北邮数字信号处理第二章附加习题
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解答：
考察点：系统幅频响应
10.设一阶系统的差分方程为 ，试定性分析系统的幅频特性。
解答：
由系统的差分方程得到系统函数为
系统零点为 ，极点为 ，零极点分布如图。
取单位圆上点A，可以画出极点矢量和零点矢量，A从 开始，沿单位圆逆时针转一圈，观察极点矢量长度和零点矢量长度的变化。可得
当 时，极点矢量长度最短，所以幅度值最大；
所以
和 为移一位关系，但 和 不是移一位关系，因而系统不是时不变系统。
（2）前面已证明
令
则得
同样可递推求得
所以
又
所以
因此，这个系统不是线性系统。
7）设
试画出 ，其中 。
解：
一、
知识点
连续采样信号傅里叶变换与离散时域信号傅里叶变换的关系
利用DTFT的定义及性质求DTFT
离散时间信号截断后傅里叶变换
离散时间信号的内插与抽取
解答：
（1）系统的传递函数
零极点分布图
（2）幅频响应
（3）
解：
对连续信号 进行冲激抽样，所得的抽样信号
（T为抽样间隔）
由卷积定理
（ 为抽样频率）
若 的频谱是带状的，如题如所示，则当 时，采用 的频率对 进行抽样，所得的 如下图所示，可见频谱没有发生混叠。
5）内插或以整数因子N增采样的过程可以看成两种运算的级联。第一个系统（系统A）相当于在x[n]的每个序列值之间插入（N-1）个零序列值，因而
一、
知识点
连续时间信号离散后的频谱特点
Nyquist取样定理的理解和掌握
理想内插的时域和频域信号特点，了解非理想内插的几个函数
1)考虑两个正弦波信号:
和 ;
以= 20rad/sec对此信号进行离散化；然后使用截止频率为T= 10rad/sec的理想低通滤波器恢复得到模拟信号如下g1(t), g2(t)；请给出对应的模拟信号。
考察点：z变换收敛域判断及用留数法求Z反变换
7.已知
（1）根据零极点分布，写出所有可能的收敛域；
（2）若系统稳定，用留数法求逆z变换；
（3）若系统稳定非因果，用留数法求逆z变换。
解答：
（1） 有两个极点： ，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：
（2）若系统稳定，则收敛域为
（3）若系统因果非稳定，则收敛域为
考察点：留数法求逆z变换
8.设 。试求 的反变换。
解答：
根据收敛域是环状域，原序列为双边序列
三、
知识点
Z变换与拉氏变换、傅里叶变换的关系；
Z变换求LTI系统的输出及稳态解；
离散系统的传输函数零极点分布，及系统幅频响应。
考察点：Z变换求LTI系统的输出
9.已知系统的差分方程为 。
输入信号为 。初始条件为 。求系统的输出响应。
对于准确的带限内插， 是一个理想的低通滤波器。
（1）确定系统A是否是线性的。
（2）确定系统A是否是时不变的。
（3）若 如图所示，且N=3，画出 。
解：
（1）取 和 ，并设
则
而
所以
因此
可见系统是线性的。
（2）取
（3）则在N=4时，有
（4）取
则在N=4时，有
如下图所示，可见系统A是时变的。
（3）
上式的傅里叶变换为
解：(b) _非线性、移不变、稳定、因果。
5）设某线性时不变系统，其单位抽样响应为
试讨论该系统的因果性和稳定性。
解：讨论因果性： 时， ，故此系统是因果系统。
讨论稳定性：
所以 时，系统稳定。
6）常系数线性差分方程为
边界条件为 ，试说明它是否是线性时不变系统。
解：（1）令
则
同样利用
可递推求得
所以
令
则
同样可递推求得
考察点：DTFT性质
1.设信号 的傅里叶变换为 ，利用傅里叶变换的定义或性质，求下列序列的傅里叶变换
（1） （2） （3） （4） （5）
（6）
解答：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
考察点：DTFT性质
2.如图所示序列 ，设其DTFT为 ，试利用DTFT的物理含义及性质，完成以下运算
（1） （2） （3）
分析：
频谱为 的信号被冲激信号抽样后，所得的抽样信号 的频谱
其中 为抽样频率， 为抽样时间间隔， ,此题中， ，则 .
