高等数学上册公式大全

高等数学下册公式大全

第一章 一元函数的极限与连续

1、一些初等函数公式：

sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1

cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβ

αβ

αβαβαβαββα

αβαβαβαβαβαβ

±=±±=±±=

⋅⋅±=

±±=±±=±和差角公式：

sin sin 2sin

cos

22sin sin 2cos sin

22cos cos 2cos cos

22cos cos 2sin sin

22

αβ

αβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1

sin cos [sin()sin()]

21

cos sin [sin()sin()]21

cos cos [cos()cos()]

21

sin sin [cos()cos()]

2

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：

2222222

222sin 22sin

cos cos 22cos 1 12sin

cos sin 2tan tan 21

tan cot 1

cot 22cot 222

12 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα

αααααααα

==-=-=-=

--=

==+=

=-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1

sin 2

cos 2

1cos sin tan 2

sin 1cos 1cos sin cot

2

sin 1cos x x x x ch x sh x ααααααα

ααααα

αα

+=+=+=-===-===++===

-半角公式：

::ln(2::ln(2

11::ln

21x x

x x

x x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e x

thx arthx chx e e x

-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切

332

2()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)

126

n n n n ++++

+=

22

33

3

(1)124

n n n +++

+=

2、极限

➢

常用极限：1,lim 0n n q q →∞

<=

;1n a >=;1n =

➢ ln(1())lim

ln(1())~()()

lim[()()]

1/()

()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x e

e ++±→→∞±=−−−−−−→若则

➢ 两个重要极限

1

00sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x

→→∞→∞→

==+==+ ➢

:常用等价无穷小

211

1cos ~

; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x

--++++

3、连续：

定义：0

00

lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==

00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+

-+

→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分

1、 基本导数公式：

00000000

()()()()()lim

lim lim tan x x x x f x x f x f x f x y

f x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-

_0+0()()f x f x -+

''⇔=导数存在

1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();

11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====

22

22

11

(arctan ); (cot ); ();();1111

(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''=

=-==++''''====-

2、高阶导数：

()()()()!

()()!; ()ln ()()!

n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=

⇒==⇒=-

()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22

n n n n kx k kx n kx k kx n ππ

=⋅+⋅=⋅+⋅

()1

()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n n

n n a x x a x x x

-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：

()

()()

0()(1)(2)

()()

()

()

(1)(1)

(1)2!

!

n

n k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=+++

+

+

+∑

3、微分：

0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=

⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；

⇒不连续不可导

第三章

微分中值定理与微分的应用

1、基本定理