三角形的内角和定理应用
三角形内角和定理的应用
三角形内角和定理的应用三角形内角和定理是几何学中的基本定理之一，它可以帮助我们计算三角形内角的和。
在实际生活中，我们经常会遇到需要计算三角形内角和的问题，比如在建筑设计、地理测量、天文学等领域。
本文将通过几个实际例子来说明三角形内角和定理的应用。
一、建筑设计中的应用在建筑设计中，计算三角形内角和是非常重要的。
例如，我们要设计一座房子的屋顶，需要确定屋顶的角度。
假设我们要设计一个等腰三角形的屋顶，已知两边的夹角为70度，我们就可以使用三角形内角和定理来计算出第三个角度。
根据三角形内角和定理，三个角度的和等于180度，所以第三个角度为180度减去已知的两个角度的和，即180 - 70 - 70 = 40度。
因此，我们可以确定屋顶的角度为40度。
二、地理测量中的应用在地理测量中，三角形内角和定理也有广泛的应用。
例如，当我们要测量两座山之间的距离时，可以利用三角形内角和定理来计算。
假设我们站在山的顶部，测量到另一座山的顶部的夹角为30度，然后我们向下走一段距离，再次测量到同一座山的顶部的夹角为60度。
根据三角形内角和定理，这两个角度的和等于180度，所以我们可以计算出第三个角度为180 - 30 - 60 = 90度。
然后我们可以利用三角形的正弦定理来计算出两座山之间的距离。
三、天文学中的应用在天文学中，三角形内角和定理也有重要的应用。
例如，当我们观测星星的位置时，可以利用三角形内角和定理来计算星星的方位角。
假设我们观测到星星与北极星的夹角为30度，然后我们转动望远镜，观测到星星与南极星的夹角为60度。
根据三角形内角和定理，这两个角度的和等于180度，所以我们可以计算出第三个角度为180 - 30 - 60 = 90度。
然后我们可以利用三角形的余弦定理来计算出星星的方位角。
三角形内角和定理在建筑设计、地理测量、天文学等领域都有重要的应用。
它可以帮助我们计算三角形内角的和，并用于解决实际问题。
通过运用三角形内角和定理，我们能够更好地理解和应用几何学知识，为我们的工作和生活带来便利。
专题11.8 三角形内角和定理及其应用(拓展提高)(解析版)
专题11.8 三角形内角和定理及其应用（拓展提高）一、单选题1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1:3:4，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】设三个内角分别为k 、3k 、4k ，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出k ，再求解即可．【详解】解：设三个内角分别为k 、3k 、4k ，由题意得，k +3k +4k =180°，解得k =22.5°，所以，三个内角分别为22.5°、67.5°、90°，所以，这个三角形是直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的形状的判定，利用“设k 法”求解更简便． 2．如图，点A 和点B 恰好分别在GH 和EF 上，GH ∥EF 且BA 平分∠DBE ，若∠C ＝90°，∠CAD ＝32°，则∠BAD 的度数为（ ）A ．28°B ．29°C ．30°D ．31°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：90C ∠=︒，32CAD ∠=︒，903258ADC ∴∠=︒-︒=︒， //EF GH ，58DBE ADC ∴∠=∠=︒， BA 平分DBE ∠，1292ABE DBE ∴∠=∠=︒， 直线//EF 直线GH ，29BAD ABE ∴∠=∠=︒，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．3．如图，将一块含有45°角的直角三角板的直角顶点放在矩形板的一边上，若135∠=，那么2∠的度数是（ ）．A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得31∠=∠；结合题意，根据三角形内角和的性质，得4∠；再根据对顶角相等的性质计算，即可得到答案．【详解】如下图根据题意得：3135∠=∠=︒∴4180345100∠=︒-∠-︒=︒∵24∠∠=∴2100∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角、三角形内角和、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、三角形内角和的性质，从而完成求解．4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，则∠BOC 的度数是（ ）A ．130°B ．60°C ．80°D ．120°【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∵∠BAC ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣80°＝100°，∵BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ， ∴∠OBC +∠OCB ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝12×100°＝50°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝180°﹣50°＝130°．故选：A ．【点睛】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． 5．如图，延长ABC ∆的边AC 到点E ，过点E 作//DE BC ，BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠交BG 的反向延长线于点F ，已知34A F ∠=∠，则A ∠的大小为（ ）A ．75︒B ．74︒C ．72︒D ．70︒【答案】C 【分析】过点F 作FM ∥BC ，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠，然后结合三角形内角和定理可得()11+2=1802A ∠∠︒-∠，然后根据题意列方程求解．【详解】解：过点F 作FM ∥BC∵//DE BC ，∴////FM DE BC又∵BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠ ∴11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠ ∴()1111+2=+180222ABC ACB A ∠∠∠∠=︒-∠ 由题意可得：()34412A GFE ∠=∠=∠+∠∴312=4A ∠+∠∠，()3118042A A ∠=︒-∠，解得：72A ∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理和角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．6．如图，,AB BC AE ⊥平分BAD ∠交BC 于点E ，AE DE ⊥，1290∠+∠=︒，M ，N 分别是,BA CD 延长线上的点，EAM ∠和EDN ∠的平分线交于点F ．下列结论：①//AB CD ；②180AEB ADC ∠+∠=︒；③DE 平分ADC ∠；④F ∠为定值．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠F AD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠F AD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．二、填空题7．将一副三角板如图放置，若//AB CD ，则∠=CFE ________度．【答案】75【分析】根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．【详解】因为//AB CD ，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°，∠=CFE 90°-15°=75°．故CFE ∠的度数是75度．故答案为：75．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，已知//AB CD ，AC 与BD 交于点E ，BD CD ⊥于点D ，若150∠=︒，则2∠=______．