北邮数字信号处理第二章附加习题
数字信号处理第2章习题解答
e
n 0
e
j ( 0 )
n
1 1 e e j (0 )
当 e 1 0
2-9 求 x(n) R5 (n) 的傅里叶变换 解：X (e j )
5 j 2
n
j
x ( n )e j n e j n
1 1 1 z 2
1 1 1 2 1 z z 2 4 1
1 1 1 2 X ( z) 1 z z 2 4 n 1 n z 2 n 0
1 x(n ) u(n ) 2
n
1 1 1 z 2 1 1 z 2 1 1 1 2 z z 2 4 1 2 z 4
解：
1 由x1 ( n ) u( n ) 2
1 z 2
n
1 得 X 1 ( z ) ZT [ x1 ( n )] 1 1 1 z 2 n 1 由x2 ( n ) u( n ) 3 1 得 X 2 ( z ) ZT [ x2 ( n )] 1 1 1 z 3
1 z 3
z3 z 3z 5 1 1 1 1 1 z 1 z z 3 z 2 3 2
1 z 3 2
j x ( n ) X ( e ): 2-7 求以下序列 的频谱
（1） (n n0 )
X ( e j )
n j n ( n n ) e 0
0
1/ 4 Re[ z ]
当 n 1 时， F ( z )在围线c内有一 (n 1)阶极点 z 0 在围线c外有单阶极点 z 1/ 4， 且分母阶次高于分子阶次二阶以上
《数字信号处理》(2-7章)习题解答
第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
数字信号处理答案第2章
6
N =2 0
(7)
k = m, k = N − m k ≠ m, k ≠ N − m
jω0 n
0≤k≤N－1
X 7 (k ) = ∑ e
n =0
N −1
W
kn N
= ∑e
n =0
N −1
j( ω0 −
2π k )n N
=
1− e
j(ω0 −
2π k)N N 2π k) N
k = 0, 1, L, N − 1
（8） 解法一 直接计算：
1 jω 0 n x8 (n) = sin(ω0 n) ⋅ RN (n) = [e − e − jω 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 ( n) =
∑
n =0
N −1 kn x8 (n)WN
1 = [ e jω 0 n − e − jω 0 n ] e 2 j n =0
2π mn +θ ) N 2π mn +θ ) N ]
1 = [e 2j
j(
−e
− j(
2π = sin mn + θ N
n=0, 1, …, N－1
18
3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：
1 0 ≤ n ≤ 4 x1 (n) = 0 5 ≤ n ≤ 9
1 x2 ( n) = − 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 及其快速算法(FFT)
1
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序 列定义为 (1) x(n)=1 (2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) 0<n0<N (4) x(n)=Rm(n) 0<m<N (5) (6)
数字信号处理 第二章习题
1 为因果序列，故收敛域为： z 2
8
（2） (n n0 ) n0 0
解：
X ( z)
n
x(n) z n
n
(n n0 ) z n
X ( z) z
n0
1 n n0 (n n0 ) 0 other
1 n0 z
z 0.5 左边序列 0.5 z 2 双边序列 右边序列 z 2
16
采用围线积分法求解：
3 2 X ( z) 1 1 0.5 z 1 2 z 1 3(1 2 z 1 ) 2(1 0.5 z 1 ) 5 7 z 1 1 1 (1 0.5 z )(1 2 z ) (1 0.5 z 1 )(1 2 z 1 )
z1 1, z2 2
X(z)的收敛域为
左边序列 z 1 1 z 2 双边序列 z 2 右边序列
24
F ( z) X ( z) z
n 1
z ( z 3) ( z 3) n 1 z zn ( z 1)( z 2) ( z 1)( z 2)
z 2
21
当收敛域为： z 2 0.5
1 n n 1 x(n) 3( ) u (n) 2 u (n 1) 2
22
收敛域为： z 2
右边序列
n 0 ，围线c内有2个1阶极点
x(n) Re s[( z 0.5) F ( z), 0.5] Re s[( z 2) F ( z), 2] ( z 0.5) 5z 7 zn ( z 0.5)( z 2) ( z 2)
双边序列
n 0 ，围线c内有1个1阶极点
