第4章随机变量的数字特征习题解答

XY
=−
1 X Y ，设 Z = + 2 3 2
（1）求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X） ； （2）求 X 与 X 的相关系数 P XZ ； （3）问 X 与 X 是否相互独立？ （二）解答 1、解 因 E ( X ) = 0 × 0 .4 + 1 × 0 .3 + 2 × 0 .2 + 3 × 0 .1 = 1
1 ) 1+ X
8、设随机变量 X 和 Y 独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布；引进事件 A = { x ≤ a } ， B ={ y > a }， （1）已知 P ( A ∪ B ) = （2）求
7 ，求常数 a ； 9
1 的数学期望。 X
1
9、假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二次故障获 利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元，求一周内的平均利润是多少？ 10、游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5 min 、25 min 和 55 min 从底层起行；假设一游客在早 8 点的第 X min 到达底层候梯处，且 X 在[0，60]上均匀分布， 求该游客等候时间的数学期望。 11、一商店经销某种商品，每周进货的数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是相互独立 的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布。商品每售出一单位商品可得利润 1000 元； 若需求量超过了进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利润为 200 元，试计 算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。 12、设某种商品每周的需求量 X 是服从区间[10，20]上均匀分布的随机变量，而经销商进 货数量的区间[10，30]中的某一整数，商品每销售一单位商品可获利 500 元；若供大于求则削 价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位仅获 利 300 元，为使商店所获利润期望值不少于 9280 元，试确定最小进货量。 13、一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10，0.20 和 0.30，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的概率分布。 数学期望 E（X）和方差 D（X） 。 14、设二维随机变量 X 的概率密度为 ⎧ 12 y 2 , 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 ⎪ f (x,y)=⎨ ⎪ 其它 ⎩ 0, 2 2 求 E ( X ), E ( Y ), E ( XY ), E ( X + Y ) 15、设随机变量 X 的概率密度为 π ⎧2 2 ⎪ cos x , | x | ≤ （1） f ( x ) = ⎨ π 2 ⎪ 0, 其它 ⎩
1 1 2 = 10 × 0.8 5 + 5 × C 5 0.8 4 0.2 − 2 1 − 0.8 5 − C 5 0.8 4 0.2 − C 5 0.8 3 0.2 2
(
)
≈ 5.216 ( 万元 )
10、解
以 Y 表示游客的等候时间，则
0≤ X ≤5 ⎧ 5− X , ⎪ X 25 , 5 − < X ≤ 25 ⎪ Y =⎨ ⎪ 55 − X , 25 < X ≤ 55 ⎪ 65 − X , 55 < X ≤ 60 ⎩ 5 25 55 60 1 1 1 1 35 故 E ( Y ) = ∫ ( 5 − x ) ⋅ dx + ∫ ( 25 − x ) dx + ∫ ( 55 − x ) dx + ∫ ( 65 − x ) dx = (min) 0 5 25 55 60 3 60 60 60
2
⎧1 ⎪ ( x+ y ) 0≤ x ≤ 2 0≤ y ≤ 2 f (x,y)=⎨8 ⎪ 0, 其它 ⎩
