机械系统动力学第五章 考虑构件弹性的机械系统动力学

F s
f1,
f2,
f3,
f4,
f5,
f6 T
式中
f 1 , f 4 —两端节点所受的轴向力
f2, f5 f3, f6
—两端节点所受的横向力 —两端节点所受弯矩
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-3平面连杆机构的动力学分析
三、单元运动方程
单元质量矩阵
140
0 0 70 0 156 22Ls 0 54
5h-11-3、；h 2 ——分别为轮1、轮2的尺寸， 值、 的意义见图
x 、S F ——齿轮的几何尺寸，具体意义见图5-1-3；
x、y——齿轮任意截面处，齿廓曲线上一点的x、y坐标。
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学 5.1.2 轮齿变形的计算 单对齿轮副的啮合刚度为
k(t)HT1F TN 2A1A2
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
本章以工程中常见的主传动系统为研究对象， 主要讨论齿轮传动系统、凸轮机构、连杆机 构动力学问题。 • 5-1 齿轮传动系统 • 5-2 凸轮机构 • 5-3平面连杆机构的动力学分析
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-1 齿轮传动系统
5-1-1齿轮传动系统运动微分方程
dy d
p
d
p
d
2(s
y)
用Runge-Kutta法编程求解，编写计算机程序见附录一
计从推回算动程程原件角：始运摆 0数动线=1据规运50：律动；规:推远律程休简止s谐=角运1-动1 3=规+3 s0律in 2s3=h2；1- cos
π
0
回程角 3 =120 近休止角 4 = 60 ； 从动件行程 h=20mm
Weber-Banaschek法 轮齿受载后在啮合点处的变形可 由三部分组成
即啮合点处的接触变形 H
轮齿的弯曲及根部剪切力引起的
啮考合虑点轮位体移弹性T 变形引起的啮合点
位移 A
图5-1-3
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学 5.1.2 轮齿变形的计算 计算公式
H
0.5793EFNbln0.E5b7h913hF2N
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0
60
120
180
240
300
360
凸 轮 转 角 /
图5-2-3 从动件速度响应
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-2 凸轮机构
计算结果
从 动 件 加 速 度 响 应 a / mm/rad 2
50
凸轮输入加速度
40
从动件加速度响应
30
20
10
0
-10
-20
-30
一、齿轮传动系统运动微分方程的建立
对于一对直齿圆柱齿轮传动，假设： 1、齿轮系统的传动轴和轴承的刚度足够大，即齿轮 轴的横向振动相对于扭转振动可以忽略不计，并忽略轴 承和机架的变形； 2、忽略轴承的摩擦力； 3、对于渐开线直齿圆柱齿轮，齿轮之间的啮合力始 终作用在啮合线方向上，两齿轮简化为由阻尼和弹簧相 连接的圆柱体，阻尼系数为两齿轮啮合时的啮合阻尼， 弹簧的刚度系数为啮合齿轮的啮合刚度。
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-1-1齿轮传动系统运动微分方程 一、齿轮传动系统运动微分方程的建立
从而得到齿轮传动系统动力学分析计算简图：
齿轮传动系统单自由度扭转振动模型
分别取两齿轮为研究对象，根据刚体绕定轴转动 运动微分方程：
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学 5-1-1齿轮传动系统运动微分方程 一、齿轮传动系统运动微分方程的建立
0
13Ls
M
ms*Ls
s 420
4L2s 0
13 Ls
3Ls
140 0 0
对称
156
22Ls
4L2s
单元的刚度阵
AsL2s Is
0
0
12
K S
EIs L3s
对称
6Ls 4L2s
AsL2s Is 0
0 AsL2s Is
0 12 6Ls
0 12
0
6Ls 2L2s
s=1,2,3)
计算结果
齿轮单齿啮合刚度 随时间的变 化曲线
齿轮时变综合啮合刚度随时 间的变化曲线
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-1-3齿轮传动系统运动微分方程求解
一、求解原理与算法
x2 km(t)xkm(t)xFN
me
me
me
k m ( t ) 是随时间变化的参量，轮的
运动微分方程为二阶变系数 微分方程
0
5-2-6中代入简谐运动的位移方程得
y+2y=h221-cosπ 0
其解为