数字信号处理 答案 第二章(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j （3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1222222 3333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2) y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)= ∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()( =∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0 即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
(完整word版)数字信号处理答案第二章
第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是,请确定它的最小周期.（1）x （n ）=Acos(685ππ+n ） （2)x （n)=)8(π-ne j（3）x （n)=Asin(343ππ+n ) 解 （1）对照正弦型序列的一般公式x （n ）=Acos （ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x （n ）=exp[ωσj +］n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数,所以不是周期序列。
(3）对照正弦型序列的一般公式x （n)=Acos(ϕω+n ），又x （n)=Asin （343ππ+n ）＝Acos （-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π）,得出=ω43π.因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x （n ）和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x （n ）和h （n)的线性卷积以得到系统的输出y(n ）,并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n ）=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法,计算y(n)的每一个取样值。
（a ） y （0）=x （O)h （0）=1y （l ）=x （O ）h(1)+x （1)h （O)=3y （n)=x(O)h （n ）+x （1)h(n-1)+x(2)h （n —2)=4,n ≥2 （b) x(n ）=2δ(n ）-δ（n-1）h(n)=-δ（n)+2δ（n —1)+ δ(n —2）y(n ）=-2δ(n)+5δ（n —1）= δ(n-3） (c ） y （n ）=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u （n ）2。
数字信号处理-答案-第二章
第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3)(c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a nu(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
(完整word版)数字信号处理第二章习题解答
数字信号处理第2章习题解答2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。
画出1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。
解：采样周期为2184T ππ== 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：1()cos(2)cos()42a n x n n ππ=⋅=2()cos(6)cos()42a n x n n ππ=-⋅=-3()cos(10)cos()42a n x n n ππ=⋅=输出序列只有一个角频率2π，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。
三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：tx a 1(t )tx a 2(t )tx a 3(t )三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。
2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。
求以下信号的最低采样频率。
（1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω（1）2()a x t 的傅里叶变换为22()[()]Ba a BX j X j d ππωωω-⋅Ω-⎰因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。
数字信号处理02-习题1-IIR滤波器设计_65
主讲人：李艳凤电子信息工程学院数 字 信 号 处 理Digital Signal ProcessingIIR数字滤波器设计人体脉搏信号处理过程如下图所示，已知正常人的脉搏信号在2～20Hz的频率范围内，在采集到的脉搏信号中会混入0～1Hz 的低频噪声，影响脉搏信号的后期分析。
