第七章 线路和绕组中的波过程

对于线路Z2，因为Z2上的反行电压波u2f=0，所以：
u2 = u2 q ; i2 = i2 q u2 q = Z 2i2 q
在节点A处只能有一个电压和电流值，所以： 所以：
u1q + u1 f = u2 q i1q + i1 f = i2 q
u1 = u2 ; i1 = i2
将 i1q + i1 f = i2 q 变换得：
同理可得：
u1 f = u2 q − u1q =
u1 f
2Z 2 Z − Z1 u1q − u1q = 2 u1q = βu u1q Z1 + Z 2 Z1 + Z 2
Z 2 − Z1 Z1 − Z 2 i1 f = − =− u1q = i1q = βi i1q Z1 Z1 ( Z1 + Z 2 ) Z1 + Z 2
折射系数α与反射系数β满足以下关系：
α = 1+ β
★几种特殊情况下的波过程 √线路末端开路 线路末端开路
Leabharlann Baidu
∵ Z2 → ∞
∴α u = 2 ⇒ u2 q = 2u1q
βu = 1 ⇒ u1 f = u1q
α i = 0 ⇒ i2 q = 0
βi = −1 ⇒ i1 f = −i1q
反射电压波等于如射电压波， 折射电压波使末端电压上升一 倍，末端电流为零。反射电压 波到达处的全部磁场能量将转 变为电场能量，从而使电压上 升一倍。
√过电压下的输电线路 以标准的雷电冲击电压波（1.2/50µs）为例，其波前时间 为1.2µs，电压从零变化到最大值只需1.2µs，所以冲击电压波 前在输电线路上占用的长度：3×105 ×1.2×10-6 =360m，因此 输电线路上各点的电压和电流都是不同的，不能将线路各点的 电路参数合并成集中参数来处理。 考虑电路元件参数的分布性的电路称为分布参数电路。参 数的分布性指电路中同一瞬间相邻两点的电位和电流都不相同， 即电路中电压和电流不仅是时间的函数，还是空间位置的函数， 即： u = f ( x, t ) i = f ′( x, t ) 研究和分析输电线路过电压下的波过程，必须用分布参数 电路。
§7-2 行波的折射与反射
在实际线路上，常常会遇到线路均匀性遭到破坏的情况， 例如一条架空线路与一根电缆线路相连；在两段架空线路之间 插接某些集中参数电路元件等等。均匀性开始遭到破坏的点可 称为节点，当行波投射到节点时，必然会出现电压、电流、能 量重新调整分配的过程，即在节点处将发生行波的折射和反射 现象。 在介绍线路波过程的基本概念时，通常采用最简单的无限 长直角波。因为即使在工频交流电源的情况下，只要线路不太 长，行波从始端传播到终端所需时间还不到1ms，在这样短的 时间内，电源电压变化不多，因而也可以看作与直流电压源相 似。此外，任何其他波形都可以用一定数量的单元无限长直角 波叠加而得，所以无限长直角波实际上是最简单和代表性最广 泛的一种波形，类似于交流电路中的正弦波，因为各种非正弦 波都可以用频率不同的若干正弦波叠加而得。
u1q Z1 − u1 f Z1 = u2 q Z2 ⇒ u1q − u1 f = Z1 u2 q Z2
上式加 u1q + u1 f = u2 q 得：
2Z 2 u2 q = u1q = α u u1q Z1 + Z 2
2 2 Z1 i2 q = = u1q = i1q = α i i1q Z 2 Z1 + Z 2 Z1 + Z 2 u2 q
3 × 108 c 对于电缆线路： v ≈ m/s ≈ 2 1× 4
★波阻抗
uq iq
Z=
=Z
L0 1 = C0 2π
uf if
= −Z
µ0 µr 2hc ln r ε 0ε r
2h 2h 对于架空线路： = 60 ln c = 138lg c ，一般在 300 ∼ 500Ω Z r r 的范围内。
第七章 线路和绕组中的波过程
背景知识
★输电线路的集中参数等值电路和分布参数电路 若实际电路的尺寸远小于其工作频率所对应的波长，我 们就说它满足集中化条件，可以用集中参数电路作为其模型。 否则，该电路就只能用分布参数电路模型来描述。 √工频电压下的输电线路 工频周期为0.02s，那么一周期电压在输电线路上占用的 长度：3×105 （km/s ）×0.02=6000km，即工频对应的波长。 由于输电线路的长度一般都远远小于6000km，因此线路 不长的输电线路都用集中参数等值电路来表示，认为输电线 路的电压和电流均只与时间有关，而与空间位置无关。
对于电缆线路：因C0大和L0小，故波阻抗要不架空线路小 得多，且变化范围较大，约在 10 ~ 50Ω。
L0 ∵ 2 = iq C0
1 1 2 2 ∴ C0uq = L0iq 2 2 波阻抗Z是电压波与电流波之间的一个比例常数，电压波 与电流波之所以有这样一种比例关系，是因为波在传播过程中 必须遵循储存在单位长度线路周围媒质中的电场能量和磁场能 量一定相等的规律。
四、总结
无损单导线线路波过程的基本规律由下面四个方程所决定
u = uq + u f i = i +i q f uq = Z ⋅ iq u f = − Z ⋅ i f