解：
如图所示，三角脉冲信号的频谱
第一零点值
抽样信号的频谱大致如下图所示：
4）若连续信号 的频谱 是带状的（ ），如题图所示。利用卷积定理说明当 时，最低抽样率只要等于 就可以使抽样信号不产生频谱混叠。
如图所示
二、离散系统及其普遍关系
知识点
掌握离散系统的线性，时变，稳定和因果的判断方法；
理解单位脉冲响应对应的稳定和因果的判断方法；
掌握线性时不变系统的离散卷积计算方法。
3）试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
解：线性、移变、非稳定、因果。
4)试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
解：g1(t)满足Nyquist抽样定理，无信号的混叠。g2(t)不满足Nyquist抽样定理，发生信号的混叠。恢复的模拟信号如下:
2）设有模拟信号 =300 ， 300 ，用抽样 =3000样值/秒分别对其进行抽样，则 ， 的周期分别为多少?
解： =3， =6。
3）已知三角形脉冲的频谱见下图，大致画出三角形脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为 ，令
当 时，极点矢量长度最长，所以幅度值最小；
幅频特性关于 对称。可以定性画出系统的幅频特性如下图：
考察点：系统零极点分布，系统频率响应
11.一离散时间系统有一对共轭极点 ， ，且在原点有二阶重零点。
（1）写出该系统的传递函数 ，画出极零图；
（2）试大致画出其幅频响应（ ）；
（3）若输入信号 ，且系统初始条件 ，求该系统的输出 。
（4）确定并画出傅里叶变换为 的时间序列
（5） （6）
解答：
（4）
考察点：离散时间信号抽取
3.若 为 的傅里叶变换， ，求
解答：
考察点：离散时间信号的截断
4.将一个 的无限长信号截短，最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号。若所用的窗函数为矩形窗，即
则 实现了 的截短
若 的频谱 ，求 傅里叶变换，并画出频谱大致分布；
解答：
由DTFT定义得
由DTFT性质有
频谱大致分布
考察点：DTFT性质
5.Βιβλιοθήκη Baidu序列 是因果序列，已知傅里叶变换的实部为 ，求序列 及其傅里叶变换 。
解答：
6.假设序列 分别如图所示，其中 的傅里叶变换为 ，试用 表示其它三个序列的傅里叶变换。
解答：
二、
知识点
Z变换及其收敛域的判断；
留数法求Z反变换；
Z反变换求离散系统响应；
考察点：系统幅频响应
10.设一阶系统的差分方程为 ，试定性分析系统的幅频特性。
解答：
由系统的差分方程得到系统函数为
系统零点为 ，极点为 ，零极点分布如图。
取单位圆上点A，可以画出极点矢量和零点矢量，A从 开始，沿单位圆逆时针转一圈，观察极点矢量长度和零点矢量长度的变化。可得
当 时，极点矢量长度最短，所以幅度值最大；
所以
和 为移一位关系，但 和 不是移一位关系，因而系统不是时不变系统。
（2）前面已证明
令
则得
同样可递推求得
所以
又
所以
因此，这个系统不是线性系统。
7）设
试画出 ，其中 。
解：
一、
知识点
连续采样信号傅里叶变换与离散时域信号傅里叶变换的关系
利用DTFT的定义及性质求DTFT
离散时间信号截断后傅里叶变换
离散时间信号的内插与抽取
解答：
（1）系统的传递函数
零极点分布图
（2）幅频响应
（3）
解：
对连续信号 进行冲激抽样，所得的抽样信号
（T为抽样间隔）
由卷积定理
（ 为抽样频率）
若 的频谱是带状的，如题如所示，则当 时，采用 的频率对 进行抽样，所得的 如下图所示，可见频谱没有发生混叠。
5）内插或以整数因子N增采样的过程可以看成两种运算的级联。第一个系统（系统A）相当于在x[n]的每个序列值之间插入（N-1）个零序列值，因而
一、
知识点
连续时间信号离散后的频谱特点
Nyquist取样定理的理解和掌握
理想内插的时域和频域信号特点，了解非理想内插的几个函数
1)考虑两个正弦波信号:
和 ;
以= 20rad/sec对此信号进行离散化；然后使用截止频率为T= 10rad/sec的理想低通滤波器恢复得到模拟信号如下g1(t), g2(t)；请给出对应的模拟信号。
考察点：z变换收敛域判断及用留数法求Z反变换
7.已知
（1）根据零极点分布，写出所有可能的收敛域；
（2）若系统稳定，用留数法求逆z变换；
（3）若系统稳定非因果，用留数法求逆z变换。
解答：