y=Asin+Bcos+h21-1-π 10 2
cosπ0
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-2 凸轮机构
二、凸轮机构从动件运动微分方程的求解
由从动件初始运动条件θ=0，y=y’=0得
y=h21-cos+h21-π 102cos-cosπ 0
Fs1 Fs2 FN
F
s
1
k m 1 x1
F s 2 k m 2 x 1
单齿啮合区：
Fs1km3x2FN
F s1 Fs2
q1F N q2FN
q
i
kmi km1 km2
(i
1, 2 )
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5.1.2 轮齿变形的计算
计算方法 材料力学的方法计算其弹性变形如石川法、Weber-Banaschek法等 弹性力学法 有限元方法
令 n=
kr +ks m
kr m
引入频率比 = n
ykr ks ykr s
m
m
y+2y=2s 5-2-6
以凸轮转角θ为自变量的从动件运动方程
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-2 凸轮机构
二、凸轮机构从动件运动微分方程的求解
解析法 若从动件在推程服从简谐运动规律即
s=
h 2
1
cos
π
对于渐开线直齿圆柱，其重合度 1 2 ，在一个
啮合周期内，有双齿啮合区和单齿啮合区。双齿啮合 时，法向载荷由两对轮齿共同承担；单齿啮合时，法 向载荷由一对轮齿承担。
图5-1-2 齿轮法向载荷分配模型
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学 5-1-1齿轮传动系统运动微分方程 二、齿轮啮合时的载荷分配
则双齿啮合区：
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-2 凸轮机构
一、凸轮机构从动件的运动微分方程
滑块上的总作用力
F C FF SF fF r
从F动r 件—之从间动的件作传用递力给，滑块的推力，或凸轮与
F S —封闭弹簧弹力
FS F0ksy
其中 F 0 —弹簧预紧力。
根据达朗贝尔原理，滑块的平衡方程式为
图5-2-1凸轮机构弹性动力学
从而有
y=n2
h1
2π 0 2
1cosπ 0-cos
ymax
=n 2
h 2
2
0
π
2
1
smax
n2
h 2
π 0
2
引入动载系数
kg =
y max s m ax
kg
2
π
2
1
0
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-2 凸轮机构
二、凸轮机构从动件运动微分方程的求解
数值法
将微分方程5-2-6改写成
图5-3-1 曲柄摇杆机构及其单元划分
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-3平面连杆机构的动力学分析
三、单元运动方程
1）局部坐标系下的单元运动方程
..
M S U s KsU sFs
式中{U}S-----每个单元节点位移向量 {F}s---节点力
Us u1,u2,u3,u4,u5,u6 T
5-3平面连杆机构的动力学分析
三、单元运动方程 2）单元局部坐标系到整体坐标系的变换
u
1
=
u
1
u2=
co
u
1
s co
s
s
+
u
2
s+
sin s
u
3
sin
s
u u
3 4
= =
u
3
u
4
co
s
s
+
u
5
sin
s
u
5
=
u
4
c
o
s
s
+
u
5
sin
s
u
6
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=
u
6
式中
L —坐标变换矩阵；
km(t) kk(t()t)k(tTz)
(0tTs) (TstTZ)
T Z 为一对轮齿一个啮合周期所需的时间
TZ
60 z1n1
k ( t ) 齿轮单对齿啮合刚度
x2 km(t)xkm(t)xFN
me
me
me
齿轮传动系统动力学问题是参数激振问题
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学 5-1-1齿轮传动系统运动微分方程 二、齿轮啮合时的载荷分配
采用四阶Runge-Kutta法求解
计算流程图
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-1-3齿轮传动系统运动微分方程求解
一、求解原理与算法
x2 km(t)xkm(t)xFN
me
me
me
k m ( t ) 是随时间变化的参量，轮的
运动微分方程为二阶变系数 微分方程
采用四阶Runge-Kutta法求解，计 算程序见附件
-40
-50
0
60
120
180
240
300
360
凸 轮 转 角 /
图5-2-2从动件位移响应
