第6章 常微分方程与差分方程
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22
2 例3 求微分方程 y d x ( x
4 x )d y 0
的通解.
解
若 y ( x 4 x ) 0 ,方程可以表示成
2
4
dy y
(
1 x
1 x4
)d x ,
x x4 ln | C | ln Cx x4
等式两边积分得, 即
又y
y ( x 4) C x ,
是对应齐次方程(2)的 n 个线性
无关特解, 程(1)的通解为 是非齐次方程(1)的特解,则非齐次方
Y ( x) y ( x)
齐次方程通解
非齐次方程特解
12
6.二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性 微分方程 •二阶常系数齐次线性微分方程 其特征方程为: r 2 p r q 0 , 特征根的情况
其特征方程为:
x
a 0 , 特征根为:
相应的齐次线性差分方程的通解为:
y x Aa , 其中 A 为任意常数.
特解形式为:
y x x Q n ( x)q
k
x
,
其中 Q n ( x )为与 Pn ( x )同次的多项式
,而
0, k 1,
q 不是特征根， q 是特征根 .
6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 .
7.会用微分方程求解简单的经济应用问题 .
21
典型例题分析
例1 微分方程 y p ( x ) y q ( x ) y 当 n 1 时为(
n
).
A. 一阶线性齐次微分方程 B. 一阶线性非齐次微分方程 C. 伯努利方程 D. 非线性微分方程
yx
n
3
n
( 1) C n y n x k .
2 2
k
k
k 0
例
( x ) y x 1 y x ( x 1) x
2 2 2
2x 1,
( x ) ( 2 x 1) [ 2 ( x 1) 1] ( 2 x 1) 2 .
故通解为
y Ce
.
7
•非齐次方程的解法
dy dx
P( x) y Q( x)
用常数变易法: 作变换
u e
P( x) d x
y ( x) u ( x) e
P( x) d x
,
则
Q(x)
P( x) u e
P( x) d x
P(x) u e
P( x) d x
du dx u x
du f (u ) u
•解法 作变量代换,
dy dx u x
y x
, 即 y xu ,
, f (u ) ,
dx x
代入原式得
分离变量得
du dx
,
两边积分,将u代回,便得到原方程的通解.
5
•可化为齐次的方程
dy dx
(1) 当 a1 a b1 b
f(
y x 1 ay x f ( x )
一阶常系数线性非齐次差分方程的通解 y x 为: 该差 分方程的某一个特解 y 与相应的齐次差分方程的通解 y x x 之和,即 y x = y + y x . x
y x 1 ayx Pn ( x)q
x
(a 0) 的通解的求法 .
ax by c a1 x b1 y c1
)
(c c1 0) .
2
2
时, 令 u a x b y,
化为可分离变量方程.
(2) 当 a1 a b1
x X h , 时, 令 (其中h和k是待定的常数) b y Y k ,
化为齐次方程.
6
4.一阶线性微分方程 •形式
y f ( x, y ) 过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) y x x 0 y 0 , y x x 0 y 0
二阶:
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
3
2.变量可分离的微分方程
•形式
dy dx
dy g ( y) f ( x )d x ,
f ( x) g ( y ) .
•解法 分离变量, 两边积分,
g ( y) f ( x) dx ,
dy
G ( y ) F ( x) C .
称为隐式通解,或通积分.
4
3.齐次微分方程
•形式
dy
y f ( ). dx x u
x
0 , k 1 , 2 ,
不是特征方程的根 是特征方程的 是特征方程的重根
;
单特 ; .
14
•简单的非齐次线性微分方程特解的求法
( 2 ) f ( x) e
x
a cos
x b sin x
k x
设方程的特解形式为: y x e
其中 A 与 B 为待定系数 ,而
8
齐次方程通解
非齐次方程特解
•伯努利方程 解法:
y
n
dy dx
P ( x) y Q( x) y
n
( n 0 , 1)
除方程两边,得
dy dx P( x) y
1 n
Q( x) , dz dx
n
令 zy
dz dx
1 n
,则
(1 n) y
dy dx
,
(1 n) P( x) z (1 n) Q( x) .