试设计相关数字滤波器，实现对采集到的脉搏信号进行去噪。
抽样频率f=50Hz。
sam(1) 确定数字滤波器的设计指标；(2) 写出设计IIR数字滤波器的主要步骤。
解：p p p samr 2π0.08πad Ωω===f T f s s s sam r 2π0.04πad Ωω===f T f 应设计数字高通滤波器以滤除低频噪声A p ≤ 1dB (1) 确定数字滤波器的设计指标脉搏信号频率范围是2～20Hz噪声信号的频率范围是0～1Hz数字滤波器的设计指标选取 f p =2Hz ，f s =1HzA s ≥30 dB解：(2)写出设计IIR 数字滤波器的主要步骤1. 数字高通滤波器的频率指标 2tan()2Ωω=T 2. 模拟高通滤波器的频率指标1ωω=p p s s,,,ωωA A 3. 设计模拟低通滤波器 L ()H s 模拟高通滤波器的频率指标模拟低通滤波器的频率指标5. 模拟高通滤波器H (s ) 解：4. 模拟低通滤波器 L ()H s 11211()()---=+=z s T z H z H s L ()()1==s s H s H s (2)写出设计IIR 数字滤波器的主要步骤模拟高通滤波器H (s )数字高通滤波器H (z )IIR数字滤波器设计谢谢本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源于多种媒体及同事和同行的交流，难以一一注明出处，特此说明并表示感谢！。
北京邮电大学《数字信号处理》习题及答案
习 题1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。
(a) f(t)(b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2)2. 设 f(t) 是某一函数，a, t 0, T 为实常数，证明：(a))()()()(000t t t t f a at t f -=-δδ(b))()(1)()(000a t a f a at t f t t t -=-δδ(c))()()()(00nT t nT f TTt comb t f t tt n --+=-∑∞-∞=δ3.(a) 如 f(t) F(Ω)，证明：eeetjty j tj t f dy y F F Ω-∞∞--Ω-Ω-==*Ω⎰)(2)()()(π(b) 用 （a ） 的结果，证明频域卷积定理)()(21)()(2121Ω*Ω↔F Ffft t π4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。
5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ(b) )()()(0Ω+Ω=Ω+Ω*Ω∑∑∞-∞=∞-∞=n H n H n n δ6. 设eta t f -=)(，证明脉冲序列)()(nT t nT f n -∑∞-∞=δ的傅氏变换等于aTaT aT e T e e 22cos 211---+Ω--7.(a) 证明T n n n jnT eπδ2),(1000=ΩΩ+Ω=Ω∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-(b) 若f(t) F(Ω)，证明)()(0Ω+Ω=∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-n F nT f Tn n jnT e习 题1. 下列系统中，y(n) 表示输出，x(n) 表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？(a) y(n) = 2x(n) +3(b) y(n) = x 2(n)(c) ∑-∞==nm m x n y )()(2. 确定下列系统是否因果的？是否稳定的？ (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界(b) ∑-==nk n k x n y 0)()( n>n 0 (c) y(n) = x(n-n 0)(d) x(n) = a nu(n), h(n) = u(n)(e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) nu(n)3. x(n) 为输入序列， h(n) 为系统的单位取样响应序列，确定输出序列 y(n)， (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示⎪⎩⎪⎨⎧=0)(a n n h⎪⎩⎪⎨⎧=-0)(0βn n x n 的卷积 y(n) = x(n) * h(n)5. 讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。
数字信号处理(第三版)第2章习题答案
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
X e (e j ) FT[xr (n)]
Hale Waihona Puke 1 1 ej2 1 e j2 1 (1 cos 2)
24
4
2
因为 所以
Xe
(e j
)
