基于Lyapunov方法的Lipschitz非线性系统状态观测器设计

第31卷第2期2010年4月　青岛科技大学学报(自然科学版)Journal of Qingdao University of Science and Technology (Natural Science Edition )Vol.31No.2

Apr.2010

文章编号:167226987(2010)022*******

基于Lyapunov 方法的

Lipschitz 非线性系统状态观测器设计

刘　军,卢建波,黄盟芝

(青岛科技大学自动化与电子工程学院,山东青岛266042)

摘　要:选取新型Lyap unov 函数,采用L yap unov 方法综合讨论了一类Lip schitz 非线性

系统状态观测器设计问题,分2种情形给出了观测器渐近收敛的充分条件。结果表明,稳定观测器的存在直接与误差动态的稳定性矩阵测度及增益矩阵的范数有关。当输出相对于状态为线性时,借助于L M I 技术进行了观测器增益矩阵的选取。仿真实例验证了结论的有效性。

关键词:L yap unov ;Lip schitz 非线性;状态观测器;矩阵测度;L M I 中图分类号:TP 273 文献标志码:A

Observers Design for Lipschitz Nonlinear Systems B ased on Lyapunov Method

L IU Jun ,L U Jian 2bo ,HUANG Meng 2zhi

(College of Automation and Electronic Engineering ,Qingdao University of Science and Technology ,Qingdao 266042,China )

Abstract :Observers design for a class of Lip schitz nonlinear systems has been compre 2hensively discussed adopting L yap unov met hod by selecting t he novel Lyap unov f unc 2tion.Sufficient conditions ensuring asymptotic stability of t he observers are presented for two cases.It is shown t hat existing of stable o bservers is related directly to stability mat rix measures of error dynamics and t he norm of gain mat rix.When outp ut s in rela 2tion to states ,are linear ,t he selection of t he gain matrix can be obtained by L MI tech 2nology.Finally simulation result s verify t he effectiveness.

K ey w ords :Lyap unov ;Lip schitz nonlinearity ;state o bserver ;mat rix measures ;L M I

收稿日期:2009206216

作者简介:刘　军(1960—

),男,博士,教授。 状态反馈在性能上的优越性,使得无论在线性还是非线性系统的控制中,状态反馈都起着不可替代的作用。但是,或者由于状态不易直接测量,或者由于量测设备在经济和使用上的限制,使得在实际过程中不可能获得全部状态的测量值[1]。因此就必须通过状态观测器来重构系统的状态信息。在过去的三十年里,非线性系统的状态观测器设计一直是控制理论中的一个热点问题。自1973年Thau [2]首次提出Lip schitz 非线性系统的观测器设计问题以来,此类观测器的设

计引起了国内外众多学者的兴趣[2216],相应理论成果极大地促进了此类系统观测器设计的发展。观测器的设计主要采用2种方法:一类是采用L yap unov 稳定性理论。在对代数Riccati 方程(ARE )正定解的处理上此类方法又分为2种:一

批学者致力于ARE 正定解的存在性[326];其他学者则采用了L M I 的相应成果较好地处理了增益矩阵的选择问题[7210];观测器设计的另一类方法是状态方程的求解[11213],这类方法直观地给出了观测器渐近稳定的充分条件。大多数文献对此类

　第2期

刘　军等:基于L yapunov 方法的Lipschitz 非线性系统状态观测器设计

系统观测器的研究都集中在输出相对于状态为线性时(简称为线性,下同)的情形,而忽略了输出相对于状态的非线性(简称为非线性,下同)。但实际情况中状态的非线性是不可避免的[2217]

。

本研究采用新型L yap unov 函数讨论了此类非线性系统当输出为线性和非线性时的观测器设计,给出了直观的观测器渐近稳定的充分条件。当输出为线性时,采用L M I 简便有效而又直观地解决了观测器增益矩阵的选取问题

。

1　系统描述

输出为线性时的系统描述见文献[2],更为一

般的Lip schitz 非线性系统也即本研究所讨论的系统描述如下:

x =Ax +g 1(t ,u ,y )+Φ1(t ,u ,x ),(12a )y =Cx +g 2(t ,u )+Φ2(t ,u ,x ),

(12b )

