完整版二次根式定义及性质
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结1. 二次根式的定义和性质二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。
以下是二次根式的一些重要性质：•非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。
•平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。
•唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。
2. 化简和计算二次根式化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。
下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。
•分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。
•有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来有理化分母，例如√2=√22。
•乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅√b=√ab和√a√b =√a√b⋅√b√b=√abb。
3. 二次根式的性质和定理二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。
以下是一些常见的性质和定理：•无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。
•比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a<b，那么√a<√b。
•平方根的加法公式：√a+√b不能化简为一个更简单的形式，除非a和b 存在某种特殊关系（例如互为有理数倍）。
•平方根的乘法公式：√a⋅√b=√ab，其中a和b可以是任意非负实数。
4. 解二次根式的方程和不等式解二次根式的方程和不等式是应用二次根式知识的重要方面。
以下是一些解决这类问题的方法：•方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。
•不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。
5. 与其他数学概念的关系二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。
以下是一些与二次根式相关的重要概念：•平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。
二次根式的概念和性质
前提知识之阳早格格创做
1、二次根式的定义：
咱们已经知讲：每一个正真数有且惟有二个仄圆根，一个记做，称为的算术仄圆根；另一个是.
咱们把形如的式子喊做二次根式，根号下的数喊做被启圆数.
由于正在真数范畴内，背真数不仄圆根，果此惟有当被启圆数利害背真数时，二次根式才正在真数范畴内蓄意思．
2、二次根式的本量
3、二次根式的积的算数仄圆根的本量
4、末尾的估计截止，具备以下特性：
（1）被启圆数中不含启得尽圆的果数（或者果式）；（2）被启圆数不含分母.
咱们把谦脚上述二个条件的二次根式，喊做最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，末尾截止央供被启圆数中不含启得尽圆的果数.
②化简二次根式时，末尾截止央供被启圆数不含分母.
③以后正在化简二次根式时，不妨曲交把根号下的每一个仄圆果子来掉仄圆号以来移到根号中（注意：从根号下曲交移到根号中的数必须利害背数）.
题型一、二次根式的观念战条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的本量
【例7】估计
【例8】
【例??】
【练一练】
??、
??、
??、
7、
题型三积的算数仄圆根的本量【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简
【例题粗析】
【例15】
【例16】
【例17】
【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式在数学中是一个十分重要的概念，涉及到数学中的代数、方程、函数等多个知识领域。
本文将介绍二次根式的定义、性质、运算法则以及实际问题中的应用，并且通过实例帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的定义在数学中，二次根式是指形如$\\sqrt{a}$的表达式，其中a是一个实数且$a\\geq0$。
该表达式表示的是一个非负实数，使得它的平方等于a，即$(\\sqrt{a})^2 = a$。
二、二次根式的性质1.二次根式的值一定是非负实数，即$\\sqrt{a} \\geq 0$。
2.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} =\\sqrt{ab}$。
3.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$不一定等于$\\sqrt{a+b}$。
三、二次根式的运算法则1.加减法：二次根式只有在被加减数相同时才能相加或相减，即$\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{a} = 2\\sqrt{a}$。
2.乘法：二次根式的乘法可按照分配律进行展开，即$(\\sqrt{a} \\pm\\sqrt{b})(\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{b}) = a + 2\\sqrt{ab} + b$。
3.除法：二次根式的除法需要进行有理化处理，即将分母中的二次根式消去。
四、二次根式的应用二次根式常常在实际问题中得到应用，比如在几何中计算斜边长、梯形面积等问题中经常会出现。
下面通过一个实际问题来展示二次根式的应用：例题：一个正方形的对角线长为$\\sqrt{2}$米，求正方形的边长。
解答：设正方形的边长为x米，则根据勾股定理可得：x2+x2=2。
化简得到2x2=2，解方程得x=1。
因此，正方形的边长为1米。
结语通过本文的介绍，相信读者对二次根式有了更深入的了解。
二次根式作为数学中的一个基础知识点，在代数、几何、概率等各个领域都有着重要的应用价值。
二次根式的概念和性质
基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的。
