三角形的内角和定理应用

同学们，你们知道其中的道理吗？
言必有“据”:
三角形的内角和等于1800.
你用什么方法
可以验证呢?
言必有“据”:
你的拼法有哪些呢？ 说说你这样做理由。
折一折：
1
1
2
2
3
3
结论
命题的正确性还要严密的推理证明想一想： 如何证明呢？
三角形内角和定理：
A
三角形三个内角的和等于 180°
已知：△A B C.
∴ ∠BDF＝ ∠C，∠EDC＝ ∠B, (两直线平行，同位角相等）
∠EDF=∠DEC=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠BDF＋ ∠EDF＋ ∠EDC＝１８０ °
∴ ∠A＋ ∠B＋ ∠C＝１８０ °
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证法5：
过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
小提示1：
为了证明的需要，在原来的图形 上添画的线叫做辅助线。在平面几何 里，辅助线通常画成虚线。
小提示2 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
三角形内角和定理的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
A
∠B=1800 –(∠A+∠C).
B
12
CD
注意:辅助线应该用虚线表示
三角形的内角和等于1800.
证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∵ CE∥BA
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
A
E
1
2
B
CD
三角形的内角和等于1800.
以后可以直接运用.
动脑筋：
1 三角形中最大的角是 70 ，那么这个三角形
是锐角三角形。（ √ ） 2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（√ ） 3 一个等腰三角形一定是锐角三角形。（ × ）
4 一个三角形最少有一个角不大于 60 。（ √ ）
模型应用
1、一个直角三角形，一个锐角是50°， 另一个锐角是几度？
B
C
求证：∠A +∠B +∠C=180°
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三角形的内角和等于1800.
证法1：延长BC到CD，在△ABC的外部，
以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，
∵ ∠1=∠A
∴ CE∥BA (内错角相等，两直线平行)
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
E
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
北师大版数学七年级下册 精品教学课件
1、在△ABC中，AB=5、BC=9，那么_4__< AC<_1_4_。
2、三角形的三边长分别为3㎝，8㎝，x，那么x的取值 范围是__5_c_m__<_x_<_1_1_c_m___,且x为整数可能取的值共有 _____5___个。
3、已知等腰三角形的两条边的长分别为5cm和11cm， 则它的底边长为__5_c_m__，腰长为_1_1_c_m__。
从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多 少吗？
一般地，怎样求n边形的内角和呢？
An A1
A2
A5
A3
A4
画多边形时，倒数第二边应画成虚线，表示还有很 多边未画出来
根据以上的探讨，就得出
了多边形的内角和公式：
n边形的内角和 等于(n－
作业
本节课你收获 了什么？
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
B
C
∠B+∠C=1800-∠A.
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
解决实际问题 实际问题
数学化
数学问题源于生活实 A 践，反过来数学又为
生活实践服务
B
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解决实际问题
实际问题
数学化
一个已损坏的三角形零件如图经检验量得， ∠A ＝３１° ∠B＝５９°，你能推算出另一个角的 度数吗？
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(等量代换)
E
A
B
C
开启
智慧
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
E
A
A
F
E
A
S
Q
P
N R
B
CB
D
CB
M
T
C
图1
SN P
Q
A R
E 图2 A
F
12 3 4
图3
A
E
1
M
2
B T
CB
D
CB
CD
… …图4
图5
图6
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
4、等腰三角形某两边的长分别为6㎝和8㎝，那么周长
等于_2_0_c_m__或__2_2_c_m___.
课前热身
思考题
已知：线段满足a＞b＞c则能组成三角形的条件是（ C ）
A a+b ＞c
B a+c ＞b
C b+c ＞a
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平 时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老 二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能 的，否则，我们这个家就再也围不起来 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
庐山真面目
• 下面图形中被小福娃遮住的角是多少度？
60
70
60
60
20 110
50
30
30
60
70
60 60
有三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
30 30
20 110
有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
50
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
三角形按角的大小分类 直角三角形
三角形 锐角三角形 钝角三角形
A
B
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检验一下自己吧!
1在一个三角形中∠1=140°∠3=25°
求∠2的度数。
2、 在△ABC中,
140
∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
° 25 °
3、已知三角形三个内角的度数之比 为1:3:5，求这三个内角的度数。 1
4、如图， ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝
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2
4 3
____
三角形是如何分类的？
直 角 边
斜 边
直角边
直角三角形可以用符号Rt △ 表示，直角三角形 可以写成Rt △ ABC。
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一个三角形最多有几个钝角？ 几个直角？最少有几个锐角？
随堂练习
我是最棒的
直角三角形的两锐角之和是多少度?
等边三角形的一个内角是多少度?
A A
B
C
C
B
推论1: 直角三角形的两个锐角互余. 推论2：等边三角形每一个内角都等于600
证法3：过A作EF∥BA，
∵ EF∥BA
∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)
又 ∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180° E
A
21
F
B
C
证法4
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°
A F
E
B
Ｄ
C
证明：在BC上取一点D，过点D作DE∥BA，DF ∥CA
2. 如果△ABC中，
∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角
分类应为 （ 直角 ）三角形。
A
3已知:如图在△ABC
中，DE∥BC,∠A=600,
D
E
∠C=700.
求 ∠ADE的度数。
B
C
三角形的内角和等于 180°.正方形、长 方 形 的 内 角 和 都 等 于 360°.
其他四边形的内角和 等于多少？