设而不求，得出参数之间的关系即可求得定点. 19．（1）2213y x -=（2）存在；定点M 的坐标为(1,0)- 【分析】（1）根据倾斜角得出渐近线的倾斜角，求出渐近线方程，进而得到a ,b 的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，最后解出a ,b 即可；（2）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率存在时，设出直线的点斜式方程并代入双曲线方程并化简，进而根据根与系数的关系与0MA MB →→⋅=得到答案. （1）双曲线的渐近线方程为by x a =±，因为两条渐近线的夹角为3π，故渐近线b y x a=的倾斜角为6π或3π，所以b a =b a =又22491a b -=，故22491b a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩或22491a a b ⎧⎪⎨-=⎪⎩（无解），故1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线2213y x -=．（2）双曲线的右焦点为2(2,0)F ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，因为0MA MB →→⋅=，所以()()12120x m x m y y --+=，整理得到()()()222212121240k x x m k x x m k +-++++=…①，由22(2)33y k x x y =-⎧⎨-=⎩可以得到()222234430k x k x k -+--=， 因为直线l 与双由线有两个不同的交点，故()()422216434336450k k k k ∆=+-+=+>且230k -≠，所以k ≠由题设有①对任意的k ≠ 因22121222443,33k k x x x x k k ++=-=---， 所以①可转化为()()22222222434124033k k k m k m k k k+-+++++=--，整理得到()()22231540m m m k -++-=对任意的k ≠故2210540m m m ⎧-=⎨+-=⎩，故1m =-即所求的定点M 的坐标为(1,0)-． 当直线l 的斜率不存在时，则:2l x =，此时(2,3),(2,3)A B -或(2,3),(2,3)-B A ， 此时330MA MB →→=-+=⋅． 综上，定点M 的坐标为(1,0)-． 【点睛】本题第（2）问是一道常规压轴题，根据向量数量积为0得到两点的坐标关系，然后结合根与系数的关系将式子化简，最后求出答案.20．（1）M (25，5)；（2）存在，7221(,),22k k x y x y k k --⎧⎫==⎨⎬--⎩⎭∣(k ∈R 且k ≠2).【分析】（1）设M (m 2，m )，因为A ，P ，M 三点共线，则斜率相等，代入计算可得m =5，从而求出点M 坐标；（2）设A (a 2，a )，B (b 2，b )，M (m 2，m )，N (n 2，n )，利用两点可求直线AM 的方程，代入P 点坐标，可解出212a m a -=-，同理解出212b n b -=-，联立直线AN 和BM ，解出R 的纵坐标，代入,m n ，得到(21)2(2)27R a b a y a b a --+=--+，直线AB 的方程过点Q (s ，t )，可通过代入Q 点建立,s t的关系，若R y 为定值，则得出比例关系为定值k ，从而找到,s t 的解的集合. 【详解】解：（1）设A (a 2，a )，B (b 2，b )，M (m 2，m )，N (n 2，n )， 因为A ，P ，M 三点共线， 所以2332991m m --=--，解得m =5， 所以点M (25，5).（2）直线AM 的方程为(a +m )y =x +am ， 将点P 代入可得2(a +m )=1+am ， 解得212a m a -=-，直线BM 的方程为：()b m y x bm +=+ 同理可得212b n b -=-，直线AN 的方程为：()a n y x an +=+ 再将直线AN 和BM 联立，得()()a n y x anb m y x bm+=+⎧⎨+=+⎩，解得n R a bmy a b n m-=-+-，代入得2121(2)(21)(2)(21)222121()(2)(2)(21)(2)(21)(2)22R b a a b a a b b n a b a y b a a b a b b a a b a b b a --⨯-⨯-------==-----+------+---2()2(21)2227(2)27ab a b a b a ab a b a b a -++--+==--+--+因为直线AB 的方程为(a +b )y =x +ab 过点Q (s ，t )， 则(a +b )t =s +ab ， 解得at sb a t-=-， 代入上式得，22(21)2(21)(22)2(2)(7)27(2)27R at sa a t a s a s t a t y at s t a s a s t a a a t --⨯-+-+-+--==--+-+--⨯-+-为常数， 只需要212222727t s s tk t s s t---===---，即722212k s k k t k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩(k ∈R 且k ≠2)，所以存在点Q 满足的集合为7221(,),22k k x y x y k k --⎧⎫==⎨⎬--⎩⎭∣(k ∈R 且k ≠2).【点睛】知识点点睛：定点定值问题若出现ax by cx d +=+为定值，则会有a b c d=为定值，即系数比为定值.21．（1）22182x y +=；（2）存在，点(4,0)G -. 【分析】（1）由直译法列出方程化简即可；（2）设出直线l 方程4x ty =-，以及11(,)M x y ，()()223,,,0N x y E x ,4(,0)F x ，0(,0)G x ,通过代换用t 表示0x ，化简得到一个常数即可. 【详解】（1）设点(,)P x y化简得22182x y += 故动点P 的轨迹C 的标准方程为22182x y += （2）设直线l 的方程为4x ty =-联立方程组224182x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)880t y ty +-+=，22226432(4)3212832(4)0,t t t t ∆=-+=-=-> 得: 2t >或2t <-12284ty y t +=+，12284y y t =+. 