2020届全国新课标2高考数学(文科)预测卷 (二)

2020年新课标二高考数学(文科)预测卷 （二）
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.已知集合{}
2|20A x x x =-≥，{}|1B y y =>-，则A B ⋂=( )
A.(]10-,
B.(]1102⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
,
, C.112⎛⎤
- ⎥⎝⎦
, D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
2.设复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1)2-,，则()12i z -+=( ) A.43i --
B.43i -
C.34i +
D.3
3.若双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )
A. 3
B.
5
2
C. 5
D.2
4.已知12==，a b ，且()()52+⊥-a b a b ，则a 与b 的夹角为( ) A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
5.已知(0,π)α∈,2sin2cos21αα=-,则cos α=( )
A.55
B.55
-
C.
25
5
D.25
5
-
6.如图,在等腰直角三角形ABC 中, AB BC =, 90ABC ∠=︒,以AC 为直径作半圆,再以AB 为直径作半圆,若向整个几何图形中随机投掷一点,那么该点落在阴影部分的概率为( )
A.
4π1
+ B.
2π1
+ C.
22
π1
+ D.
1π1
+
7.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A,//α平面11CB D ,α
平面ABCD m =,α
平面
11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A.32
B.22
C.
3 3
D.
13
8.函数3()cos ()e
x
x x x
f x +=
的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.函数()()(sin 00π)f x x ωωϕϕ=+><<,
的部分图象如图所示，关于函数()f x 有下述四个结论: ①3π4ϕ=②2122f ⎛⎫
⎪⎭
=- ⎝；③当51,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，)(f x 的最小值为1-；④()f x 在117,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递
增.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①②④
B.②④
C.①②
D.①②③④
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为( )
323π
B. 32π
C. 36π
D. 48π
11.抛物线24x y =的焦点为F ,准线为l , ,A B 是抛物线上的两个动点,且满足AF BF ⊥,P 为线段AB 的中点,设P 在l 上的射影为Q ,则
PQ AB
的最大值是( )
A.
23
3 C.
22
3 12.已知函数()2
1log 2,1
()15,1
a x x f x x a x ⎧+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，且(0a >,且1a ≠)在区间(),-∞+∞上为单调函数，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A.13
[,]55
B.12[,]55
C.1313[,]{}5520
⋃ D.1213
[,]{}5520
⋃ 二、填空题
13.命题“2210x x ax ∀∈-+>R ,”是假命题则实数a 的取值范围是 .
14.已知直线:330l mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点,过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,若23AB =则CD =__________.
15.已知实数,x y 满足约束条件1
210320y x y x y c ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
,若2z y z =-的最大值为11,则实数c 的值为________.
16.在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别是a b c ,,，且 ()sin cos
2cos sin 22
A A C C =-，
3
cos ,45
A a ==，则ABC △的面积为 .
三、解答题
17.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()21n n n a S n +=+，且35a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若()11
1322
n a n n b a -=
++⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3BC =，1AB =，12AA AC E ==，为1AA 的中点.
(1)证明:平面EBC ⊥平面11EB C . (2)求三棱锥1C BC E -的体积.
19.下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y (单位:kg)和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年~2018年的年份代码x 分别为1~7).
附:回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y
y b x x ==--=
-∑∑,a y bx =-.
(1)根据散点图分析y 与x 之间的相关关系;
(2)根据散点图相应数据计算得7
7
1
1
1074,4517i
i i i i y
x y ====∑∑,求y 关于x 的线性回归方程;(精确到
0.01)
(3)根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果.
20.已知椭圆()22
22:10y x C a b a
b
+=>>直线l 过焦点1(0)F ,
并与椭圆C 交于M N ,两点，且当直线l 平行于x 轴时，MN =(1)求椭圆C 的标准方程.
(2)若2MF FN =，求直线l 的方程.
21.已知函数()22()ln x
ae f x x a x x
=+-∈R .
(1)若0a ≤，讨论()f x 的单调性.
(2)若()f x 在区间(0)2,
内有两个极值点，求实数a 的取值范围. 22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4ρθ=，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+，以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线(:0)01l y kx x k '=≥<<,
与曲线C 交于O M ,两点.
(1)写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程.
(2)若射线l '与直线l 交于点N ，求
OM
ON
的取值范围. 23.设函数()223f x x x =-++. (1)解不等式()8f x ≥；
(2)若函数()f x 图象的最低点的坐标为(),m n ，且正实数a b ,满足a b m n +=+，求22
11
a b b a +++的最
小值.
参考答案
1.答案：B
2.答案：C
3.答案：C
4.答案：C
5.答案：B
6.答案：B
7.答案：A
8.答案：A 10.答案：D 11.答案：C 12.答案：C
13.答案：[)1(1-∞-⋃+∞,］, 14.答案：4 15.答案：23 16.答案：6
17.答案：(1)由()2
1n n n a S n +=+，得()1n n na S n n =+-①，
所以()()1111n n n a S n n +++=++②，
由②-①，得()1112n n n n a na a n +++-=+，所以12n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为2的等差数列.
因为35a =，所以112225a d a +=+⨯=，解得11a =， 所以()12121n a n n =+-=-.
(2)由(1)得，134n n b n -=+⨯，
所以(
)
01
1
123444
n n T n -=++⋯++⨯+++()1143214n n n +-=+⨯-()1412
n n n +=+-. 解析：
18.答案：(1)易知1BB CB ⊥，
3BC =1AB =，2AC =，222BC AB AC ∴+=，BC AB ∴⊥，
又1BA BB B ⋂=，1BA BB ⊂，平面11ABB A ， BC ∴⊥平面11ABB A ，
1B E ⊂平面11ABB A ，1BC B E ∴⊥.
