超几何分布与二项分布的联系与区别
超几何分布于二项分布的区别与联系
§超几何分布与二项分布的区别与联系1、二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),0,1,2,...,.k k n k n P X k C p p k n -==-=此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～(,)n p ，并称p 为成功概率。
2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,2,...,.k N K M N M n NC C P X k k m C --⋅=== 此时称随机变量X 服从超几何分布。
注意：超几何分布中必须同时满足两个条件：一是抽取的产品不再放回去； 二是产品数是有限个为N （总数较少）.当这两个条件中任意一个发生改变，则不再是超几何分布.一、 当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布【例1】从含有3件次品的10产品中有放回地逐次取，每次取一个，取3次，用X 表示次品数。
（1） 求X 的分布列；（2） 求()E X 和()D X二、 当产品总数N 很大时，超几何分布变为二项分布【例2】 从批量较大的产品中，随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量ξ表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量ξ的数学期望()E ξ【例3】根据我国相关法规则定，食品的含汞量不得超过1.00ppm，沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检查，抽出样本20个，测得含汞量（单位：ppm）数据如下表所示：（1）若从这20个产品中随机任取3个，求恰有一个含汞量超标的概率；（2）以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体，若从这批数量很大的贝类海鲜产品中任选3个，记ξ表示抽到的产品含汞量超标的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ.()【例5】一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类。
超几何分布和二项分布
超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。
它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。
本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。
一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。
具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。
其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。
超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。
3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。
超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。
二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。
二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。
超几何分布与二项分布的区别是什么
超几何分布与二项分布的区别是什么超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复），当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。
超几何分布和二项分布超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n 重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布超几何分布是统计学上一种离散概率分布。
它描述了由有限个物件中抽出n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。
在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C（M，k）·C(N-M,n-k)/C(N,n），C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布（1）超几何分布的模型是不放回抽样（2）超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(N,n,M）。
超几何分布超几何分布是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
二项分布在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。
用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
超几何分布与二项分布的区别联系
件的概率： ⑴3 台都没有报警； (2)恰好有一台报警； (3)恰好有两台报警；
分析： 1.一个警报器对另一个警报器有干扰吗？
2.每一个警报器报警的概率一样吗？
3.属于几次独立重复实验？
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1.一个警报器对另一个警报器有干扰吗？ 2.每一个警报器报警的概率一样吗？ 3.属于几次独立重复实验？
(2)如以该次检查的结果作为该批次每件产品大肠菌群超标的概率，如 从该批次产品中任取2件，设随机变量η为大肠菌群超标的产品数量，求P(η ＝1)的值及随机变量η的数学期望．
规律总结：当提问中涉及'‘用样本数据来估计总体数
据”字样或有此意思表示的时候，就是二项分布，否则就不是。
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跟踪训练 1
1.（广东高考 17） 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单 位：克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]， 由此得到样本的频率分布直方图，如图 4 所示。 （1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量。 （2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克 的产品数量， 求 Y 的分布列。 （3）从流水线上任取 5 件产品， 求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率。
(1).C30 0.90 (0.1)3 0.001 (2).C31(0.9)1(0.1)2 0.027 (3).C32 (0.9)2 (0.1)1 0.243
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探究一 某地工商局从某肉制品公司的一批数量较大的火腿肠产品中
抽取10件产品，检验发现其中有3件产品的大肠菌群超标． (1)如果在上述抽取的10件产品中任取2件，设随机变量ξ为
关于二项分布与超几何分布问题区别举例
关于二项分布与超几何分布问题区别举例Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)=n Nk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。
因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，． 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P YC ===．因此，Y 的分布列为例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量 X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A 1)= C 33C 103 = 1120 , P(A 2)= C 32C 71C 103 =740,P(A 3)= C 31C 72C 103 = 340 ; 所以，P =P(A 1)+ P(A 2)+ P(A 3)= 31120 .(2)X=0，1，2，3; X 服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413C C C C =310;P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） =3101423C C C =110; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)=3101433C C C =130 ; P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3100433C C C = 1120;EX = nM N = 3310=说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：XB(3, 31120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14，则XB(3,14 );P(X=0)= C 30( 14 )0(1- 14)3-0 = 2764; P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14)3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 964 ;P(X=3)= C 33( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164;EX = 3×14 = 34. 说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望”.那么X 服从“超几何分布”，即：P(X=k)= 3163124C C C k k ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3×416 = 34.。
