漫谈数学分析的学习

漫谈数学分析的学习
我读的第一套数学分析教材是北京大学数学系自编教材《数学分析》（方企勤、沈燮昌、廖可人、李正元编写）【1】。

这套教材的优点是叙述严谨、覆盖面广，风格上沿袭扎实冷峻的俄式风范，对学生的训练比较充分。

缺点是写得太严谨，有时稍显直观不足，尤其是第三卷讲述高维空间的积分理论时，没有及时引入微分流形的语言，使积分的处理显得琐碎繁杂。

但总体说来，这是一套值得精读的教材，能够帮助大学生打下坚实的基础。

与这套教材配套的习题集，最早是北大数学系自编的一套习题集：《数学分析习题集》（林源渠、方企勤、李正元、廖可人编著）【2】。

这套习题的好处是比较精炼，所收习题主要依据北大数学系数学分析习题课资料编撰，也吸收了专门化课中遇到的数学分析问题以及 1983 年前的历届研究生考试的部分试题。

我个人体会，这套习题对于磨练大学生的精细思维以及与分析相关的几何直观颇有裨益，值得全做。

数学分析习题集中，在中国比较有名的是《吉米多维奇数学分析习题集》。

这套习题集后来也出了完整的习题解答：《数学分析习题集题解》（吉米多维奇著，费定晖、周学圣编演，郭大钧、邵品琮主审）【3】。

个人感觉这套习题集有不少题目过于重复，尤其是关于计算方面的题目太多，似乎更适合工程物理类大学生使用，对于数学专业的人来说则有些过时。

我大学时代利用课余时间研读这套习题集，前后花了近两年的时间才把习题逐一做完，费时太长而不利于拓宽视野、尽快掌握现代数学的全貌。

所以从个人经验出发，我建议现在的大学生只把这套习题作为一个参考，可精研其中的证明题，对计算题则挑选代表性题目练手即可。

至于培养分析直观和逻辑严密性，一本非常有用的经典参考书是《分析中的反例》（盖尔鲍姆、奥姆斯特德著，高枚译）【4】。

北大数学系的这套教材成书于1986年。

由于数学分析这门课程已经比较成熟，科研上并无什么新突破，所以年代久远并不是问题，但就易读易懂性而言，还是有可以改进之处的。

出于这一考虑，我在此向大学生们推荐另外一套北大的教材，张筑生先生所著三卷本《数学分析新讲》【5】。

有一位网友是如此评价他对该书的印象的：
“所谓‘新讲’就是把所有不相关的细枝末节统统删除，只用最精炼的语言讲述最核心的思想；用最简明的表达式传递最根本的解题方法和技巧；从最低的起点出发，用了最少的预备知识，构建了微积分这座大厦。

”
我大体同意这位网友的观点：张先生的这本书和他的《微分拓扑讲义》一样，讲究最直观自然的处理方式，而非最精巧的阐述方式；大多数中文数学分析教材只是材料的生硬堆砌，而张先生的书则可说是水乳交融的有机整体。

从材料的组织和问题的分析解构，读者可以隐约体会到独立做科研的脉络和范式（paradigm）——不追
求依赖于个人聪明才智的奇技淫巧，而力图阐述做学问的一般性规律，让资质中等以上的普通人也能学会分析的思考模式，我认为是这本书最大的优点。

除此之外，书中的某些结果也作了较精细的处理。

例如其中对泰勒展开各种余项的阐释，就为后面数值分析的学习铺平了道路。

我个人还感觉张先生在该书的章节处理上煞费苦心，就好象他亲自把前方道路来来回回仔细走了几遍、并在关键节点上逐一插上了标识一样，对读者什么时候会感到心理疲劳，作了非常仔细精准的分析判断。

这一点和美国数学家、沃尔夫奖得主彼得·拉克斯（Peter Lax）的《泛函分析》【6】一书很有些相似。

和张先生的这套教材配套的习题集，是林源渠、方企勤编写的《数学分析解题指南》一书【7】。

这本书我并未读过，但二位先生编写教材的经验和功力已有前文提及的教材和习题集以为佐证，再加上该书序言中专门提及它特别适合于作为《新讲》的配套辅导教材使用，所以我特此推荐一番。