其中x ∈R n 为系统状态,A ∈R n ×n ,C ∈R q ×n 为实常数矩阵。u ∈R p 为系统输入,y ∈R q 代表系统输出。g 1:R +×R p ×R q →R n ,g 2:R +×R p →R q ,

Φ1:R +×R p ×R n →R n ,Φ2:R +

×R p ×R n →R q 为非线性映射,且Φ1(t ,u ,x ),Φ1(t ,u ,x )满足如下的Lip schitz 条件:

‖Φ1(t ,u ,x )-Φ1(t ,u ,^x )‖≤γ1‖

x -^x ‖,(12c )

‖Φ2(t ,u ,x )-Φ2(t ,u ,^x )‖≤γ2‖

x -^x ‖,(12d )

其中γ1,γ2为Lip schitz 常数。

式(1)所描述的这类非线性系统是相当普遍的。首先:任何具有式(2),(3)描述形式的非线性系统:

x =f (t ,u ,x )+g 1(t ,u ,y ),

(2)y =h (t ,u ,x )+g 2(t ,u ),

(3)只要f (t ,u ,x ),h (t ,u ,x )对x 可微,都可以表达成式(12a ),(12b )的形式。此外,很多非线性都可以认为是Lip schitz 的,至少是局部Lip schitz 的,确保了式(12c ),(12d )的成立。机械系统中通常包含Lip schitz 非线性项,例如在机器人应用中经常遇到的三角函数项以及非线性软化弹簧等[5]。甚至给定x 的有界闭区域,诸如x 2一类的非线性项都可以认为是Lip schitz 的[3]。

2　主要研究结果

2.1　输出相对于状态为线性时的情形

此时Φ2(t ,u ,x )=0,即输出式(12b )变为

y =Cx +g 2(t ,u )。

对式(1)所描述的系统建立如下状态观测器:

^x ・

=A^x +g 1(t ,u ,y )+Φ1(t ,u ,^x )+L[y -C ^x -g 2(t ,u )],

(4)

其中^x ∈R n 为观测变量,L ∈R n ×q 为观测器

增益矩阵。

观测器的估计误差满足:

x ・

=(A -L C ) x +[Φ1(t ,u ,x )-Φ1(t ,u ,^

x )],(5)其中 x =x - x 。

定理1　对系统(1),若(A ,C )可观,对于Lip 2schitz 常数γ1>0,如果选择增益矩阵L 满足:μ(A -L C )+γ1<0,

(6)则由式(4)给出的观测器就可以确保误差动态(5)是渐近稳定的。

证明　令Φ～

1=Φ1(t ,u ,x )-Φ1(t ,u ,^x )。取候选L yap unov 函数

V = x T

x =‖ x ‖2

,

(7)

显然V >0,对所有的 x ≠0都成立。沿着轨线 x 对V 求导有

V = x T

[(A -L C )

T

+(A -L C )] x +2Φ～

T

1 x 。

(8)

由Cauchy 2Schwarz 不等式[18]以及Lip schitz

非线性性质式(12c )可得:

2Φ～T 1 x ≤2‖Φ～

1‖‖ x ‖≤2γ1‖ x ‖2

=2γ1

x T

x ,(9)

结合式(8)可得:

V ≤ x T [(A -L C )T

+(A -L C )+2γ1I ]

x ,(10)再由定理条件(6)可得:

μ(A -L C )+γ1<0]λmax (A -L C )T +(A -L C )

2

+γ1<0]

λmax

(A -L C )T +(A -L C )

2

+γ1I

<0](A -L C )T +(A -L C )

2

+γ1I <0]

(A -L C )T +(A -L C )+2γ1I <0,

(11)

其中λmax (・

)表示相应矩阵的最大特征值。将式(11)带入到式(10),显然有 V <0,所以

误差动态(5)是渐近稳定的,定理得证。2.2　输出相对于状态为非线性时的情形

建立状态观测器如下:

^x ・

=A^x +g 1(t ,u ,y )+Φ1(t ,u ,^

x )+7

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