条件概率知识点、例题、练习题

、知识点 ① 只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(B|A)，即可类比套用概率满足

的三条公理及其它性质 ②在古典概型中---

③在几何概型中

条件概率及全概率公式

.对任意两个事件A B,是否恒有P(A) > P(A| B).

答：不是.有人以为附加了一个 B 已发生的条件，就必然缩小了样本空间， 也就缩小了概率,从而就一定有P(A> > P(A|B),

这种猜测是错误的.事实上,

可能P(A) > P(A| B),也可能P(A) < PtA|B),下面举例说明.

在0,1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令

定义1.若事件A B 满足PtAB=PtA)P(B), 则称A B 相互独立.

定义2.若事件A B 满足P(A|B)=P(A)或P(BA)=P(B),则称

独立.

答：不是的.因为条件概率的定义为

P(A B)=P(AB>/ P(B)或 P(B A)=P(AB/ P(A)

自然要求 P( A)工0, P( B)工0,而定义1不存在这个附加条件 说，P(AB=P(A)P(B)对于P(A)=0或P( B)=0也是成立的.事实上， 由 0W P(AE) < P(A>=0 可知 PtAB=0 故 P(AB=P(A)P(B).

因此定义1与定义2不等价，更确切地说由定义2可推出定义1, 不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化.

条件概率专题

P(BA)謂

(AB) (A)

事件AB 包括的基本事件(样本点)数 事件A 包括的基本事件(样本点)数

P(B A)

P (AB) P(A)

(AB) (A)

区域AB 的几何度量(长度，面积，体积等) 区域A 的几何度量(长度，面积，体积等)

A=｛抽到一数字是3的倍数｝;

B 2=｛抽到一数字大于8｝,那么

P(A>=3/10,

P(A| B i )=1/5,

P(A| B i ), P(A) < P(A| B 2).

.以下两个定义是否是等价的.

B=｛抽到一数字是偶

数｝； P(A| B 2)=I . 因此有 P(A) >

A 、

B 相互

,也就是

若 P(A)=0

但定义1

. 对 任 意 事 件 A 、 B,

P(AB < P(A)< P(A+B) < P(A)+P(B).

答：是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A^ 因为 PCAB >0,故

P(A+B) <

P(A)+P(B).

由只人耳=卩(厲巴旦A),因为0W P(B| A) < 1,故

P(AB> < P(A>；

同理 P(AB» < P(B), 从而 P(D-HAB >0,由(*)知 P(A+B) > P(A). 原命题得证.

.在引入条件概率的讨论中,曾出现过三个概率：P(A| B), P(BA), P(AB).

从事件的角度去考察，在A 、B 相容的情况下，它们都是下图中标有阴影的部分， 然而从概率计算的角度看，它们却是不同的.这究竟是为什么？

答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别

：

答：不是.这是对全概率公式的形式主义的认识， 完全把它作为一个”公 式”来理解是不对的. 其实，我们没有必要去背这个公式，应着眼于 A i ,A,…，A 的结构.事实上， 对于具体问题， 若能设出n 个事件A,使之满 足

(*)

P(A| B)的计算基于附加样本空间 P(B| A 的计算基于附加样本空间 P(AE)的计算基于原有样本空间 .在n 个事件的乘法公式：

Q B ； Q A ； Q.

P( AA …A)=P( A) P(A 2| A i ) P( A| AA)…P( A| AA …A-i )

中，涉及那么多条件概率，为什么在给出上述乘法公式时只提及

P(AA …Av i )>0 呢？

答

P(A)>0,

n-l

)>0.

事实

按条件概率的本意

P(AA)>0,…，

P(A i Ar ・A2)>0,

应要求

P(AA …A

于 A I AA 3 …A-2 二 AAA …A1-2 A1-1,

这样, 除P(AA …牛)〉。作为题设外 如

P(AA …A-2)>0,…，

P(AA) >0,

> P(AA …Av i )>0. 要求的正概率，

件P(A iA …A n-i )>0的自然结论了 .

.计算P(B)时， 如果事件B 的表达式中有积又有和,

率公式. 从而便有P(AA …A-2)

其余条件概率所

P(A i )>0便是题设条

是否就必定要用全概

这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式. 因此,

能否使用全概率公式,

关键在于(**)式，而要有(**)式， 关键

又在于适当地对Q 进行一个分割，即有(*)式.

.设P(A)工0, P(B)工0,因为有

(1) 若A B 互不相容,则A B 一定不独立. (2) 若A B 独立,则A B 一定不互不相容.

故既不互不相容又不独立的事件是不存在的.上述结论是否正确. 生， 因此A 、A 、A 3不互不相容.

.事件A B 的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系

立”与“互不相容”又有什么区别和联系 ？ 区别和联系，从它们的定义看是十分清楚的，

“对立”互不相容”， 反之未必成立.

至于“独立”与“互不相容” 然.

事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事 件的关系， 丝毫未涉及它们的概率，其关系可借助图直观 显示.

事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P(A|B)=P(A>或 P( B A)= P( B)时，称A B 是相互独立的.

它们的联系可由下述命题概括：对于两个非不可能事件 A B, 则有“ A B 互不相容”

A 、

B 不独立”.

其等价命题是：在P(A)>0与P(B)>0下， 则

(*)

就可得

B =验=3Ai + SA 2 + …+ SA^

答：不正确.原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 逆否命题,

有其一就可以了)只能推出在P(A)工0,

件A B 既互不相容又独立是不存在的, 相容是不存在的”.事实上 存在的，下面举一例. 5个乒乓球(4新1旧), 取到新球｝, i =1,2, 3. AAA 3=｛三次都取到新球｝,

，恰恰相反,

但是由(1)(2)(它们互为

P(B)工0的前提下,事

并不能推出“ A B 既不独立又不互不 既不互不相容又不独立的事件组是

无放回抽取三次,

因为是无放回抽取,故A i 、A 、 显然是可能发生的，

每次取一个,

即A i 、 记A=｛第i 次

A 互相不独立,又 A A 可能同时发

?事件A B “独

答：“对立”与“互不相

容” 大体上可由如下的命题概的区别和联系 ，并非一目了