设 34(,0),(,0)E x F x ，定点G 存在，其坐标为0(,0)x()2,1B --，1112BM y k ty +∴=-，2212BN y k ty +=- 则121211:(2)1,:(2)121y y BM y x BN y x ty ty ++=+-=+--- 令0y =，求出与x 轴的交点,E F()()1122334411221212210,2,210,22121y ty y ty x x x x ty y ty y +-+-+-=+=+-=+=-+-+ ()32,1BE x =+， ()42,1BF x =+， ()40,0GF x x =-， ()30,0GE x x =- 0BE GF GE BF ⋅+⋅= 即有: 340430(2)()(2)()0,x x x x x x +-++-=即343434022()(4)0x x x x x x x ++-++= 343403422()4x x x x x x x ++=++3434340343422(4)828244x x x x x x x x x x x +++--==+++++∴343434342(224)441624x x x x x x x x +++---=+++3434342(2)(2)4(4)24x x x x x x ++-++=+++34342(2)(2)2(2)(2)x x x x ++=-+++()()()()()()12121221221121222222112222212111y t ty ty ty y y y t ty ty y ty y y y --⋅⋅--++=-=----++-++++ 21212121222()422(2)()4t y y t y y ty y t y y ⎡⎤-++⎣⎦=-+-+-()2222222228816248844428288424444t t t t t t t t t t t t t t -⋅-⋅+++++=-=--⋅+-+++222222168(4)83222484(4)416t t t t t t -++-+=-=-=--+- 即04x =-当直线l 与x轴重合时，00()(2)0,BE GF GE BF x x ⋅+⋅=-+-= 解得 0 4.x =-所以存在定点G ，G 的坐标为(4,0)-. 【点睛】 关键点点睛： 本题中3434343403434282(224)44162244x x x x x x x x x x x x x -+++---=+=+++++3434342(2)(2)4(4)24x x x x x x ++-++=+++这一步是为了凑出34(2),(2)x x ++，然后作整体替换.。
切线与切点弦方程
高三 17 班数学一轮复习学案 序号 教师 代鹏 学生圆锥曲线的切线方程与切点弦方程学习目标1.掌握利用复合函数求导原理，求过圆锥曲线上任一点的切线方程2.了解切点弦的概念；3.掌握圆锥曲线切点弦方程的求法4.能够处理与切线有关的距离、面积等问题； 一．知识回顾 1.复合函数的求导法则 记()y f x =，22()z y f x ==则()x y f x ''=，()22()2()()x xxz yfx f x f x ''''⎡⎤===⎣⎦即：2x x z yy ''=2.圆锥曲线的切点弦：过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的切线，切点分别为A,B ，连接A,B ，则线段AB 称为此圆锥曲线的切点弦。
此时AB 所在直线方程称为切点弦方程。
3.求曲线上某点的切线方程：关键是切点坐标和切线斜率的求解。
二．典型问题练习：尝试应用：1.在抛物线24y x =上找一点P ，使得P 到直线x+y+4=0的距离最小。
2.已知椭圆C:2214x y +=，过椭圆C 的右焦点F 且斜率为1的直线与椭圆交与AB 两点，在C 上找一点P ，使得三角形ABP 的面积最大。
圆锥曲线的切点弦方程 例 命题1 过圆x 2+y 2= r 2(r>0)，外一点P （a ，b ）作圆的两切线，切点为M 、N ，则直线MN 的方程为：ax+by=r 2证明：22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=例1 求证：过圆 上一点 的切线方程:2200220022(,)11x yP x y a b xx yy a b +=+=例2 设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：2200002222(,)11xx yy x y P x y a b a b -=-=设为双曲线上的点，求证：过该点的切线方程为：0000(,)2()P x y px yy p x x ==+2设为抛物线y 上的点，求证：过该点的切线方程为：命题2 过椭圆（a>b>0）外一点P （x 0，y 0）作椭圆的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：证明：练习 将命题3补充完整并证明命题3 过抛物线22y px =外一点P （x 0，y 0）作抛物线的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：尝试应用1.若椭圆的焦点在x 轴上，过点（1，）作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程。
圆锥曲线的解题方法
圆锥曲线的解题方法导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。
过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。
第一、圆锥曲线的解题方法：一、求圆锥曲线方程（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。
例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2、求动点P的轨迹方程。
解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。
（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。
上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。
（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。
例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。
解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。
解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。