【答案】140°【分析】首先根据对顶角相等即可求出∠CED 的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD 的度数，根据平行线的性质即可求出∠CAB 的度数，再根据补角的性质即可求解；【详解】∵ ∠1=50°，∴∠CED =50°，∵ 三角形内角和为180°，BD ⊥CD ，∴∠ECD =180°-90°-50°=40°，∵ AB ∥CD ，∴∠EAB =40°，∴∠2=180°-40°=140°，故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键； 9．如图，ABC 中30A ∠=︒，E 是AC 边上的点，先将 ABE △沿着BE 翻折，翻折后ABE △的AB 边交AC 于点 D ，又将BCD △沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时 84CDB ∠=︒，则ABC 中ABC ∠=_______ ．【答案】81．【分析】在图(1)的ABC 中，根据三角形内角和定理，可求得150B C ∠+∠=︒；结合折叠的性质和图(2)(3)可知： 3B CBD ∠=∠，即可在CBD 中，得到另一个关于 B C ∠∠、度数的等量关系式，联立两式即可求得 B 的度数．【详解】解：在ABC 中，30A ∠=︒，则150B C ∠+∠=︒①；根据折叠的性质知：3B CBD ∠=∠，BCD C ∠=∠；在CBD 中，则有：18084CBD BCD ∠+∠=︒-︒， 即：9136B C ∠+∠=︒ ②； ①-②，得：2543B ∠=︒，解得81B ∠=︒故答案为：81．【点睛】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．10．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，将三角形沿EF 对折，使点C 与边AB 上的D 点重合．若2EFD AED ∠=∠，则AED ∠的度数为____________．【答案】40°【分析】设∠EFD =2∠AED =2x ，由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，由三角形内角和定理得出∠CEF =150°-2x ，再由∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，列出方程即可求出∠AED =40°．【详解】解：设∠EFD =2∠AED =2x ．由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，在△DEF 中，∠DEF =180°-∠EDF -∠EFD =180°-30°-2x =150°-2x ， ∴∠CEF =150°-2x ，∵∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，∴150°-2x +150°-2x +x =180°，解得x =40°，即∠AED =40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．11．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB 上跑至B 点，向上跃起至最高点P ，然后落在点C 处，继续在水平面CD 上跃起落在点D ，若ABK ∠和KCD ∠的平分线的反向延长线刚好交于最高点P ，88BKC ∠=︒，则P ∠=_______度．【答案】46【分析】延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F ，利用角平分线的定义及平行线的性质可得13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠，1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒，求得268ABK DCK ∠+∠=︒，从而得到()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒，然后结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F由题意可得：AB ∥CD ∥KM ，PE 平分∠ABK ，PF 平分∠DCK∴13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠ 1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒又∵∠BKC =88°∴1+2+180BKC ∠∠∠=︒180180180ABK DCK BKC ︒-∠+︒-∠+∠=︒，即268ABK DCK ∠+∠=︒∴()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒ ∴()1803446P ∠=︒-∠+∠=︒故答案为：46．【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．12．如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ，交线段EG 于点H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为________．【答案】75°．【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．【详解】解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°∴∠FEH =180°-∠AEF -∠BEG =87°∵ //AB CD∴∠EFG =∠AEF =36°∵FH 平分∠EFG∴∠EFH =12∠EFG =18° ∴∠EHF =180°-∠FEH -∠EFH =75°故答案为：75.︒【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．13．如图，BF 平分ABD ∠，CE 平分ACD ∠，BF 与CE 交于G ，若120BDC ∠=︒，90BGC ∠=︒，则A ∠的度数为________．【答案】60°【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC +∠DCB 的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC +∠ACB 的度数，从而求得∠A 的度数．【详解】解：连接BC ．∵∠BDC =120°，∴∠DBC +∠DCB =180°-120°=60°，∵∠BGC =90°，∴∠GBC +∠GCB =180°-90°=90°，∵BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，∴∠GBD +∠GCD =12∠ABD +12∠ACD =30°， ∴∠ABD +∠ACD =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠A =180°-120°=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 14．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合），AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．【答案】105°150° 【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC ，从而得到m ，n 的值即可．【详解】解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，∵∠BAC=90°，∴∠PCA=60°，∠PAC=90°-α， ∵AI 、CI 分别平分∠PAC ，∠PCA ，∴∠IAC=12∠PAC ，∠ICA=12∠PCA ，∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA ） =180°-12（∠PAC+∠PCA ） =180°-12（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，∴105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∠AIC ＜150°， ∴m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题15．如图，BD 是ABC ∠的平分线，//DE CB ，交AB 于点E ，150BED ∠=︒，60BDC ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】∠A =45°【分析】首先根据平行线的性质求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBD 的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠A 的度数即可．