算法设计与分析期末试题

2006-2007学年 第1学期

2004级算法设计与分析 试题A 卷

考试时间：2007年1月

1、 简答题（每题5分，共20分）

1. 用贪心方法解背包问题时，使用的最优量度标准是什么？对于一下问题实

例:n=3，（w1,w2,w3）=(5,15,4),(p1,p2,p3)=(3,5,7),M=21,求最优解X 和最大效益值。

2. 回溯法执行过程中状态空间树的E 节点能否超过1个？活结点能否超过1个？简述理由。

3. 回溯法求解子集和数问题（n=4）的状态空间树中，采用定长元组表示，有多少个问题状态，解状态节点。

4. 求解递归关系式：

2、 证明题（每题10分，共20分）

1. 证明：(())(())(()())f n g n f n g n Θ+Θ=Θ+

2. 在带有限期的作业排序中，设J 是k 个作业的几个集合，12...k i i i δ=是J 中作业

的一种排列，它使得12...k

i i i d d d ≤≤≤。证明：J 是一个可行解，当且仅当J 中的作业可以按照δ的次序处理且每个作业均能在其期限前完成。

3、 计算题（每题10分，共40分）

1. 已知图的邻接矩阵

(1) 按照每对节点间的最短路径算法ALL-PATH,求每对结点间的最短路径长度矩

阵4A 。

(2) 求最短路径结点矩阵P 。P(i,j)表示i 到j 的最短路径上第一个经过的结点。

(3) 根据P 和4A ，分别给出结点2到结点3，结点4到结点1的最短路径及长度。

2. 当作业数n=7

(1,2,.......,7)(7,8,35,22,3,15,50)

(1,2,........,7)(1,3,4,3,2,1,2)p p p d d d ==

时，利用作业排序的更快算法，求解上述作业排序问题的最优解（要求按步骤运行并给出集合树的变化情况，最优解及效益值）。

3. 对下述0/1背包问题，

n=5,M=10,(p1,p2,p3,p4,p5)=(4,5,2,3,3),(w1,w2,w3,w4,w5)=(2,1,5,3,4)

(1) 依次按步骤求(

0,1,2,3,4,5)i

S i = (2) 求出最末序偶，回溯求最优解X 。

4. 对于有a,b 两台设备的流水线调度问题，设数组A(n),B(n)分别存储a,b 的任务完成时间n=5,A=(1,7,3,5,9),B=(4,6,8,2,10)。

(1) 给出这五个作业的非抢先最有调度序列并画出调度图。

()T n =4(/2)b T n c n +22n n ≤>027********

820∞∞∞

(2) 求此调度的完成时间F(S)。

4、 算法题（共20分）

1. 已知n 个长度分别为(),1L

i i n ≤≤的已分类（排序）数组(())i A L i ，使用二路最优归并模式将它们归并为一个数组B 。要求写出完整算法，算法中需要体现出二路最有归并模式和归并两个已分类的策略。（12分） 2. 修改贪心背包算法，求解两个背包的贪心背包算法：

2个背包容量分别为12,M M

2个背包分配的物品数量为

1212,,01i i i i x x x x ≤+≤ 约束条件：

112211,i i i i in in w x M w x M ≤≤≤≤≤≤∑∑

目标函数：极大化

121()i i i i n

p x x ≤≤+∑ （8分）