(线性方程)
求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.
9
5.线性微分方程解的性质及解的结构定理
•n阶线性微分方程的形式
y
( n)
P ( x) y 1
( n 1)
Pn1 ( x) y Pn ( x) y f ( x)
( 1)
特别地, n阶齐次线性微分方程
y
( n)
形如
y x 1 ay
x
f ( x)
( x 0 ,1, 2 , )
称为一阶常系数线性差分方程.其中 f ( x ) 为已知函 数, a 是非零常数. y x 1 ay x 0 ( x 0 ,1, 2 , ) 称为一阶常系数齐 次线性差分方程.
18
9.一阶常系数线性差分方程
y x y x 1 y x .
二阶差分
2 y x ( y x ) y x 1 y x y x 2 2 y x 1 y x .
三阶差分
n 阶差分
y x y x 3 3 y x 2 3 y x 1 y x .
G ( x , y x , y x 1 , , y x n ) 0
( n 1).
差分方程中所出现的未知函数下标的最大值与最小值 的差称为差分方程的阶. 若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则称此函 数为该差分方程的解.
17
8.差分方程的通解与特解 若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个 数恰好等于差分方程的阶数,则称该解为差分方程的 通解. 不包含任意常数的解,称为特解. 9.一阶常系数线性差分方程
即
公式法
P( x) d x d x C , 两边积分得 u Q( x) e
ye 故原方程的通解为
P( x) d x
P( x) d x d x C Q( x) e
也即 y Ce
P( x) d x
e
P( x) d x
P( x) d x d x Q( x ) e
A cos x B sin x
0 , k 1 ,
i 不是特征方程的根; i 是特征方程的
单根.
15
7.差分与差分方程的概念
•差分
设函数 y f ( x ) 为定义在非负整数集上的函数,
简记 y x , 并把差 y x 1 y x 称为函数 y x 的差分,也称 一阶差分,记为 y x , 即
10
5.线性微分方程解的性质及解的结构定理 定理2: 是 n 阶齐次方程(2)
的 n 个线性无关解,则方程的通解为
y C1 y1 Cn y n (Ck 为任意常数) .
定理3:
是 n 阶非齐次方程(1)
的两个解, 则 y2 y1 是相应的齐次线性(2)
方程的解.
11
5.线性微分方程解的性质及解的结构定理 定理4: 给定 n 阶非齐次线性方程(1)
P ( x) y 1
( n 1)
Pn1 ( x) y Pn ( x) y 0
(2)
(2)称为(1)相应的齐次方程. 定理1: 是 n 阶齐次方程(2)
的 n 个解,则 y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数) 也为齐次方程(2)的解. 齐次方程解的叠加原理
第五章 常微分方程与差分方程
1
考试内容
1.常微分方程的基本概念
•常微分方程 含有一元未知函数及其导数(或微分)的方程.
•微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y
( n)
)0
( n 1)
或
y
( n)
f ( x, y, y,, y
0
4
4 ln | y | ln
( 其中 C 0 ) .
也为方程的解,
y ( x 4) C x .
4
从而所求特解为
注意: 在方程求解变形中,原方程与变形后的方程有可 能不是同解变形,可能会遗漏一部分解,可以将这些解单 独讨论补上.
23
例4 解
源自文库
求微分方程 y
16
•差分方程
含有自变量 x ,未知函数 y x ,以及未知函数的差分
y x , y x , ,
2
的函数方程称为差分方程.即形如
2 n
F ( x, y x , y x , , y x ) 0
( n 1).
含有自变量 x ,以及两个或两个以上未知函数 y x 1 , 的函数方程,称为差分方程.即形如
解 本题应选A .