考虑从动件弹性效应 的从动件速度和加速 度是在不考虑从动件 弹性效应的从动件速 度和加速度曲线的基 础上叠加了高频振动 响应
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-3平面连杆机构的动力学分析
一·引言
高速平面连杆机构或一些精密机械的连杆机构，由 于要求具有最小重量，使构件刚度降低。在这种情 况下，构件的弹性变形以及由于弹性而引起的振动， 都是不可忽略的，此时需进行连杆机构的弹性动力 学分析方能满足工程需求。考虑构件弹性变形的连 杆机构动力学问题属微分方程的混合问题，可采用 有限单元法求解。基本步骤如下
1 2 12
0.4286
T
FN cos2x
Eb
12
hx 0
(hx8x3y)2dy(3t g2x)
hx 0
21xdy
A
FN
cos2x
Eb
5.214
hx2 SF
2
1.04 hx SF
1.39(1tg2x)
0.4485tg4x
式中：
b——齿宽；
E—i ——材—料接的触弹点性处模齿量轮；i齿廓曲线的曲率半径；
因为外载荷F及弹簧预紧力F0只能引起从动件的静变形，常 为一常量，在分析从动件动态响应中可不考虑，并忽略摩
擦力Ff的影响，式5-2-3可写为
ykr ks ykr s
m
m
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-2 凸轮机构
一、凸轮机构从动件的运动微分方程
以凸轮转角θ为自变量 ydd2t2ydd22yddt 22y
13 Ls
3Ls
140 0 0
156
22Ls
4L2s
式中ＬS、IS—分别
为S单元的长度、轴
惯性矩；
m*s 、AS—分别
AsL2s
0
Is
0
为S单元的单位长度 质量、横截面积。
0 0 AsL2s
12 6Ls
0
6Ls 2L2s
s=1,2,3)
0
Is
12
6Ls
4L2s
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
•对系统进行单元划分，得到单元和节点并进行编号。 •单元分析： 先建立单元局部坐标系内单元运动方 程，再转换称整体坐标系下的单元运动方程。 •系统集成，组成机构运动方程 •利用边界条件和初始条件求解机构运动方程。
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-3平面连杆机构的动力学分析
二、单元划分
以图5-4-1所示的曲柄摇杆机构为例，讨论其求解过 程
0
6Ls
4L2s
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-3平面连杆机构的动力学分析
三、单元运动方程
单元质量矩阵 140 0
156
M
ms*Ls
s 420
对称
单元的刚度阵
AsL2s Is
0
0
12
K S
EIs L3s
对称
6Ls 4L2s
0 70 0 0
22Ls 0
54
13Ls
4L2s 0
s
l s —坐标变换矩阵中的子矩阵；
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-2 凸轮机构
计算结果
从 动 件 位 移 响 应 X/mm 从 动 件 速 度 响 应 V / mm/rad
25 凸轮输入位移 从动件位移响应
20
15
10
5
0
-5
0
60
120
180
240
300
360
凸 轮 转 角 /
图5-2-2从动件位移响应
15 凸轮输入速度 从动件速度响应
计算流程图
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-1-3齿轮传动系统运动微分方程求解
二、计算结果与讨论
图5-1-7 相对位移x沿 啮合线的变化曲线
图5-1-8 相对速度v沿 啮合线的变化曲线
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-1-3齿轮传动系统运动微分方程求解
二、计算结果与讨论
图5-1-9 齿面动载荷 沿啮合线的变化曲线
F c - m y ( F F s F f F r ) m y 0
模型
1-凸轮 2-从动件 3-滑块
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学
5-2 凸轮机构
一、凸轮机构从动件的运动微分方程
整理得： y+kr+ksy=-FF0Ff krs
5-2-3
m
m
凸轮机构从动件运动微分方程。
当轮廓线已选定时，其中的位移s为已知数值。考虑从动件的弹 性后，其上端的位移y即可上式求解。
例：某减速器中的一对齿轮，其参数列于表5-1-1。
齿轮齿数 齿轮模数 齿顶高系数
压力角 齿宽 材料弹性模量 材料泊松比 传递功率 转速
Z1=41 Z2=161 m=12
ha1=ha2=1.0 α=20°
b= E=2.10×1011Pa
ν=0.26
Pe=370kw n1=114.6r/min
第5章 考虑构件弹性的机械系统动力学