10-11学年第一学期期末高代试卷(A卷)

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2010 年秋学期《高等代数》试题 适用班级： 数学系09-3班

系 班 姓名 学号

（说明：本试卷共四大题，共 2页，满分100分，答题时间100分钟，请将答案写在答题纸上。）

一、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 数域P 上的空间n

n P ⨯的维数是 。

2. 在实二次型)(1n x x f 的规范型中，正平方项的个数称为)(1n x x f 的_____惯性指数，

负平方项的个数称为)(1n x x f 的_____惯性指数，符号差等于_______________。 3. n 元实二次型)(1n x x f 是正定的充要条件是____________________________。

4. 在3

R 中，)1,1,1(=α

，)1,2,1(=β

，则>=<βα

,cos 。

5. 在欧氏空间3R (标准内积)中, 设(2,2,0),(1,2,3)αβ==, 则β的长度是 ,

α与β的距离是 , α与β的夹角是 。

6.

A 为正交矩阵，则A = 。

7. 当t 取值范围为 时, 二次型222

12312323(,,)232f x x x x x x tx x =+++是正定型。

8. 设σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的子空间，若

_________________________则W 是变换σ的不变子空间。

9. 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为___________，由单位向量组成的

正交基称为________________________。

10. 在4R 中，与)1,1,1,1(-，)1,1,1,1(--，)3,1,1,2(都正交的向量为________________。

二、判断题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次型的矩阵都是对称矩阵，且都合同于单位矩阵。（ ）

2. 设)(1

n

x

x f 为一个实二次型，A 为)(1n x x f 的矩阵，若0>A 则)(1n x x f 为正定

二次型。（ ）

3. 两个有限集间存在双射，则它们所含的元素个数相同。（ ）

4. 设σ是集合M 到M '的一个双射，则σ一定可逆。（ ）

5. 设W 是线性空间V 的子空间，则W 的维数小于V 的维数。（ ）

6. 设21,V V 是线性空间V 的子空间，且维（21V V +）＝维（1V ）+维（2V ），则φ=⋂21V V 。

（ ）

7. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。（ ）

8. 全体n 阶实上三角矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间。（ ） 9. 数域P 上的任意两个n 维线性空间都是同构的。（ ）

10. 设σ是数域P 上线性空间V 的一个数乘变换，则它在任意一组基下的矩阵都相同，且是

一个数量矩阵。（ ）

三、计算题（本题共3小题，每小题8分，共24分）

1. 判断二次型3231212

32221321425),,(x x x x x x x x x x x x f +--++=是否正定。

2. 在3P 中，已知),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=σ，求σ在基)0,0,1(1=ε

，

)0,1,0(2=ε ，)1,0,0(3=ε

下的矩阵。

3. 在4P 中，求齐次方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-+=-+-=+-+0

26033304523432143214321x x x x x x x x x x x x 解空间的基与维数。

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

1. 证明：若21V V V ⊕=，22111V V V ⊕=，则22211V V V V ⊕⊕=

2. 若A ～B ，C ～D ，证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡C A 0

0～⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡D B

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共6页,第3页 共6页,第4页

2010 年秋学期《高等代数》试题答题卡 适用班级： 数学系09-3班

系 班 姓名 学号

一、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. n

2. 正 负 正惯性指数与负惯性指数的差

3. 正惯性指数等于n

4.

3

22

5.14 10

14

73

6. 1±

7. 66<

<-

t

8. V V ∈∈∀)(,ασα

9. 正交基 _标准正交基 10.R k k k k ∈-),3,,0,4(

二、判断题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. × 2. × 3. √ 4. √ 5. × 6. × 7. √ 8. √ 9. √ 10. √

三、计算题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 1、解：二次型),,(321x x x f 的矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛

--

--=52

12121

12

11A 的各阶顺序主子式： （2分） 01>，

01

2

121

1>-

-

，05

2

1

212

1

1

2

11>----

（8分） ),,(321x x x f ∴是正定的。

2、解：3112)1,0,2()(εεεσ

+== （1分）

212)0,1,1()(εεεσ

+-=-= （2分）

23)0,1,0()(εεσ

== （3分）

∴线性变换σ在基)0,0,1(1=ε ，)0,1,0(2=ε

，)1,0,0(3=ε 下的矩阵为

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛-=00

1110

012A （8分）

3、解：求齐次线性方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-+=-+-=+-+0

2603330

4523

432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为：

……………………‥装………………………………………订……………………………………线……………………………