【详解】解：∵DE ∥CB ，∴∠BED +∠ABC =180°，∵∠BED =150°，∴∠ABC =30°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴1152CBD ABC ∠=∠=︒， ∵∠BDC =60°，∴∠C =105°，∴∠A =180°-∠ABC -∠C =45°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理，正确识图，求得∠C 的度数是解题关键．16．如图，在ABC 中，AE 平分∠BAC ，AD 是BC 边上的高．（1）在图中将图形补充完整；（2）当∠B ＝28°，∠C ＝72°时，求∠DAE 的度数；（3）∠DAE 与∠C ﹣∠B 有怎样的数量关系？写出结论并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）22°；（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）在ABC ∆中，利用三角形内角和定理可求出BAC ∠的度数，结合角平分线的定义可求出CAE ∠的度数，由AD 是BC 边上的高，可求出CAD ∠的度数，再结合DAE CAE CAD ∠=∠-∠即可求出结论； （3）根据题意可以用B 和C ∠表示出CAD ∠和CAE ∠，从而可以得到DAE ∠与C B ∠-∠的关系．【详解】解：（1）如图，（2）在ABC ∆中，28B ∠=︒，72C ∠=︒，18080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，AE ∵平分BAC ∠，1402CAE BAC ∴∠=∠=︒， AD 是BC 边上的高，AD BC ∴⊥，9018CAD C ∴∠=︒-∠=︒，401822DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠， 理由：在ABC ∆中，AD ，AE 分别是ABC ∆的高和角平分线， 180CAB B C ∴∠=︒-∠-∠，90CAD C ∠=︒-∠，1(180)2CAE B C ∠=︒-∠-∠， 11(180)(90)()22DAE B C C C B ∴∠=︒-∠-∠-︒-∠=∠-∠． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在ABC 中，BE 是ABC 角平分线，点D 是AB 上的一点，且满足DEB DBE ∠=∠．（1）DE 与BC 平行吗？请说明理由；（2）若50C ∠=︒，45A ∠=︒，求DEB ∠的度数．【答案】（1）//,DE BC 理由见解析；（2）42.5.︒【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE =∠EBC ，从而求出∠DEB =∠EBC ，再利用内错角相等，两直线平行即可证明；（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC =∠ADE ，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得到答案．【详解】解：（1）DE ∥BC理由如下：∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC∵∠DEB =∠DBE∴∠DEB =∠EBC∴ DE ∥BC ；（2）在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠C =180°∴∠ABC =180°-∠A-∠C =85°∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC =42.5°∴∠DEB =∠EBC =42.5°【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，准确识别图形是解题的关键．18．阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形的内角和小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：如图1，已知：三角形ABC ．求证180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒证法一：如图2，过点A 作直线//DE BC ，∵//DE BC∴ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠∵180DAB BAC CAE ∠+∠+∠=︒∴180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，即三角形内角和是180︒证法二：如图3，延长BC 至M ，过点C 作//CN AB …证法一的思路是用平行线的性质得到ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180︒，这种方法主要体现的数学思想是转化思想，请运用这一思想将证法二补充完整．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，由平角的定义得到∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，等量代换即可得到结论．【详解】解：证明：∵CN ∥AB∴∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，∵∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，∴∠ACB +∠BAC+∠ABC =180°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．19．如图，MN //PQ ，点A ，B 分别在直线MN ，PQ 上，若射线AN 绕点A 逆时针旋转至AM 后立即回转，射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 后立即回转，两射线分别绕点A ，点B 不停地旋转，若射线AN 转动的速度是a ︒/秒，射线BP 转动的速度是b ︒/秒，且a ，b 满足方程组32527a b a b -=⎧⎨+=⎩．（1）求a ，b 的值；（2）若射线AN 和射线BP 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直？【答案】（1）3a =，2b =；（2）至少旋转18秒时，射线AN 与射线BP 互相垂直．【分析】（1）解二元一次方程组，即可求得a 和b 的值；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，根据直角三角形两锐角互余和平行线的性质可得2x °+3x °=90°，求解即可．【详解】解：（1）32527a b a b -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得：412a =，解得3a =，将3a =代入②得327b +=，解得2b =，所以原方程组的解为：32a b =⎧⎨=⎩， 即3a =，2b =；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，记旋转后的两条射线交于点C ，连接AB ，如图，则∠BCA =90°，由已知得∠PBC=2x°，∠NAC=3x°，∵MN//PQ，∴∠PBA+∠BAN=180°，∵∠BCA=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠PBC+∠NAC=90°，∴2x°+3x°=90°，x=，解得18答：至少旋转18秒时，射线AN与射线BP互相垂直．【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组．（1）中掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解题关键；（2）能根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余列出方程是解题关键．∠交CD于20．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分AEF ∠=∠．点M，且FEM FME（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；∠交CD于点H，过点H作（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分FEG∠=．