第13章 一次函数复习讲义

)3(2)327(284x x y x x ≤⎧⎪=⎨-+〉⎪⎩第13章 一次函数复习讲义

知识点1：常量与变量（参考《全解》P 28）

常量（或常数）:数值保持不变的量 变量：可以取不同数值且变化的量

注：常量和变量是相对而言的，它由问题的条件确定。

如s ＝vt 中，若s 一定时，则 s 是常量，v 、t 是变量

若v 一定时，则 v 是常量，s 、t 是变量

若t 一定时，则 t 是常量，s 、v 是变量

例1 指出下列各式中的常量与变量 （参考《全解》P 28）

（1） 圆的周长公式：C ＝2πr （C 是周长，r 是半径）；

（2） 匀速运动公式：s=vt （v 表示速度，t 表示时间，s 表示路程）。

解：（1）常量：2和π ；变量：C 和r

（2）常量：v ； 变量：s 和t

巩固练习：（1）《教材》P 23 练习1 （2）《练》P 9练习1、3

知识点2：函数的概念 及函数思想（难点）（参考《全解》P 29）

一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数. 注：（1）函数体现的是一个变化的过程：一个变量的变化对另一个变量的影响

（2）在变化的过程中有且只有两个变量：自变量（一般在等号的右边）和

因变量（一般在等号的左边）

（3）函数的实质是两个变量之间的对应关系：自变量x 每取一个值，

因变量有唯一确定的值与它对应

（4）含有一个变量的代数式可以看作这个变量的函数

函数思想：就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，从而抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的思想．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．

例1 判断下列变量之间是不是存在函数关系并说明理由（参考《全解》P 29与P 32）

（1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积

（3）某人的身高与年龄 （4）弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）

解：（1）存在函数关系。因为长每取一个值时，面积都有唯一确定的值与它对应，所以

面积是长的函数。

（2）不存在函数关系。因为底边长每取一个值时，面积不能有唯一确定的值与它对

应，所以面积不是底边长的函数。

（3）存在函数关系。因为某人任意一个确定的年龄，

都有唯一确定的身高与之对应，所以身高是年龄的函数。

（4）存在函数关系。因为物体质量x （kg ）每取一个值时，

弹簧的总长度y （cm ）都有唯一确定的值与它对应，

所以弹簧的总长度y （cm ）是所挂物体质量x （kg ）的函数。

巩固练习：（1）《练》P 9练习2、6

例2 下列关于变量x 、y 的关系中，y 是x 的函数的是（①②）x 是y 的函数的（①③） ①3x －y ＝5 ②y ＝｜x ｜ ③2210x y -= （参考《全解》P 29）

例3 如图，下列各曲线中哪些能够表示y 是x 的函数？并说明理由。（参考《教材》P 27 练习3）

解：（1）（2）两图的曲线能够表示y 是x 的函数。理由：函数应满足“对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应。”.

注：只要画一条与x 轴垂直的直线，如果这条直线与曲线只有一个交点，则该直线能表示函数，反之则不能表示函数。

巩固练习：（1）《练》P 11练习2

知识点3：函数的自变量的取值范围 （常考点）（参考《全解》P 29与P 35）

（1）若函数关系式是整式，则自变量的取值范围是：全体实数。

（2）若函数关系式是分式，则自变量的取值范围是：使分母不为0的实数。

（3）若函数关系式是二次根式时，则自变量的取值范围是：使被开方数大于或等于0的实数。

（4）若自变量出现在0次幂的底数中时，则自变量的取值范围是：使底数不为0的实数。

（5）若函数关系式表示实际问题时，则自变量的取值范围还必须使实际问题有意义。 注：求自变量的取值范围就是根据以上5点列出不等式（组），取这些“范围”公共部分。

例1 求下列函数中自变量的取量范围。（参考《全解》P 30与P 36）

20731(1)(2)(3)(4)(3)2

21(5)(6)13

x x y y y y x x y y x x -+====+-==-- 解：（1） 2722

x x -+ 是整式，∴自变量x 的取量范围是全体实数

（2）因为x －2是分母，所以x －2≠0，解得x ≠2

所以自变量x 的取量范围是x ≠2实数 （3

）因为为二次根式，所以被开方数x + 2≥0，解得x ≥－2

所以自变量x 的取量范围是x ≥－2实数.

(4) 因为x + 3 是零次幂的底数,所以x + 3≠0, 解得x ≠－3

所以自变量x 的取量范围是x ≠－3实数

(5)由题意知2010

x x +≥⎧≥≠⎨-≠⎩ 解得 x -2且x 1 所以自变量x 的取量范围是x ≠－2且x ≠1

20:30x x -≥⎧≤≤⎨-≠⎩

(6) 由题意知 解得x 2 所以自变量的取值范围是:x 2

注:请认真仔细体会(5)与(6)区别

例2 今有400本图书借给学生阅读,每人8本,求余下的书数y(本)与学生数x 之间的函

数关系式,

并求自变量的x 的取量范围 （参考《全解》P 37）

解: 函数关系式: y = 400－8x = －8x + 400 , 由y ≥0得－8x + 400≥0 解得x ≤50 又因为x ≥0 且x 为整数

所以自变量的x 的取量范围是 0≤x ≤50且x 为整数

例3 一个游泳池内有水300 3m ,现打开排水管以每小时25 3m 的排水量排水.

(1)写出游泳池内剩余水量Q 3m 与排水时间t h 间的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.

(2)开始排水后的第5 h 末,游泳池中还有多少水?

(3)当游泳池中还剩150 3m 时,已经排水多少小时? （参考《教材》P 25）

解 (1) 函数关系式: Q = 300－25t =－25t + 300

因为池中水全部排完需要 300÷25 = 12 (h) 所以自变量t 的取值范围是: 0≤t ≤12

(2)把t = 5 代入Q =－25t + 300得Q = －25×5＋300＝175 (

3m ) 故第5 h 末,游泳池中还有1753m 水.

(3)把Q ＝150代入Q =－25t + 300得 150 = －25t + 300解得t ＝6 (h)

故还剩150 3m 时,已经排水6小时

注:例2运用列不等式(组)求自变量的取值范围,例3运用列算式求自变量的取值范围. 巩固练习：《练》P 10练习1、2 、3、 4、7、8、9、10、11、12、13

知识点4：列函数关系式(函数解析式) (重点、难点、常考点)

(1)解析法：用数学式子来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法.

其中的等式叫做函数的解析式. （参考《教材》P 24）

(2)初中阶段主要学习四种函数关系式