1 2
[X
(e j
)
X
(e j
)]
X(ejω)=0π≤ω≤2π
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
当0≤ω≤π时，
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
1 求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到 X (z) 1 az 1
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
数字信号处理教程课后习题及答案
x(n
− m)sin
2π 9
+
π 7
即 T [x(n − m)] = y(n − m)
∴系统是移不变的
T [ax1(n) + bx2 (n)]
=
[ax1
(n)
+
bx2
(n
)]sin(
2π 9
+
π 7
)
即有 T [ax1(n)+ bx2 (n)]
= ay1(n) + by2 (n)
∴系统是线性系统
(1) T [ x(n)] = g(n)x(n) (2) (3) T [ x(n)] = x(n − n0 ) (4)
(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7
②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
∴所给系统在 y(0) = 0 条件下是线性系统。
6.试判断:
北邮数字信号处理第二章附加习题
N 1
jwn
e jwn
n 0 jwN /2
N 1
1 e e (e jwN /2 e jwN /2 ) 1 e jw e jw/2 (e jw/2 e jw/2 ) sin( wN / 2) e jw( N 1)/2 sin( w / 2)
1
n 3
(1)
7
n
x ( n) 2
F Re( X (e jw )) xe ( n)
1 xe (n) ( x(n) x( n)) 2 (5) (6)
X (e jw ) dw 2 x 2 (n) 28
2 n 3 jw
7
dX (e ) F jnx(n) dw
令
x3 (n) x1 (n) x2 (n) (n) (n 1),
则得
y3 (0) 1
y3 (1) ay3 (0) x3 (1) a 1 y3 (2) ay3 (1) x3 (2) a 2 a y3 (n) ay3 (n 1) x3 (n) a n a n 1
jw
其傅里叶变换 X (e ) 。 解答：
jw
1 1 X R (e jw ) 1 cos w 1 e jw e jw 2 2 1 1 xe (n) (n) ( n 1) ( n 1) 2 2 1 xe (n) ( x(n) x* ( n)) 2 因为x(n)为实因果序列 1 1 x(n) (n) (n 1) 2 2 1 X (e jw ) 1 e jw 2
由 DTFT 性质有
jwN
X N (e jw ) X (e jw )* D(e jw ) D(e j ) X (e j ( w ) )d
数字信号处理_第二章_习题
r
y [k rN ]
l
h 解: 序列 x[k ] 的点数为N1 30， [k ] 的点数为 N 2 10， 故 x[k ] h[k ] 的点数应为39，起始点位置a=10
L N1 N 2 1 39
又 g[k]为x[k]与h[k]的30点循环卷积，即N＝30。
5.设有信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，要求 频率分辨率10Hz，抽样时间间隔0.1ms，求:(1) 最小 数据记录时间；(2).所允许处理的信号最高频率；(3). 在一次最小记录中的最少点数。 6.画出基2时间抽取蝶形运算图。 7.每个蝶形运算有_____次复数乘法，______次复数加 法。当N=32时，由_____级蝶形运算组成；每级有 _____个蝶形结构；共有______个蝶形运算；共有 ____次复数乘法，_____次复数加法。直接完成DFT 计算共需要_______次复数加法， _____次复数乘法。
g[k]是线性卷积以30为周期周期延拓后取主值序列 48( a L 1) 10
20 ( N a)
40 18 ( N a L 1) ( a N )
78 ( a N L 1)
混叠点数为L-N＝39－30＝9
k 10~ k 18( a L N 1)
2-14. 设有两个序列
x[k ], 0 k 29 x[k ] 其它k 0, h[k ], 10 k 19 h[k ] 其它k 0,
x[k]和h[k]的30点循环卷积记为g[k]，线性卷积记 为y[k]。 试确定在哪些点上有y[k]=g[k]。
yc [k ]
X [m] N x[0]
m 0
X [m] 10 x[0] 20
数字信号处理 课后习题答案 第2章.docx
习题1.设X（e"。
）和r（e JC0）分别是印7）和）仞的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换:(1) x("-"o) (3) x(-n) (5) x(")y(")(7) x(2n)⑵ x*(〃)(4) x(") * v(«) (6) nx(n) (8) /(〃)解：⑴00 FT[X(/7-Z70)] = £x(〃一〃o)e—S令n r = n-n0,即〃=n' + n Q,贝!J00FT[x(n-n o y\=工》(〃')以"''*""="初。