∠=，EGFβ⊥于点N，设EHNαHN EMβ=︒，求α的度数；①如图2，当点G在射线FD上运动时，若56②当点G 在直线CD 上运动时，请直接写出α和β的数量关系．【答案】（1）AB ∥CD ，理由见解析过程；（2）28°；（3）α=12β或α=90°-12β 【分析】（1）结论：//AB CD ．只要证明AEM EM D ∠=∠即可．（2）①依据平行线的性质可得124AEG ∠=︒，再根据EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，即可得到1622HEN AEG ∠=∠=︒，再根据HN ME ⊥，即可得到Rt EHN ∆中，906228EHN ∠=︒-︒=︒；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=，当点G 在点F 的左侧时，1902βα︒=-．【详解】解：（1）结论：//AB CD ．理由：如图1中，EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，AEM M EF ∴∠=∠，FEM FM E ∠=∠．AEM FM E ∴∠=∠，//AB CD ∴．（2）①如图2中，//AB CD ，56BEG EGF β∴∠=∠==︒，124AEG ∴∠=︒，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，1622HEN MEF HEF AEG ∴∠=∠+∠=∠=︒，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，9028EHN HEN α∴=∠=︒-∠=︒．②结论：12αβ=或1902βα︒=-．理由：①当点G 在F 的右侧时，可得12αβ=． //AB CD ，BEG EGF β∴∠=∠=，180AEG β∴∠=︒-，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，119022HEN MEF HEF AEG β∴∠=∠+∠=∠=︒-，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，1902EHN HEN αβ∴=∠=︒-∠=．②当点G 在F 的左侧时，可得1902βα︒=-．理由：//AB CD ，AEG EGF β∴∠=∠=，又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠，M EH M EF H EF ∴∠=∠-∠1()2AEF FEG =∠-∠12AEG =∠1 2β=，又HN ME⊥，Rt EHN∴△中，90EHN MEH∠=︒-∠，即1902βα︒=-．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识是解题的关键．。
三角形内角和定理的应用
三角形内角和定理的应用在几何学中，三角形是最基本的图形之一，而三角形内角和定理则是三角形中一项重要的性质。
本文将探讨三角形内角和定理的应用，并通过实例展示其在几何问题中的实际运用。
一、三角形内角和定理的定义三角形内角和定理是指三角形的三个内角之和等于180度。
简言之，对于任意一个三角形ABC，其内角A、内角B、内角C的和等于180度，即：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
二、三角形内角和定理的应用1. 判断三角形的角度性质：通过三角形内角和定理，我们可以判断一个三角形的角度性质。
若三角形的内角之和等于180度，则可以确定该图形为三角形。
若内角之和小于180度或大于180度，则说明该图形不是三角形。
2. 解决三角形内角问题：在已知部分内角的情况下，可以通过三角形内角和定理求解其他内角的大小。
例如，若已知一个三角形的两个内角的度数分别为30度和60度，我们可以通过内角和定理计算出第三个内角的度数为180度减去已知内角之和。
3. 应用于证明和推理：在几何证明和推理中，三角形内角和定理是常用的工具之一。
通过灵活运用内角和定理，可以推导出一系列几何性质和关系。
例如，我们可以利用三角形内角和定理证明等腰三角形的性质，或者证明平行线与三角形内角的关系等。
三、实例展示为了更好地理解三角形内角和定理的应用，以下将提供两个实例。
实例一：已知一个三角形的两个内角的度数分别为60度和90度，求第三个内角的度数。
解答：根据三角形内角和定理，我们可以得到∠A + ∠B + ∠C = 180°。
其中，已知∠A = 60°，∠B = 90°。
将已知的两个角度代入公式，则可得60° + 90° + ∠C = 180°。
整理方程可得∠C = 180° - 60° - 90°，即∠C = 30°。
因此，第三个内角的度数为30度。
三角形内角和的应用
三角形内角和的应用郭一鸣“三角形三个内角的和等于180°”，这是大家熟悉的一个定理。
本文举七则中考题说明它的应用。
例1. △ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则∠A＝_________度。
解：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°又∠A＝∠B＋∠C所以∠A＋∠A＝180°，即∠A＝90°例2. 如图1，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________度。
解：因为∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝180°－40°＝140°所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝140°＋140°＝280°例3. 图2中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________度。
解：连结BD，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋180°＝360°例4. 如图3，在△ABC中，∠B＝66°，∠C＝54°，AD是∠A的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE＝__________。
解：因为∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－66°－54°＝60°又AD是∠A的平分线所以∠BAD＝∠DAC＝30°在△ABD中，∠ADB＝180°－66°－30°＝84°在△ADC中，∠ADC＝180°－54°－30°＝96°又DE平分∠ADC所以∠ADE＝48°故∠BDE＝∠ADB＋∠ADE＝84°＋48°＝132°例5. 直角三角形两锐角的角平分线交成的角的度数是（）A. 45°B. 135°C. 45°或135°解：如图4，∠1＝180°－45°＝135°∠2＝180°－135°＝45°故选C。
三角形内角和及应用
三角形内角和及应用三角形内角和是指三角形内三个角的角度之和。
根据三角形的性质，我们知道三角形的内角和始终等于180度。
这是一个简单而重要的数学概念，在解决各种几何问题时经常用到。
首先，我们来解释为什么三角形的内角和等于180度。
我们可以通过以下两种方法理解这个概念。
第一种方法是画一个直角三角形。
直角三角形的一个角是90度，而另外两个角之和必须等于90度，因此直角三角形的内角和为180度。
第二种方法是将任意三角形分割成两个直角三角形。
我们可以通过在三角形的内部画一条边将其分割成两个直角三角形。
根据直角三角形的性质，每个直角三角形的内角和为180度，所以整个三角形的内角和也为180度。
了解了三角形内角和的概念后，我们可以应用这个概念解决各种几何问题。
首先，我们可以利用三角形内角和来判断一个三角形的形状。
例如，如果一个三角形的三个角都小于90度，则这个三角形是锐角三角形；如果一个三角形有一个角大于90度，则这个三角形是钝角三角形；如果一个三角形有一个角等于90度，则这个三角形是直角三角形。
通过观察三角形的内角和，我们可以快速判断一个三角形的形状。
其次，三角形内角和可以帮助我们求解三角形的未知角度。
如果我们知道一个三角形的两个角度，可以利用三角形内角和等于180度的性质来求解第三个角度。
例如，如果一个三角形的两个角度分别为70度和50度，我们可以使用以下关系来求解第三个角度：180度- 70度- 50度= 60度。
因此，第三个角度为60度。
另外，三角形内角和也可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
例如，当我们遇到一个三角形内角和等于某个特定角度的问题时，我们可以推导出其他角度的数值。