或许有同学担心《新讲》和86版的《数学分析》教材覆盖内容有所不同。

实际上86版教材涉及的内容在《新讲》中都有详尽阐述。

唯一不同的，就是后者可能更切合大学生学习数学分析的心理历程，更直观易懂而已，我对此举一个例子。

一位朋友本科就读于清华大学，曾参加过理科试验班（具体的名目已经忘了，大概就是加强包括数学在内的基础科学的训练），所使用的数学分析教材就是《数学分析新讲》。

当时他的一位同学看完《新讲》之后意犹未尽，想看看北大数学系科班出身的都使用什么教材，于是找来86版老教材研读。

不料读完之后却身心俱疲，对数学分析彻底失去了兴趣，虽然这两套教材覆盖的内容几乎一模一样。

我大学期间读过的第三本数学分析教材是斯皮瓦克的《流形上的微积分：高等微积分中一些经典定理的现代化处理》【8】。

我学习这本书的动机是感觉张筑生先生的《新讲》虽好，唯有对高维空间的积分，尤其是复杂曲面上的积分，处理得还不够简洁，很好奇应该如何用微分流形和微分形式的语言来阐述清楚。

但遗憾的是，我感觉斯皮瓦克的这本书对流形上的积分理论还是没有予以清楚的阐释——书的前半部分其实很好，就是第四章“链上的积分”讲得颇有些含混不清。

这个缺憾在我出国学习后读的第四本数学分析教材中得到了完美的解决，这本书就是麻省理工学院的芒克勒斯教授的《流形上的分析》一书【9】。

在仔细研读一遍并将该书后半部分（第五章至第八章）的习题都做了之后，我才确实感到已经把数学分析的方方面面都学清楚了，并与现代的流形上的分析学理论有了一个很好的衔接（参见斯皮瓦克的另一本书，A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Volume 1【10】）。

回过头来，如果有才入大学校门的大学生询问我学习数学分析的路线图，我会建议先读张筑生先生的《数学分析新讲》以及配套的《数学分析解题指南》（林源渠、方企勤）和《数学分析习题集》（林源渠、方企勤、李正元、廖可人），然后再读
芒克勒斯的《流形上的分析》（习题全做）。

《吉米多维奇数学分析习题集》则仅作为课外参考书，研读其证明题部分即可。

我想解释一下这种读书方法的思路。

中国现在科学教育的一个弊端，是把科学放到了一个“术”的层次上来讲解，看成是一种聪明人才能玩的“奇技淫巧”（tricks）的集合，似乎那些科学问题的解决方案，都是聪明人凭空想出来的，并无一种具有普遍性的方法论在后面指导。

这种“得其形而不得其神”的做法，具体就体现在大学高等数学的教学，例如数学物理方法的教学，满足于各种解题方法和技巧的罗列，而忽视用一些基本的数学思想加以简化统一的重要性。

又比如中国现在流行的奥赛培训，就是集中向学生灌输一些技巧，学生只需要把这些技巧学会、用熟，就能在奥赛中取得高分。

依此道理，《吉米多维奇数学分析习题集》固然能帮助学生巩固知识，但是过于重视它的作用，就是只学到了俄国学派做学问的皮毛。

关键是要在基础已经巩固的情况下，及时地学习更为高级的理论，用高观点来简化我们对技巧的理解。

我举一个具体例子以为说明。

在数学、物理和工程里，常有最优化问题需要解决。

一个通常的工具是拉格朗日乘子法。

问个简单的问题，这个大家经常使用的方法，有谁能一口说出它的直观，并在脑子里画一个形象的图出来？下面这句话是什么意思：“光滑的限制条件给出一个光滑流形；目标函数在此流形的某点上取得极值的必要条件是目标函数的梯度向量垂直于此流形在该点的切空间”？
大家不妨按照我下面给出的顺序，读一下拉格朗日乘子法证明的四个版本：
1.86年北大版《数学分析》教材的证明，第三册第163页。