试求 E（X） ，E（Y） ，X 与 Y 的协方差 COV（X，Y）与相关系数 ρ XY 。 23、假设随机变量 X 和 Y 在圆域 x 2 + y 2 ≤ r 2 上服从联合均匀分布， （1）求 X 和 Y 的相 关系数 ρ ；问 X 和 Y 是否独立。 24、设 A，B 是二随机事件，随机变量 若A出现 若B出现 ⎧ 1, ⎧ 1, ，Y = ⎨ X =⎨ ⎩ − 1 , 若A不出现 ⎩ − 1 , 若B不出现 试证明随机变量 X 和 Y 不机关的充要条件是 A 与 B 相互独立。 25、某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现从中随机地抽 取一件，记 ⎧ 1 , 若抽到i等品 Xi =⎨ i =1, 2 , 3 其它 ⎩0, 试求： （1）随机变量 X 1 与 X 2 的联合分布； （2）随机变量 X 1 与 X 2 的相关系数。 26、已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N ( 1 , 3 2 ) 和 N ( 0 , 4 2 ) ， （X，Y）服从二维 正态分布，且 X 和 Y 的相关系数 ρ
=1500
3
6、解
（1） E ( Y ) = E ( 2 X
2
)=∫
+∞ 0
+∞ 0
2 x 2 ⋅ e − x dx = −2 ( x 2 + 2 x + 2 ) e − x
+∞
+∞ 0
=4
（2） E (Y ) = E (e − 2 X ) = 7、解 X 的分布律为
Z
∫
e − 2 x ⋅ e − x dx = ∫ e −3 x dx =
0
1 3
0
1 2
1
1 4
2
3
1 1 P 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 67 ⎛ 1 ⎞ 于是 E ⎜ × + × + × + + = ⎟= ⎝ 1 + X ⎠ 1 + 0 2 1 + 1 4 1 + 2 8 1 + 3 8 96 8、解 （1） a < 1 或 a > 3 显然不对，于是 1 ≤ a ≤ 3 ，此时 ( a − 1 )( 3 − a ) a −1 3− a P( A)= ,P( B)= , P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 2 2 4 a − − a ( 1 )( 3 ) a −1 3 − a 7 7 + − = 由 P ( A∪ B ) = 得 2 2 4 9 9 2 即 9 a − 36 a + 35 = 0 ，解之得 5 7 a = 或a = 3 3 3 1 1 1 1 （2） E( ) = ∫ ⋅ dx = ln 3 1 x 2 X 2
试求 X 的数学期望。 6、设随机变量 X 的概率密度为
− x ⎧ ,x>0 ⎪e f (x)=⎨ ⎪ ⎩ 0 , 其它
试求： （1） Y = 2 X 2 的数学期望； （2） Y = e −2 X 的数学期望。 7、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均没有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿 与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 X 表示该汽车首次遇 到红灯前已通过的路口的个数，求 E (
E ( X ) = 4 × 0.2639 = 1.0556
3、解 4、解 故∫
+∞ −∞
因 ∑ | x k | p k = ∑ | ( −1 ) k +1
R =1 R =1
∞
∞
∞ 3k 2 2 | = ∑ 发散，故 E ( X ) 不存在。 n k 3 R =1 k
因∫
+∞ −∞
| x | f ( x ) dx = ∫
9、解 设 Z 表示一周内发生故障的次数，Y 表示一周内的利润，显然 Z~B（5，0.2） ，且
⎧ 10 Z = 0 ⎪ 5 Z =1 ⎪ Y =⎨ ⎪ 0 Z =2 ⎪ ⎩−2 Z ≥3 因此 E ( Y ) = 10 P { Z = 0 } + 5 P { Z = 1 } + 0 P { Z = 2 } − 2 P ( Z ≥ 3 )
⎧ x ⎛ x2 ⎞ ⎟, x>0 exp ⎜ − ⎪ ⎜ 2 ⎟ （2） f ( x ) = ⎨ σ 2 ⎝ 2σ ⎠ ⎪ 0, 其它 ⎩ ⎧ β ( βx ) α −1 e − βx , x > 0 ⎪ （3） f ( x ) = ⎨ Γ ( α ) ⎪ 0, 其它 ⎩
16、流水生产线上每个产品不合格的概率为 p ( 0 < p < 1 ) ，各产品合格与否相互独立，当 出现 k 个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时已生产的产品个数为 X，求 X 的 数学期望 E（X）和方差 D（X） 17、若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把门上的锁打开，用它们去试开门 上的锁，设取到每只钥匙是等可能的，若每钥匙试开后除去，使用下面两种方法求试开次数 X 的数学期望， （1）字出 X 的分布律； （2）不写出 X 的分布律 18 、已知随机变量 X ~ N ( −3 , 1 ) ， Y ~ N ( 2 , 1 ) 且 X 与 Y 相互独立，设随机变量 ，D（X） Z = X − 2 Y + 7 ，试求 E（X） 19、设二维随机变量（X，Y）在区域 D： 0 < x < 1 ， | y | < x 内服从均匀分布，求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z = 2 X + 1 的方差 D（X） 20、设随机变量 X 的方差为 2，试根据切比雪夫不等式估计概率 P {| X − E ( X ) | ≥ 2 } 21、 设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2， 方差分别为 1 和 4， 而相关系数为-0.5， 试根据切比雪夫不等式估计概率 P {| X + Y | ≥ 6 } 22、设随机变量（X，Y）的概率密度为
0 1
1
1
2
（2） E ( X ) = ∫ （3） E ( X ) = ∫
xf ( x )dx = ∫ x ⋅
−1
1
dx = 0
π
x⋅
+∞ −∞
xf ( x )dx = ∫
1500 0
1− x 2 1
( 1500 )
2
xdx + ∫
3000
1500
x⋅
−1 ( 1500 ) 2
( x − 3000 ) dx
+∞ −∞
x
λ π (λ+x
2
)
dx =
λ
2π
+∞ ln( λ + x 2 ) | 0 = +∞
| x | f ( x ) dx 不收敛，因此 E ( X ) 不存在。
5、解
（1） E ( X ) = ∫
+∞ −∞
+∞ −∞
xf ( x )dx = ∫ x ⋅xdx + ∫ x ⋅ ( 2 − x ) dx = 1
1 ⎧ ,| x | <1 ⎪ （2） f ( x ) = ⎨ π 1 − x 2 ⎪ 0, 其它 ⎩ 1 ⎧ x, 0 ≤ x ≤ 1500 ⎪ 2 ( 1500 ) ⎪ ⎪ −1 ⎪ ( x − 3000 ), 1500 < x ≤ 3000 （3） f ( x ) = ⎨ ⎪ ( 1500 ) 2 ⎪ 0, 其它 ⎪ ⎪ ⎩
第四章
随机变量的数字特征
Leabharlann Baidu
（一）基本题 1、甲乙两台机床生产同一种零件，在一天内生产的次品数分别记为 X、Y，已知
1 2 3 ⎞ ⎛ 0 X ~⎜ ⎟ ⎜ 0.4 0.3 0.2 0.1 ⎟ ⎠ ⎝ 1 2 3⎞ ⎛ 0 Y ~⎜ ⎟ ⎜ 0. 3 0 . 5 0. 2 0 ⎟ ⎠ ⎝
如果两台机床的产量相等，问哪台机床生产的零件的质量较好？ 2、某产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次，每次随机地取 10 件产品进行检验，如 发现其中的次品数多于 1，就去调整设备，以 X 表示一天中调整设备的次数，试求 E（X） 。 3、设随机变量 X 的分布律为
P { X = ( −1 ) k +1 3k 2 ,k =1, 2 , }= k 3k
说明 X 的数学期望不存在。 4、设随机变量 X 的概率密度为
f (x)=
λ π (λ+x2 )
, −∞ < x < ∞
说明 X 的数学期望不存在。 5、设随机变量 X 的概率密度为
⎧ x , 0 ≤ x ≤1 ⎪ （1） f ( x ) = ⎨ 2 − x , 1 < x ≤ 2 ⎪ ⎩ 0 , 其它
E (Y ) = 0 × 0.3 + 1× 0.5 + 2 × 0.2 + 3 × 0 = 0.9
所以，从平均角度看，乙机床生产的零件质量较好。 2、解 将每次检验时，是否调整设备看成一次试验，则由题意知，四次检验就是进行了 四重伯努利试验，由此知 X~B（4，p） ，其中 p 是每次检验时要调整的概率，即是取出的 10 0 1 件产品中次品数多于 1 的概率，即 p = 1 − C 10 ⋅ 0.1 10 − C 10 0.1 9 0.9 ≈ 0.2639 ，因此