参数方程课件

3 .圆的参数方程 (1)如果在时刻 t,圆周上某点 M 转过的角度是 θ ,点 M 的坐标是(x,y),那 么 θ=ωt(ω 为角速度).设|OM|=r,那么由三角函数定义,有 cosωt= ,sin ωt= ,
������ ������ ������ ������
������ = ������cos������������, 即圆心在原点 O,半径为 r 的圆的参数方程为 ������ = ������sin������������ (t 为参数),其中参 数 t 的物理意义是质点作匀速圆周运动的时刻.
2.直线的参数方程 (1)过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数).
x = x0 + t������������������α, y = y0 + t������������������α
(2)参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是参数 t 的绝对值表示 t 所对应 的点 M 到定点 M0 的距离.当M0 M与 e(直线的单位方向向量)同向时,t 取正 数;当������0 M与 e 反向时,t 取负数;当点 M 与点 M0 重合时,t 为零.
1 2
=
2 <3,从而可知所求交点个 2
(������-1 ) 5 .写出椭圆 3
2
(������ +2 ) + 5
2
=1 的参数方程.
【解】设
������-1 ������ +2 =cosθ , =sinθ ,则 3 5
������ = 1 + 3cos������, (θ 为参数 ),即为所求的参数方程. ������ = -2 + 5sin������
1 .参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某 个变数 t 的函数 x = f(t), (*)并且对于 t 的每一允许值,由方程组(*)所确定的 y = g(t),
点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系变 数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数.
������ = ������ 2 , ������ = 5cos ������ , 1 .已知两曲线参数方程分别为 (0≤θ <π)和 4 (t∈R),它 ������ = sin������ ������ = ������ 们的交点坐标为 【答案】 1,
2 5 5
5
.
【解析】由两曲线参数方程消去 x,y,t 得 即 5cos 2θ +4 5cosθ -5=0. 又∵ 0≤θ <π ,∴ 解得 cosθ= .
2 5 . 5 5 5
5 5cosθ = sin 2θ , 4
于是 sinθ = 1-cos 2 θ = 因此 ������ = 1, ������ =
2 5 . 5 2 5 5
故交点坐标为 1,
.
������ = 2 + sin2 θ, 2 .将参数方程 (θ 为参数)化为普通方程为 ������ = sin2 θ 【答案】 y=x-2(0≤y≤1)
(2)若取 θ=ωt 为参数,于是圆心在原点 O,半径为 r 的圆的参数方程为 ������ = ������cos������, (θ 为参数),其中参数 θ 的几何意义是 OM0(M0 为 t=0 时的位置) ������ = ������sin������ 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时,OM0 转过的角度. (3)若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程为 ������ = ������0 + Rcos������, 0≤θ<2π. ������ = ������0 + Rsin������,
.
������ = ������ + , 3 .参数方程 ������ (t 为参数)表示的曲线是 ������ = 2 【答案】两条射线
1 ������
1
.
【解析】由 x=t+ 知 x≥2 或 x≤-2,因此曲线方程为 y=2(x≥2 或 x≤-2),表示两 条射线.
������ = 2 + ������, ������ = 3cos ������ 4 .(2012·北京卷,9 )直线 (t 为参数)与曲线 (α 为参数) ������ = 3sin������ ������ = -1-������ 的交点个数为 . 【答案】2 【解析】由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为 x+y-1=0,x2+y2=9,进 而求出圆心 (0,0)到直线 x+y-1=0 的距离 d= 数为 2.
第 2 讲 参数方程
考纲展示
1.了解参数方程, 了解 参数的意义. 2. 能选择适当的参数 写出直线、圆和椭圆 曲线的参数方程.
考纲解读
从近几年的高考题看 ,本部分的考查重点是参数方程和直 角坐标方程的互化, 热点是参数方程、极坐标方程的综合 性题目,总体试题难度较小,主要考查转化和化归的思想方 法.
T 题型一参 数方程化为普通方程
例 1 已知曲线 C1: ������ = -4 + cos ������, (t 为参数), ������ = 3 + sin������
������ = 8cos ������, C2: (θ 为参数). ������ = 3sin������ (1)化曲线 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; π (2)若曲线 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为曲线 C2 上的动点,求 PQ
4.椭圆的参数方程 (1)中心在原点,焦点在
������2 x 轴上的椭圆 2 ������
+
������ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ������
2 =1(a>b>0)的一个参数方程
������ = ������cos������, 是 ������ = ������sin������ (φ 是参数),规定参数 φ 的取值范围是[0,2π). (2)若中心不在原点,而在点 M0(x0,y0),相应的椭圆的参数方程为 ������ = ������0 + acos������, 0≤t<2π. ������ = ������0 + bsin������,