乂(烈)00 00(2)FT[x («)] = £ x* (n)e*= [ £ 戏〃)攻以]* = X* (e「W=—00 w=—00(3)00FT[x(—")]= 〃)e*"令=一〃,则00FT[x(—”)]= Zx(〃')e" =X(e—〃")”'=—00(4)00 x(〃) *'(〃)= ^\x(jrT)y(n -m)W=-0000 00FT[x(n) * v(w)] = Z【Z x("y("-初)]e""' n=-<x> w=-oo k = n-m,贝U00 00FT[x(ri)*y(ri)]= £[ £x(初) k=—CD W=-0000 00k=-<x> m=—cc= X(e5(em)_00 00 1时[x(M)贝〃)]= Z》(〃)贝〃)e「9 = Zx(〃)[-Lf/(em'"'"d 渺]e-加""=—00 〃=—00 2l "1 00=—£ Y(e j0)')2l " n=—<x>1 伙=一L "口")*?®"、技或者FT[x{n)y{ny\ = —「171 »兀oo(6)因为X(e，")= »("初,对该式两边口求导，得到叫、)=-J £仗"如=-jFT[nx(n)]因此矶孙(〃)]=j至@3)dco00⑺ FT\x(2ri)\=加n=-(x)令n' = 2n ,则FT[X(2W)]= £x(z/)e 7 %W--00,且取偶数00 1 r r・l 八1°0 . 1 00 . 1£?kO + (T)“x(")厂=| 广伽+£ef ("广伽〃=—oo 匕匕〃=—oo 〃=—00=L「xa*+x(/*E)F7[x(2z?)] = | X(e‘2") + X(—e'尸)(8) F7[X2(»)]= J X2(77)6^»=-OO利用(5)题结果，令x{n) = y{n),则F巾2(”)] = _£x(em)*X(eS) = —「X®。
数字信号处理第二章附加习题
数字信号处理第⼆章附加习题⼀、信号的取样和内插知识点：●连续时间信号离散后的频谱特点● Nyquist 取样定理的理解和掌握●理想内插的时域和频域信号特点，了解⾮理想内插的⼏个函数1. 考虑两个余弦波信号:1()cos(6)g t t p =和2()cos(14)g t t p =;以 10s f Hz =分别对g 1(t)、g 2(t)采样，然后使⽤截⽌频率为 10/sec rad π的理想低通滤波器实施内插；给出内插后的模拟信号。
2．设有模拟信号)(1t x a =300)2000sin(t ?π，=)(2t x a 300)5000cos(t ?π，⽤抽样s f =3000样值/秒分别对其进⾏抽样，则)()(11s a nT x n x =，)()(22s a nT x n x =的周期分别为多少?3．已知三⾓形脉冲的频谱见下图，⼤致画出三⾓形脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为，令4．若连续信号的频谱是带状的（），如题图所⽰。
利⽤卷积定理说明当时，最低抽样率只要等于就可以使抽样信号不产⽣频谱混叠。
5．内插或以整数因⼦N增采样的过程可以看成两种运算的级联。
第⼀个系统（系统A）相当于在x[n]的每个序列值之间插⼊（N-1）个零序列值，因⽽对于准确的带限内插，是⼀个理想的低通滤波器。
（1）确定系统A是否是线性的。
（2）确定系统A是否是时不变的。
（3）若如图所⽰，且N=3，画出。
⼆、离散系统及其普遍关系知识点：●掌握离散系统的线性，时变，稳定和因果的判断⽅法；●理解单位脉冲响应对应的稳定和因果的判断⽅法；●掌握线性时不变系统的离散卷积计算⽅法。
6. 试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？0()() nm n y n x m n n =-=>∑7. 试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？()()x n y n e =8.设某线性时不变系统，其单位抽样响应为()()n h n a u n =试讨论该系统的因果性和稳定性。
数字信号处理(北邮本科大二-14春)-期中小结
抽样率为fs=2000Hz取样周期为Ts=1/2000秒
故 所以
x(n) f (t ) |t nTs 2cos(2 fnTs ) 2 cos(2n / 3)
1/ 3 fTs
f 2000 / 3
解出
因此 x(t ) 2cos(4000 t / 3)
《数字信号处理》
4
第二章
第2章 离散时间信号与离散时间系统
信号的取样和内插
连续时间信号x(t)离散时间信号x(nT) 注意内插的几个特定频率：Max， s， c
离散时间信号
傅立叶变换及性质
离散系统
特性——线性、时移，因果、稳定 频域分析
Z变换
变换与反变换 收敛域——序列
的卷积
并用公式表示。
解：y ( n) x ( n) h( n)
k
x ( k ) h( n k )
k n nk
0
n N k n 0 k N
k
n n0
《数字信号处理》
( ) k
——有界
（2）|x(n)|<（有界）
所以，y(n)稳定。
《数字信号处理》
y(n) e x (n)
16
第三章
习题3.19
现存在两个有限长序列x(n) (0≤n≤7)和
h(n)(0≤n≤19)，其20点循环卷积结果为yc(n)， 而其线性卷积结果为yL(n) ，问：
(1) yc(n)中哪些点与yL(n) 相同； 解： 应该是7~19点相同，而不是7~20点相同
快速傅里叶变换（FFT）
数字信号处理习题库选择题附加答案选择填空2
第1章选择题1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。
A.离散值；连续值B.离散值；离散值C.连续值；离散值D.连续值；连续值2．数字信号的特征是（ B ）A ．时间离散、幅值连续B ．时间离散、幅值量化C ．时间连续、幅值量化D ．时间连续、幅值连续3．下列序列中属周期序列的为（ D ）A ．x(n) = δ(n)B ．x(n) = u(n)C ．x(n) = R 4(n)D ．x(n) = 14．序列x(n)=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛n 311的周期为（ D ） A ．3 B ．6 C ．11 D ．∞5. 离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π)的周期是 ( C ) A. 7 B. 14/3 C. 14 D. 非周期6．以下序列中（ D ）的周期为5。
A ．)853cos()(ππ+=n n x B. )853sin()(ππ+=n n x C. )852()(π+=n j e n x D. )852()(ππ+=n j en x 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（ C ）。
A ．sin100n B. n j e 2C. n n ππ30sin cos +D. n j n j e e5431π- 8．以下序列中 D 的周期为5。
A.)853cos()(π+=n n x B.)853sin()(π+=n n x C.)852()(π+=n j e n x D.)852()(ππ+=n j e n x 9．离散时间序列x (n )=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+353ππn 的周期是( C ) A.5 B.10/3C.10D.非周期10.离散时间序列x(n)=sin （5n 31π+）的周期是( D ) A.3 B.6C.6πD.非周期11.序列x (n )=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛n 5π3的周期为( C ) A.3B.5C.10D.∞ 12．下列关系正确的为（ C ）A ．u(n)=∑=n k 0δ (n) B ．u(n)=∑∞=0k δ (n) C ．u(n)=∑-∞=nk δ (n)D ．u(n)=∑∞-∞=k δ (n)13．设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（ C ）A ．当n>0时，h(n)=0B ．当n>0时，h(n)≠0C ．当n<0时，h(n)=0D ．当n<0时，h(n)≠014.下列系统(其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列)中______属于线性系统。
数字信号处理第二章习题答案
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωω（等比数列求解）ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee ((1-e^a)提出e^(0.5a))（5） 3350011()(3)44nkj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
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1.设信号 的傅里叶变换为 ，利用傅里叶变换的定义或性质，求下列序列的傅里叶变换
（1） （2） （3） （4） （5）
（6）Байду номын сангаас
解答：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
考察点：DTFT性质
2.如图所示序列 ，设其DTFT为 ，试利用DTFT的物理含义及性质，完成以下运算
（1） （2） （3）
解：
对连续信号 进行冲激抽样，所得的抽样信号
（T为抽样间隔）
由卷积定理
（ 为抽样频率）
若 的频谱是带状的，如题如所示，则当 时，采用 的频率对 进行抽样，所得的 如下图所示，可见频谱没有发生混叠。
5）内插或以整数因子N增采样的过程可以看成两种运算的级联。第一个系统（系统A）相当于在x[n]的每个序列值之间插入（N-1）个零序列值，因而
解答：
（1）系统的传递函数
零极点分布图
（2）幅频响应
（3）
考察点：留数法求逆z变换
8.设 。试求 的反变换。
解答：
根据收敛域是环状域，原序列为双边序列
三、
知识点
Z变换与拉氏变换、傅里叶变换的关系；
Z变换求LTI系统的输出及稳态解；
离散系统的传输函数零极点分布，及系统幅频响应。
