工程光学习题解答第十二章光的衍射样本

第十二章 光的衍射

1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上, 以

焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察, 求( 1) 衍射图样中央亮纹的半宽度; ( 2) 第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离; ( 3) 第一亮纹和第二亮纹的强度。 解: ( 1) 零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0a

λ

θ∆=

∴亮纹半宽度29

003

5010500100.010.02510r f f m a λ

θ---⨯⨯⨯=⋅∆==

=⨯ ( 2) 第一亮纹, 有1sin 4.493a π

αθλ

=⋅=

9

13

4.493 4.493500100.02863.140.02510rad a λθπ--⨯⨯∴=

==⨯⨯ 21150100.02860.014314.3r f m mm θ-∴=⋅=⨯⨯==

同理224.6r mm =

( 3) 衍射光强2

0sin I I αα⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

, 其中sin a παθλ

=

当sin a n θλ=时为暗纹, tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0I I

0 0 1

1 4.493 0.04718

2 7.725 0.01694 .

. .

. . .

. . .

2． 平行光斜入射到单缝上, 证明: ( 1) 单缝夫琅和费衍射强度公

式为2

0sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭

式中, 0I 是中央亮纹中心强

度; a 是缝宽; θ是衍射角, i 是入射角( 见图12-50) ( 2) 中央亮纹的角半宽度为cos a i

λ

θ∆=

证明: (1)()sin sin i θ-即可

(2)令

()sin sin a

i πθπλ

==± ∴对于中央亮斑 sin sin i a

λ

θ-=

3．

在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中, 测得暗条纹的间距为

1.5mm , 所用透镜的焦距为30mm , 光波波长为63

2.8nm 。问细丝直径是多少?

解: 设直径为a , 则有

f d a

λ

=

93

632.8100.03

0.01261.510f

a mm d λ--⨯⨯===⨯

图12-50 习题3图

4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和b 的圆环( 见图12-51) 的夫琅和费衍射强度公式, 并求出当2

a b =时, ( 1) 圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比; ( 2) 圆环衍射图样第一个暗环的角半径。

解:

()12

2'a J ka E p a c ka πθ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

同样, 圆屏使P 点振幅减小 ()()122'b J kb E p b c kb θπθ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

因此圆环在P 点产生的振幅为

()()22112'a b a J ka b J kb E E E c ka kb θθπθθ⎡⎤

=-=-⎢⎥⎣⎦

∴P 点强度为

()()2

22

11222

4'a J ka b J kb I E c ka kb θθπθθ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦

对于衍射场中心, 0θ=有

()()2

224

4222

22222204'4'2244

2a b a b a b I c c c a b ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭ 当2

a

b =时,

图12-51 习题6图

( 1)

()22

2

242224904'28416a b a I c c a ca π⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

∴

()()09

016

a I I = ( 2) 第一暗纹有

()()

22110a J ka b J kb ka kb θθθθ-= ()111

22a

aJ ka aJ k θθ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

查表可有 3.144ka θ=

3.144 3.1440.512ka a a

λλ

θπ∴=

=⋅=

4． ( 1) 一束直径为2mm 的氦氖激光(

632.8nm λ=) 自地面射向月球,

已知地面和月球相距33.7610km ⨯, 问在月球上得到的光斑有多大? ( 2) 如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m 的光束, 该用多大倍数的望远镜? 将扩束后的光束再射向月球, 在月球上的光斑为多大?

解: ( 1) 圆孔衍射角半宽度为0.61a

λ

θ=

∴传到月球上时光斑直径为

983

0.610.61632.810222 3.7610290.3110

D l l km a λθ--⨯⨯=⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯ ( 2) 若用望远镜扩束, 则放大倍数为 倍。直径

9

80.610.61632.810'2'22 3.7610145.2'2

D l l m a λθ-⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯=

5． 若望远镜能分辨角距离为7

310rad -⨯的两颗星, 它的物镜的最小

直径是多少? 同时为了充分利用望远镜的分辨率, 望远镜应有多大的放大率?