2 例2 二阶微分方程 y y 3x 的特解形式是(
).
A. y C. y
* *
Ax
2
2
Bx C
2
B. y x ( Ax B ) D. y
*
*
x ( Ax
Bx C )
x ( Ax
2
Bx C )
解 特征根为0和1, 本题应选D .
19
10.微分方程的简单应用
20
考试要求
1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程 的求解方法. 3.会解二阶常系数齐次线性微分方程 . 4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项 式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分 方程 . 5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 .
两互不相同的实根 r1 r2 二重根 r1 r2
特征根为:
通解的表达式
y C 1e
r1 x
C 2e
r2 x
y (C 1 C 2 x ) e y e
x
r1 x
两个共轭复根 r1, 2 i
( C 1 cos x C 2 sin x )
13
•二阶常系数非齐次线性微分方程
dy dx P ( x) y Q( x) .
当 Q( x) 0时, 称为齐次方程; 当 Q( x) 0时, 称为非齐次方程.
•齐次方程的解法 分离变量, 两边积分得,
dy dx
P( x) y 0
ln y P( x) d x ln C ,
P( x) d x
对应齐次方程 通解结构
y p y q y 0,
y Y y ,
•简单的非齐次线性微分方程特解的求法
( 1 ) f ( x ) Pn ( x ) e
x
( 其中 Pn ( x )为 n 次多项式 )
k
设方程的特解形式为: y x Qn ( x)e
其中 Q n ( x ) 与 Pn ( x )为同次多项式 ,而
).
•线性微分方程 方程中的未知函数及其个阶导数的次数都是 一次,且无交叉乘积项.
y y x y (sin x )
3 2 (4)
1,
二阶非线性. 二阶线性.
2
y p ( x ) y q ( x ) y f ( x ) ,
•微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同. 特解 不含任意常数的解.其图形称为积分曲线. 注意,通解不一定是方程的全部解. •初始条件 用来确定任意常数的条件. •初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题. 一阶:
2 例3 求微分方程 y d x ( x
4 x )d y 0
的通解.
解
若 y ( x 4 x ) 0 ,方程可以表示成
2
4
dy y
(
1 x
1 x4
)d x ,
x x4 ln | C | ln Cx x4
等式两边积分得, 即
又y
y ( x 4) C x ,
是对应齐次方程(2)的 n 个线性
无关特解, 程(1)的通解为 是非齐次方程(1)的特解,则非齐次方
Y ( x) y ( x)
齐次方程通解
非齐次方程特解
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6.二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性 微分方程 •二阶常系数齐次线性微分方程 其特征方程为: r 2 p r q 0 , 特征根的情况
其特征方程为:
x
a 0 , 特征根为:
相应的齐次线性差分方程的通解为:
y x Aa , 其中 A 为任意常数.
特解形式为:
y x x Q n ( x)q
k
x
,
其中 Q n ( x )为与 Pn ( x )同次的多项式
,而
0, k 1,
q 不是特征根， q 是特征根 .
6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 .
7.会用微分方程求解简单的经济应用问题 .
21
典型例题分析
例1 微分方程 y p ( x ) y q ( x ) y 当 n 1 时为(
n
).
A. 一阶线性齐次微分方程 B. 一阶线性非齐次微分方程 C. 伯努利方程 D. 非线性微分方程
yx
n
3
n
( 1) C n y n x k .
2 2
k
k
k 0
例
( x ) y x 1 y x ( x 1) x
2 2 2
2x 1,
( x ) ( 2 x 1) [ 2 ( x 1) 1] ( 2 x 1) 2 .
故通解为
y Ce
.
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•非齐次方程的解法
dy dx
P( x) y Q( x)
用常数变易法: 作变换
u e
P( x) d x
y ( x) u ( x) e
P( x) d x
,
则
Q(x)
P( x) u e
P( x) d x
P(x) u e
P( x) d x
du dx u x
du f (u ) u
•解法 作变量代换,
dy dx u x
y x
, 即 y xu ,
, f (u ) ,
dx x
代入原式得
分离变量得
du dx
,
两边积分,将u代回,便得到原方程的通解.