我初读时逻辑上
都能理解，就是不明白证明的整体思路是什么。

换言之，让我自己给人讲解该证明，我脑海中缺乏一个清晰的图景，讲起来有困难。

2.张筑生先生的《数学分析新讲》第二册第275页。

这个证明已经很直观了，
但读者可能还是觉得证明太“聪明”了，无法一下子想到，读完后复述仍有一定困难。

3.美国达特茅斯大学有一个微积分课程的课件，《拉格朗日乘子法和隐函数定
理》【11】。

这个课件是个课堂讲义，其来历颇为有趣：讲课的老师在讲义上抱怨，教材没有把问题讲清楚，所以老夫我只好自己写个证明给学生们看了。

我前面所说“光滑流形”的几何直观即来自于这个版本的证明。

至此，证明的几何直观已经很清楚了，需要复述时，只需将脑海中的图像转化成严格的形式语言就行了。

4.在斯皮瓦克所著《流形上的微积分》一书中，习题5-16给出了一个更好的
证明。

“更好”就更好在揭示出了一种一般性的思想方法：限制条件通过隐含数定理定义了一个流形，而流形局部上看都是欧氏空间，所以我们可以把限制条件看作投射，从而把问题平凡化（具体细节见我所作的习题解答）。

这种“流形局部是平直空间”的思想不但简化了我们看问题的方法，而且有助于把特定的技巧推广到其他问题中，例如这个观点就可用于非线性最优化问题的简洁阐释。

方法论的关键是“以道统摄术”，而非迷恋于“不列方程求解鸡兔同笼问题”的低级奇技淫巧。

又例如数学家陶哲轩有一本书，Solving Mathematical Problems: A Personal Perspective，搜集了一些其青少年时期参加奥赛时做过的数学题。

对于一个学习过高等数学的普通大学生来说，即使他没有受过专门的奥赛训练，这本书上的大多数题目也应该难不倒他。

这并非是因为他学会了使用什么高级的工具，而是因为经年的数学阅历，使得他对问题的内在结构有一种敏感，可以一针见血地看出关键所在，从而以庖丁解牛似的轻松解决问题。

作为例子，我们可以看看北大数学系《数学分析习题集》第一章的一道习题（见图1）
Figure 1
对于第（1）小题，我们只需注意到如下关系式即可：
这个解法一方面来自于条件的几何直观，一方面则来自于凸函数性质的启示。

这就是贯通大本源的好处：“君子务本，本立而道生”。

这个“本”，就是唯物主义的“本”——通过理解理论的来龙去脉，通过考察原始发明者的思考，来学习一个理论最精髓、最本质的思想。

所有的青年大学生们（无论文理科），乃至中小学生们，都可以仔细读一读波利亚的《如何解题》【12】。

我上面所述的思想方法并非我的发明，而是前辈数学家早已在此书中阐述总结清楚了的——解决数学问题确实有一些一般性的普遍规律可以总结传承，这些一般性的普遍规律也可以推广到实际生活中，用于解决生活中遇到的问题，用于思考社会现象的本质，等等。

其精髓，就是“实践”二字。

苏联数学家（后移居美国）叶甫盖尼 B. 邓金是如此阐述数学教学中的实践学的：
In order to grasp new mathematical concepts, one must be aware of their power and visualize how they operate. This is best initiated not with general theorems, but with specific problems. The problems must be realistic and the situation typical, but not
cluttered with the kind of incidental technical difficulties that arise in a more pedantic systematic framework.
Evgenii B. Dynkin and Aleksandr A. Yushkevich, Markov Processes: Theorems and Problems - Foreword
“为了掌握新的数学概念，我们必须了解这些新概念的威力，并能对他们如何使用有个栩栩如生的体会。

要达到这种境界，最好的办法不是一上来就讲普适性的定理，而是从具体的问题开始。

这些具体问题必须是有代表性的现实问题，同时这些问题的本质也不会被一些偶然的技术困难所模糊——这些偶然的技术困难往往在需要建立一个严格系统的理论框架时出现。

”
——叶甫盖尼 B. 邓金，亚历山大 A. 尤什科维奇，《马科夫过程：定理与问题》-前言【13】。

说明邓金教授这一观点的一个绝好例子，就是傅立叶关于傅立叶级数和积分理论的原著，《热的解析理论》【14】。

这本书任何一个懂微积分的人都能读懂，而把数学理论看得过于神圣的青年学生们读后则可能会大吃一惊：原来傅立叶级数和积分理论就是这么连蒙带猜地搞出来的！
欧拉的《无穷分析引论》（欧拉著，张延伦译）【15】也同样具备这种戏剧性。

该书以一种娓娓道来的方式，通过揭示数学家做科研的实践活动，展示了数学是如何被发现的。

这本书和波利亚的《如何解题》可谓相映成趣，读起来颇有代入感。

用一句话总结前面邓金教授的教学心得，那就是“任何理论都必须从问题中来，到问题中去”。

实际上，这也是俄国学派讲授数学的基本范式：从一个重要的实际问题讲起，把这个问题彻底解决；然后揭示问题的本质，进而将解决方案上升为一个理论-- In the beginning, it's a trick; then the trick becomes a methodology; eventually, the methodology evolves into a theory。

就我个人体会而言，这种“从实践中来，到实践中去”的唯物主义方法论的确有助于科研教学，现代数学“把脚手架都拆掉”的讲法实在是害死人。

文章结尾引用两段前辈的经验谈作为总结：
“通过实践而发现真理，又通过实践而证实真理和发展真理。

从感性认识而能动地发展到理性认识，又从理性认识而能动地指导革命实践，改造主观世界和客观世界。

实践、认识、再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环的内容，都比较地进到了高一级的程度。

这就是辩证唯物论的全部认识论，这就是辩证唯物论的知行统一观。

”
——毛泽东：《实践论》【16】
“在《书经》的《洪范》篇上，有‘沉潜刚克，高明柔克’两句话。

这两句话，是被向来讲身心修养的人，看作天性不同的两种人所走的两条路径的。

其实讲研究学问的方法，亦不外乎此。

这两种方法：前一种是深入乎一事中，范围较窄，而用力却较深的。

后一种则范围较广，而用功却较浅。

这两种方法：前一种是造就专家，后一种则养成通才。

固然，走哪一条路，由于各人性之所近，然其实是不可偏废的。

学问之家，或主精研，或主博涉，不过就其所注重者而言，绝不是精研之家，可以蔽聪塞明，于一个窄小的范围以外，一无所知，亦不是博涉之家，一味的贪多务得，而一切不能深入。

专门研究的书，是要用沉潜刚克的方法的。

先择定一种，作为研究的中心，再选择几种，作为参考之用。

‘一部书的教师，是最不值钱的。

’一部书的学者，亦何莫不然。

这不关乎书的好坏。

再好的，也不能把一切问题包括无遗的，至少不能同样注重。

这因为著者的学识，各有其独到之处，于此有所重，于彼必有所轻。

如其各方面皆无畸轻，则亦各方面皆无所畸重，其书就一无特色了。

无特色之书，读之不易有所得。

然有特色的书，亦只会注重于一两方面，而读者所要知道，却不是以这一两方面为限的。

这是读书所以要用几种书互相参考的理由。

这一层亦是最为要紧的。

每一种书，必有若干问题，每一个问题，须有一个答案，这一个答案，就是这一种学问中应该明白的义理。

我们必须把他弄清楚，而每一条义理，都不是孤立的，各个问题必定互相关联。

把他连接起来，就又得一种更高的道理，这不但一种学问是如此，把各种学问连接起来，亦是如此，生物学中竞争和互助的作用，物理学生质力不灭的法则，都可以应用到社会科学上，便是一个最浅显的例子。

学校的教授，有益于青年，其故安在？那缘其所设立的科目，必系现今较重要的学问；缘其所讲授的，必系一种学问中最重要的部分；而随着学生的进修，又有教师为之辅导，然即无缘入学的青年，苟能留意于学问的门径，并随时向有学问者请益，亦决不是不可以自修的。

基础的科学，我们该用沉潜刚克的法子，此外随时泛滥，务求其所涉者广，以恢廓我们的境界，发抒我们的意气的，则宜用高明柔克的法子。

昔人譬喻如用兵时的略地，一过就算了，不求深入。

这种涉猎，能使我们的见解，不局于一隅，而不至为窗塞不通之论。

这亦是很要紧的。

因为近代的专门学者，往往易犯此病。

两途并进，‘俛焉日有孳孳’，我想必极有趣味。

‘日计不足，月计有余’，隔一个时期，反省一番，就觉得功夫不是白用的了。

程伊川先生说：‘不学便老而衰。

’世界上哪一种人是没有进步的？只有不学的人。

”
——吕思勉：《为学十六法》【17】
（正文完）
【补记】略评另外几本基本流行的数学分析教材。

卓里奇的《数学分析》【18】、柯郎和约翰合著的《微积分和数学分析引论》【19】、以及菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》【20】：这几本书都是百科全书式
的数学分析教材，不但讲理论，也讲应用，说明了微积分发生发展的源泉和历史过程，对于大学生了解微积分和数学分析的全貌非常有帮助。

缺点则是大而全，对于天赋一般（如我自己）的初学者，啃起来可能会较吃力。

我的建议是将之作为参考书，在读完《数学分析新讲》之后，再有目的地进行翻阅。

这也符合吕思勉先生“先精读后略读，再两者并用”的读书策略——先“沉潜刚克”一两本好书，再“高明柔克”若干参考本，随后再融会贯通。

Apostol的Mathematical Analysis【21】和Rudin的Principles of Mathematical Analysis【22】：这两本书的内容和北大版《数学分析》以及《数学分析新讲》多有雷同，其中前者风格更接近中文教材一些。

Rudin的诸多教材中，我读过其关于数学分析、实分析和复分析、以及泛函分析的三本教材，对于其讲授风格持保留态度——太端着讲理论的架子，太形式化而掩盖了背后的直观，与其他类似教材相比，不够juicy。

我认为国内对Rudin的教材捧得太高了——从教育心理学的角度看，实分析我认为周民强的书更好，泛函分析则是拉克斯（Peter Lax）的更好。

（补记完）
【参考文献】
【1】方企勤、沈燮昌、廖可人、李正元：《数学分析》1-3册，高等教育出版社，1986年。

新浪爱问网下载：第一册，第二册，第三册。

【2】林源渠、方企勤、李正元、廖可人：《数学分析习题集》，高等教育出版社，1986年。

新浪爱问网下载。

【3】里斯·帕夫洛维奇·吉米多维奇著，费定晖、周学圣编演，郭大钧、邵品琮主审：《数学分析习题集题解》，山东科学技术出版社，1999年。

VeryCD下载。

【4】伯纳德·盖尔鲍姆、约翰·奥姆斯特德著，高枚译：《分析中的反例》，上海科学技术出版社，1980年。

新浪爱问网下载。

【5】张筑生：《数学分析新讲》，北京大学出版社，1990年。

新浪爱问网下载：第一册，第二册，第三册。

【6】Peter Lax. Functional Analysis, Wiley-Intersciecne, 2002. 新浪爱问网下载。

【7】林源渠、方企勤：《数学分析解题指南》，北京大学出版社，2003年。

新浪爱问网下载。

【8】麦克·斯皮瓦克著，齐民友、路见可译：《流形上的微积分：高等微积分中一些经典定理的现代化处理》。

新浪爱问网下载：中文版，英文版，习题解答。

【9】James Munkres. Analysis on Manifolds, Westview Press, 1997. 新浪爱问网下载：英文版，习题解答。

【10】Michael Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Volume 1, 3rd Edition, Publish or Perish, 1999. 新浪爱问网下载。

【11】达特茅斯大学微积分课件：拉格朗日乘子法和隐函数定理。

新浪爱问网下载，达特茅斯大学网页下载。

【12】乔治·波利亚著，阎育苏译，张公绪校：《怎样解题》，科学出版社，1982年。

新浪爱问网下载，豆瓣书评。

【13】Evgenii B. Dynkin and Aleksandr A. Yushkevich, Markov Processes: Theorems and Problems, Plenum Press, 1969. 新浪爱问网下载。

【14】让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶著，桂质亮译：《热的解析理论》，武汉大学出版社，1993年。

新浪爱问网下载。

【15】莱昂哈德·欧拉著，张延伦译：《无穷分析引论》，山西教育出版社，1997年。

新浪爱问网下载：中文版，英文版（上、下）。

【16】毛泽东：《实践论（论认识和实践的关系——知和行的关系）》，1937年7月。

【17】吕思勉：《为学十六法》，中华书局，2007年。

新浪爱问网下载。

【18】弗拉基米尔·安通诺维奇·卓里奇著，蒋铎、王昆扬、周美珂、邝荣雨译：《数学分析》，高等教育出版社，2006年。

新浪爱问网下载：中文版（上、下），英文版（上、下）。

【19】理查德·柯郎、弗里茨·约翰著，张鸿林、周民强译：《微积分和数学分析引论》，科学出版社，1979年。

新浪爱问网下载：中文版（第一卷第一分册、第一卷第二分册、第二卷第一分册），英文版（第一卷、第二卷）。

【20】菲赫金哥尔茨著，杨弢亮、叶彦谦译，郭思旭校：《微积分学教程》第八版，高等教育出版社，1954年。

新浪爱问网下载：第一卷、第二卷、第三卷。

【21】Tom Apostol. Mathematical Analysis, 2rd Edition. Addison Wesley, 1974. 新浪爱问网下载。