二、圆锥曲线最值问题（1）化为求二次函数的最值根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。
例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。
（2）利用圆锥曲线性质求最值先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。
圆锥曲线的切点弦与应用
圆锥曲线的切点弦探究题引：由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，求即切点弦方程．一探：切点弦在圆中剖析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为()13-=-x k y ，利用r d =，求出k ，进而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可．尽管运算较复杂，但却是解析几何中最基础、最重要的方法．解法1：如图75—1所示，设过P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：()13-=-x k y ⇒03=-+-k y kx ．由题意易得r d =⇒3132=+-k k⇒0=k ，或43-=k ．故设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：1l ：3=y ，2l ：01543=-+y x ． 设两个切点分别为A 、B ，则联立3=y 与922=+y x ⇒)30(，A ．01543=-+y x 与922=+y x ⇒B （51259，）．故由两点式或点斜式易得两切点A 、B 所在的直线方程为093=-+y x ．剖析2：如图75—1所示，设两个切点分别为A 、B ，利用逆向思维及抽象思维，由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，亦可看作分别过A 、B 作圆922=+y x 的两条切线相交于P ．解法2：设切点A(11y x ，)，切点B(22y x ，)，则过A ，B 的圆的切线方程为：3l ：0911=-+y y x x ，4l ：0922=-+y y x x ．又3l 及4l 都过P(1，3)，由此得到09311=-+y x ， 09322=-+y x ．从具体到抽象，则过两个切点的直线方程为093=-+y x ．剖析3：因为过P(1，3)引922=+y x 的两条切线切线分别为PA 、PB ，则有2π=∠PAO ，2π=∠PBO ．联想到初中的四点共圆，得到巧解．解法3：如图75—1所示，由图和题意及上面的剖析得到四点P 、A 、O 、B 共圆，且圆的直径为OP ，以直径的OP 为直径的圆的方程为：0322=--+y x y x ．那么过A ，B 的直线就是圆0322=--+y x y x 与圆922=+y x 的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析4：由上述解法3得到启示，切点弦其实就是以P 点为圆心，以PA 为半径的圆与圆922=+y x 的公共弦．解法4：由题意易得PO =10，在POA Rt ∆中，PA =1，则以P 点为圆心，以PA 为半径的圆的方程为1)3()1(22=-+-y x ，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质．解法5：设两个切点分别为A 、B ，连接AB 与PO 相交于Q ，则有=OQ k OP k 30103=--=31-=⇒AB k ． 由于直线OQ 的方程为x y 3=，于是令)3(x x Q ，，利用 OBP ∆∽OQB ∆⇒OBOQOP OB =⇒3)30()0()30()10(32222x x -+-=-+-⇒109=x ⇒)1027109(，Q ⇒⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 这正是所要求的切点弦AB 的直线方程．剖析6：利用定比分点公式得到一种很少人使用的好方法．解法6：如图75—1所示，连接AB ，PO ，设AB 与PO 相交于点C ，则由平面几何中的射影定理等知识得到=COPC =POCO PO PC 22OAPA =91⇒λ=91． 由定比分点公式得到C x =9111+=109，C y =9113+=1027．上述解法5已得31-=AB k ，由直线的点斜式得到 ⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 二探我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切得到的交点，因此我们先从圆锥曲线的切线入手来展开探究．结论1：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+上，过点M 作圆的切线方程为200R y y x x =+．结论2：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200R y y x x =+．结论2：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．证明：由上述结论2可得过)(p p y x P ，的圆的切点弦AB 的直线方程为2R y y x x P P =+．又弦AB 过点M （0x ，0y ），即200R y y x x P P =+，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．上述结论能推广到圆心不在原点的情况吗？回答是肯定的！结论3：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-上，过点M 作圆的切线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：200))(())((R b y b y a x a x =--+--．那么对于圆的一般方程呢？也会得到同样的结论吗？结论5：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 上，过点M 作圆的切线方程为0220000=++++++F yy E x x Dy y x x ． 结论6：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 结论6：（补充）点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 运用类比推理，那么椭圆会有相似的结论吗？回答是肯定的！ 我们知道：椭圆方程可以通过变换得到圆的方程，于是得到结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ． 