5
•可化为齐次的方程
dy dx
(1) 当 a1 a b1 b
f(
y x 1 ay x f ( x )
一阶常系数线性非齐次差分方程的通解 y x 为: 该差 分方程的某一个特解 y 与相应的齐次差分方程的通解 y x x 之和,即 y x = y + y x . x
y x 1 ayx Pn ( x)q
x
(a 0) 的通解的求法 .
ax by c a1 x b1 y c1
)
(c c1 0) .
2
2
时, 令 u a x b y,
化为可分离变量方程.
(2) 当 a1 a b1
x X h , 时, 令 (其中h和k是待定的常数) b y Y k ,
化为齐次方程.
6
4.一阶线性微分方程 •形式
y f ( x, y ) 过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) y x x 0 y 0 , y x x 0 y 0
二阶:
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
3
2.变量可分离的微分方程
•形式
dy dx
dy g ( y) f ( x )d x ,
f ( x) g ( y ) .
•解法 分离变量, 两边积分,
g ( y) f ( x) dx ,
dy
G ( y ) F ( x) C .
称为隐式通解,或通积分.
4
3.齐次微分方程
•形式
dy
y f ( ). dx x u
x
0 , k 1 , 2 ,
不是特征方程的根 是特征方程的 是特征方程的重根
;
单特 ; .
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•简单的非齐次线性微分方程特解的求法
( 2 ) f ( x) e
x
a cos
x b sin x
k x
设方程的特解形式为: y x e
其中 A 与 B 为待定系数 ,而
8
齐次方程通解
非齐次方程特解
•伯努利方程 解法:
y
n
dy dx
P ( x) y Q( x) y
n
( n 0 , 1)
除方程两边,得
dy dx P( x) y
1 n
Q( x) , dz dx
n
令 zy
dz dx
1 n
,则
(1 n) y
dy dx
,
(1 n) P( x) z (1 n) Q( x) .
(线性方程)
求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.
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5.线性微分方程解的性质及解的结构定理
•n阶线性微分方程的形式
y
( n)
P ( x) y 1
( n 1)
Pn1 ( x) y Pn ( x) y f ( x)
( 1)
特别地, n阶齐次线性微分方程
y
( n)
形如
y x 1 ay
x
f ( x)
( x 0 ,1, 2 , )
称为一阶常系数线性差分方程.其中 f ( x ) 为已知函 数, a 是非零常数. y x 1 ay x 0 ( x 0 ,1, 2 , ) 称为一阶常系数齐 次线性差分方程.
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9.一阶常系数线性差分方程
y x y x 1 y x .
二阶差分
2 y x ( y x ) y x 1 y x y x 2 2 y x 1 y x .
三阶差分
n 阶差分
y x y x 3 3 y x 2 3 y x 1 y x .
G ( x , y x , y x 1 , , y x n ) 0
( n 1).
差分方程中所出现的未知函数下标的最大值与最小值 的差称为差分方程的阶. 若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则称此函 数为该差分方程的解.
17
8.差分方程的通解与特解 若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个 数恰好等于差分方程的阶数,则称该解为差分方程的 通解. 不包含任意常数的解,称为特解. 9.一阶常系数线性差分方程
即
公式法
P( x) d x d x C , 两边积分得 u Q( x) e
ye 故原方程的通解为
P( x) d x
P( x) d x d x C Q( x) e
也即 y Ce
P( x) d x
e
P( x) d x
P( x) d x d x Q( x ) e
A cos x B sin x
0 , k 1 ,
i 不是特征方程的根; i 是特征方程的
单根.
