自考线性代数第四章线性方程组习题

第四章 线性方程组

一、单项选择题

1．设A 为5阶方阵，若秩（A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

2．设m ×n 矩阵A 的秩为n -1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax =0的两个不同的解，则Ax =0的通解为（ ）

A ．k ξ1，k ∈R

B ．k ξ2，k ∈R

C ．k ξ1+ξ2，k ∈R

D ．k (ξ1-ξ2),k ∈R

3．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）=r ，则（ ）

A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解

B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解

C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解

D ．r

4．设321,,ααα是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该

方程组基础解系的是（ ）

A ．2121,,αααα+

B ．133221,,αααααα+++

C ．2121,,αααα-

D ．133221,,αααααα---

5 若四阶方阵的秩为3，则（ ）

A.A 为可逆阵

B.齐次方程组Ax =0有非零解

C.齐次方程组Ax =0只有零解

D.非齐次方程组Ax =b 必有解

6.设A 为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是（ ）

A.A 的行向量组线性相关

B.A 的列向量组线性相关

C.A 的行向量组线性无关

D.A 的列向量组线性无关

7．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）

A ．n r =)(A

B ．m r =)(A

C ．n r <)(A

D ．m r <)(A

8.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是

（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ）

A.m ≥n

B.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解

C.r （A ）=m

D.Ax =0存在基础解系

10.设A 为m ×n 矩阵，m ≠n ,则齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ ）

A.小于m

B.等于m

C.小于n

D.等于n

11. 若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( )

A.2

B.3

C.4

D.5

二、填空题

1．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003332

32131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解为_________.

2．设非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-642002********* ，则该方程组的通解为_________. 3.已知x 1=(1,0,-1)T , x 2=(3,4,5)T 是3元非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则对应齐次线

性方程组Ax =0有一个非零解向量ξ=__________________.

4.设齐次线性方程Ax =0有解ξ，而非齐次线性方程且Ax =b 有解η,则ηξ+是方程组_____________的解。

5.方程组⎩⎨⎧=+=+0032

21x x x x 的基础解系为_____________。 6．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-010*********a a ，若该方程组无解，则a 的

取值为______.

7. 设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解.则A （5α2-4α1）=_________.

8.设线性方程组⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.

9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.

10.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321

321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 11.三元方程x 1+x 2+x 3=1的通解是_______________.

12.设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321，α2=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-3 2 1且r (A )=2，则Ax =b 的通解是

_______________.

三、计算题

1．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++05532044204321

43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.

2.设3元齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++0

00321321321ax x x x ax x x x ax ，

（1）确定当a 为何值时，方程组有非零解；

（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.

3.求齐次方程组取何值时,λ

⎪⎩

⎪⎨⎧=-+-=+=++050403)4(3213121x x x x x x x λλ

有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。

4．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313

232121a x x a x x a x x

(1)讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．

5.求齐次线性方程组⎪⎩

⎪⎨⎧=--=---=-+0304023214321421x x x x x x x x x x 的基础解系及其通解.

6. 问a 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=++632222432321

32321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

7. 求非齐次线性方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+08954433134321

43214321x x x x x x x x x x x x 的通解.

四、证明题