贪心算法(1)

• 但并不是所有具有最优子结构的问题都可以用贪心策 略求解。因为贪心往往是盲目的，需要使用更理性的 方法——动态规划（例如“0-1背包问题”与“部分背 包问题”）
【问题1】部Fra Baidu bibliotek背包问题
• 给定一个最大载重量为M的卡车和N种食品，有食盐，白 糖，大米等。已知第i种食品的最多拥有Wi公斤，其商品 价值为Vi元/公斤，编程确定一个装货方案，使得装入卡 车中的所有物品总价值最大。
• 我们以2×3的矩阵为例：
若按贪心策略求解，所得路径为：1→3→4→6； 若按动态规划求解，所得路径为：1→2→10→6。
贪心法的特点
• 1.贪心选择性质：算法中每一步选择都是当前看似最 佳的选择，这种选择依赖于已做出的选择，但不依赖 于未做的选择。
• 2.最优子结构性质：算法中每一次都取得了最优解(即 局部最优解)，要保证最后的结果最优，则必须满足全 局最优解包含局部最优解。
• T1=1
• T2=T1+t2=1+3=4
• T3=T2+t3=4+5=9
• T4=T3+t4=9+7=16
• T5=T4+t5=16+9=25
• T6=T5+t6=25+11=36
• 总时间T=T1+T2+T3+T4+T5+T6=91
• 用反证法证明如下：假设一个不排好序的n个人也能得到最优答案，比如把 (1,3,5,7,9,11)中的3,5对调一下，得到的序列为(1,5,3,7,9,11)。对调后，3,5前 后的1,7,9,11四个人的买饭时间不会有变化，关键的变化是3,5两个人。这时，5 这个人的买饭时间为1+5，3这个人的买饭时间变为1+5+3，此时两个人的总买 饭时间中，5被累加了2次，而原方案中是3被累加了2次，其他一样。由此，两 者相比较，可知有序的序列能得到最优的方案。对于其他位置的改变可以采用 同样的方法证明。用反证法证明时，关键是证明反例不成立，由此推出原方案 是最优的。
移牌规则为：在编号为1堆上取的纸牌，只能移到编号 为2的堆上；在编号为N的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N-1的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边 的堆上。
现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆 上纸牌数都一样多。
【分析】因为每一个物品都可以分割成单位块，单位块的利 益越大，显然总收益越大，所以它局部最优满足全局最优， 可以用贪心法解答。
方法如下：先将单位块收益按从大到小进行排列，然后 用循环从单位块收益最大的取起，直到不能取为止便得到了 最优解。
【问题2】0/1背包问题
• 给定一个最大载重量为M的卡车和N种动物。已知第i种动 物的重量为Wi，其最大价值为Vi，设定M，Wi，Vi均为 整数，编程确定一个装货方案，使得装入卡车中的所有动 物总价值最大。
贪心算法
贪心方法的基本思想
• 贪心是一种解题策略，也是一种解题思想 • 使用贪心方法需要注意局部最优与全局最优的
关系，选择当前状态的局部最优并不一定能推 导出问题的全局最优 • 利用贪心策略解题，需要解决两个问题： – 该题是否适合于用贪心策略求解 – 如何选择贪心标准，以得到问题的最优解
• 【引例】在一个N×M的方格阵中，每一格子赋予一个数 （即为权），规定每次移动时只能向上或向右。现试找出 一条路径，使其从左下角至右上角所经过的权之和最大。
问题推广：排队打水问题
• 有n个人排队到r个水龙头去打水，他们 装满水桶的时间t1、t2…….tn为整数且 各不相等，应如何安排他们的打水顺序 才能使他们总共花费的时间最少？
例题3：打包
• 某工厂生产出的产品都要被打包放入正四棱柱的盒子内， 所有盒子的高度为h，但地面尺寸不同，可以为 1x1、2x2、 3x3、4x4、5x5、6x6。如下图所示。
例题2：排队问题
• 在一个食堂，有n个人排队买饭，每个人 买饭需要的时间为Ti，请你找出一种排 列次序，是每个人买饭的时间总和最小。
• 【思路点拨】由题意可知，本题可以采用的贪心策略为：将n个人排队买饭的 时间从小到大排序，再依次累加每人的买饭时间，即可得到最小的总和。由样 例可知，排好序后的数据为(1,3,5,7,9,11)，每个人的买饭时间如下：
【分析】按贪心法：每次选价格最大的装载。很明显有反例： 设N=3,卡车最大载重量是100,三种动物A、B、C的重量分别 是40,50,70,其对应的总价值分别是80、100、150。
贪心策略与其他算法的区 别
• 1.贪心与递推：与递推不同的是，贪心法中推进的每 一步不是依据某一固定的递推式，而是当前看似最佳 的贪心决策，不断的将问题归纳为更加小的相似的子 问题。所以归纳、分析、选择正确合适的贪心策略， 是正确解决贪心问题的关键。
• 【样例输入】 178543 1829 1 4
• 【样例输出】13
分析
• 由于正整数n的有效位数最大可达240位，所以可以采用 字符串类型来存储n。那么，应如何来确定该删除哪s位呢？ 是不是只要删掉最大的s个数字就可以了呢？
• 为了尽可能地逼近目标，我们选取的贪心策略为：每一步 总是选择一个使剩下的数最小的数字删去，即按高位到低 位的顺序搜索，若各位数字递增，则删除最后一个数字， 否则删除第一个递减区间的首字符。然后回到串首，按上 述规则再删除下一个数字。重复以上过程s次，剩下的数 字串便是问题的解了。
这些盒子将被放入高度为h，地面尺寸为6x6的箱子中。为 了降低运送成本，工厂希望尽量减少箱子的数量。如果有 一个好算法，能使箱子的数量降到最低，这将给工厂节省 不少的资金。请你编写一个程序。
分析
分析
例题4:均分纸牌 （NOIP2002）
有N堆纸牌，编号分别为 1,2,…,N。每堆上有若干张， 但纸牌总数必为N的倍数。可以在任一堆上取若于张纸牌， 然后移动。
• 2.贪心与动态规划：与动态规划不同的是，贪心是 鼠目寸光；动态规划是统揽全局。
几个简单的贪心例子
贪心策略
例题1：删数问题
• 键盘输入一个高精度的正整数n（n<=240位）, 去掉其中任意s个数字后剩下的数字按照原来 的次序将组成一个新的正整数。编程对给定的 n和s,寻求一种方案,使得剩下组成的新数最小。