超几何分布与二项分布的联系与区别
在苏教版《数学选修2-3》的课本中,第二章《概率》的2。
2节和2.4节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布，超几何分布（hyper—geometric distribution）与二项分布（binomial distribution）。
通过实例，让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点，从而建立新的模型, 并能运用两模型解决一些实际问题。
然而在教学过程中，却发现学生不能准确地辨别所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分布，学生对这两模型的定义不能很好的理解，一遇到含“取"或“摸"的题型，就认为是超几何分布，不加分析，随便滥用公式。
事实上, 超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.课本对于超几何分布的定义是这样的：一般的，若一个随机变量X的分布列为，其中,则称X服从超几何分布，记为.其概率分布表为：对于二项分布的定义是这样的：若随机变量X的分布列为，其中则称X服从参数为n，p的二项分布，记为。
其概率分布表为:超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点，如：随机变量X的取值都从0连续变化到l，对应概率和N，n，l三个值密切相关……可见两种分布之间有着密切的联系。
课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无返回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的.而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。
若将但超几何分布的概率模型改成：若有N件产品,其中M件是废品,有返回的任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的。
在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有"改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化。
“返回”和“不返回"就是两种分布转换的关键.如在2。
专题-二项分布与超几何分布辨析
专题-二项分布与超几何分布辨析
二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．
1、超几何分布和二项分布都是离散型分布
2、超几何分布和二项分布的区别：
3、超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
4、超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）
5、当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。
例1、袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：
（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；
（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．
解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球
1的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则，B3．5 6414∴P(0)C；551250
303
4814P(1)C；551251
312
1214P(2)C；551252
321
114P(3)C．551253
330
因此，分布列为
2，且有：
031221C2C8C2C8C2C717P(Y0)3；P(Y1)3；P (Y2)38．C1015C1015C1015
因此，Y的分布列为。
超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =nNk -n M-N k MCC C,，2,1,0k, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An)2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn kp p )1(Ck n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。
1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题; (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk -n M-N k MCC C,，2,1,0k, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn kp p )1(Ck n(k=0,1,2,…,n),温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。
新教材高中数学第七章二项分布与超几何分布：超几何分布pptx课件新人教A版选择性必修第三册
夯 实 双 基
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)超几何分布的模型是有放回的抽样．( × )
(2)超几何分布的总体里只有两类物品．( √ )
(3)二项分布与超几何分布是同一种分布．( × )
(4)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.( × )
2．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任
分布列和期望E(X)的值．
方法归纳
求超几何分布的分布列的步骤
巩固训练2 从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机
变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值．
题型 3 超几何分布与二项分布的区别
例3 [2022·山东济南高二期末]某试验机床生产了12个电子元件，其
100
20×40
X的数学期望为E(X)＝
＝8.
100Leabharlann 个红球的概率是()
37
17
A．
B．
42
10
C．
21
42
17
D．
21
答案：C
41 52
10
解析：p＝ 3 ＝ .故选C.
9
21
4．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件
产品中次品数的数学期望为________．
0.3
解析：次品数服从超几何分布，则E(X)＝3×
10
＝0.3.
机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布
−
−
列为P(X＝k)＝
，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，
M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则
二项分布与超几何分布的区别与联系
谢谢
谢谢
例题解析
1、从含有 2 件优等品的 5 件产品中，随机抽取 2 件，求
抽取的 2 件产品中的优等品数 的分布列及其均值。
解： 可能的取值为 0,1,2，
P( i) C2i C32i
C52
(i 0, 1, 2) ，
的分布列为
012
P
3 10
3 5
1 10
均值
E( )
1
3 52 1 10源自4 5结论：在实际应用 时，只要N≥10n， 不放回抽取可以近 似看成是放回抽取， 可用二项分布近似 描述不合格品个数 ， 即当超几何分布计 算非常困难时应考 虑用二项分布近似 代替。
练习：
[2009 广东理 17 题部分]对某城市一年（365 天）的空 气质量进行监测，发现一年中有 219 天空气质量为良或 轻度污染，求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为轻 微污染的概率.
超几何分布一般地在含有m件次品的n件产品中任取n件其中恰有x件次品则事件xk发生的概率为服从参数为nmn的超几何分布1从含有2件优等品的5件产品中随机抽取2抽取的2件产品中的优等品数10均值2011广东理17部分从含有2件优等品的5件产品中随机抽取2件求抽取的2件产品中的优等品数的分布列及其均值
二项分布与超几何分布的区别与 联系
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何 分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
3、二项分布、超几何分布的均值、方差 (1)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． ※(2)若 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布， 则 E(X)＝nNM.