这种方法在角度相关的几何证明中非常有用。
此外，三角形内角和还与其他几何概念有很多关联。
例如，三角形的外角和等于360度减去内角和。
此外，根据三角形的欧拉定理，三角形三个顶点的角度和等于360度。
这些定理和关系都是基于三角形内角和的特性推导得出的。
三角形内角和定理及其应用
岛的北偏西40 °方向。从B岛看A,C两岛的视
角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视
角∠ACB是多少度？
北
北EΒιβλιοθήκη DC...
B
A
东
• 解：∠CAB= ∠BAD - ∠CAD =80°-50°= 30°
• ∵AD∥BE，得： ∠BAD +∠BADE=180°
• ∴ ∠ABE=180°- ∠BAD = 180°- 80°=100°
解：设∠Ａ=x°，则∠Ｃ＝∠ＡＢＣ=2X0 ∴x＋２x＋２x＝１８０ 解得:x=360 ∴∠Ｃ＝７２° 在△ＢＤＣ中， ∵∠ＢＤＣ＝９０°
∴∠ＤＢＣ＝１８０°－∠ＢＤＣ－ ∠Ｃ ＝１８０°－９０°－７２°
=180
动动脑： 如图，C岛在A岛的北偏东50°方
向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B
A
B
C
与
A
A B
C
B
B
A
图1
A
B
C
B
图2
C
B
图3
C
通过以上操作，你得到了什么结论?
三角形的内角和等于1800.
A
E
A B
B
C 图2
过点C作CE∥AB
已知，如图△ABC
求证： ∠A+∠B+∠ACB=180°
证明：作BC的延长线CD 过点C作射线CE∥BA ∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). ∠1=∠A， (两直线平行,内错角相等，). 又∵∠1+∠2+∠ACB=180 °(平角等于180度） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
11.2.1三角形的内角和
三角形内角和定理(3) -推论应用 课件
=∠A+∠1+∠2 =180°
变式题：
如图2-1，将点B向右移动到AC边上时， 上面的结论还成立吗？
A
B1 2
E
C
D
图2-1
变式题：
如图2-1，将点B向右移动到∠CAD内部时，
上面的结论还成立吗？
A
G1
2
F
B
E
C
图2-1
D
思考：
小明想通过连接CD，把五个角凑到⊿ACD内，他 的想法可行吗？独立思考后与同伴交流 A
C
•这节课我们一起探究了哪些问题？
要证角的和的关系，有什么结论是关于角的和的？ 能否直接运用？有什么困难？怎么解决？
有哪些关于角的不等结论？能直接运用吗？ 不能的话，困难在哪？如何解决？
你和别人的差距知道是什么吗？ 就是看你会不会思考，
能不能抓住你身边的 每一分一个外角，E为边AC上
的一点，延长BC到D,连接DE。
D
求证：∠1 >∠2
2
C
53 E
A4
1
B
F
方法归纳：
解决角的不等问题，要充分运用内 角和定理的推论， 找到合适三角形， 确定内外角的不等关系。
练一练
如图，
求证
（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C
95°
求证（2） ∠BDC＞∠A．
B
E
C
C
A
B
E O
D
D
A B
E
A
B
E
C
D
C
D
变式 如图2-2，将点B、E移动到∠CAD内部时， 上面的结论还成立吗？
A
B E
三角形的内角和定理在几何问题中的应用
三角形的内角和定理在几何问题中的应用在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
三角形的内角和定理是指三角形内角的度数和为180度。
这一定理在几何问题中具有广泛的应用，可以帮助我们解决各种三角形相关的问题。
本文将探讨三角形的内角和定理在几何问题中的应用。
一、计算缺失的内角度数三角形的内角和定理可以帮助我们计算三角形中缺失的内角的度数。
我们知道，对于任意一个三角形ABC，其内角A、B和C的度数满足A +B +C = 180度。
如果我们已知两个内角的度数，就可以通过内角和定理来计算出第三个内角的度数。
例如，已知三角形ABC中，角A的度数为50度，角C的度数为80度，我们可以利用内角和定理计算出角B的度数。
根据内角和定理，我们有50度 + B + 80度 = 180度，即B = 50度。
二、判断三角形的性质三角形的内角和定理还可以帮助我们判断一个三角形的性质。
根据内角和定理，如果一个三角形的三个内角的度数和为180度，那么这个三角形是一个普通三角形；如果一个三角形的三个内角中存在一个内角大于90度，那么这个三角形是一个钝角三角形；如果一个三角形的三个内角中存在一个内角等于90度，那么这个三角形是一个直角三角形；如果一个三角形的三个内角都小于90度，那么这个三角形是一个锐角三角形。
通过内角和定理，我们可以根据三角形内角的度数和来进行分类判断，从而更好地理解三角形的性质。
三、证明几何定理内角和定理还可以用于证明其他几何定理。
在几何证明中，我们常常需要利用内角和定理来推导出其他关于三角形的定理。
例如，我们要证明一个定理：如果一个三角形的两个内角的度数之和大于90度，那么这个三角形是一个锐角三角形。
为了证明这个定理，我们可以假设三角形的两个内角的度数之和大于90度，设这两个内角的度数分别为A和B，那么根据内角和定理，有A + B + C = 180度，其中C为三角形的第三个内角度数。
由于A + B > 90度，所以C < 90度，即C为锐角。
应用三角形内角和定理及其推论解题例析
应用三角形内角和定理及其推论解题例析三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论1：直角三角形的两个锐角互余；推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； 推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
以上关于三角形的内角和定理及其推论在解题中有比较广泛的应用，下面举例说明。
一、求角度的大小例1：在△ABC 中，若∠A: ∠B: ∠C=1:2:3，则∠C=_______。
解：依题意，不妨设∠A=x ，则∠B=2x ，∠C=3x ，因此由三角形的内角和定理可得：x+2x+3x=180°，解之得：x=30°，故∠C=3x=90°。
例2：如图1，已知∠1=20°，∠=25°，∠A=35°，则∠BDC 的度数为_______。
图1 图2 解：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-35°=145°， ∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)-( ∠1+∠2)=145°-(20°+25°)=100°. 在△BDC 中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°.例3：如图2，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于E ，交AC 于D 。
若∠B=53°，则∠CDE=_______.解：∵△ABC 是直角三角形，∠B=53°，∴由三角形内角和定理的推论1，得∠A=90°-53°=37°。
再由三角形内角和定理的推论2，得∠CDE=∠A+∠AED=37°+90°=127°。
二、求多角的和例4：如图3，一个任意的五角星，它的五个角(∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E)的和为（ ） A.50° B.100° C.180° D.200°BCD1 1BCDAEA图3 图4解：由推论2知，∠2=∠B+∠D ，∠1=∠C+∠E ；又由定理知：∠1+∠2+∠A=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故本题应选C 。
三角形的内角和定理及其应用
三角形的内角和定理及其应用在几何学中，三角形是一种基本的多边形形状，具有丰富的性质和规律。
三角形的内角和定理是一个重要的定理，它关于三角形的内角和与三角形类型之间的关系提供了有用的信息。
本文将探讨三角形的内角和定理及其应用。
一、三角形的内角和定理三角形的内角和定理是指一个三角形的三个内角之和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有以下关系式成立：A +B +C = 180°通过这个定理，可以得出三角形的一些重要性质和结论。
二、三角形的内角和定理的应用三角形的内角和定理在几何学中有着广泛的应用，在各个方面都能发挥作用。
以下是三角形内角和定理的几个常见应用：1. 判定三角形类型三角形的内角和定理可以用来判定三角形的类型。