【22】Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition. McGraw-Hill, 1976. 新浪爱问网下载。

【附录·祭文】
为了忘却的纪念
想为张筑生先生写篇祭文，斟酌酝酿许久，却仍然不得下笔。

只能摘抄一些先生自己和他人的话，以为祭祀。

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微积分的创立是人类思想史上光辉灿烂的成就，为了让学生在学习过程中就能感受到这一点，就必须讲一些重要的应用。

记得自己当学生的时候，就曾产生过这样疑 惑：花费这么多的时间和精力学微积分，学完之后究竟能做哪些事？好像除了求极值、求面积体积而外，就什么也不会了。

笔者写这套书，就是想或多或少改变一下 这种状况。

从编写教学改革实验讲义到整理改写成书，前后花费了五年最宝贵的时间。

笔者做这件事可以说是“知其不可为而为之”。

明知是“吃力不讨好”，却硬着头皮做了，也许是因为想起了自己的学生时代。

每当学到某处，因为教材上说得不清 楚，害得学生花费很多时间最后才弄明白“原来不过如此”的时候，总是希望有一本更可心的书。

当了教师之后才知道，要想把书学得清楚明白，绝 对不是一件容易的事情。

有时候费了半天口舌，本想把事情说得更清楚一点，反而让人糊涂了。

写这本书已经费了这么多事，究竟效果如何，也只能留给学生们与教 师们去评论了。

《红楼梦》作者的诗句道出了每一个用心血写书的人的感概：“都云作者痴，谁解其中味”！
——张筑生：《数学分析新讲》后记
【评】“老吾老以及人之老，幼吾幼以及人之幼”。

张先生悲天悯人，有菩萨心肠。

××××××××××××××××××××××××××
张 筑生，北京大学数学教授，2002年2月因病去世。

他具有很高的学术天分和创造才能，却甘于从事最基础的教学和教材编写工作；他身体有残疾，12年前得了 严重的鼻咽癌，却以惊人的毅力战胜自我，带领中国数学奥林匹克竞赛选手，连拿五届总分第一；他忘记自我，诲人不倦。

张筑生是了不起的教授，他的精神值得大 力弘扬。

在外人看来有些奇怪的是，张筑生在教师进修学校开了8年课，一些年轻教师就跟着他上了8年学。

如人大附中的彭 建平、20中学的刘运河、101中学的白雪等。

进修学校副校长赵大悌说：“大家在教学中遇到的问题，通过这个研讨班都能得到解决，而张先生则是研讨班的出 题人和解决方法的归纳者。

”白雪说：“国际数学大赛的题，一般答案都有两三页之长，而张老师只用四、五行算式就解决了，简直神了。

更主要的是他教会了我用 中学生能够接受的方法解决问题。

他对我的影响很大，我们都很佩服他。

”
2001年下半年，张筑生的病情更重了，严重的结肠炎闹得他一天要上几十次厕所。

为了上好一堂课，他要提前一天节食，上课当天则禁食禁水。

院领导劝他全休养病，他不同意。

刘玲玲代他向领导解释：“他要以这样的方式来度过生命的最后日子。

与其让他在痛苦中煎熬，不如让他在工作中忘掉痛苦，在思考中享受快乐。

”
就这么痛并快乐着，张筑生工作到了生命的最后一刻。

2002年1月11日下午2点30分，已经失去方向感的张筑生被几位研究生抬进北大第一教学楼 208室，这是他的微分拓朴学考场，他要亲自为38名学生监考。

很快学生的成绩和评语都出来了。

紧接着张筑生就住进了医院。

2月6日，张筑生与世长辞。

张筑生去世后，北大校园网的BBS上贴满了悼念文章：。