超几何分布与二项分布的联系与区别
何 分 布 还是 二 项 分 布 ， 生 对 这 两模 型 的定 义 不 能很 好 学 的理 解 ． 遇 到 含 “ ” “ ” 一 取 或 摸 的题 型 ， 认 为 是 超 几 何 就 分 布 ， 加分 析 ． 不 随便 滥 用公 式 。 实 上 ． 事 超几 何 分 布 和二
， — ｋ
个 随机 变 量 的 分 布 列 为 Ｐ（ ｋ ： Ｘ＝ ）
Ｌ
， 中 ｋ ０ 其 ＝，
球 ， 些 球 除 颜 色外 完 全 相 同 ， 次 从 中摸 出 ５个 球 ， 这 一 摸
到 ４个 红 球 １个 白球 就是 一 等 奖 ， 求获 一 等 奖 的概 率 。 本 题采 用 的解 法 是摸 出球 中 的 红 球个 数 服 从 超 几 何 分
项 分 布确 实 有着 密 切 的联 系 ， 也 有 明显 的 区别 。 但
如 在 ２２节 有 这样 一 个 例题 ： 三 （ ） 的联 欢会 上 ． 高 １班
设计 了一项 游 戏 ： 一 个 口袋 中装 有 １ 在 ０个 红 球 、０个 白 ２
课 本 对 于超几 何分 布 的定 义 是这 样 的 ： 一般 的 ， 一 若
０ ｌ ２ ３ ４ ５
｜ Ｐ ｃｃ＿ ｇ￣
Ｃ 嚣
Ｃ１ ＮＩ ｎＭ －
Ｃ 品 Ｃ
Ｃ１ － Ｍ Ｍ １
Ｃ
对 于 二项 分 布 的定 义 是这 样 的 ： 随机 变 量 的 分 若
布列 为， 中 ，＜ ＜ ，＋ ＝ ，＝ ，， ｎ 则 称 服从 参 数 其 ０ ｐ ｌｐ ｑ ｌ ｋ ｌ …， ， ２ 为 ｎｐ 的二 项 分 布 ， 为 Ｘ～ ｎ Ｐ 。 概 率 分 布 表 为 ： ， 记 Ｂ（ ， ） 其
上课124超几何分布与二项分布ppt课件
例 4：二十世纪 50 年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到 污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒． 引起世人对食品安全的关注．《中 华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm．
ξ 可能的取值为 0，1，2，3，由 ξ～ B(3, 1) ， 3
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P(ξ)
C
0 3
(
1) 3
0
(
2 3
)
3
C13
(
1 3Biblioteka )1(2 3)2
C
2 3
(
1 3
)
2
(
2 3
)1
C
3 3
(
1 3
)
3
(
2 3
)
0
由 ξ～ B(3, 1) ， 所以 Eξ=1. 3
条鱼，记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求 ξ 的分布列及 Eξ.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
解：（I）记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A
1求X的概率分布表； 2求去执行任务的同学中有男有女的概率.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
超几何分布、二项分布区别
则
P X k
CMk
C nk N M
CNn
k 0,1,2,,M
区分超几何分布及二项分布的使用
（1）逐次抽取，取后放回用二项分布 （2）一次性抽取（无放回、无顺序）用超几何分布 （3）在统计中，用频率估计概率，在总体中抽取用二项分布 （4）在统计中，在样本中抽取用超几何分布
常见数列通项求法 求an
（1）Sn与n关系式，例如： Sn n2 n或Sn n2 n 1 （2）Sn与an关系式（不含n），例如：Sn 1 2an
Sn1与Sn关系式（不含n），例如：a1 2,Sn1 2Sn 1
Sn与an1关系式（不含n），例如：a1
1 2
,Sn
1
2an1
（3）an1与an的关系式（不含 n，非等差等比）,例如a1 1,an1 2an 3
超几何分布、二项分布的区别与联系
超几何分布和二项分布都是离散型随机变量 的一种概率分布模型，一般以分布列的形式 体现其分布
二项分布：
（1）是在n次独立重复试验条件下的概率分布模型 （2）随机变量的取值是这n次独立重复试验中事件发生的次数，为0—n （3）每次试验的结果只有发生和不发生两种情况，且相互独立 （4）每次试验中事件发生的概率保持不变
错位相减法万能公式
差比数列 cn an bqn1 ,则其前n项和一定为： Sn An Bqn B
其中A a ,B b A q 1 q 1
注：本结论只能作为最后结果的检验，不能 作为解答过程。
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，每次试验中事件A
发生概率为p，记 X ~ Bn, p ，则
PX k Cnk pk 1 p nk
k 0,1,2,,n
超几何分布：描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽
如何快速识别“二项分布”与“超几何分布”
如何快速识别“二项分布”与“超几何分布”二项分布和超几何分布都是概率论中常见的离散概率分布。
尽管它们可能在一些方面相似，但它们在定义、应用和特性上存在一些明显的区别。
下面将介绍如何快速识别这两种分布。
首先，我们需要了解二项分布和超几何分布的定义。
二项分布是指在一系列相互独立的重复试验中，每次试验只有两个可能的结果，成功和失败。
每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验的次数固定为n次。
二项分布描述的是在给定试验次数和成功概率的情况下，成功次数的概率分布。
超几何分布是指从一个有限总体中抽取固定数量的样本，且每次抽样都是无放回抽样。
总体中成功的个数为M，总体中失败的个数为N-M。
样本的大小为n，成功的个数为k。
超几何分布描述的是在给定总体大小、成功个数和样本大小的情况下，成功次数的概率分布。
根据定义，我们可以看出二项分布和超几何分布在试验方式上的不同：-二项分布是有放回抽样的结果，即每次试验之间是相互独立的。
例如，我们可以使用一枚硬币进行多次投掷，每次投掷只能出现正面或反面的结果。
-超几何分布是无放回抽样的结果，即每次试验之间是相关的。
例如，我们从一批产品中取出其中几个进行质检，一旦一个产品被选中，它就不再参与后续的抽样。
1.参数设置：-二项分布有两个参数：试验次数n和成功概率p。
-超几何分布有三个参数：总体大小N，成功个数M和抽样大小n。
2.应用领域：-二项分布通常适用于描述重复试验中一个事件发生的概率，如硬币抛掷和赌博游戏等。
-超几何分布通常适用于描述从有限总体中抽取样本的成功次数，如质量控制和调查调研等。
3.概率计算：-二项分布的概率计算可以使用二项式定理或计算器进行计算。
-超几何分布的概率计算需要使用超几何分布的概率质量函数。
4.概率特性：-二项分布的期望值和方差可以通过试验次数和成功概率计算得到。
-超几何分布的期望值和方差可以通过总体大小、成功个数和抽样大小计算得到。
所以，通过参数设置、应用领域、概率计算和概率特性等方面可以快速识别二项分布和超几何分布。
【数学】超几何分布与二项分布的区别与联系
二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。
在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。
一、超几何分布与二项分布的定义1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P (X=k)=C M k C n－m n－kC Nn，k=0，1，2，…，m其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。
其分布列为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。
2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X=k)=C n k P k（1-p ）n-k，k=0，1，2，…，n 。
此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。
二、超几何分布与二项分布的区别从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。
超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。
实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。
二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。
这就是二者之间的区别。
本文笔者举例说明：例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。
解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。
从10个球中任取2球的结果数为C 102，从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k，那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为P （X=k ）=C 4k C 62－kC 102，k=0，1，2。
浅谈超几何分布与二项分布的区别与联系
浅谈超几何分布与二项分布的区别与联系摘要:离散型随机变量及其分布是高中数学的一个重要章节，超几何分布和二项分布是其中的两个非常重要的分布。
本文将从两个典型例题出发，辨析两种离散型随机变量的分布的区别与联系，希望能给平时的教育教学工作一定的指导。
关键词：离散型随机变量；超几何分布；二项分布；区别；联系.引言：笔者在教学过程中发现，学生在平时学习考试中，处理超几何分布和二项分布的相关问题时会遇到很多困难。
比如不能准确判断出所给题目符合哪一种分布，不能准确求出每个随机变量的取值所对应的概率，或者用错误方法求出了期望的正确结果，不理解为什么会有这样的结果。
下面笔者将从两个典型例题出发，辨析超几何分布与二项分布的区别与联系。
一、例题呈现例1．不透明的抽奖箱中有形状大小完全相同的白球和黑球一共20个，其中有白球15个，黑球5个。
（1）从袋子中任意抽取4个球，记取出的白球个数为，求的分布列和数学期望；1.从袋子中任意抽取4次球，每次记下颜色后放回，记取出的白球个数为，求的分布列和数学期望。
分析：由题干描述可知，本题第（1）小题是不放回抽取，白球个数服从超几何分布；第（2）小题是放回抽取，每一次抽取相当于做重复试验，且试验结果是相互独立的，白球个数服从二项分布。
解：（1）由题意可得服从参数为20，15，4的超几何分布，的可能取值为0，1，2，3，4，,,,,所以， .（2）由题意知，每一次抽取过程中，抽到白球的概率均为，所以 ,的可能取值为0，1，2，3，4，,,,,.所以，.通过本例，我们可以很明显地观察到超几何分布与二项分布的区别：1、随机变量的概率计算公式不同；2、随机变量的每一个取值概率也不同。
同样我们也不难发现这二者的相同点：无论随机变量的取值是多少及概率是多少，最终求得的数学期望是同一个值。
接下来我们来深入分析一下超几何分布与二项分布的区别与联系。
二、概念辨析1．区别我们先来看看课本给出的定义.北师大版高中数学选修2-3对超几何分布和二项分布的定义如下：超几何分布：一般地，设有件产品，其中有件次品.从中任取件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么（其中为非负整数）.如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称服从参数为的超几何分布.二项分布：进行次试验，如果满足以下条件：1.每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；2.每次试验“成功”的概率为，“失败”的概率为；3.各次试验是相互独立的.用表示这次试验中成功的次数，则的分布列如上所述，称服从参数为的二项分布，简记为若一个随机变量由定义可以明显看出二者之间的不同点：1.随机试验不同：超几何分布中的试验是符合古典概型的随机试验；二项分布的随机试验是n次独立重复试验。
《二项分布与超几何分布》 讲义
《二项分布与超几何分布》讲义一、引言在概率统计的学习中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的概念。
它们在实际生活中的应用广泛，例如质量检测、抽样调查、生物遗传等领域。
理解这两种分布的特点和区别，对于正确解决概率问题至关重要。
二、二项分布（一）定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。
（二）特点1、每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
2、每次试验的成功概率 p 保持不变。
3、各次试验相互独立。
（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数）（四）期望与方差期望 E(X) ＝ np方差 D(X) ＝ np(1 p)（五）应用举例假设某射手每次射击命中目标的概率为 08，进行 5 次射击，求命中目标 3 次的概率。
解：这里 n ＝ 5，p ＝ 08，要求 P(X ＝ 3)。
P(X ＝ 3) ＝ C(5, 3) 08^3 （1 08)＾（5 3)＝ 10 0512 004＝ 02048三、超几何分布（一）定义超几何分布是统计学上一种离散概率分布，描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数 X 的概率分布。
（二）特点1、总体分为两类。
2、抽取的样本数量 n 小于总体数量 N。
3、抽样方式为不放回抽样。
（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 N、M 和 n 的超几何分布，记为 X ～H(N, M, n)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n)（四）期望与方差期望 E(X) ＝ n M ／ N方差 D(X) ＝ n M ／ N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1)（五）应用举例一批产品共有 100 件，其中次品有 10 件，从中随机抽取 5 件，求抽到次品数 X 的概率分布。
二项分布与超几何分布的区别与联系ppt
-
1．独立重复试验与二项分布 (1)一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响． (2)一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的 次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率都为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 则称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记 作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
-
[2010·天津理]某射手每次射击击中目标的概率是23， 且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的 概率；
(2)假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标， 另外 2 次未击中目标的概率；
-
解析：(1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数， 则 X～B5，23.在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率
（含90分）的人数记为 ，求 的数学期望。
-
[2010 广东理 17 题部分] 某食品厂为了检查一条自动包 装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的重量（单位：克），发现当中有 12 件重量超过 505 克。
（1）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量 超过 505 克的产品数量， 求 Y 的分布列。 （2）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品合格的 重量超过 505 克的概率。
-
2．超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
超几何分布、二项分布与正态分布的区别与联系
㊀㊀㊀㊀㊀１４２数学学习与研究㊀２０２０ ２８超几何分布二项分布与正态分布的区别与联系超几何分布、二项分布与正态分布的区别与联系Һ郭㊀婧１㊀李㊀强２㊀（１．青岛西海岸新区第一高级中学，山东㊀青岛㊀２６６０００；２．青岛大学，山东㊀青岛㊀２６６０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ人教Ａ版选修２－３中介绍了超几何分布㊁二项分布和正态分布，前两者属于离散型随机变量服从的分布，后者属于连续型随机变量服从的分布．实际中的许多问题都可以利用这三个概率模型来解决．区分前两者的关键是看属于 不放回 模型还是 有放回 模型．同时，随着产品数量的增加，超几何分布越来越趋近于二项分布；随着试验次数的增加，二项分布越来越趋近于正态分布．从而三者在极限方面实现统一．ʌ关键词ɔ超几何分布；二项分布；正态分布；极限ʌ基金项目ɔ山东省教育学会科技教育专项课题：基于虚拟现实的高中数学翻转课堂教学模式研究（课题号１８－ＫＪＪＹ－００７４）．科技部国家重点研发计划：流域水系分级嵌套耦合大规模水文模拟并行算法设计（Ｎｏ．２０１７ＹＦＢ０２０３１０２）．一㊁总述人教Ａ版选修２－３中介绍了超几何分布㊁二项分布和正态分布，前两者属于离散型随机变量服从的分布，后者属于连续型随机变量服从的分布．在实际教学中发现学生辨别这些分布是难点，或者即使能辨别却无法从本质上认识它们．本文介绍三种分布的区别与联系，来帮助学生克服此难点．在教材中，三种分布的定义如下：一般地，在含有Ｍ件次品的Ｎ件产品中，任取ｎ件，其中恰有Ｘ件次品，则Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ，ｋ＝０，１，２ ，ｍ，其中ｍ＝ｍｉｎ｛Ｍ，ｎ｝，ｎɤＮ，ＭɤＮ，ｎ，Ｍ，ＮɪＮ∗．如果随机变量Ｘ的分布列具有上述形式，则称随机变量Ｘ服从超几何分布（ｈｙｐｅｒｇｅｏｍｅｔｒｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）．一般地，在ｎ次独立重复试验中，用Ｘ表示事件Ａ发生的次数，设每次试验中事件Ａ发生的概率为ｐ，则Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ，ｋ＝０，１，２， ｎ．此时称随机变量Ｘ服从二项分布（ｂｉｎｏｍｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），记作Ｘ：Ｂ（Ｎ，ｐ），并称ｐ为成功概率．一般地，如果对于任何实数ａ，ｂ（ａ＜ｂ），随机变量Ｘ满足Ｐ（ａ＜Ｘɤｂ）＝ʏｂａφμ，σ（ｘ）ｄｘ，其中φμ，σ（ｘ）＝１２πσｅ－（ｘ－μ）２２σ２，ｘɪ（－ɕ，＋ɕ），则称随机变量Ｘ服从正态分布（ｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），记作Ｘ Ｎ（μ，σ２）［１］．二㊁超几何分布与二项分布的区别与联系超几何分布是 不放回 情境中的古典概型，二项分布是 有放回 情境中的ｎ次独立重复试验概型．如教材习题２．２Ｂ组第三题：某批ｎ件产品的次品率为２％，现从中任意地抽出３件进行检验，问：当ｎ＝５００，５０００，５００００时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到１件次品的概率各是多少？设抽取到的次品数为Ｘ．若以有放回的方式抽取，抽取３次相当于做了３次独立重复试验，则Ｘ：Ｂ（３，２％），故Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１３ˑ２％ˑ（１－２％）２ʈ０．０５７６２４．若以不放回方式抽取，这个问题回归到古典概型，Ｘ服从超几何分布．ｎ＝５００时，次品数是５００ˑ２％＝１０，Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１１０Ｃ２４９０Ｃ３５００ʈ０．０５７８５３．同理可得ｎ＝５０００时，Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１１００Ｃ２４９００Ｃ３５０００ʈ０．０５７６４７．ｎ＝５００００时，Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１１０００Ｃ２４９０００Ｃ３５００００ʈ０．０５７６２６．由此可见，随着产品数ｎ的增加，超几何分布的概率是越来越接近于二项分布的概率的．此结论也可以通过以下表格验证：㊀㊀ｋｎ㊀㊀０１２３５００－１．１６ˑ１０－４２．２９ˑ１０－４１．１１ˑ１０－４－２．２１ˑ１０－６５０００－１．２ˑ１０－５２．３ˑ１０－５１．１１ˑ１０－５－２．３４ˑ１０－７５００００－１．１ˑ１０－６２ˑ１０－６１．１１ˑ１０－６－２．３５ˑ１０－８. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１４３㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２８其中表中的每一个数表示相应超几何分布与二项分布的概率差．由此可见，无论取几件次品，随着产品数的增加，二者的差距都是越来越趋近于零的［２］．即ｌｉｍＮңɕＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ＝Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ．下面我们对这个结论给出证明：ｌｉｍＮңɕＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ＝ｌｉｍＮңɕＡｋＭＡｎ－ｋＮ－Ｍｎ！ｋ！（ｎ－ｋ）！ＡｎＮ＝ｌｉｍＮңɕＣｋｎＭ（Ｍ－１） （Ｍ－ｋ＋１）（Ｎ－Ｍ）（Ｎ－Ｍ－１）（Ｎ－Ｍ－ｎ＋ｋ＋１）Ｎ（Ｎ－１） （Ｎ－ｎ＋１）＝ｌｉｍＮңɕＣｋｎｐＮ（ｐＮ－１） （ｐＮ－ｋ＋１）（Ｎ－ｐＮ）（Ｎ－ｐＮ－１）（Ｎ－ｐＮ－ｎ＋ｋ＋１）Ｎ（Ｎ－１） （Ｎ－ｎ＋１）＝ｌｉｍＮңɕＣｋｎｐＮ（ｐＮ－１） （ｐＮ－ｋ＋１）ìîíïïïïïïïｋ个Ｎｋ㊃㊀（Ｎ－ｐＮ）（Ｎ－ｐＮ－１）（Ｎ－ｐＮ－ｎ＋ｋ＋１）ìîíïïïïïïïïïïïï（ｎ－ｋ）个Ｎｎ－ｋ㊃㊀ＮｎＮ（Ｎ－１） （Ｎ－ｎ＋１）üþýïïïïïïｎ个＝Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ．一般地，如果随机变量依分布收敛于随机变量，则前者期望与方差的极限分别是后者的期望与方差［３］．实际上，若Ｘ服从超几何分布，则Ｅ（Ｘ）＝ðｍｋ＝０ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ＝ðｍｋ＝０ＭＣｋ－１Ｍ－１Ｃｎ－ｋＮ－ＭＮＣｎ－１Ｎ－１＝ｎＭＮðｍｋ＝０Ｃｋ－１Ｍ－１Ｃｎ－ｋＮ－ＭＣｎ－１Ｎ－１＝ｎＭＮ＝ｎｐ．Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－（Ｅ（Ｘ））２＝ðｍｋ＝０ｋ２ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ－ｎＭＮ()２＝ðｍｋ＝１ｋ（ｋ－１）ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ＋ðｍｋ＝０ｋＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ－ｎＭＮ()２＝Ｍ（Ｍ－１）ðｍｋ＝２Ｃｋ－２Ｍ－２Ｃｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ＋ｎＭＮ－ｎＭＮ()２＝ｎ（ｎ－１）Ｍ（Ｍ－１）Ｎ（Ｎ－１）ðｍｋ＝２Ｃｋ－２Ｍ－２Ｃｎ－ｋＮ－ＭＣｎ－２Ｎ－２＋ｎＭＮ－ｎＭＮ()２＝ｎ（ｎ－１）Ｍ（Ｍ－１）Ｎ（Ｎ－１）＋ｎＭＮ－ｎＭＮ()２．ʑｌｉｍＮңɕＤ（Ｘ）＝ｎｐ（１－ｐ）．三㊁二项分布与正态分布的区别与联系二项分布是离散型随机变量服从的分布，关注随机变量取某一个值时的概率；正态分布是连续型随机变量服从的分布，关注随机变量在某一范围的概率，存在于生活中的方方面面，如 长度测量的误差 某一地区同年龄人群的身高㊁体重㊁肺活量 在一定条件下生长的小麦的株高㊁穗长 等等都服从正态分布．但是貌似毫无关联的二项分布与正态分布，存在以下联系：定理㊀在ｎ次独立重复试验中，事件Ａ在每次试验中出现的概率是ｐ（０＜ｐ＜１），μｎ为ｎ次试验中事件Ａ出现的次数，则ｌｉｍｎңɕＰμｎ－ｎｐｐｑ＜ｘæèçöø÷＝１２πʏｘ－ɕｅ－ｔ２２ｄｔ上式表明二项分布收敛于正态分布［４］．四㊁总结超几何分布㊁二项分布与正态分布是三个非常重要的㊁应用广泛的概率模型．实际中的许多问题都可以利用这三个概率模型来解决．区分前两者的关键是看属于 不放回 模型还是 有放回 模型．同时，随着产品数量的增加，超几何分布越来越趋近于二项分布；随着试验次数的增加，二项分布越来越趋近于正态分布．从而三者在极限方面实现统一．ʌ参考文献ɔ［１］李勇．普通高中课程标准实验教科书数学选修２－３［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１１．［２］丁曼．超几何分布与二项分布的联系与区别［Ｊ］．中国课程辅导，２０１０（７）：１１５－１１６．［３］魏宗舒．概率论与数理统计教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８．［４］汪嘉冈．现代概率论基础［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００５．. All Rights Reserved.。
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在苏教版《数学选修2-3》的课本中，第二章《概率》的2.2节和2.4节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布，超几何分布(hyper-geometric distribution)与二项分布（binomial distribution）。
通过实例，让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点，从而建立新的模型，并能运用两模型解决一些实际问题。
然而在教学过程中，却发现学生不能准确地辨别所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分布，学生对这两模型的定义不能很好的理解，一遇到含“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，随便滥用公式。
事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别。
课本对于超几何分布的定义是这样的：一般的，若一个随机变量X的分布列为
，其中，则称X服从超几何分布，记为。
其概率分布表为：
对于二项分布的定义是这样的：若随机变量X的分布列为
，其中则称X服从参数为n，p的二项分布，记为。
其概率分布表为：
超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点，如：随机变量X
的取值都从0连续变化到l，对应概率和N，n，l三个值密切相关……可见两种分布之间有着密切的联系。
课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无返回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的。
而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。
若将但超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是废品，有返回的任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的。
在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化。
“返回”和“不返回”就是两种分布转换的关键。
如在2.2节有这样一个例题：高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球、20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球1个白球就是一等奖，求获一等奖的概率。
本题采用的解法是摸出球中的红球个数X服从超几何分布，但是如果将“一次从中摸出5个球”改为“摸出一球记下颜色，放回后再摸一球，反复5次”，则摸出球中的红球个数X将不再服从超几何分布，而是服从二项分布。
我们分别来计算两种分布所对应的概率：
这时发现发现两种不同的分布其对应的概率之间的差距进一步缩小了，我们做出这样的猜想：样本个数越大超几何分布和二项分布的对应概率相差就越小，当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就相等，换而言之超几何分布的极限就是二项分布！也就
是说。
下面我们对以上猜想作出证明：
产品个数N无限大，设废品率为p，则，
以上的证明与我们的直观思想相吻合：在废品为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n个（由于产品个数N无限多，无返回与有返回无区别，故可看作n次独立试验）中含有k个废品的概率当然服从二项分布。
在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是（1）产品个数应无限多，否则无返回地抽取n件产品是不能看作n次独立试验的.(2）在产品个数N无限增加的过程中，废品数应按相应的“比例”增大，否则上述事实也是不成立的。
对于超几何分布的数学期望，二项分布的数学期望，当我们
将“不返回”改为“返回”时，，两种分布的数学期望相等，方差之间没有相等关系。
超几何分布和二项分布的数学期望和方差是否也具有我们以上猜想并证明的极限关系呢？
事实上超几何分布的数学期望，方差当
这两个极限值分别是二项分布的数学期望与方差。
需要指明的是这一性质并非只为超几何分布与二项分布之间所具有，一般地，如果随机变量依分布收敛于随机变量，则随机变量的数学期望和方差分别是随机变量的数学期望和方差的极限。
这样超几何分布与二项分布达到了统一。
一般说来，有返回抽样与无返回抽样计算的概率是不同的，特别在抽取对象数目不大时更是如此。
但当被抽取的对象数目较大时，有返回抽样与无返回抽样所计算的概率相差不大，人们在实际工作中常利用这一点，把抽取对象数量较大时的无返回抽样（例如破坏性试验发射炮弹；产品的寿命试验等），当作有返回来处理。
那么，除了在有无“返回”上做文章，有没有什么办法快速实现超几何分布向二项分布的转化呢？
设想N件产品装在一个大袋中，其中M件为废品，无返回地从中抽取n件，那么其中废品件数X服从超几何分布。
现若在大袋中再放进两个小袋，一袋装正品，一袋装废品，然后从大袋中任摸一个小袋，无返回地从中任取一件产品，则这样任取n件，其中废品件数X就不再服从超几何分布，而应服从的二项分布了。
事实上，我们把摸到正品袋中的产品看作“成功”，摸到废品袋中的产品看作“失败”，则“成功”与“失败”的概率相等，皆为且每次试验是相互独立的，正是典型的伯努力试验概型，因此可用二项分布去刻划其概率分布列。
，从这一点上讲，两种分布仅“一袋之隔”。
将正品和废品隔离，则超几何分布将成为二项分布。
超几何分布和二项分布这两种离散型随机变量的概率分布表面上看来风马牛不相及，但通过以上的论证，我们发现这两种分布可以通过有无“返回”，隔离正品和次品等方法来互相转换，抛开转换问题，也可把二项分布看作超几何分布的极限，它们的期望和方差之间也存在这种极限关系。