（1） 有两个极点： ，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：
（2）若系统稳定，则收敛域为
（3）若系统因果非稳定，则收敛域为
考察点：留数法求逆z变换
8.设 。试求 的反变换。
解答：
根据收敛域是环状域，原序列为双边序列
三、
知识点
Z变换与拉氏变换、傅里叶变换的关系；
Z变换求LTI系统的输出及稳态解；
离散系统的传输函数零极点分布，及系统幅频响应。
考察点：Z变换求LTI系统的输出
9.已知系统的差分方程为 。
输入信号为 。初始条件为 。求系统的输出响应。
对于准确的带限内插， 是一个理想的低通滤波器。
（1）确定系统A是否是线性的。
（2）确定系统A是否是时不变的。
（3）若 如图所示，且N=3，画出 。
解：
（1）取 和 ，并设
则
而
所以
因此
可见系统是线性的。
（2）取
（3）则在N=4时，有
（4）取
则在N=4时，有
如下图所示，可见系统A是时变的。
（3）
上式的傅里叶变换为
解：(b) _非线性、移不变、稳定、因果。
5）设某线性时不变系统，其单位抽样响应为
试讨论该系统的因果性和稳定性。
解：讨论因果性： 时， ，故此系统是因果系统。
讨论稳定性：
所以 时，系统稳定。
6）常系数线性差分方程为
边界条件为 ，试说明它是否是线性时不变系统。
解：（1）令
则
同样利用
可递推求得
所以
令
则
同样可递推求得
考察点：DTFT性质
1.设信号 的傅里叶变换为 ，利用傅里叶变换的定义或性质，求下列序列的傅里叶变换
（1） （2） （3） （4） （5）
（6）
解答：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
考察点：DTFT性质
2.如图所示序列 ，设其DTFT为 ，试利用DTFT的物理含义及性质，完成以下运算
（1） （2） （3）
分析：
频谱为 的信号被冲激信号抽样后，所得的抽样信号 的频谱
其中 为抽样频率， 为抽样时间间隔， ,此题中， ，则 .
解：
如图所示，三角脉冲信号的频谱
第一零点值
抽样信号的频谱大致如下图所示：
4）若连续信号 的频谱 是带状的（ ），如题图所示。利用卷积定理说明当 时，最低抽样率只要等于 就可以使抽样信号不产生频谱混叠。
如图所示
二、离散系统及其普遍关系
知识点
掌握离散系统的线性，时变，稳定和因果的判断方法；
理解单位脉冲响应对应的稳定和因果的判断方法；
掌握线性时不变系统的离散卷积计算方法。
3）试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
解：线性、移变、非稳定、因果。
4)试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
解：g1(t)满足Nyquist抽样定理，无信号的混叠。g2(t)不满足Nyquist抽样定理，发生信号的混叠。恢复的模拟信号如下:
2）设有模拟信号 =300 ， 300 ，用抽样 =3000样值/秒分别对其进行抽样，则 ， 的周期分别为多少?
解： =3， =6。
3）已知三角形脉冲的频谱见下图，大致画出三角形脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为 ，令
当 时，极点矢量长度最长，所以幅度值最小；
幅频特性关于 对称。可以定性画出系统的幅频特性如下图：
考察点：系统零极点分布，系统频率响应
11.一离散时间系统有一对共轭极点 ， ，且在原点有二阶重零点。
（1）写出该系统的传递函数 ，画出极零图；
（2）试大致画出其幅频响应（ ）；
（3）若输入信号 ，且系统初始条件 ，求该系统的输出 。
（4）确定并画出傅里叶变换为 的时间序列
（5） （6）
解答：
（4）
考察点：离散时间信号抽取
3.若 为 的傅里叶变换， ，求
解答：
考察点：离散时间信号的截断
4.将一个 的无限长信号截短，最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号。若所用的窗函数为矩形窗，即
则 实现了 的截短
若 的频谱 ，求 傅里叶变换，并画出频谱大致分布；
解答：
由DTFT定义得
由DTFT性质有
频谱大致分布
考察点：DTFT性质
5.Βιβλιοθήκη Baidu序列 是因果序列，已知傅里叶变换的实部为 ，求序列 及其傅里叶变换 。
解答：
6.假设序列 分别如图所示，其中 的傅里叶变换为 ，试用 表示其它三个序列的傅里叶变换。
解答：
二、
知识点
Z变换及其收敛域的判断；
留数法求Z反变换；
Z反变换求离散系统响应；