根据内角和定理，当一个三角形的三个内角之和等于180度时，可以确认该三角形是一个非退化三角形。
而当三个内角之和不等于180度时，可以判断该图形不是三角形或者是一个退化的三角形。
2. 求解缺失角度当已知一个三角形的两个内角度数，可以利用内角和定理求解第三个内角的度数。
假设已知的两个内角的度数分别为A和B，则第三个内角C的度数可以通过以下公式求得：C = 180° - A - B利用这个公式，可以在已知一部分内角信息的情况下，求解出未知内角的度数。
3. 探究三角形性质三角形的内角和定理也可以用来探究三角形的性质。
通过观察三角形的内角和的大小，可以得出以下结论：- 对于非退化三角形，任意两个内角和都大于90度。
- 对于锐角三角形，三个内角和小于180度。
- 对于钝角三角形，至少一个内角和大于180度。
这些结论能够帮助我们更好地理解三角形的性质以及相关的几何规律。
三、例题解析为了更好地理解三角形的内角和定理以及其应用，我们来看一个实际的例题解析。
例题：已知一个三角形的两个内角分别为60度和80度，求解第三个内角的度数。
解析：根据内角和定理，我们可以使用以下公式求解第三个内角的度数：C = 180° - A - B代入已知的角度数，即：C = 180° - 60° - 80°C = 40°因此，第三个内角的度数为40度。
三角形的内角和定理与计算
三角形的内角和定理与计算三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边组成。
在三角形中，我们可以研究它的内角和定理以及如何计算三角形的内角和。
本文将详细介绍该定理的应用和计算方法。
一、三角形的内角和定理三角形的内角和定理指出，三角形的三个内角的和等于180度（即180°）。
这个定理是数学中的重要定理之一，可以用数学公式表示为：∠A + ∠B + ∠C = 180°其中，∠A、∠B和∠C分别表示三角形的三个内角。
二、计算三角形的内角和计算三角形的内角和可以通过以下几种方法：1. 已知两个内角求第三个内角：若已知三角形的两个内角的度数，可以通过三角形的内角和定理求解第三个内角的度数。
例如，已知三角形的内角A为60°，内角B为45°，则内角C = 180° - 60° - 45° = 75°。
2. 已知三边长度求内角：若已知三角形的三边长度，可以通过三角形的余弦定理或正弦定理求解内角。
根据余弦定理和正弦定理的公式，可以得到各内角的度数。
3. 特殊三角形的内角：对于特殊的三角形，其内角和有固定的度数。
例如，等边三角形的内角都是60°，直角三角形的两个锐角和为90°。
三、三角形内角和的应用三角形的内角和定理在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 角度计算：我们可以利用三角形的内角和定理来计算各种角度，如多边形的内角和、扇形的圆心角等。
2. 三角形分类：通过计算三角形的内角和，可以将三角形进行分类。
例如，内角和为180°的三角形为普通三角形，内角和小于180°的三角形为非欧几里德几何中的超几何三角形。
3. 平行线与三角形：利用三角形的内角和定理，我们可以推导出平行线与三角形的关系，如同位角定理、内错角定理等。
四、实例应用为了更好地理解三角形的内角和定理与计算方法，下面举两个具体的实例进行说明：例1：已知三角形ABC，AB = 4cm，BC = 5cm，AC = 6cm，计算三角形ABC的各个内角的度数。
三角形内角和定理的应用
三角形内角和定理的应用三角形内角和定理是中学数学中的重要知识点之一。
它可以帮助我们计算三角形内角的和，从而解决各种和三角形相关的问题。
本文将介绍三角形内角和定理的定义和公式，并运用定理解决几个实际问题。
一、三角形内角和定理的定义和公式在开始讨论三角形内角和定理的应用之前，我们先来回顾一下定理的定义和公式。
三角形内角和定理是指：一个三角形的内角的和等于180度，或者说三角形的三个内角的和等于180度。
根据上述定理，我们可以得到以下公式：对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别记作∠A、∠B、∠C，则有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
接下来，我们将通过一些具体的例子来展示三角形内角和定理的应用。
二、应用举例例1：已知某个三角形的两个角分别为70度和45度，求第三个角的度数。
解：根据三角形内角和定理，三个内角的和等于180度。
设第三个角的度数为x，则有70 + 45 + x = 180。
整理方程，得到x = 180 - 70 - 45 = 65。
因此，第三个角的度数为65度。
例2：在某个三角形中，一个角的度数是其它两个角的和的2倍，求这三个角的度数。
解：假设这三个角的度数分别为x、y和z。
根据题意可得条件方程：x = 2(y + z)。
又根据三角形内角和定理可得方程：x + y + z = 180。
将第一个方程代入第二个方程，得到2(y + z) + y + z = 180。
化简方程，得到3y + 3z = 180，进一步化简，得到y + z = 60。
然后将y + z = 60代入第一个方程，得到x = 2 * 60 = 120。
综上所述，这三个角的度数分别为120度、30度和30度。
例3：已知一个三角形的两个角分别为(x+20)度和(2x-10)度，求这个三角形的三个角的度数。
解：设这个三角形的三个角的度数分别为x、y和z。
根据题意可得条件方程：y = x + 20，z = 2x - 10。
三角形的内角和定理及其应用
三角形的内角和定理及其应用三角形的内角和定理，也被称为三角形内角和恒等于180°的定理。
它是几何学中最基本且最重要的定理之一，它描述了任何三角形内角和的总和恒等于180°。
这个定理为我们提供了一个简单而强大的工具，用于解决各种与角度有关的几何问题。
三角形的内角和定理可以通过几何证明来得到。
我们可以将一个三角形分割成两个互余的锐角三角形，然后使用垂直角定理得出结论。
根据垂直角定理，垂直于一条直线的两个角的和为180°。
因此，每个锐角三角形的两个互余角的和为90°。
而一个三角形由两个互余的锐角三角形组成，所以三角形内角和的总和为180°。
三角形的内角和定理的应用非常广泛。
它不仅帮助我们理解三角形的性质，也为解决各种类型的几何问题提供了基础。
以下是一些三角形内角和定理的应用示例：1. 判断三角形的类型: 通过计算三角形的内角和，我们可以确定一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
例如，如果一个三角形的内角和为180°，则该三角形是直角三角形。
2. 计算缺失的角度: 当已知一个三角形的两个角度时，我们可以使用内角和定理计算第三个角的度数。
例如，如果一个三角形的两个角度分别为60°和40°，则第三个角的度数为180°-60°-40°=80°。
3. 解决平行线问题: 在平行线问题中，我们常常需要计算交错内角或同旁内角的度数。
由于平行线会形成一些特殊的三角形，我们可以利用内角和定理来解决这些问题。
4. 推导其他几何定理: 内角和定理是许多其他几何定理的基础。
例如，当我们研究三角形的外角时，我们可以通过内角和定理来推导出三角形外角和定理。
这种推导过程帮助我们更好地理解和应用几何学中的各种定理。
综上所述，三角形的内角和定理是几何学中非常重要的一个定理。
它为我们提供了解决各种与三角形角度有关的问题的基础，并在推导其他几何定理时发挥着关键作用。
三角形内角和定理的证明和应用
D=
在 ! A DE 中 , 因为 1 = 180 3 = 180 1+ 1 = 40 , 2+ 2 = 180 在 ! BCE 中, 因为
例 3 运用# 三角形内角和定理∃ 说明# 四边形的内角和等于 360 ∃ . 根据所给命题作出相关图形 , 写出已知 、 求证并完成证明. 分析 首先根据题意画出一个四边形, 然后寻找四边形与三
15
基础辅导
因为 所以 所以
A+ A+ 2
B+
C = 180 ( 三角形内角和等于 180 ) , B = 72 , C = 72 .
A + 2 A = 180 ( 等量代换 ) .
A = 36 , 所以 例2
如图 4, 四边形 A B CD 是 DA E = 50 , CBE = 60 ,
图4
一个长方形 , 求
14
所以 1= 因为 所以
2= 1+ A+
B ( 两直线平行, 同位角相等 ) , 2+ B+ A C B = 180 ( 1 平角 = 180 ) , A C B = 180 ( 等量代换) . 1 的位置, C移
A ( 两直线平行, 内错角相等 ) .
方法二: 如 图 3, 过 点 A 作直 线 PQ ∀ B C , 相当于把 到了 2 的位置 . 证明 所以 因为 所以 1= 1+ B+ 过点 A 作直线 P Q ∀ BC , B, BA C + BA C + 2= C ( 两直线平 2 = 180 ( 1 平角 = 180 ) , C = 180 ( 等量代换 ) .