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7.差分与差分方程的概念
•差分
设函数 y f ( x ) 为定义在非负整数集上的函数,
简记 y x , 并把差 y x 1 y x 称为函数 y x 的差分,也称 一阶差分,记为 y x , 即
10
5.线性微分方程解的性质及解的结构定理 定理2: 是 n 阶齐次方程(2)
的 n 个线性无关解,则方程的通解为
y C1 y1 Cn y n (Ck 为任意常数) .
定理3:
是 n 阶非齐次方程(1)
的两个解, 则 y2 y1 是相应的齐次线性(2)
方程的解.
11
5.线性微分方程解的性质及解的结构定理 定理4: 给定 n 阶非齐次线性方程(1)
P ( x) y 1
( n 1)
Pn1 ( x) y Pn ( x) y 0
(2)
(2)称为(1)相应的齐次方程. 定理1: 是 n 阶齐次方程(2)
的 n 个解,则 y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数) 也为齐次方程(2)的解. 齐次方程解的叠加原理
第五章 常微分方程与差分方程
1
考试内容
1.常微分方程的基本概念
•常微分方程 含有一元未知函数及其导数(或微分)的方程.
•微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y
( n)
)0
( n 1)
或
y
( n)
f ( x, y, y,, y
0
4
4 ln | y | ln
( 其中 C 0 ) .
也为方程的解,
y ( x 4) C x .
4
从而所求特解为
注意: 在方程求解变形中,原方程与变形后的方程有可 能不是同解变形,可能会遗漏一部分解,可以将这些解单 独讨论补上.
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例4 解
源自文库
求微分方程 y
16
•差分方程
含有自变量 x ,未知函数 y x ,以及未知函数的差分
y x , y x , ,
2
的函数方程称为差分方程.即形如
2 n
F ( x, y x , y x , , y x ) 0
( n 1).
含有自变量 x ,以及两个或两个以上未知函数 y x 1 , 的函数方程,称为差分方程.即形如
解 本题应选A .
2 例2 二阶微分方程 y y 3x 的特解形式是(
).
A. y C. y
* *
Ax
2
2
Bx C
2
B. y x ( Ax B ) D. y
*
*
x ( Ax
Bx C )
x ( Ax
2
Bx C )
解 特征根为0和1, 本题应选D .
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10.微分方程的简单应用
20
考试要求
1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程 的求解方法. 3.会解二阶常系数齐次线性微分方程 . 4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项 式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分 方程 . 5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 .
两互不相同的实根 r1 r2 二重根 r1 r2
特征根为:
通解的表达式
y C 1e
r1 x
C 2e
r2 x
y (C 1 C 2 x ) e y e
x
r1 x
两个共轭复根 r1, 2 i
( C 1 cos x C 2 sin x )
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•二阶常系数非齐次线性微分方程
dy dx P ( x) y Q( x) .
当 Q( x) 0时, 称为齐次方程; 当 Q( x) 0时, 称为非齐次方程.
•齐次方程的解法 分离变量, 两边积分得,
dy dx
P( x) y 0
ln y P( x) d x ln C ,
P( x) d x
对应齐次方程 通解结构
y p y q y 0,
y Y y ,
•简单的非齐次线性微分方程特解的求法
( 1 ) f ( x ) Pn ( x ) e
x
( 其中 Pn ( x )为 n 次多项式 )
k
设方程的特解形式为: y x Qn ( x)e
其中 Q n ( x ) 与 Pn ( x )为同次多项式 ,而
).
•线性微分方程 方程中的未知函数及其个阶导数的次数都是 一次,且无交叉乘积项.
y y x y (sin x )
3 2 (4)
1,
二阶非线性. 二阶线性.
2
y p ( x ) y q ( x ) y f ( x ) ,
•微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同. 特解 不含任意常数的解.其图形称为积分曲线. 注意,通解不一定是方程的全部解. •初始条件 用来确定任意常数的条件. •初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题. 一阶: