梁的挠度和转角
弯曲位移
a
P
x
L
写出微分方程并积分
f
P (a x ) EIf 0
(0 x a ) (a x L)
1 2 P (a x ) C 1 EIf 2 C 2
二、求挠曲线（弹性曲线）方程
1、微分方程的积分
EIf ( x ) M ( x )
EIf ( x ) ( M ( x )) dx C
EIf ( x )
( ( M ( x)) dx )dx Cx D
2 、位移边界条件
A
P
C
B
D
P
、支点位移条件：
fA 0
x
BC段: M=0 , 则 f 0 且边界条件: f C
M A
0 0, f C
BB
x
C
所以
f 0
f
同时B处须满足连续性条件, 可作图.
例5-2-5： 画出下列的挠曲线大致形状 A p p 解: 1 建立坐标系，并作弯矩图 B C x 2 根据 EIf M ( x) 得 D 2a f a a AB段: M=0, 则 f 0 fA 0 且满足边界条件：
工程近似: 简支梁，挠曲线无拐点时，其最大挠度值用梁跨 中点处的挠度值来代替。 f max fC
例5-2-4 m A f
画出下列的挠曲线大致形状 B m x 解: 1 建立坐标系并作弯矩图 2 根据 EIf M ( x) 有: C L L AB段: M<0 , 则 f 0 m f上凸
L=400mm A D 200mm
A D P1
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在结构力学中，梁是重要的承载构件之一。
随着建筑、机械、交通等领域的不断发展，梁的力学性能研究变得尤为重要。
其中，梁的挠度和转角问题作为衡量其承载能力的重要指标，一直是研究的热点。
本文将针对梁的挠度和转角问题进行分析，探讨其产生的原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度和转角概念1. 挠度概念：挠度是指梁在受到外力作用后，其轴线发生的弯曲变形程度。
通常用y表示，单位为米。
2. 转角概念：转角是指梁在受到弯矩作用时，其端部发生的旋转角度。
转角的大小反映了梁的弯曲程度。
三、梁的挠度和转角问题产生的原因及影响因素1. 原因：梁的挠度和转角问题主要是由于外力作用、材料性能、几何尺寸等因素引起的。
其中，外力作用是导致梁产生挠度和转角的主要因素。
2. 影响因素：（1）材料性能：梁的材料性能对其抗弯性能有很大影响，如弹性模量、屈服强度等。
（2）几何尺寸：梁的几何尺寸，如截面形状、尺寸等，对其抗弯性能也有很大影响。
（3）支座条件：支座的约束条件、位置等也会对梁的挠度和转角产生影响。
（4）荷载类型及大小：荷载的类型、大小及分布情况也会对梁的挠度和转角产生影响。
四、梁的挠度和转角问题的分析方法1. 理论分析法：通过建立梁的力学模型，运用结构力学理论进行计算分析。
2. 实验法：通过实验手段，对梁进行加载、测量，得到其挠度和转角数据。
3. 数值模拟法：利用有限元等数值模拟软件，对梁进行模拟加载，得到其挠度和转角数据。
五、梁的挠度和转角问题的解决方法1. 优化设计：通过优化梁的几何尺寸、材料性能等，提高其抗弯性能，减小挠度和转角。
2. 加强支撑：增加支座的数量或提高支座的约束条件，以减小梁的挠度和转角。
3. 采用高强度材料：选用高强度、高弹性模量的材料，提高梁的抗弯性能。
4. 预应力技术：采用预应力技术，通过预加压应力来抵抗外力引起的弯矩，减小挠度和转角。
六、结论梁的挠度和转角问题是结构力学中的重要问题，对于保证结构的安全性和稳定性具有重要意义。
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在工程结构中，梁作为基本的结构构件，其承载能力和稳定性对于整个结构的性能起着至关重要的作用。
为了准确分析梁的受力行为和变形特性，必须对其挠度和转角问题进行深入研究。
本文将对梁的挠度和转角问题进行详细分析，并探讨其产生的原因和影响。
二、梁的挠度问题梁的挠度是指梁在荷载作用下发生的弯曲变形。
这种变形会影响梁的承载能力和使用功能。
梁的挠度问题主要涉及以下几个方面：1. 产生原因：梁的挠度主要由外力（如重力、风力、地震力等）和内部力（如弯矩、剪力等）共同作用产生。
这些力会使梁产生弯曲变形，从而导致挠度的产生。
2. 影响因素：梁的挠度受多种因素影响，如梁的跨度、截面尺寸、材料性能、支撑条件等。
跨度越大、截面尺寸越小、材料性能越差、支撑条件越差，梁的挠度就越大。
3. 分析方法：常用的梁挠度分析方法包括材料力学法和弹性力学法。
材料力学法基于实验数据和经验公式进行计算，而弹性力学法则通过建立微分方程进行求解。
这些方法可以帮助我们了解梁的挠度分布和变化规律。
三、梁的转角问题梁的转角是指梁在弯曲过程中，各截面相对于某一参考线（如中心轴）发生的转动角度。
转角对梁的受力特性和变形行为具有重要影响。
梁的转角问题主要涉及以下几个方面：1. 产生原因：梁的转角主要由弯矩引起。
当梁受到弯矩作用时，各截面会产生相对转动，从而形成转角。
2. 影响因素：与挠度类似，梁的转角也受跨度、截面尺寸、材料性能、支撑条件等因素的影响。
此外，荷载分布和作用位置也会对转角产生影响。
3. 分析方法：转角分析通常与挠度分析相结合，通过求解微分方程或使用有限元法等方法进行计算。
这些方法可以帮助我们了解梁的转角分布和变化规律，从而为结构设计提供依据。
四、解决方法与措施针对梁的挠度和转角问题，我们可以采取以下措施进行解决和预防：1. 优化设计：在结构设计过程中，应充分考虑梁的跨度、截面尺寸、材料性能等因素，合理设计梁的结构形式和尺寸，以减小挠度和转角的产生。
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在工程结构中，梁作为基本的结构构件，广泛应用于建筑、桥梁、机械等各个领域。
梁的挠度和转角是评估其性能的重要指标，对于结构的稳定性和安全性具有至关重要的意义。
本文将对梁的挠度和转角问题进行详细的分析，探讨其产生的原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度问题1. 挠度定义及产生原因梁的挠度是指梁在受外力作用下发生的弯曲变形程度。
产生挠度的主要原因包括外力作用、梁的自身重量、温度变化等。
其中，外力作用是导致梁产生挠度的主要因素。
2. 影响因素分析（1）材料性质：梁的材料性质，如弹性模量、强度等，直接影响梁的抗弯能力。
材料性质较差的梁，容易产生较大的挠度。
（2）几何尺寸：梁的几何尺寸，如截面形状、尺寸大小等，也会影响梁的抗弯能力。
截面形状和尺寸合理的梁，能够更好地抵抗外力作用，减小挠度。
（3）支座条件：支座对梁的支撑作用直接影响梁的变形程度。
支座间距、支座刚度等都会对梁的挠度产生影响。
3. 解决方法（1）优化材料选择：选用弹性模量高、强度大的材料，提高梁的抗弯能力。
（2）合理设计几何尺寸：根据实际需求，合理设计梁的截面形状和尺寸大小，以提高梁的抗弯能力。
（3）改善支座条件：通过调整支座间距、提高支座刚度等措施，减小梁的挠度。
三、梁的转角问题1. 转角定义及产生原因梁的转角是指梁在受外力作用下发生弯曲时，截面相对于原来位置发生的转动角度。
转角问题主要由外力作用和梁的自身特性共同引起。
2. 影响因素分析（1）外力作用：外力的大小和方向直接影响梁的转角程度。
当外力作用在梁的不同位置时，会产生不同的转角。
（2）支座条件：支座对梁的支撑作用也会影响梁的转角。
当支座间距、支座刚度等条件不合理时，容易导致梁产生较大的转角。
3. 解决方法（1）合理布置支座：根据实际需求，合理布置支座的位置和数量，以减小梁的转角。
（2）优化结构设计：通过优化梁的截面形状、尺寸大小等结构参数，提高梁的抗弯能力，从而减小转角。
第七章-梁的位移-转角、挠度
第七章 梁的弯曲变形
例 7-4 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨
中截面挠度ωc和梁端截面的转角θA，θB.
Fq
B 解 yc yqcyFc
A
C EI z
l2
l2
yqc
5qL4 384EI z
yFc
FL3 48EI z
q
B
yc
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C EI z
l2
axL
L
AC段
E EzIyzI''11 M 2F1 Lbxx2CF 1Lb x
CB段
E E zy'I z'2 I 2 M 2 F 2 L x x b 2 1 2 F F L x xb a F 2 x C a 2
E zy 2 I 6 F L x 3 b 1 6F x a 3 C 2 x D 2
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y y i
i1
重要结论：
n
i ,
i1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
梁的挠度和转角问题分析
梁的挠度和转角问题分析梁的挠度和转角问题分析【引言】梁是工程中常见的结构构件之一，广泛应用于桥梁、楼板、悬挑等结构中。
在梁的工作过程中，挠度和转角是重要的力学参数，在设计和分析中起着重要作用。
本文将从理论和实际应用两个方面，对梁的挠度和转角问题进行分析。
【理论分析】1. 梁的基本原理梁是一种受力的构件，根据受力原理，梁可以被看作是许多个点质量组成的杆件。
在梁受到外力作用时，会产生内力和应变，从而引起梁的变形。
梁的挠度和转角是反映梁变形程度的重要参数。
2. 梁的挠度计算方法梁的挠度通常通过数学方程的求解来计算。
根据不同的边界条件和受力情况，可以采用不同的方法进行计算，如弯曲理论、拉伸理论、弯剪耦合理论等。
其中，弯曲理论是工程设计中常用的方法，利用欧拉－伯努力学说和简化假设，将梁的弯曲变形转化为微分方程求解问题。
3. 梁的转角计算方法梁的转角是指梁在受到外力或自重荷载作用时所产生的旋转变形。
在计算转角时，通常使用梁的弯矩与切线刚度的关系，通过积分计算得到。
转角的计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
【实际应用】1. 桥梁工程中的挠度问题在桥梁工程中，挠度是重要的考虑因素之一。
过大的挠度会影响桥梁的使用寿命和安全性。
因此，在桥梁设计中需要进行挠度计算和控制。
通过实际工程实例，我们可以分析不同型式桥梁的挠度问题，如悬索桥、拱桥和梁桥等。
2. 楼板设计中的转角问题楼板作为建筑结构中的重要组成部分，其转角问题也需要得到充分考虑。
在楼板设计中，不同荷载条件下的转角计算是确保结构安全和满足使用要求的关键。
本文将分析楼板转角对结构整体性能和使用功能的影响，并提供相应的设计建议。
【结论】梁的挠度和转角问题是工程设计和分析中不可忽视的重要内容。
通过理论分析和实际应用，我们可以更好地理解梁的变形行为，并对梁的设计和优化提供参考，以确保结构的安全性和可靠性。
工程实践中的案例表明，挠度和转角分析在工程中起到了重要的引导作用，对于提高结构的设计水平和工程质量具有重要意义综上所述，梁的转角计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在建筑工程、机械设计和桥梁构造等工程领域中，梁是一种常见且重要的结构元件。
随着科学技术的发展，梁的结构分析和设计也愈发严谨。
在研究过程中，我们关注的是梁在承受外部载荷时的力学性能，尤其是其挠度和转角问题。
本文旨在探讨梁的挠度和转角问题，并对其进行分析。
二、梁的挠度问题梁的挠度是指梁在受到外部载荷时发生的弯曲变形程度。
梁的挠度问题对于结构的设计和性能评估至关重要。
首先，梁的挠度受多种因素影响，如梁的材料、截面形状、尺寸、跨度以及所受的外部载荷等。
因此，在分析梁的挠度时，我们需要综合考虑这些因素。
其次，在实际工程中，我们通常使用理论计算和有限元分析等方法来计算梁的挠度。
理论计算方法主要是根据力学原理推导出梁的挠度公式，而有限元分析则是一种通过计算机软件模拟梁在外部载荷作用下的变形过程的方法。
针对不同类型和形状的梁，我们需采用不同的分析方法。
例如，对于简单均匀截面梁，我们可以采用简化的理论公式计算其挠度；而对于复杂截面或特殊形状的梁，则需采用更为复杂的理论计算方法和有限元软件进行精确分析。
此外，在分析过程中还需考虑边界条件对梁挠度的影响。
三、梁的转角问题与挠度问题相似，梁的转角问题也是梁结构分析的重要部分。
转角反映了梁在承受外部载荷时截面发生的转动程度。
在分析梁的转角时，我们需要考虑其受到的外部载荷和支座约束等因素。
对于简支梁和连续梁等不同类型的梁结构，其转角计算方法和公式也有所不同。
此外，在分析过程中还需考虑梁的截面形状、尺寸和材料等因素对转角的影响。
四、综合分析与解决方案针对梁的挠度和转角问题，我们可以采取一系列措施来降低其影响。
首先，优化梁的材料和截面形状可以提高其抗弯性能，从而减小挠度和转角。
其次，合理设计梁的支座和约束条件也可以有效控制其变形。
此外，采用先进的有限元分析软件进行精确的结构分析和优化设计也是解决这些问题的重要手段。
在具体实施过程中，我们可以结合理论计算和有限元分析等方法，对不同类型和形状的梁进行详细分析和优化设计。
第四章(弯曲挠度3-Lu)
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
HOHAI UNIVERSITY
EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
知识资料材料力学(八)(新版)
弯曲变形粱的挠度与转角（一）挠曲线在外力作用下，梁的轴线由直线变为光洁的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)(见图5-8-1)。
（二）挠度与转角梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括三部分：1. 挠度梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，记作v。
沿梁轴各横截面挠度的变化规律，即为梁的挠曲线方程。
v=f(x)2．转角横截面相对本来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作θ。
小变形情况下，3．此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。
(三)挠曲线近似微分方程在线弹性范围、小变形条件下，挠曲线近似微分方程为上式是在图5—8—l所示坐标系下建立的。
挠度w向下为正，转角θ顺时针转为正。
积分法计算梁的位移按照挠曲线近似微分方程(5—8—1)，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程，即由第1 页/共6 页式中积分常数C、D，可由梁的边界条件来决定。
当梁的弯矩方程需分段列出时，挠曲线微分方程也需分段建立，分段积分。
于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。
为了决定所有积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的延续条件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。
用叠加法求梁的位移（一）叠加原理几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。
（二）叠加原理的适用条件叠加原理仅适用于线性函数。
要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满意： 1．材料为线弹性材料；2．梁的变形为小变形；3．结构几何线性。
（三）叠加法的特征1．各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。
2．梁在容易荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。
3．叠加法相宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。
[例 5—8—1] 用积分法求图5—8—3所示各梁的挠曲线方程时，试问应分为几段?将浮上几个积分常数? 并写出各梁的边界条件和延续条件。
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
《梁的挠度及转角 》课件
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在工程结构中，梁作为基本的结构构件，其承载能力和稳定性对于整个结构的性能至关重要。
梁在受到外部载荷作用时，会产生挠度和转角，这些变形对结构的整体性能和安全性有着重要影响。
因此，对梁的挠度和转角问题进行分析，对于保障工程结构的安全性和稳定性具有重要意义。
本文将针对梁的挠度和转角问题进行分析，探讨其产生原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度和转角产生原因梁的挠度和转角是由于外部载荷作用在梁上，导致梁发生变形。
其中，挠度是指梁在受到外部载荷作用时，其垂直于轴线的位移；转角则是指梁在受到外部载荷作用时，其轴线方向的转动角度。
这些变形会影响梁的承载能力和稳定性，严重时可能导致结构失效。
三、影响梁的挠度和转角的因素1. 载荷大小：外部载荷越大，梁的挠度和转角越大。
2. 梁的跨度：梁的跨度越大，其抵抗变形的能力越弱，挠度和转角越大。
3. 梁的材料性质：梁的材料弹性模量、截面惯性矩等材料性质对梁的抗变形能力有重要影响。
4. 支座条件：支座的刚度和位置对梁的挠度和转角也有影响。
四、梁的挠度和转角问题分析针对梁的挠度和转角问题，需要进行以下分析：1. 理论分析：通过理论计算，分析梁在受到外部载荷作用时的挠度和转角，了解其变形规律和影响因素。
2. 实验研究：通过实验测试，验证理论分析的准确性，并了解实际工程中梁的挠度和转角情况。
3. 数值模拟：利用有限元等方法，对梁进行数值模拟分析，了解其在不同载荷和支座条件下的变形情况。
4. 问题诊断：针对实际工程中出现的梁的挠度和转角问题，进行诊断和分析，找出问题的原因和影响因素。
五、解决方法针对梁的挠度和转角问题，可以采取以下解决方法：1. 优化设计：通过优化梁的截面形状、跨度、支座条件等设计参数，减小其挠度和转角。
2. 选择合适的材料：选择具有较高弹性模量和较好力学性能的材料，提高梁的抗变形能力。
3. 加强支撑：在需要的地方增加支撑，提高梁的稳定性，减小其挠度和转角。
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
《梁的挠度及转角 》课件
载荷大小和方向不随时间变化，转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化，需要考虑时间因素 对转角的影响，计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载，可能导致梁发生大变形和 瞬时转角，需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词：实际应用
详细描述：梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题，特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等，使挠度和转角在一个 合理的范围内，以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计，通过优化截面尺寸和材料分 布，显著降低了挠度，提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计，通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸，有效控制了转角，增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计，综合考虑挠度和转角的 影响，优化了整体结构，实现了轻量化和高性能 。
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进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下，梁的挠度值可能 较大，需要考虑动载荷对挠度的影 响，可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中，梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用，需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件， 通过数学公式计算转角。
实例分析一：简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型，其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角，以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
梁的挠度和转角问题分析
科学技术创新2018.06梁的挠度和转角问题分析王爽焦之森（齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院，黑龙江齐齐哈尔161000）对简支梁、外伸梁的变形问题的解析计算方法有很多种，常见的有积分法[1-5]、能量法[1-5]、叠加法[1-5]、奇异函数法[1-5]和共轭梁法[1-5]等，在用积分法求解简支梁、外伸梁的变形问题时须求解多个积分常数，计算繁琐；奇异函数法仍属于积分法，求解过程也须解积分常数；如果仅计算某一截面的位移，能量法较为简单，不过仍须进行积分计算[6]。
本文通过间接叠加法，来介绍简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的简单求解方法，即将简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题，转化为有初始转角的悬臂梁受载荷时的变形问题，使简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的求解过程的思维难度得到很大程度的降低，从而问题变得更容易理解。
1原理介绍与例题分析悬臂梁具有一个固定端，当悬臂梁受已经与水平线外荷载作用时，靠近固定端的载面不发生转动，转角为零。
如果有一个悬臂梁，在未荷载时，形成一个小的角度θB ，如图1所示。
图1有初始转角的悬臂梁x 轴为水平方向，梁轴线与x 轴成角θB ，即θB 为初始转角，此梁称为有初始转角的悬臂梁。
在未受荷载时，相对于x 轴，自由端已经有一挠度为θB l 。
根据叠加法，当加一静荷载F 时，自由端的挠度ω=θB l+Fl 33EI 转角为θB +Fl22EI。
应用初始转角悬臂梁概念，只要知道悬臂梁在集中力偶、集中力和均布载荷作用下自由端的挠度和转角公式，就可以通过叠加法，求解简支梁、外伸梁、的变形问题。
跨长l ，刚度EI 的悬臂梁在集中力偶Me ，集中力F ，均布荷载q 作用下，自由端的挠度和转角公式列出如下Mel 22EI ，Mel EI ，Fl 33EI，Fl 23EI ，ql 48EI ，ql 36EI。
下面举几个例子。
例1.如图例2-1所示简支梁端受集中力偶Me 作用，求端截面转角。
梁的变形
F RA F RB
Fb = l Fa = l
F RA
x1
x2
l
F RB
AC段的弯矩方程 段的弯矩方程
Fb M1 ( x) = x1 l
CB段的弯矩方程 段的弯矩方程
(0 ≤ x1 ≤ a) (a ≤ x1 ≤ l )
Fb M2 ( x) = x2 − F( x2 − a) l
Fb M1( x) = x1 l
D = D2 = 0 1
CB 段 (a ≤ x2 ≤ l)
Fb 2 2 EIw′ = − l − b2 − 3x1 1 6l 6l Fbx1 2 2 EIw = − l − b2 − x1 1 6l
(
) )
(
Fb 2 3l 2 2 2 ′ EIw2 = − l − b − 3x2 + ( x2 − a) 6l b
(
)
EIw′ = 1
Fb x + C1 l 2
2 1
3 Fb x1 EIw = + C1x1 + D 1 1 l 6
Fb 2 C1 = C2 = − l − b2 6l
AC 段 (0 ≤ x1 ≤ a)
(Байду номын сангаас
)
2 (x2 − a) + C Fb x2 EIw′ = −F 2 2 l 2 2 3 (x2 − a)3 Fb x2 EIw2 = −F l 6 6 + C2 x2 + D2 2
时:
Fb 2 2 ′ =− l − b2 − 3x1 EIw 1 6l Fbx1 2 2 EIw = − l − b2 − x1 1 6l
(
(
) )
y a A b x C B
材料力学 (8)
C1
ql
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
'
qx 24 EI q 24 EI (l 2lx x )
3 2 3
(l 6lx 4 x )
3 2 3
RA
A
x
q
A
l 2
RB
B
在 x0 和 xl 处 转角的绝对值相等， 且都是最大值
x
CθB
y
3
l
θ
max
qc
5qL
4
C
z
l 2
384 EI z
转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的
转角。
转角
A C B x
ω 挠度
C' y B'
挠曲线 ：梁变形后的轴线称为挠曲线 。
挠曲线方程为
f ( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，ω为该点的挠度。
挠度与转角的关系： tg ' f '( x)
C
y
连续条件
x
L 2
B1 B 2
B1 B 2
例题 5.6
用积分法求图示梁挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线
近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确 定积分常数的边界条件。 挠曲线方程应分两段AB,BC.
F
EI
z1
共有四个积分常数
x
EI
z2
边界条件
A
L 2
B
RA RB ql 2
A
x
q
B
l
x
y 例题 5 .2图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
材料力学第七章 梁的变形
EIy1=－Fx13/9＋ 5Fa2x1/9 EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a )3/6＋ 5Fa2x2/9
（0≤x1 ≤a）
（ a ≤x2 ≤3a ）
7. 求ymax , θmax
x 0,
max
A
5Fa2 9EI
（）
x 1.367a,
ymax
0.4838 Fa3 EI
21
F
A
C
在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。
转角方程 θ = θ（x）
平行于轴线方向的线位移忽略
7
挠度与转角的关系：
θ θ’
y
x y
小变形
θ =θ ′
tgθ ′ ≈ θ ′ = y′
y dy
dx
x
8
§7-2 直梁挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
纯弯曲 k 1 M
EIz
(x)
F C yCF
42
例题4
怎样用叠加法确定C 和 yC ?
q
A
B
C
yC
l
l
C
2
2
43
A
B
l 2
q
C
yC
l
C
2
A
l 2
A
l 2
q
B
l 2
q
B
l 2
A
q
l
B
l
2
2
44
简单静不定梁（超静定梁）
一、静定梁
F Fl
A
B
C
l
l
2
2
qa
A
B
C
a
a
45
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M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1)
MAB＝MCD＝0 MBC＝const
答案 D
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)
FA＝0
A
C
D
FB＝0
MCD＝const
B 答案 D
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(3)
FA＝0
FB＝P
A
MBD＝const
M
B
M
B
(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数
①积分常数的数目——取决于的分段数
M (x) —— n 段 积分常数——2n个
举例：
M (x) 分2段，则积分常数2x2=4个
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
②积分常数的确定——边界条件和连续条件：
边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的 ，这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦 的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个 不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连 续条件。
第八章 弯曲变形
回 顾：
弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线 的变化规律。
弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面 高度的分布规律。
本 章:
弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变 化规律。
第八章 弯曲变形
研究弯曲变形的目的
（1）刚度计算； （2）解简单的超静定梁。
本章的基本内容：
一、弯曲变形的量度及符号规定； 二、挠曲线及其近似微分方程 三、计算弯曲变形的两种方法
max 10 or 0.0175 rad.
横力弯曲
d2 （1x）＝＋－[1+(ddx2 )2]3/2
dx
( d )2 << 1
dx
1
M（x）
＝
（x）
EI
＋ －
d2 dx2
＝
M（x） EI
此即弹性曲线的小挠度微分方程
(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释
w
dw2 dx 2
0
2
M 0
M
M
o
x
选取如图坐标系，则 弯矩M与 d 2 恒为同号
dx 2
d2
dx2
＝
M（x） EI
近似解释： （1）忽略了剪力的影响； （2）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。
(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程
2
d2 dx2
＝
M(x) EI
2
d2 dx2
＝
M(x) EI
第八章 弯曲变形
三、计算弯曲变形的两种方法
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所 转过的角位移θ的量度及符号规定
梁的挠度和转角 2、符号规定：
y
p
c
c
w
x
x
W（-） θ（-）
（1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规 定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线 的纵坐标（挠度），向上为正。
x L
2
2、
d 2
dx 2
M (x) EI z
EI" 1 qx2
2
积分一次： EI' EI 1 qx3 C （1）
积分二次：
6
EI 1 qx4 Cx D （2）
24
B X``
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
3、确定常数C、D.
由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C 1 qL3
(4)建立转角方程和挠曲线方程；
(5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意
max
和 m及ax 其所在截面。
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题 悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
解： 取参考坐标系Axy。
y
q
1、列出梁的弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 (0 x L)
C 0
D左 D右
连续条件： D左 D右
B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
④积分常数的物理意义和几何意义
物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得
C 即EI坐o标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；
D E即I坐o标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。
几何意义：C——转角 D——挠度
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次
对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
(x) d 1 ( M (x)dx c)
dx EI
再积分一次，得挠曲线方程：
(x) 1 ( M (x)dx) cx D EI
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。
（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。
第八章 弯曲变形
二、挠曲线及其近似微分方程
第八章 弯曲变形 /二、挠曲线及其近似微分方程
1、挠曲线：
在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲 平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
边界条件
积分常数2n个=2n个
连续条件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
A 0
连续条件： B左 B右
B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0
解：边界条件： A 0
1、积分法——基本方法 利用积分法求梁变形的一般步骤： （1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求
支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则:
①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；
(1)积分法(2)叠加法 四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施 五、用变形比较法解简单的超静定梁。
第八章 弯曲变形
一、弯曲变形的量度及符号规定
第八章 弯曲变形 /一、弯曲变形的量度及符号规定
梁的挠度和转角
y
p
c
c
w
x
x
1、度量弯曲变形的两个量：
（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线 位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）
pl
p
pl
C
B
D
p
pl
p
答案C
pl
p
p
pl
pl
3、挠曲线的近似微分方程
(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系
力学公式
纯弯曲
横力弯曲 （ l／h＞5）
1
＝
M EI
1
M（x）
＝
（x） EI
数学公式
d2w （1x）＝＋ －[1+(ddxw2 )2]3/2
dx
小挠度情形下
max＝（0.01－0.001）l ；