自回归移动平均模型

2
2 x
• 自相关函数：
rk k 2 x r0
0 1, k k , k 1
rk
自相关函数的估计
ˆx
(x
t 1
T
t
x )(xt k x )
2 ( x x ) t t 1
T
ˆk r ˆ0 r
1 T x xt T t 1
rt ,t Var( xt )
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t ,s
rt , s rtt rss
t ,s s,t
t ,t 1
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列 {xt, t=0,±1,±2,· · · }
2 Ex ，且满足以下条件： 对任意整数t， t
AR(p) 自相关函数的拖尾性
• 对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一 步之后为零（截尾），而是按指数衰减， 称其具有拖尾性
举例
ρk 1
yt 2 0.9 yt 1 t
k 0.9k
0
k
yt
yt 2 0.9 yt 1 t
的序列
20
t
④ 偏自相关函数
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程 1 1 2 1 p p 1 2 1 1 2 p p 2
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
1 1 2 1 p p 1 2 1 1 2 p p 2
p 1 p 1 2 p 2 p
例：求AR(1)的自相关函数
xt xt 1 t
3. 随机时间序列模型
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
(1) 自回归模型及其性质
• • • • • 定义 平稳条件 自相关函数 偏自相关函数 滞后算子形式
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系
xt 1xt 1 2 xt 2 p xt p t
等, 则称xt 为随机过程
T 1， 2， 等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,· · · , xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实 • 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
AR(p)的偏自相关 函数具有截尾性
⑤ AR(p)的滞后算子形式
引进滞后算子B： Bxt xt 1 一般有： Bn xt xt n AR(p)
B0 1
xt 1xt 1 2 xt 2 p xt p t
(1 1B 2 B p B p ) xt t
p 1 p 1 2 p 2 p
ˆ1， ˆ 2， 对一个自回归序列求 ˆ ˆ ˆ ，记 假设p 1，得
1 1 1
1
ˆ , ˆ ，如果 ˆ 不显著为零，记 ˆ 假设p 2，得 1 2 2 2 2 序列 1， 2， 3， 称为偏自相关函数 对于p阶自回归模型，当 j p时，a j 0
• 滑动平均模型 • 加权滑动平均模型
• 二次滑动平均模型
• 指数平滑模型
(1) 滑动平均模型
yt yt 1 yt N 1 ˆt y N
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用 于预测趋势
(2) 加权滑动平均模型
a0 yt a1 yt 1 a N 1 yt N 1 ˆ tw y N
k k 1
k 1 k 2

k
k
例： AR(2)的自相关函数
xt 1xt 1 2 xt 2 t
k 1 k 1 2 k 2
取k=1
1 1 0 2 1
1 1 1 2
取k=2
取k=3
12 2 (1 2 ) 2 1 1 2 2 1 2 13 212 122 3 1 2 2 1 3 1 2
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对 t T，取xt为随机变量，
xt , t T 对于该随机变量的全体

当取T为连续集，如 T (,)或T [0,) 当取T为离散集，如 T ， 2， 1， 0， 1， 2， 或
随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt 1 t xt 1 xt 2 t 1
xt t t 1 t 2 t 3
• 均值函数：某个时刻t的性质
E ( xt ) t xpt ( x)dx


pt ( x)是xt 的概率密度函数
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质
rt ,s Cov( xt , xs ) E( xt Ext )(xs Exs )
rt ,s rs,t
tN
a
其中
i 0
N 1
i
N
1
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确
(3) 二次滑动平均模型
ˆt y ˆ t 1 y ˆ t N 1 y ˆ ˆt y N
tN
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
记 p (B) 1 1B 2 B p B p
p ( B) xt t
或
1 xt p (B)t
(2) 移动平均模型及其性质
• 定义 • 自相关函数 • 滞后算子形式
① 移动平均模型的定义
• 在序列{xt}中， xt表示为若干个白噪声的 加权平均和
1) 对任意t，均值恒为常数 2)
Ext (与t无关的常数 )
Varxt 2 (与t无关的有限常数 ) x 3) 对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关 rt ,t k rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
xt
t
xt
t
平稳序列的特性
• 方差
rt ,t r0 E[(xt ) ]
时间序列分析入门
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质
• 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据 • 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
Var ( xt ) 2 (1 2 4 6 )
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
rt ,t k Cov( xt , xt k ) E ( xt xt k ) 2 k (1 2 4 6 ) t充分大时，rt ,t k
2 3
是否平稳？
均值为零？ 方差为有限常数？ 自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
xt t t 1 t 2 t 3
2 3
• 均值
E( t ) 0 E( xt ) 0
• 方差
成立
2 (1)t充分大时Var ( xt ) ，与t无关 2 1 满足这两个 条件成立 ( 2) 1时，Var ( xt )为有限常数
两边同除以r0 • 自相关函数
rk k 1 k 1 2 k 2 p k p r0
AR(p)的自相关函数
rk k 1 k 1 2 k 2 p k p r0 k k , 0 1
• 自回归模型与移动平均模型的综合
xt 1xt 1 2 xt 2 p xt p t 1t 1 2t 2 qt q
计为ARMA(p,q)
AR( p) ARMA( p,0) MA(q) ARMA(0, q)
平稳序列的判断
ρk
1
ρk
1
0 平稳序列的自相关函数
k
0
k
非平稳序列的自相关函数
迅速下降到零
缓慢下降
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
• 随机序列{xt}对任何xt和xt都不相关，且 均值为零，方差为有限常数
Ext 0 r0
2 x
rk 0( k 0)
• 正态白噪声序列：白噪声序列，且服从 正态分布
(4) 指数平滑模型
ˆt y ˆt 1 ( yt 1 y ˆt 1 ) y ˆt yt 1 (1 ) y ˆt 1 y
0 1 平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
二. 随机时间序列模型及其性质
• 随机时间序列 • 平稳时间序列
• 随机时间序列模型
r1 Cov( xt , xt 1 ) E[(t 1t 1 )(t 1 1 t )] 1 2
r1 1 1 ห้องสมุดไป่ตู้ r0 1 12
2 3 0
MA(q) 的自相关函数
1 k 1 k 1 2 k 1 q k q k 2 2 2 1 1 2 q 0
k=0
k=1,2,· · · ,q
k>q
k大于q时k为零，称作截尾性
举例
ρk
1
yt 2 t 0.8 t 1
0 .8 1 0.49 2 1 0 .8
0.5
0
1
2
3
k
yt 2 t 0.8 t 1 的序列
yt 5
3
1
-1
t
③ 滞后算子形式
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q ( B) t
xt t 1t 1 2t 2 qt q
其中{εt}是白噪声序列，这样的模型称为 q阶移动平均模型，计为MA(q)
② MA(1) 的自相关函数
xt t 1 t 1
E ( t ) E ( t 1 ) 0 E ( xt ) 0 Var ( xt ) E ( xt2 ) E ( t2 12 t21 21 t t 1 ) (1 12 ) 2
t (B) xt
1 q
其中
q (B) 1 1B 2 B q B
2
q
AR(p)与MR(q)的比较
AR(1) MR(1)
xt xt 1 t
xt 1 t 1 t
(3) 自回归移动平均模型
• 定义 • 性质 • 滞后算子形式
① 自回归移动平均模型
2 k k Var ( xt ) 2 1
仅与k有关，与t无关
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)的自相关函数
• 自协方差函数
rk E ( xt xt k ) Ext (1 xt k 1 2 xt k 2 p xt k p t k ) Ext1 xt k 1 Ext2 xt k 2 Ext p xt k p 1 rk 1 2 rk 2 p rk p