E 为1AA 的中点，11AE A E ∴==，2212BE B E ∴==，
22211BE B E B B ∴+=，1BE B E ∴⊥.
又BE BC B ⋂=，BE BC ⊂，平面BCE ，1B E ∴⊥平面BCE ， 又1B E ⊂平面11B C E ，∴平面EBC ⊥平面11EB C . (2)由(1)知BC AB ⊥，
1AB BB ⊥，1B B BC B ⋂=，1B B BC ⊂，平面11B C CB ，AB ∴⊥平面11B C CB .
又11//A A B B ，1B B ⊂平面11B C CB ，1A A ⊄平面11B C CB ，
1//A A ∴平面11B C CB ，∴点E 到平面11B C CB 的距离为线段AB 的长.
11C BC E E BC C V V --∴=1
1
3BC C S AB =⋅⋅△112132=⨯⨯.
解析：
19.答案：(1)根据散点图可知y 与x 正线性相关. (2)由所给数据计算得
1
(12...7)47
x =+++=,
7
21
()28i
i x
x =-=∑,
7
77
1
1
1
()()451741074221i
i i i i i i i x
x y y x y x y ===--=-=-⨯=∑∑∑,
7
1
4
2
1
()()
221
7.8928
()i
i i i
i x
x y y b x
x ==--=
=
≈-∑∑, 1074
7.894121.877
a y bx =-=
-⨯≈, 所求线性回归方程为7.89121.87y x =+.
(3)由题中的残差图知历年数据的残差均在-2到
2之间,说明线性回归方程的拟合效果较好. 解析：
20.答案：(1)当直线l 平行于x 轴时，直线:1l y =， 则MN =221112b a ⎛
⎫ ⎪⎝=⎭-
又1c =，222a b c =+，22a ∴=，21b =.
∴椭圆C 的标准方程为2
212
y x +=.
(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时不满足2MF FN =. 且由(1)知当0k =时也不满足.
设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠ 设11(,)M x y ，22(,)N x y . 联立得方程组22
112
y kx y x =++=⎧⎪
⎨⎪⎩，
消去y 并整理，得()
22
2210k kx x ++-=.
12222k x x k ∴+=-
+，12
2
1
2x x k =-+. 2MF FN =，122x x ∴=-，
()2
12
12
12x x x x +∴=-，即()
22
422k k =+
，解得k = ∴直线l
的方程为1k =+. 解析：
21.答案：(1)由题意可得()f x 的定义域为(0)+∞,，
()()23212x
ae x f x x x x -'=--()()32x
x ae x x
--=， 当0a ≤时，易知0x x ae ->，
所以，由()0f x '<得02x <<，由()0f x '>得2x >， 所以()f x 在(0)2,
上单调递减，在()2+∞,上单调递增. (2)由(1)可得()()()3
2x
x ae x f x x --'=
，
当02x <<时
3
2
0x x -<， 记()x
g x x ae =-，则()1x
g x ae '=-， 因为()f x 在区间(0)2,
内有两个极值点， 所以()g x 在区间(0)2,
内有两个零点，所以0a >. 令()0g x '=，则ln x a =-，
①当ln 0a -≤，即1a ≥时，在(0)2,
上，0()g x '<，所以在(0)2,上，
()g x 单调递减，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意
②当ln 2a -≥，即210a e <≤
时，在(0)2,上，()0g x '>，所以在(0)2,上， ()g x 单调递增，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意.
③当0ln 2a <-<，即
211a e <<时，()g x 在(0)ln a -,上单调递增，在(ln 2)a -,上单调递减， 由()00g a =-<知，要使()g x 在区间(0)2,
内有两个零点， 必须满足()()2ln ln 10220
g a a g ae -=-->⎧⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<， 综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 解析：
22.答案：(1)依题意，直线l 的直角坐标方程为4x =.
曲线2:2cos 2sin C ρρθρθ=+，故22220x y x y +--=，故()()22
112x y -+-=，
故曲线C
的参数方程为12cos 1x y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(φ为参数). (2)设1,()M ρα，2(,)N ρα，则12cos 2sin ραα=+，24cos ρα=
. 所以
()122cos 2sin cos 4OM ON αααρρ+==2sin cos cos 2
ααα+=()11sin 2cos244αα=+
+π1244α⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭. 因为01k <<，故π04α<<，所以ππ3π2444α<+<
πsin 214α⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭.
所以1π12244α⎛⎫<++ ⎪⎝
⎭OM ON 的取值范围是112,24+⎛⎤ ⎥⎝⎦.
解析：
23.答案：(1)()34,28,3234,3x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩
，
所以不等式()8f x ≥等价于2348x x ≥⎧⎨+≥⎩，或3288x x -<<⎧⎨+≥⎩，或3348x x ≤-⎧⎨--≥⎩
， 解得2x ≥或02x ≤<或4x ≤-，
所以不等式()8f x ≥的解集为,(),40-∞-⋃+∞］［
(2)由(1)可得函数()f x 图象的最低点的坐标为(35)-,
， 则3,5m n =-=，所以2a b m n +=+=，
2211a b b a +++()()22111411a b a b b a ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()()2222111411a a b b a b b a ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()22124
ab a b ≥++()22114a b =+=，当且仅当1a b ==时取等号， 所以22
11
a b b a +++的最小值为1。