证明：由上述结论8可得过)(p p y x P ，的椭圆的切点弦AB 的直线方程为122=+byy a x x P P ，又弦AB 过点M （0x ，0y ），即12020=+by y a x x P P ，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线12020=+byy a x x ． 我们知道圆与椭圆均属于封闭曲线，那对于非封闭曲线，如双曲线是否也有同样的性质呢？回答也是肯定的！结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ． 我们知道圆、椭圆及双曲线均属于有心二次曲线，那对于无心二次曲线，如抛物线来说，上述性质能继续得到延伸吗？回答还是肯定的！结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=．上述研究的都是圆锥曲线的标准形式，那么对于圆锥曲线的非标准形式是否也有类似的结论呢？结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-b n y a m x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 内，过点M 作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ．结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．由上述结论8、10、12及结论16、17、18可得：结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．以下证明结论19:证明如下：设椭圆方程为12222=+by a x ，M⎪⎪⎭⎫⎝⎛t c a ，2，由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12=+btyc x ，显然过焦点)0(，c F ．当然容易验证：1-=⋅MF AB k k ． 同理可证结论20、21．事实上，结论19、20、21的逆命题也是成立的．由此得到：结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上．结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．以下证明结论22:证明如下：设M （0x ，0y ），由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ，因过焦点)0(，c F ，则有120=acx ，即c a x 20=，故点M 必在相应的准线c a x 2=上． 同理可证结论23、24．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27：M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．以下证明结论27：证明如下：由结论21可得AB 必为切点弦，因点M 在对称轴上，由对称性可得A ，B 也关于对称轴对称，故AB 就是通径．同理可证结论25、26．结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论11得到切线AM 的方程为)(11x x p y y +=．又切线AM 过)0,(m M -（0>m ），代入推出m x =1，同理m x =2，即切点弦AB 所在的直线方程为m x =，故必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ； （2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论7得到切线AM 的方程为12121=+byy a xx ． 又由于切线AM 过点),(n m M ，则得到12121=+bny a m x ． （1）当0=n ，a m >时，即点M 在x 轴时，代入得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． （2））当0=m ，b n >时，即点M 在y 轴时，代入得到n b y 21=，同理n b y 22=，即切点弦AB所在的直线方程为n b y 2=，故必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ． 证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论9得到切线AM 的方程为12121=-byy a xx ．又由于切线AM 过点)0,(m M ，则得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． 结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．证明如下：如图所示，令),2(121y p y A ，),2(222y pyB ，则221y y y N +=，又由结论11得到切线AM ，BM 的方程分别为：)2(211p y x p y y +=，)2(222p yx p y y +=⇒)(21y y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-p y y y y p 2))((2121 ⇒M y 221y y +=⇒N M y y =．故直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）与双曲线12222=-ny m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．证明如下：由题意易得2222n m b a +=-⇒2222n b m a +=-．令其交点M （0x ，0y ），则代入上述椭圆及双曲线方程得到1220220=+b y a x ，122220=-ny m x ⇒220y x =)()(22222222m a n b n b m a -+．依据结论7及结论9得到过点M 的椭圆与双曲线的切线方程分别为：12020=+b y y a x x ，12020=-nyy m x x ⇒21k k =20202222y x m a n b ⋅-=2222ma nb -+-=1-． 结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设椭圆方程为：12222=+b y a x （0>>b a ）由已知条件易得BQAQ BPAP =，令P 分有向线段AB 所成的比为λ，结合图便知Q 分有向线段AB 所成的比为λ-，设),(00y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x Q ，由定比分点公式推出⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x ⇒⎩⎨⎧+=++=+210210)1()1(y y y x x x λλλλ． ⎪⎩⎪⎨⎧--=--=λλλλ112121y y y x x x ⇒⎩⎨⎧-=--=-2121)1()1(y y y x x x λλλλ． 由上述两式结合并相乘得到⎩⎨⎧-=--=-22221202222120)1()1(y y yy x x xx λλλλ ⇒⎩⎨⎧-=--=-)()1()()1(222212220222212220y y a a yy x x b b xx λλλλ． ① 事实上，两个交点A ，B 都在椭圆上，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222221221)(1λλb y a x b y a x ． 由上述两式结合并相减整理得到+-)(222212x x b λ)(222212y y a λ-=)1(222λ-b a ． ②由①及②推出12020=+byy a x x ． 由结论33及圆锥曲线的共性同理可得：结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论33及其结论34的证明完全雷同于结论33的证明过程．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设双曲线方程为：12222=-b y a x （00>>b a ，），我们令),(00y x P ，),(''y x Q ，由前面结论10可得切点弦AB 所在的直线方程为12'2'=-byy a xx ，又点P 在直线AB上，则12'02'0=-by y a x x ，即),(''y x Q 在直线12020=-b y y a x x ，故动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．由结论36及圆锥曲线的共性同理可得：结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论37及其结论38的证明完全雷同于结论36的证明过程．结论39：从椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．三、一题多用的教学价值应用1．（补充）（2011年江西省高考试题）椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点⎪⎭⎫⎝⎛211，作圆122=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程．分析如下：由上述结论2可得切点弦AB 的直线方程为121=+y x ，因此可得右焦点为 )01(，，上顶点为)20(，，即1=c ，1=b ，故椭圆的方程为14522=+y x ． 应用2：（补充）（2012年福建省厦门一中模拟试题）设P 是抛物线x y 22=上的一个动点，过点P 作抛物线的切线与圆：122=+y x 相交于M 、N ，分别过M 、N 作圆的切线相交于Q ，求动点Q 的轨迹方程．分析如下：设)(00y x P ，，)(11y x Q ，，显然0202x y =，由上述结论11可得过点)(00y x P ，的抛物线的切线MN 方程为00x x y y +=，再由上述结论2可得过点)(11y x Q ，的圆的切点弦MN 直线方程为111=+y y x x ，依据两条直线重合，则对应项系数成比例得到101x x -=，110x y y -=，并代入0202x y =得到1212x y -=． 联立方程组：122=+y x 与00x x y y +=得到012)1(2000220=-+-+x y y x y y ，利用判别式可得0>∆，即2100+<<x ，即211-<x ，故动点Q 的轨迹方程1212x y -=，且211-<x ，即动点Q 的轨迹方程x y 22-=（21-<x ）．应用1．（2010年浙江省高中会考试题）设点)(n m P ，在圆222=+y x 上，l 是过点P 的圆的切线，且切线l 与抛物线k x x y ++=2相交于A ，B ． （1）若2-=k ，点P 恰好是线段A B 的中点，求点P 坐标；（2）是否存在实数k ，使得以A B 为底边的等腰三角形AOB 恰有3个？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．分析如下：（1）由结论1可得切线l 的方程为2=+ny mx （0≠n ），设)(11y x A ，，)(22y x B ，，将切线l 的方程与抛物线方程联立可得0)1(2)(2=+-++n x n m nx⇒m nm x x =+-=+221⇒mn n m -=+． 将之与222=+n m 联立解得⎩⎨⎧-=-=11n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=231231n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=231231n m ． 代入0>∆验证可得)11(--，P ，)231231(+-，P ． （2）由（1）可得以A B 为底边的等腰三角形AOB 当且仅当点P 恰好是线段A B 的中点，等腰三角形AOB 恰有3个可相应地转化为点P 有三解，故只要（1）中的三个解都满足0>∆，可得2331--<k ． 应用2．（课本习题）求证：椭圆192522=+y x 与双曲线111522=-y x 在其交点处的切线相互垂直． 证明如下：易得椭圆与双曲线的焦点相同，由结论32即可得证．应用3．（2008年安徽省高考试题压轴题第22题）设椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）过点)1,2(M ，且左焦点)0,2(1-F ．（1）求该椭圆的方程；（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，在线段AB 上任取一点Q ，=，证明点Q 总在某条定直线上．分析如下：（1）由已知易得所求椭圆的方程为12422=+y x ． （2）直接利用结论33即可得证．应用4．（2008年江西省高考试题第21题）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程； （2）求证：A M B 、、三点共线．分析如下：（1）（略）．