让学生体验数学的统一美

让学生体验数学的统一美

--------圆锥曲线的教学思考

贵阳一中童雁

中文摘要：数学不同形态的美可以和谐的成为一个统一体。统一也是数学的归宿和本质。圆锥曲线之间的共性是一道亮丽的数学风景，更能反映它们是不可分割的统一体。圆锥曲线教学中如何帮助学生用类比与统一的手法，探索解决圆锥曲线问题,体验数学的统一美是提升学生学习数学的能力和兴趣的一种重要手段。

关键词：和谐统一美；实验；方程；解题；自然

数学学科不仅充满着前人对宇宙奥妙的探索，更蕴涵着人类观察宇宙的心智和对美的追求。数学在内容、结构、方法上都具有自身独特的美.如符号美、对称美、形式美、抽象美、奇异美等。而这些不同形态的美又和谐的成为一个统一体。统一也是数学的归宿和本质。如何使学生感悟到这一点，圆锥曲线之间的共性是一道亮丽的数学风景，更能反映它们是不可分割的统一体。笔者的教学是从以下方面的构思与设计来思考的。

1．实验结果的和谐与统一

如果要了解圆锥曲线的性质，玩折纸游戏能领略更多的趣味。让学生在准备好的圆形纸片内，取一个定点A（异于圆心O）。在点A作一个记号，然后开始折纸，每次将圆纸片折起一角，使折起部分的圆弧过点A，将纸抹平，得到一条折痕。继续这样折下去，得到若干条折痕，学生们惊奇的发现：在众多折痕的包围中，留下了一块平坦光滑无折痕的椭圆形区域（图-1）。

S

（图-1）（图-2）（图-3）

通过观察引导学生发现：

（1）椭圆的两个焦点恰为点O和点A，其长轴长等于圆形纸片的半径；

（2）由对称性还可知道直线ST是椭圆在点M处的切线；

（3）不同的学生选取点A的位置也不同，同样大小的圆形纸片，还可折出许多不同形状的椭圆。点A的位置离圆心O越远，折出的椭圆越扁。（图-2）

此时教师继续提醒学生：若将点A取在圆外会有什么结果？假如重复以上的折纸方式，点A应固定在哪呢？我们可以想象将圆心固定在一个长方形纸片上，点A就选在圆外的长方形纸片上。通过观察图形和教师引导，学生逐步看出点M满足：|MA|—|MO|=r.即点M的轨迹是以O、A为焦点的双曲线的左支（也可类似的产生右支）。

有了以上的结果，学生们自然会联想如何折出抛物线来。准备一张长方形纸片，在中轴线上取一点F，然后将右下角翻折起来，使下底边经过点F，得到一条折痕，继续折下去也可得到若干条折痕，最终从整体上勾画出一条抛物线的轮廓来。并且发现：（1）抛物线上的点M到焦点F的距离等于到纸边的距离；

（2）纸边所在直线为准线；

（3）折痕ST 为抛物线过点M 的切线（图-4）

T

P

（图-4）

由此，学生不仅看到了圆锥曲线都可以通过折纸游戏而得到，而且了解圆锥曲线在圆锥中以不同方式截取的统一与和谐，并且明白了椭圆、双曲线与抛物线的差异，这一点恰恰体现了抛物线在圆锥曲线中的变异，可以说是数学中的奇异美吧。实际上，以上折纸所形成的三种圆锥曲线还可以通过几何画板，拖动图中点A 的位置，仔细观察理解圆锥曲线轨迹的生成与它们的诸多性质。通过演示，使几何更显动态、直观、生动。另外，用手电筒的光线照射以及锥形酒杯盛水的倾斜程度，看到圆锥曲线的形成。同时鼓励学生在互联网上收集和查找圆锥曲线有趣的实例。

2．方程的和谐与统一

教材上对于椭圆与双曲线标准方程是通过建立直角坐标系，以焦点所在直线为坐标轴，根据第一定义来推导的。 首先，由

()()a y c x y c x 22222±=+-±++①， 移项可得()()222

22y c x a y c x +-±=++ ， 两边平方化简可得()222y c x a

ca a +-=-②， 两边再平方得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-或

)()(22222222a c a y a x a c -=--，分别令222b c a =-或222b a c =-，

整理后可得标准方程12222=+b

y a x )0(>>b a ③或122

22=-b y a x ④。 以上①②③④是几个重要关系式，学生不难发现①式揭示了椭圆与双曲线的定义，③④式是它们的标准方程，具有简洁、对称、和谐的特点。而②式学生一开始是发现不了其意义的。此时，不妨将②式变形为)()(2

2

x c a a c y c x -=+-即a c x c a y c x =-+-222)(⑤，观察⑤式的结构，最终能发现椭圆与双曲线上任意一点),(y x P 到定点)0,(c F 的距离与到定直

线c

a x l 2

:=的距离之比为常数a c .这恰恰是椭圆与双曲线的第二定义。若令e a c =，还可得

到椭圆的焦半径ex a y c x PF -=+-=

22)(||.再将a

c 看成1，⑤式也表示了抛物线的定义. 由此看来，三种圆锥曲线的定义和描述原来完全可以统一在⑤式之中的.教学中既可以按照现行教材中的顺序展开，先学习椭圆的定义、方程、几何性质，然后采用同样的研究方法学习双曲线、抛物线.也可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再求它们的方程，最后研究它们的几何性质及其运用。还可以把e

d MF

=作为知

识生长点展开.上述组织方法有机的结合起来，效果极佳。

3． 解题中的和协与统一

圆锥曲线在定义、方程中有如此的和谐与统一，必然在解题中伴随类比、和谐与统一.要善于帮助学生积极、主动探索解决圆锥曲线问题中的类比与统一的手法是非常关键和重要的.可以围绕下列典型问题进行圆锥曲线的解题教学：

（1） 圆锥曲线的准线、焦半径、通径、焦准距、焦参数等的比较。

（2） 圆锥曲线以焦点弦为直径的圆与准线有哪几种位置关系？

（3） 怎样在圆锥曲线上求一点，使它到某直线的距离最短？

（4） 圆锥曲线上关于某直线对称的点的存在性问题。

（5） 圆锥曲线焦点弦的中点轨迹问题。

（6） 与圆锥曲线有关的最值及范围问题。

（7） 与圆锥曲线有关的焦点三角形问题。

（8） “黄金椭圆”与“黄金双曲线”的性质与比较问题。

通过类比，启发、帮助学生了解和掌握圆锥曲线的性质、数学中重要的解题思想与方法。

4． 自然中一些现象的和谐与统一

三种圆锥曲线从某些侧面揭示了客观世界的和谐统一. 它们都是平面与圆锥曲线的截线。它们不仅具有相似的几何性质，都具有统一的普通方程a

c x c a y c x =-+-2

2

2)(与极坐标方程ρ=θ

cos 1e e -P ，还具有相似的光学性质。由于入射角和反射角相等，从椭圆的一个焦点发出的光线，反射后都集中到另一个焦点。而光线从双曲线的一个焦点发出，经过该双曲线的一支反射后，光线就好像是从另一个焦点发出的一样。从抛物线的焦点发出的光线射到抛物线上，反射后成为与抛物线的轴平行的光线。对椭圆、双曲线、抛物线的光学性质能否把它们统一呢？对于抛物线，我们可想象另一个焦点在主轴正向的无穷远处，这样，三种曲线的光学性质就可以统一为“由圆锥曲线一焦点发出的光线，经反射后，其反射光线所在直线必经过另一焦点.”注意到两焦点的中点即为圆锥曲线中心，这就启发我们，当抛物线的中心与另一焦点想象为位于主轴正向上的无穷远处时，则有心无心的某些差异就可能消失，从而能由有心曲线的性质猜测出抛物线的未知性质.这里，数学的统一美、奇异美起到了决定性的作用.数学美的追求成为探索未知的金钥匙.追求数学美感，追求自然界的和谐统一，能成为学生简化结果、深化问题、推广结论，探究数学世界的强大精神力量,也成为判断事物的一个重要标准.。

由此，给学生展示和介绍生活和科学研究当中的圆锥曲线知识的运用，更能激发、调动学生学习数学的热情与积极性。如电影放映机上的聚光灯的反射镜面，反射式望远镜中的反