B 的一边恰在一条直线上, 即得到一个平角, 因
平面几何中的三角形和三角形的内角和定理
平面几何中的三角形和三角形的内角和定理三角形是平面上最简单、最基本的几何图形之一。
它由三条线段所围成，每条线段称为三角形的边，两条相邻的边所夹的角称为三角形的角。
在三角形中，有一些角具有特殊的性质，它们的和也有着特别的规律。
本文将介绍三角形中的三角形内角和定理，帮助读者更好地理解和应用平面几何。
一、三角形的内角和对于任意一个三角形ABC，三个内角的和应该等于180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
这个结论可以用多种方法来证明。
方法一：利用三角形的等角定理。
我们先假设三角形ABC中的角A等于90度，则∠B和∠C互为余角，即∠B=90°－∠C。
将等式代入∠A+∠B+∠C=180°中，可以得到∠A+（90°－∠C）+∠C=180°，化简后得到∠A+90°=180°，即∠A=90°。
因此，三角形ABC是一个直角三角形。
方法二：利用平行线与交线的性质。
我们用线段AC作为三角形ABC的一条边，通过点B画一条平行于线段AC的直线DE，使DE与BC相交于点F。
因为AC与DE平行，所以∠A=∠E。
同时，∠EBF和∠CBF都是180度减去∠C，即∠EBF=∠CBF=180°－∠C。
因此，∠E+∠B+∠F=∠A+∠B+∠C=180°，即∠E+∠B+（180°－∠C）=180°，化简后得到∠E=∠C。
所以，∠A+∠B+∠C=∠E+∠B+∠C=180°。
方法三：利用三角形的面积公式。
我们将三角形ABC绕某个顶点旋转，使其底边平移至一条与底边平行的直线上，然后将三角形划分成两个梯形和一个三角形。
根据相似三角形的性质，两个梯形面积之和与三角形面积之比等于梯形的中线之比，即hA：hB=AC：BD。
因为BD=AC，所以hA=hB。
同理，再用梯形的面积公式，可得hA=hB=hC，即三角形ABC的三个高相等。
三角形中的角度计算
三角形中的角度计算三角形是几何学中基本的图形之一，它包含三条边和三个角。
计算三角形的角度是解决几何问题中常见的一步。
本文将介绍三角形角度计算的方法和公式，以及如何应用它们。
一、三角形的内角和定理三角形的内角和定理是指三角形的三个内角的和等于180度。
对于任意的三角形ABC，其内角A、B、C的度数分别为α、β、γ，则有以下公式成立：α + β + γ = 180°利用三角形的内角和定理，可以很方便地计算三角形中缺失的角度。
二、等腰三角形的角度计算等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两条底边的角度相等，而顶角的度数可以通过以下公式计算：顶角度数 = (180° - 底角度数) / 2例如，若等腰三角形的底角度数为60°，则顶角的度数为(180° - 60°) / 2 = 60°。
三、直角三角形的角度计算直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
对于直角三角形ABC，其中直角边为AB，斜边为AC，另一条边为BC，则可应用以下公式：1. 计算直角边的度数：tan(θ) = 对边长度 / 临边长度- 临边为AB，对边为BC，根据此公式，可得到角A的度数。
2. 计算斜边的度数：cos(θ) = 临边长度 / 斜边长度- 临边为AB，斜边为AC，根据此公式，可得到角C的度数。
举例说明：假设直角三角形ABC中，直角边AB的长度为3，临边BC的长度为4。
应用上述公式，可得到：1. 计算角A的度数：tan(θ) = 4 / 3- θ = atan(4 / 3) ≈ 53.13°2. 计算角C的度数：cos(θ) = 3 / 5- θ = acos(3 / 5) ≈ 53.13°因此，在直角三角形ABC中，角A和角C的度数均为约53.13°。
四、一般三角形的角度计算对于一般的三角形，即三边长度均不相等的情况，可以利用余弦定理和正弦定理来计算角度。
三角形内角和定理的证明与应用
三角形内角和定理的证明与应用三角形内角和定理是中学数学中的基础概念，它描述了三角形的内角和与直角的关系。
本文将对三角形内角和定理进行证明，并探讨其应用。
一、三角形内角和定理的证明三角形内角和定理是指，任意三角形的三个内角的和等于180度。
下面我们将对其进行证明。
假设有一个任意的三角形ABC，其三个内角分别为∠A、∠B和∠C。
我们可以通过以下步骤证明三角形内角和定理：1. 在三角形ABC的边BC上任取一点D，使得BD与AC重合。
2. 连接AD，并延长AD至点E，使得AE与BC平行。
3. 由于在同一条直线上，角∠CBA和∠EAD是同位角，根据平行线性质，它们对应的线段之比相等，即BD/DE = AC/CE。
4. 同样地，我们可以连接BE，并延长BE至点F，使得AF与BC 平行，同理可得CE/EF = AB/AF。
5. 从步骤3和步骤4中可以得到两个比值：BD/DE = AC/CE 和CE/EF = AB/AF。
6. 将这两个比值相乘，得到 (BD/DE) * (CE/EF) = (AC/CE) *(AB/AF)。
7. 由于有AE || BC 和 AF || BC，根据平行线性质，可以得到DE || EF。
8. 由于DE || EF，根据平行线与横切线的交角相等性质，可以得到∠BED = ∠FEC。
9. 同样地，连接AE和AF，利用平行线与横切线的交角性质，可以得到∠EAD = ∠BAF。
10. 将步骤8和步骤9得到的等角代入到步骤7中，可以得到∠BED = ∠BAF。
11. 根据等角余角定理，可以得到∠AED = ∠BDA 和∠AEB =∠BDF。
12. 将步骤11得到的等角代入到步骤5中，可以得到(BD/DE) * (CE/EF) = (AC/CE) * (AB/AF) 成立。
13. 可以进一步化简上式，得到 BD/EF = AC/AF。
14. 同样地，可以连接CF，并延长CF至点G，使得AG与BC平行，重复以上步骤可以得到 CG/DF = AB/AF。
三角形的性质定理
三角形的性质定理三角形作为几何学的基本概念之一，在数学中扮演着重要角色。
对于三角形的性质定理的研究，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
本文将介绍一些常见的三角形的性质定理，并通过举例说明其应用。
一、角度定理1. 三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。
即对于任意三角形ABC，我们有∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这一定理可以通过对三角形的内角进行求和来验证。
例如，考虑一个直角三角形，其中∠A是90度，∠B是45度，那么根据内角和定理，∠C必须是180度减去90度加45度，即45度。
验证了定理的成立。
2. 外角和定理三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和。
具体而言，对于三角形ABC，以BC为边所成外角∠D，我们有∠D = ∠B + ∠C。
考虑一个等边三角形ABC，其中三个内角均为60度。
根据外角和定理，三个外角将分别等于180度，这验证了定理的正确性。
二、边长定理1. 直角三角形的勾股定理直角三角形的两个边长a和b的平方和等于斜边c的平方。
即对于直角三角形ABC，我们有a^2 + b^2 = c^2。
以3、4、5三角形为例，边长分别为3、4、5，可以验证3^2 + 4^2 = 5^2，这符合勾股定理。
2. 等腰三角形的边长关系等腰三角形的两个底边（等边）长度相等。
即对于等腰三角形ABC，如果AB = AC，则称之为等腰三角形。
考虑一个等腰三角形ABC，其中AB = AC = 5，BC = 6，可以验证等腰三角形的底边相等。
三、角边定理在三角形中，两个角的对边是它们对应的两条边成比例。
即对于三角形ABC，如果∠A/∠B = AB/BC = AC/BC，则称之为角边定理。
四、高度定理对于三角形ABC与它的高CD，我们有以下高度定理：1. 高度与底边关系高度CD将底边AB分成两部分，这两部分的长度与相应的边成比例。
具体而言，我们有AD/BD = CD/BC。
2. 高度与斜边关系高度CD与斜边AC和斜边BC之间也有一定的关系。
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A
B
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检验一下自己吧!