（2）由结论10显然可得切点弦AB 所在的直线方程为100=-y y x x ，由于点P 的坐标为（m ，0y ），即m x =0，于是切点弦AB 所在的直线方程为10=-y y mx ，显然定点M (m1，0)满足该方程，于是三点A M B 、、共线．值得注意的是：其实，纵观近几年的高考试题，不难发现一个共同之处，那就是如果压轴题是解析几何，几乎其结论都是带有规律的普遍性结论，如2008年江西省高考试题第21题就是结论36的特例，2008年安徽省高考试题压轴题第22题就是结论33的一个特例．应用5．（2008年南通市第一次调研试题）已知点)10(，F ，点P 在x 轴上运动，点M 在y 轴上，N 为动点，且满足：0=⋅，+=．（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）由直线1-=y 上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．分析如下：（1）设)(y x N ，代入已知条件易得动点N 的轨迹C 的方程为y x 42=． （2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论21可得AQ ⊥BQ ．应用6．（2006全国高考试题）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（1）证明FM →·AB →为定值；（2）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．证明如下：（1） F 点的坐标为(0,1)设点A 、点B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由(0).AF FB λλ=>可得221212,1,144x x x x λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒1222121(1)44x x x x λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩． 由上述结论11可得过A 点、B 点的切线方程分别为2111()42x x y x x -=-，2222()42x xy x x -=-．联立可得点M 的坐标，代入得到FM →·AB →=0． （2）由（1）可得FM AB ⊥，我们易得2FM AB ==⇒2)(ABFM f S ⋅==λ=41213≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλ（当且仅当1λ=时取等号）．应用7．（2008年广东省（理科）高考试题）椭圆方程122222=+by b x （0>b ），抛物线方程为)(82b y x -=．如图所示，过点)20(+b F ，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 处的切线经过椭圆的右焦点1F ． （1）求满足条件的椭圆与抛物线方程；（2）设A ，B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．分析如下：（1）事实上，点)20(+b F ，就是抛物线的焦点，易得)24(+b G ，，由上述结论15易得抛物线在点G 处的切线方程为2-+=b x y ，显然椭圆的右焦点1F )0(，b ，代入得到1=b ，故椭圆方程11222=+y x ，抛物线方程为)1(82-=y x ．（2）因为过点A 作x 轴的的垂线与抛物线只有一个交点P ，所以以PAB ∠为直角三角形只有一个；同理以PBA ∠为直角三角形也只有一个．若以APB ∠为直角，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+1812x x P ，，因为)02(，-A ，)02(，B ，则有⋅=14564124-+x x =0． 易得上述方程只有两解，即以APB ∠为直角的三角形存在两个． 综上所述，抛物线上存在四个这样的点P ，使得ABP ∆为直角三角形． 应用8．证明结论39．证明如下：设椭圆上切点M )sin cos (ααb a ，，由结论7可得过点M 的切线方程为1sin cos 22=+by b a x a αα⇒ab y a x b =+ααsin cos ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααsin cos sin ac y b x a =-． 上述两式平方相加即可得证．四、一组巩固训练题练习1．从191622=-y x 的右焦点向双曲线的动切线引垂线，求垂足的轨迹图形的面积． 练习2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点)10(，B ，点)0(，a A （0≠a ）是x 轴上的动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使得AD AP =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）点Q 是直线1-=y 上的一个动点，过点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求证：MQ ⊥NQ ．练习3．（2005年江西省高考试题）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程； （2）证明∠PFA=∠PFB ．练习4．（2010年江西省九江一中模拟试题）开口向上的抛物线2:ax y C =与经过点)0,3(A 且斜率为)0(<k k 的直线l 相交于点M 、N ，已知抛物线C 在点M 、N 处的切线所成的角为55arccos，并且18||||=AN AM ，求直线l 与抛物线C 的方程． 练习5．证明结论40．练习6．（2004年济南市高考模拟试题）过椭圆C ：14822=+y x 上一点)(00y x P ，向圆O ：422=+y x 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴相交于M 、N ． （1）试用0x ，0y 来表示直线AB 的方程； （2）求MON ∆面积的最小值．练习7．（2005年福建省模拟试题）从直线x y =上任一点P 引抛物线12+=x y 两条切线，切点分别为A ，B ，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程．五、巩固训练题参考答案1．分析如下：由结论40可得垂足的轨迹方程为1622=+y x ，则图形面积为π16．2．分析如下：（1）易得动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=（0≠y ）．（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论可得MQ ⊥NQ ．3．分析如下：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，由上述结论11可得切线AP ，BP 的方程分别为为：02200=--x y x x ，02211=--x y x x ，解得10102x x y x x x P P =+=， ⇒P PG x x x x x =++=310，3310212010x x x x y y y y P G ++=++=343)(210210pP y x x x x x -=-+= ⇒243GG p x y y +-=． 由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：02)43(2=-+--x y x ⇒)24(312+-=x x y ．（2）).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x由于P 点在抛物线外，则0||≠FP ，由此可得||||cos FA FP AFP =∠41)1)(1(102010010x x x x x x x x +=--+⋅+=． 同理可得41cos 10x x BFP +=∠，故∠AFP=∠PFB ．4．分析如下：设),(211ax x M 、),(222ax x N ，不妨设M 在第一象限，N 在第二象限，由结论11可得抛物线在点M 处的切线斜率为12ax ，点N 处的切线斜率为22ax ，设两条切线所成的角为α，则2tan =α，即241)(221212=+-x x a x x a ⇔)(4112212x x a x x a -=+． ① 由于M 、N 、A 共线，所以33222121-=-x ax x ax ⇒)(32121x x x x += ． ②由已知18||||=⋅AN AM ，则有18),3(),3(222211=-⋅-ax x ax x ⇒933222122121=+--x x a x x x x ．将②代入得到922212=x x a ，又0>a ，01>x ，02>x ，则有321-=x ax ，ax x 321-=． ③ 将③代入②得到ax x 121-=+． ④ 将③代入①得到12112-=-ax x ． ⑤ 将③、④、⑤代入21221212)(4)(x x x x x x +=+-得到22)1()3(4)121(a a a -=-+-⇒41=a ，0=a （舍去）． 将41=a 代入④、⑤得6,221-==x x ． 故直线l 的方程为：3+-=x y ，抛物线C 的方程：241x y =． 5．证明如下：设双曲线上切点M )tan sec (ααb a ，，由结论9可得过点M 的切线方程为1tan sec 22=-by b a x a αα⇒ab y a x b =-ααtan sec ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααtan sec tan ac y b x a =+．上述两式平方相加即可得证．6．分析如下：（1）由结论2可得直线AB （切点弦）的方程为400=+y y x x ．（2）由（1）易得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040，x M ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040y N ，，则三角形面积公式及均值不等式可得 =S 008y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛22222200y x 2248222020=+≥y x ． 7．分析如下：设)(00y x P ，，)(y x Q ，，)(11y x A ，，)(22y x B ，，由结论12可得切点弦AB 的方程为1200+=+x x y x ，即02200=-+-x y x x ，与12+=x y 联立得到 012002=-+-x x x x ⇒0212x x x =+．)22()22(02001021x x x x x x y y -++-+=+=424020+-x x⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+==+=222202021021x x y y y x x x x ⇒222+-=x x y ．。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
（2）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ；
（3）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ．
同理可得焦点在 轴上的情形．
【结论4】（1）过圆 上一点 切线方程为 ；
（2）当 在椭圆 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为 ．
【结论5】（1）过双曲线 上一点 处的切线方程为 ；
（2）当 在双曲线 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： ．
证明：（1） 的两边对x求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，又 所求的切线方程为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
例6．
6．已知椭圆 与直线 相切于点 ，且点 在第一象限，若直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．若过原点O的直线 与 垂直交与点 ，证明： 定值．
【强化训练】
7．若椭圆 的焦点在x轴上，过点 作圆 的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ；
（2）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ．
证明：（1）设切线方程为 ，联立 方程得：
，
若 即 ， ，
令 化简可得： ， ，故切线方程为 ．
同理可证情形（2）．
【评注】 ， ，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
圆锥曲线上某一点处的切线方程
圆锥曲线上某一点处的切线方程
赵广华;尼志福
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2017(000)015
【摘要】在做解析几何大题时,需求曲线上某一点处的切线方程,那么圆锥曲线上某一点处的切线方程有没有一般形式呢？我们研究一下.
【总页数】1页(P145-145)
【作者】赵广华;尼志福
【作者单位】枣庄市第三中学,山东枣庄277100;枣庄市第三中学,山东枣庄277100
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.惊人的相似完美的统一——圆锥曲线呻点弦所在直线方程和圆锥曲线在某点处的切线方程
2.椭圆上一点处切线方程的几种求法
3.圆锥曲线上一点处的切线方程的简单证明
4.经过圆锥曲线外一点的切线方程公式
5.线性正泛函序列在某一点处的收敛性
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过圆锥曲线上一点的切线方程的另一种初等求法
先看一个具体问题： 求过椭圆13422=+y x 上一点)23,1(P 的切线方程． 在中学阶段解决此类问题，一般采用∆方法，即设切线方程为)1(23-=-x k y ，代入13
42
2=+y x ，整理得关于x 的一元二次方程： 03124)128()43(2222=--++-++k k x k k x k ，
通过判别式∆＝0)3124)(43(4)128(2222=--+-+-k k k k k ，解得2
1-=k ，故所求切线方程为042=-+y x ．
这种方法思路直，用到知识少，学生容易掌握，不足之处是运算量偏大，出错率高．那么能否给出一种求解思路简单，而运算量又较小的方法呢？
命题：),(00y x P 为圆锥曲线0),(:=y x f C 上一点，则曲线C 上过P 点的切线方程为0)2,2(),(00=---y y x x f y x f （＊）
证明：因0),(=y x f 为二次曲线方程，知方程（＊）代表的是一条直线，记为l ．假设直线l 与曲线C 除了点),(00y x P 外还有一个公共点),(111y x P ，则有0),(11=y x f 和0)2,2(),(101011=---y y x x f y x f 同时成立，从而0)2,2(1010=--y y x x f ，这表明),(111y x P 关于点),(00y x P 的对称点)2,2(10102y y x x P --也在曲线C 上，因1,P P 点在直线l 上，故2P 点也在直线l 上，可见直线l 与曲线C 有三个公共点，这与直线与二次曲线最多只有两个公共点矛盾，从而证明了直线l 与曲线C 有且只有一个公共点． （１）当0),(=y x f 表示椭圆时，由于椭圆是封闭曲线，直线l 就是切线，方程（＊）即为切线方程．
（２）当0),(=y x f 表示双曲线时，只要断定直线l 与双曲线的渐近线不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程．
设双曲线C 方程：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，则方程（＊）： 020********=-+-x b y a y y a x x b ．
当00≠y 时，其斜率0202y a x b k =，因渐近线斜率为a b ±，若a b y a x b =0202 或 a b y a x b -=0
202，则,000=-ay bx 或,000=+ay bx 从而0202202=-y a x b ，与
),(00y x P 在双曲线C 上，满足222
02202b a y a x b =-矛盾，故直线l 与双曲线的渐近线不平行；又当00=y 时，双曲线C 的切线方程为0x x =，也满足方程（＊），从而知方程（＊）为双曲线C 的切线方程．
（３）当0),(=y x f 表示抛物线时，只要断定直线l 与抛物线的对称轴不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程．
设抛物线C 的方程：)0(22>=p px y ，则方程（＊）：00200=-+-px y y y px ． 当00≠y 时，其斜率00
≠=y p k ，故直线l 与抛物线C 的对称轴不平行；又当00=y 时，抛物线C 的切线方程为0x x =，也满足方程（＊），从而知方程（＊）为抛物线C 的切线方程．
综上所述，方程（＊）为圆锥曲线C 上过P 点的切线方程．
下面用此命题给出的方法解决本文一开始提出的问题． 解：椭圆13422=+y x 关于点)23,1(P 对称的椭圆方程为13)3(4)2(22=-+-y x ， 将这两个椭圆方程相减：-+342
2y x 03
)3(4)2(22=---y x ， 整理得042=-+y x ，即为所求的切线方程．。