算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数围，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数围有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。
通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。
一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。
普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。
二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。
当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。
二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。
例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。
例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。
例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。
2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。
3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。
例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。
例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式是数学中重要的概念之一，它涉及到平方根的运算和性质。
在本文中，我们将详细介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。
1. 定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
√a表示a的平方根，即一个数的平方等于a。
例如，√9等于3，因为3的平方等于9。
2. 性质（1）对于任意非负实数a和b，有以下性质：a) √a * √b = √(a * b)b) √(a / b) = √a / √bc) (√a)^2 = a（2）二次根式与有理数的关系：a) 如果a是一个完全平方数，即a = b^2，其中b为有理数，则√a是一个有理数。
b) 如果a不是一个完全平方数，则√a是一个无理数。
（3）二次根式的化简：a) 如果a可以因式分解为完全平方数的乘积，则可以将二次根式化简为一个有理数。
b) 如果a不可因式分解为完全平方数的乘积，则二次根式无法化简。
3. 应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：（1）几何问题：二次根式可以用于计算直角三角形的斜边长度。
例如，在一个边长为a的正方形中，对角线的长度可以表示为√(2a^2)。
（2）物理问题：二次根式可以用于计算物体的速度、加速度等。
例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以表示为h = 1/2 * g * t^2，其中h为下落距离，g为重力加速度，t为时间。
（3）金融问题：二次根式可以用于计算利息、久期等金融指标。
例如，复利计算公式中涉及到年利率的开平方运算。
总结：二次根式作为数学的一个重要概念，涉及到平方根的运算和性质。
通过了解二次根式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。
在几何、物理、金融等实际问题中，二次根式都有广泛的应用，帮助我们解决复杂的计算和分析。
因此，对于二次根式的学习和掌握是数学学习的关键之一。
以上是对二次根式概念的详细介绍，希望对您有所帮助。
通过深入学习和练习，相信您会更加熟练地运用二次根式，并在解决实际问题中发挥其重要作用。
二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简二次根式是指含有平方根的表达式，它在数学中有着重要的应用。
本文将探讨二次根式的性质以及化简方法。
一、二次根式的性质1. 二次根式的定义与表示：二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
二次根式可以用分数指数表示，即a的1/2次方。
2. 二次根式的运算性质：（1）加法与减法：当二次根式的根数相同时，可以进行加法或减法运算。
例如√a + √b = √(a + b)，√a - √b = √(a - b)。
（2）乘法与除法：当二次根式的根数相同时，可以进行乘法或除法运算。
例如√a × √b = √(a × b)，√a / √b = √(a / b)。
3. 二次根式的化简与分解：对于二次根式而言，有时可以进行化简与分解。
例如√(a^2) = a，√(a/b) = √a / √b。
二、二次根式的化简方法1. 化简含有相同根数的二次根式：当两个二次根式具有相同根数时，可以根据运算规律进行化简。
例如√(a) × √(b) = √(a × b)，√(a) / √(b) = √(a / b)。
2. 化简含有不同根数的二次根式：当两个二次根式具有不同根数时，可以通过有理化的方法进行化简。
有理化的目的是将二次根式的分母消去。
具体操作步骤如下：（1）将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
（2）将有理化后的分母进行分配。
（3）将相同根数的二次根式合并，并进行运算。
3. 示例：化简二次根式√(15) / √(3)：（1）将含有二次根式的分母进行有理化，即√(3) × √(3) = 3。
（2）有理化后的分母为3。
（3）利用有理化后的分母，进行分配运算，即（√(15) × √(3)) / 3。
（4）合并二次根式，即√(45) / 3。
（5）化简二次根式，即3√(5) / 3。
（6）最终得到化简后的结果：√(5)。
4. 注意事项：化简二次根式时，需要注意分母不能为零，同时要注意因式分解的方法，以便于简化运算步骤。
二次根式的概念和性质是什么
二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零，即 ;3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。
6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。
7. [任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ， (a<0)，﹙a≥0﹚， (a<0)。
9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。
10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。
二次根式的概念和性质
【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，
3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9
12、 （2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4， ；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间 【答案】 C 【解析】 设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法 （1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比 较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法
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二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） ． 二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】 该题考查的是二次根式． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1
二次根式的定义及性质
二次根式的定义及性质1、二次根式的定义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式（1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性 二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。
2、二次根式的主要性质 （1）())0(2≥=a a a （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a aa a a3、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a =来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a ba -=-+来确定．如: aa4、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式叫最简二次根式 最简二次根式的条件①号内不含有开的尽方的因数或因式，②根号内不含有分母，③分母不含有根号。
5、 同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式6、 乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab7、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a 8、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式例1、下列式子中二次根式的个数有（ ）（1）31（2）3-（3）12+-x （4）38（5）2)31(-（6）)1(1>-x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式练习】1、下列各式中，一定是二次根式的有______________________________① a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x2、222++a a 是不是二次根式？___________（填“是”或“否”）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性例2、（2012.德阳）使代数式12-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.210≠≥x x 且 D.一切实数 例3、 函数1213-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________【变式练习】1、 使12--x x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______________ 2、（2012.杭州）已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________3、若2)(11y x x x +=---，则______=-y x())0(2≥=a a a例4、计算： (1) (2) (3) (4)(b ≥0) (5)【变式练习】计算： (1)； (2)； (3)； (4). ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a例5、化简: (1)； (2)； (3)； (4).例6、2x =，则x 的取值范围是 。
八下数学16.1二次根式概念和性质
2
2 3
32
2
2 3 6
2
2
(5) x xy x2 xy x2 xy x3 y
反之，a ( a ) 2 (a 0)
1.利用a ( a ) 2 (a 0) 把下列非负 数分别写成一个非负数的平方的形式。
（1）9
（2）5 （3）2.5
解：9= 92=32
解：5=
2
5
（4）0.25
x2 2x 1 = （x－1）2 = | x 1|
当x 3时，
原式= | 3－1 | = 3＋1
试一试
1.计算下列各题:
2
(1) 15 (2)
1
2
5
2.若 (1 x)2 1 x ,则x的取值范围为 (
)A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
3.
a2
与
（√
a
2
）
a
二次根号
a 读作“根号 ”
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(1) 代数式 a 是二次根式吗?
答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
分母不为0 被开方数大于等于0 结合数轴,写出解集来
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式。
二次根式有意义的条件:
a0
当a 0时，a表示a的算术平方根，故 a 0 当a=0时，a表示0的算术平方根，故 a =0
二次根式性质: a 0 ， a 0 （双重非负性）
二次根式的性质与计算
二次根式的性质与计算二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数表达式和方程求解中有着广泛的应用。
本文将介绍二次根式的性质，并探讨如何进行二次根式的计算。
一、二次根式的性质1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
根号下面的数称为被开方数。
2. 化简与合并：当被开方数是一个常数时，我们可以化简二次根式来得到一个最简形式，并且对不同的二次根式可以进行合并操作。
例如：√4 = 2√9 = 3√(4+9) = √133. 乘法与除法：二次根式之间可以进行乘法和除法运算，其中乘法的规则如下：√a * √b = √(a*b)同理，除法的规则如下：√a / √b = √(a/b)√2 * √3 = √(2*3) = √6√6 / √2 = √(6/2) = √34. 有理化：有理化是指将分母有二次根式的分式转化为分母为有理数的分式。
有理化的方法是将分子和分母同时乘以分母的共轭形式。
例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3)(√2 - √3))= (√2 - √3) / (2 - 3)= (√2 - √3) / (-1)= -√2 + √3二、二次根式的计算1. 加法与减法：二次根式之间可以进行加法和减法运算，只要它们的被开方数相同。
例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √3 = √5 - √3 （无法合并）2. 乘法：二次根式之间可以进行乘法运算，根据乘法规则，我们可以将二次根式的被开方数相乘，并将结果开方。
√2 * √3 = √63. 除法：二次根式之间可以进行除法运算，根据除法规则，我们可以将二次根式的被开方数相除，并将结果开方。
例如：√6 / √2 = √(6/2) = √34. 分式运算：在分式的计算中，二次根式可以作为分子或者分母出现。
我们可以按照有理化的方法将分母有二次根式的分式转化为分母为有理数的分式，然后进行简化计算。
例如：1 / (√2 + √3) = -√2 + √3结论：二次根式拥有多种性质，我们可以通过化简合并、乘法、除法和有理化等运算来对二次根式进行计算。
二次根式的定义和基本性质
二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。
它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。
在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。
二次根式的定义：二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。
当x小于0时，√x是一个虚数。
在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。
基本性质：1. 非负数的平方根：对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
2. 平方根的乘法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√(a * b) = √a * √b例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 63. 平方根的除法：对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则：√(a / b) = √a / √b例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.54. 平方根的加法与减法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。
例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √55. 平方根的乘方：对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则：(√a)^n = a^(1/n)例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 36. 平方根的传递性：对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。
例如，√4小于√9，因为4小于9。
通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。
例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。
需要注意的是，对于负数的平方根，我们引入了虚数单位i。
虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。
负数的平方根被称为虚数，属于复数的一种。
虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。
二次根式的性质开平方与乘方的关系
二次根式的性质开平方与乘方的关系二次根式是数学中的一个重要概念，它与开平方和乘方密切相关。
本文将从二次根式的定义开始，探讨二次根式的性质以及它与开平方和乘方之间的关系。
1. 二次根式的定义二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，√符号表示开平方的操作，它将非负实数的平方根提取出来。
例如，√9的结果是3，因为3的平方等于9。
2. 二次根式的性质二次根式具有以下性质：- 非负实数的二次根式结果是一个非负实数。
换句话说，对于非负实数a，√a ≥ 0。
- 二次根式的平方等于原来的数。
即(√a)² = a。
这也是开平方的逆运算。
3. 开平方与乘方的关系开平方和乘方是数学中常见的运算，它们与二次根式有着紧密的联系。
- 开平方是乘方的特殊情况。
开平方是将一个数的平方根提取出来，相当于将这个数的乘方写成二次根式的形式。
例如，√9 = 3，可以看作是9的平方根。
- 乘方可以用开平方表示。
对于一个非负实数a和正整数n，a的n次方可以写成√(a^n)的形式。
例如，3的二次方（即3的平方）可以表示为√(3²)。
通过开平方和乘方的关系，我们可以进行一些简化计算和求解问题的操作。
对于一个表达式，如果它可以通过开平方和乘方的运算转换成更简单的形式，我们可以利用这些运算规律来简化计算过程。
4. 例题分析为了更好地理解二次根式的性质和其与开平方与乘方的关系，我们来看几个例题。
例题1：计算√16 + √25的值。
解析：根据二次根式的性质，我们知道√16 = 4，√25 = 5。
所以，√16 + √25 = 4 + 5 = 9。
例题2：将16的平方根表示为二次根式的形式。
解析：根据乘方可以用开平方表示的规律，我们知道16的平方根可以表示为√(16²)，即√256。
通过这两个例题，我们看到了二次根式的性质在解题过程中的应用。
总结：二次根式是数学中的一个重要概念，它与开平方和乘方密切相关。
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初二数学(下) 知识改变命运创造未来二次根式定义及性质教学内容:1.学习目标：理解二次根式的概念， 了解被开方数是非负数的理由； 理解并掌握下列结论3 … -1，并利用它们进行计算和化简.2. 重点： 及其运用.3. 难点：利用「、— , 1匸 f 厂—;解决具体问题 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如"'(a > 0)?的式子叫做二次根式，”称为二次根号. 知识点二：二次根式的性质I.(掐)=(? (a >a (a>0)—a (a <0).2.需亍=匕|= ■* 3.4. 积的算术平方根的性质:5. 商的算术平方根的性质: &F =五-筋〔山 > 0, >0)知识点三：代数式 占 形如5, a , a+b , ab,「, x 3,' •'""这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：丄 1■/ 、；「、..、厂(x〉0)、、(’：、，：、」•、£•(x > 0, y> 0).思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ 旷”；第二，被开方数是正数或解：二次根式有:、J； (x > 0)、J - ^7、弋(x > 0, y> 0);2 ]不是二次根式的有：例2、当x是多少时，「•1在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1 >0, ?< ■- 义.解：由3x-1 > 0,得：x>] ___________当x》二时，在实数范围内有意义.总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.举一反三【变式1】x是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义?解：⑴由•宀 > 0,解得：x取任意实数•••当x取任意实数时，二次根式」「在实数范围内都有意义(2)由x-1 > 0，且x-1 工0,解得：x> 1]•当x> 1时，二次根式，亠在实数范围内都有意义•才能有意丄【变式2】当x是多少时，：•一在实数范围内有意义?_____ [思路点拨：要使一"T亠+ •在实数范围内有意义,1必须同时满足中的2x+3 > 0和•；- 1中的x+1丰0.2A4-3>0解：依题意，得[x+lH °由①得：x > -二由②得：x工-13__ 丄当x > -1且X M -1时，I：• +.1 ■一在实数范围内有意义.类型二：二次根式的性质例1、计算：(5)「(b> 0)思路点拨：我们可以直接利用解：“ （a> 0）的结论解题.⑹‘八''--举一反三【变式1】计（山）.初二数学(下) 知识改变命运创造未来解：⑴因为x >0,所以x+1 >0⑶■/ a 2+2a+仁(a+1)2⑷•/ 4X 2-12X +9=(2X ) 2-2 • 2x • 3+32=(2x-3)2 又••• (2x-3)2> 0(訥/ -12卄9•- 4X 2-12X +9 > 0,.・.’例2、化简： ⑴」一 ；(2八 i 7 ;(3); ⑷可 ".思路点拨：因为(1)9=32,⑵(-4)2=42,⑶25=52,⑷(-3)2=32,所以都可运用'''"-去化简.解: (1)=「「=3 ;(2)可 11=* =4 ;⑶ J 二八'1 =5;(4) L= J I =3.=a ，则a 可以是什么数?思路点拨: C =a(a > 0),思路点拨：⑴因为x > 0，所以x+1 >0;(3)a 2+2a+1=(a+1)2 > 0;(2)a 2》0;⑷4X 2-12X +9=(2X ) 2-2 • 2x • 3+32=(2x-3) 2> 0.所以上面的4题都可以运用的重要结论解题.⑵•/ a 2> 0 ,•••又•••(a+1)2》0, • a 2+2a+1 > 0,二=a 2+2a+1;=4X 2-12X +9.例3、填空：当a > 0时,;当a v 0时,: _____ , ?并根据这一性质回答下列问题.⑵若‘=-a ,贝U a 可以是什么数? + 2^1 ~1-1-12j-h9工 + 2& +1>a ,贝U a 可以是什么数?•••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使⑴根据结论求条件； ⑵根据第二个填空的分析，逆向思想； (3)根据 ⑴、(2)可知” I -，而1 •丨要大于a ,只有什么时候才能保证呢？解：⑴因为「一 -，所以a > 0;⑵因为―，，所以a < 0;类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式丿 ：'的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同 解：将x=-4代入二次根式，得、'-：-.⑵若门 1+「：=0,求「-,!1的值.x 2解：⑴由 2■■-2- "■可得•【— ：，# ' , 丫（2）■' ■■ 1 ■ ■■■- • — " I I ■例3、在实数范围内分解因式:(1)X 2-5 ； (2)X 3-2X ；解:⑴原式一'(尸”中的数是正数,因为，当a w 0时, Z =:，那么-a > 0.(3)因为当a > 0时，即使a > a 所以a 不存在；当a v 0 时，「—“ ,要使-丄，即使-a > a ,即卩a v 0；综上,a v0.例2、⑴已知y=+5，求：的值.⑵原式 _ 广- s.i"=案匕+ V5）（x-近）学习成果测评基础达标一、选择题i•下列式子中，不是二次根式的是（）2 A .〔4 B. J C. ； D. ••2•已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）C.「 D .以上皆不对3. （福建省福州市）若代数式•：--在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）4. W 7的值是（）J 1 1 J (V \ 1 1 1 .22■1 C 1 i 14A . 0B . 2C . 4㊁D .以上都不对5. a> 0 时，、；广、亡：、F面四个选项中正确的是A 、''丿'：:C .、'『-- ' ■' ■：6.（辽宁省大连市）如图，数轴上点N表示的数可能是（）A. B .C . -D . ••:，比较它们的结果,⑶（2®込亦*）= __________________________10.（内蒙古鄂尔多斯市）如图，在数轴上，A 、B 两点之间表示整数的点有 __________ 个.ALB1 .-■J3三、解答题1. 求下列二次根式中字母 a 的取值范围:、填空题1. ____________________________ 若血=4，贝y x = __________________2•若JM + 3有意义，则住的取值范围是 ________________3. _JOQQ04= _________ .4. jGl4-^= ___________________5. E =6 .若品"=?,则擁= ____________________，则洛 _____________ ；若」_「厂匚_ ，则二8 .化简：右= _______________ ,（1）, （2）2•某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，？底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？能力提升一、选择题1. 使式子有意义的未知数x有（）个A . 0B . 1 C. 2 D .无数2. （山西省临汾市）若,则二与3的大小关系是（）D . .i.-3. 下列计算正确的是（）A .、_ 匚B ..一- 」C. _」• _4. （福建省厦门市）下列四个结论中，正确的是（）3 V5 5 5^3 3 聽 *- <——< - - <——< - 一疋——< 2A. - - -B. - 二C.- -二、填空题------ ——11.若盘，则山_____________ .2•若Wi是一个正整数，则正整数m的最小值是_________三、解答题3.已知实数」在数轴上的对应点如图所示，则1.当x是多少时，1+x2在实数范围内有意义?2•若、‘ +「-有意义，求人」的值.3.（北京市海淀区）已知实数x , y 满足卜一，求代数式 的值.4•已知■■ 1'，求x+y 的值.综合探究1.（福建省南安市）观察分析下列数据，寻找规律： 0，门，…，3，2-「一，_，3「第10个数据应是 ____________ .3.先化简再求值：当 a=9时，求a+'的值，甲乙两人的解答如下:两种解答中， _______ 的解答是错误的，错误的原因是 _____________4. 若-弓兰兀兰2时，试化简评卯 -13*255•在实数范围内分解下列因式 （1）「二（2） J -■.二次根式定义及性质测试题、复习1、什么叫平方根？开平方？2、平方根如何表示？3、求下列各数的平方根：4、求下列各数的正平方根：(1) 4;(2) 0.16; (3)旦. (1) 225;(2) 0.0001;16258甲的解答为：原式 =a+=a+(1-a)=1 ;乙的解答为：原式=a+^L=a+(a-1)=2a-1=17 . 那么2.（江苏省苏州市）等式I:中的括号应填入初二数学（下） 知识改变命运创造未来x二、二次根式的意义1.二次根式的意义代数式 _______________ 叫做二次根式，读作 ________________ ,其中 ___________ 是被开方数•通常把形如_________________ 的式子也叫做二次根式 . 2 •二次根式何时有意义二次根式有意义的条件是 _______________________________ .3.例题例题1下列各式是二次根式吗？、“ 2、 、..2、 . a 2 1、 .b （b 0）、 . b 2 4ac .例题2设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义?4 •练习（一）、二次根式的性质性质1 : 性质3: 例题3求下列二次根式的值:(1) 2x 1 ;(2)2 x ;设x 是实数，当x 满足什么条件时,F 列各式有意义?(1)3 2x ；(3)性质2: 性质4:⑴.(3)2 ;(3)2、选择题（1） 、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，贝U 7（b 1）2 J （a 1）2 （A 、b-aB 、2-a-bC 、a-bD 、2+a-b•••_______ a 0 b（2） 、化简V （1 J2）2的结果是（ ）A 、12 B 、、2 1 C 、 （ ■ 2 1） D 、 （12）（3） 、如果注丄 ，区了，那么x 的取值范围是（）V x 2\x 2A 、1 w x w 2B 、1v x w 2C 、x > 2D 、x >2例题4化简二次根式（1） 72 ；（2）J2a 3 ；（3） .18x 2 x 0 ；0)例题5设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简： （a b c ）2 ； （b c a)2练习（二）：1、化简下列二次根式 (1)32 ； (2) . 27x 2 (x 0)；(n 0)；(3)最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件：（1）___________________________________________________ ;（2）___________________________________________________ .例题6判断下列二次根式是不是最简二次根式:；（2）、、42a ；（3）、24x3；（4）. 3 a22a 1 （a 1）例题7将下列二次根式化成最简二次根式:d） ,4x3y2y 0 ；（2） . a2b2abab2、练习（三）（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式:3、冋类二次根式相同，那么这几个二次根式叫做同几个二次根式化成后，如杲类二一次根式.0 ；（3）m n m n 0V m n（1（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式:（3）将下列各二次根式化成最简二次根式:例题8下列二次根式中，哪些是同类二次根式？12,2一4, 1 , ；a 4b,2 a 3b a 0 , . ab 3 a 0例题9合并下列各式中的同类二次根式：— 1 — 1 （1）2 2 、3 23 ；2 34、练习（四）（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：A .32, ,50,2 一 1 ；B . 4X^2「2x, ..87 x 0（2）合并下列各式中的同类二次根式:B. 2yfa ^/b 6^^ 丄 Vb.2(2) 3xy a. xy b xyA. 3. 5。