1在一个三角形中∠1=140°∠3=25°
求∠2的度数。
2、 在△ABC中,
140
∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
° 25 °
3、已知三角形三个内角的度数之比 为1:3:5，求这三个内角的度数。 1
4、如图， ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝
2
4 3
____
三角形是如何分类的？
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
B
C
∠B+∠C=1800-∠A.
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
解决实际问题 实际问题
数学化
数学问题源于生活实 A 践，反过来数学又为
生活实践服务
B
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解决实际问题
实际问题
数学化
一个已损坏的三角形零件如图经检验量得， ∠A ＝３１° ∠B＝５９°，你能推算出另一个角的 度数吗？
B
12
CD
注意:辅助线应该用虚线表示
三角形的内角和等于1800.
证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∵ CE∥BA
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
A
E
1
2
B
CD
三角形的内角和等于1800.
2. 如果△ABC中，
∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角
分类应为 （ 直角 ）三角形。
A
3已知:如图在△ABC
中，DE∥BC,∠A=600,
D
E
∠C=700.
求 ∠ADE的度数。
B
C
三角形的内角和等于 180°.正方形、长 方 形 的 内 角 和 都 等 于 360°.
其他四边形的内角和 等于多少？
直 角 边
斜 边
直角边
直角三角形可以用符号Rt △ 表示，直角三角形 可以写成Rt △ ABC。
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一个三角形最多有几个钝角？ 几个直角？最少有几个锐角？
随堂练习
我是最棒的
直角三角形的两锐角之和是多少度?
等边三角形的一个内角是多少度?
A A
B
C
C
B
推论1: 直角三角形的两个锐角互余. 推论2：等边三角形每一个内角都等于600
北师大版数学七年级下册 精品教学课件
1、在△ABC中，AB=5、BC=9，那么_4__< AC<_1_4_。
2、三角形的三边长分别为3㎝，8㎝，x，那么x的取值 范围是__5_c_m__<_x_<_1_1_c_m___,且x为整数可能取的值共有 _____5别为5cm和11cm， 则它的底边长为__5_c_m__，腰长为_1_1_c_m__。
从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多 少吗？
一般地，怎样求n边形的内角和呢？
An A1
A2
A5
A3
A4
画多边形时，倒数第二边应画成虚线，表示还有很 多边未画出来
根据以上的探讨，就得出
了多边形的内角和公式：
n边形的内角和 等于(n－
作业
本节课你收获 了什么？
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(等量代换)
E
A
B
C
开启
智慧
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
E
A
A
F
E
A
S
Q
P
N R
B
CB
D
CB
M
T
C
图1
SN P
Q
A R
E 图2 A
F
12 3 4
图3
A
E
1
M
2
B T
CB
D
CB
CD
… …图4
图5
图6
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
4、等腰三角形某两边的长分别为6㎝和8㎝，那么周长
等于_2_0_c_m__或__2_2_c_m___.
课前热身
思考题
已知：线段满足a＞b＞c则能组成三角形的条件是（ C ）
A a+b ＞c
B a+c ＞b
C b+c ＞a
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平 时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老 二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能 的，否则，我们这个家就再也围不起来 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
以后可以直接运用.
动脑筋：
1 三角形中最大的角是 70 ，那么这个三角形
是锐角三角形。（ √ ） 2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（√ ） 3 一个等腰三角形一定是锐角三角形。（ × ）
4 一个三角形最少有一个角不大于 60 。（ √ ）
模型应用
1、一个直角三角形，一个锐角是50°， 另一个锐角是几度？
B
C
求证：∠A +∠B +∠C=180°
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三角形的内角和等于1800.
证法1：延长BC到CD，在△ABC的外部，
以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，
∵ ∠1=∠A
∴ CE∥BA (内错角相等，两直线平行)
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
E
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
庐山真面目
• 下面图形中被小福娃遮住的角是多少度？
60
70
60
60
20 110
50
30
30
60
70
60 60
有三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
30 30
20 110
有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
50
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
三角形按角的大小分类 直角三角形
三角形 锐角三角形 钝角三角形
∴ ∠BDF＝ ∠C，∠EDC＝ ∠B, (两直线平行，同位角相等）
∠EDF=∠DEC=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠BDF＋ ∠EDF＋ ∠EDC＝１８０ °
∴ ∠A＋ ∠B＋ ∠C＝１８０ °
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证法5：
过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
小提示1：
为了证明的需要，在原来的图形 上添画的线叫做辅助线。在平面几何 里，辅助线通常画成虚线。
小提示2 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
三角形内角和定理的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
A
∠B=1800 –(∠A+∠C).
同学们，你们知道其中的道理吗？
言必有“据”:
三角形的内角和等于1800.
你用什么方法
可以验证呢?
言必有“据”:
你的拼法有哪些呢？ 说说你这样做理由。
折一折：
1
1
2
2
3
3
结论
命题的正确性还要严密的推理证明想一想： 如何证明呢？
三角形内角和定理：
A
三角形三个内角的和等于 180°
已知：△A B C.
证法3：过A作EF∥BA，
∵ EF∥BA
∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)
又 ∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180° E
A
21
F
B
C
证法4
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°
A F
E
B
Ｄ
C
证明：在BC上取一点D，过点D作DE∥BA，DF ∥CA