考察点：Z变换求LTI系统的输出
9.已知系统的差分方程为 。
输入信号为 。初始条件为 。求系统的输出响应。
解答：
考察点：系统幅频响应
10.设一阶系统的差分方程为 ，试定性分析系统的幅频特性。
解答：
由系统的差分方程得到系统函数为
系统零点为 ，极点为 ，零极点分布如图。
取单位圆上点A，可以画出极点矢量和零点矢量，A从 开始，沿单位圆逆时针转一圈，观察极点矢量长度和零点矢量长度的变化。可得
当 时，极点矢量长度最短，所以幅度值最大；
考察点：z变换收敛域判断及用留数法求Z反变换
7.已知
（1）根据零极点分布，写出所有可能的收敛域；
（2）若系统稳定，用留数法求逆z变换；
（3）若系统稳定非因果，用留数法求逆z变换。
解答：
（1） 有两个极点： ，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：
（2）若系统稳定，则收敛域为
（3）若系统因果非稳定，则收敛域为
对于准确的带限内插， 是一个理想的低通滤波器。
（1）确定系统A是否是线性的。
（2）确定系统A是否是时不变的。
（3）若 如图所示，且N=3，画出 。
解：
（1）取 和 ，并设
则
而
所以
因此
可见系统是线性的。
（2）取
（3）则在N=4时，有
（4）取
则在N=4时，有
如下图所示，可见系统A是时变的。
（3）
上式的傅里叶变换为
一、
知识点
连续时间信号离散后的频谱特点
Nyquist取样定理的理解和掌握
理想内插的时域和频域信号特点，了解非理想内插的几个函数
1)考虑两个正弦波信号:
和 ;
以= 20rad/sec对此信号进行离散化；然后使用截止频率为T= 10rad/sec的理想低通滤波器恢复得到模拟信号如下g1(t), g2(t)；请给出对应的模拟信号。
当 时，极点矢量长度最长，所以幅度值最小；
幅频特性关于 对称。可以定性画出系统的幅频特性如下图：
考察点：系统零极点分布，系统频率响应
11.一离散时间系统有一对共轭极点 ， ，且在原点有二阶重零点。
（1）写出该系统的传递函数 ，画出极零图；
（2）试大致画出其幅频响应（ ）；
（3）若输入信号 ，且系统初始条件 ，求该系统的输出 。
（4）确定并画出傅里叶变换为 的时间序列
（5） （6）
解答：
（4）
考察点：离散时间信号抽取
3.若 为 的傅里叶变换， ，求
解答：
考察点：离散时间信号的截断
4.将一个 的无限长信号截短，最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号。若所用的窗函数为矩形窗，即
则 实现了 的截短
若 的频谱 ，求 傅里叶变换，并画出频谱大致分布；
解：(b) _非线性、移不变、稳定、因果。
5）设某线性时不变系统，其单位抽样响应为
试讨论该系统的因果性和稳定性。
解：讨论因果性： 时， ，故此系统是因果系统。
讨论稳定性：
所以 时，系统稳定。
6）常系数线性差分方程为
边界条件为 ，试说明它是否是线性时不变系统。
解：（1）令
则
同样利用
可递推求得
所以
令
则
同样可递推求得
解答：
由DTFT定义得
由DTFT性质有
频谱大致分布
考察点：DTFT性质
5.若序列 是因果序列，已知傅里叶变换的实部为 ，求序列 及其傅里叶变换 。
解答：
6.假设序列 分别如图所示，其中 的傅里叶变换为 ，试用 表示其它三个序列的傅里叶变换。
解答：
二、
知识点
Z变换及其收敛域的判断；
留数法求Z反变换；
Z反变换求离散系统响应；
解：g1(t)满足Nyquist抽样定理，无信号的混叠。g2(t)不满足Nyquist抽样定理，发生信号的混叠。恢复的模拟信号如下:
2）设有模拟信号 =300 ， 300 ，用抽样 =3000样值/秒分别对其进行抽样，则 ， 的周期分别为多少?
解： =3， =6。
3）已知三角形脉冲的频谱见下图，大致画出三角形脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为 ，令
分析：
频谱为 的信号被冲激信号抽样后，所得的抽样信号 的频谱
其中 为抽样频率， 为抽样时间间隔， ,此题中， ，则 .
解：
如图所示，三角脉冲信号的频谱
第一零点值
抽样信号的频谱大致如下图所示：
4）若连续信号 的频谱 是带状的（ ），如题图所示。利用卷积定理说明当 时，最低抽样率只要等于 就可以使抽样信号不产生频谱混叠。
所以
和 为移一位关系，但 和 不是移一位关系，因而系统不是时不变系统。
（2）前面已证明
令
则得
同样可递推求得
所以
又
所以
因此，这个系统不是线性系统。
7）设
试画出 ，其中 。
解：
一、
知识点
连续采样信号傅里叶变换与离散时域信号傅里叶变换的关系
利用DTFT的定义及性质求DTFT
离散时间信号截断后傅里叶变换
离散时间信号的内插与抽取
如图所示
二、离散系统及其普遍关系
知识点
掌握离散系统的线性，时变，稳定和因果的判断方法；
理解单位脉冲响应对应的稳定和因果的判断方法；
掌握线性时不变系统的离散卷积计算方法。
3）试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
解：线性、移变、非稳定、因果。
4)试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？