导线上任何一点的电压或电流，等于通过该点的前行波与 反行波之和，前行波电压与电流之比为+Z，反行波与电流之比 为-Z。由这四个基本方程出发，加上边界条件和起始条件就可 以解决各种具体问题了。
第二篇 电力系统过电压及保护
第七章 线路和绕组中的波过程 第八章 雷电及防雷装置 第九章 输电线路的防雷保护 第十三章 电力系统绝缘配合
研究过电压及其保护问题对于电气设备的设计 与制造、电力系统的设计与运行都有重大的意义和 密切的关系。 电力系统中的过电压通常以行波的形式出现， 所以研究过电压及其防护问题要以线路上和绕组中 的波过程理论为基础，因此首先在第七章中介绍波 过程理论，然后在以后第八、九章中重点探讨输电 线路过电压的产生机理、发展过程、影响因素、防 护措施等内容。最后在第十章中简单介绍电力系统 绝缘配合问题。
电压u由两个分量及叠加而成，其中uq（x-vt）代表一个任 意形状并以速度v朝着x的正方向运行的电压波，如果取x的正 方向为前行方向，那么uq即为电压前行波，其原因是： 设波在dt的时间内，从线路上的x点移动到x+dx点上，那 么此处x+dx-v(t+dt)=x-vt+dx-vdt=x-vt，表明导线上（x+dx）那一 点在（t+dt）瞬间的电压与x点在t瞬间的电压相等，可见波的 运动方向为x的正方向。 同样可以证明：uf电压反行波，iq为电流前行波，if为电流 反行波。
u = uq ( x − vt ) + u f ( x + vt ) i = iq ( x − vt ) + i f ( x + vt )
v 其中： = 1 L0C0
u = uq ( x − vt ) + u f ( x + vt ) 1 i = Z uq ( x − vt ) − u f ( x + vt ) L0 其中： Z = C0
2Z 2 2 Z1 αu = ;αi = Z1 + Z 2 Z1 + Z 2
βu =
Z 2 − Z1 Z − Z2 ; βi = 1 Z1 + Z 2 Z1 + Z 2
α α u 称为电压折射系数； i 称为电流折射系数； βu 称为电压 反射系数；βi 称为电流反射系数；
0 ≤ α u ≤ 2;0 ≤ α i ≤ 2 −1 ≤ β u ≤ 1; −1 ≤ βi ≤ 1
2 uq
注意：当导线上既有前行波、又有反行波时，导线上的总 电压与总电流的比值不再等于波阻抗，即：
uq + u f uq + u f u uq + u f = = = Z≠Z i iq + i f 1 Z (uq − u f ) uq − u f
电阻与波阻抗的关系
量纲 电阻 同 波阻抗 同 仅与L0、C0有关 有 有关 无 型式 大小 与尺寸、材料有关 方向性 无 与介质关 系 无关 耗能 有
三、波速与波阻抗
★波速 行波在均匀无损单导线上的传播速度：
v= 1 L0C0
架空单导线的L0和C0可由下式求得：
µ0 µr 2hc L0 = ln 2π r
2πε 0ε r C0 = 2hc ln r 8 1 3 ×10 v= = µ 0 µ r ε 0ε r µr ε r
8 对于架空线路： v ≈ 3 ×10 m / s ≈ c(光速)
行波的折、 一、行波的折、反射规律
将线路Z1合闸于直流电源U0，合闸后线路Z1有一与电源电 Z U Z 压相同的前行电压波u1q自电源向节点A传播，达到节点A遇到 波阻抗为Z2的线路，在节点A前后必须保持单位长度导线的电 场能与磁场能相等的规律，但是由于线路Z1与Z2的单位长度电 感与对地电容不相同，因此当u1q到达A点是必然要发生电压、 电流的变化，即在节点A处要发生行波的折射与反射，反射电 压波u1f自节点A沿线路Z1返回传播，折射电压波u2q自节点A沿 线路Z2继续向前传播。
★有关行波符号（极性）的说明 电压行波的符号只取决于它的极性（导线对地电容上所充 电荷的符号），而与电荷的运动方向无关。 电流行波的符号不但与相应的电荷符号有关，而且也与电 荷的运动方向有关。 正的电压前行波相当于一批正电荷向x正方向运动，使导 线各点的对地电容依次充上正电荷，而向x正方向流动的正电 荷将形成正电流波，可见电流前行波iq与电压前行波uq具有相 同的符号。 对反行波来说，正的电压反行波表示一批正电荷向x负方 向运动，按照相反的顺序给线路各点的对地电容也充上正电荷， 此时电压虽然是正的，但因正电荷的运动方向已变为x负方向， 所以形成了负的电流，可见电流反行波if与电压反行波uf一定 具有相反的符号。
★平面电磁波 本质上，输电线路上的波过程是能量沿着导线传播的过程， 即在导线周围空间逐步建立起电场和磁场的过程，也就是在导 线周围空间储存电磁能的过程。空间各点的电场和磁场相互垂 直，并处在同一平面内，与波的传播方向也相互垂直，故为一 平面电磁波。
二、线路方程及解
∂i ∂u − ∂x = L0 ∂t − ∂i = C ∂u 0 ∂x ∂t
假设折射电压波u2q尚未到达线路Z2的末端，即线路Z2上尚 未出现反行电压波，或u2q虽已到达Z2的末端，线路Z2上已出现 反行电压波，但此反行电压波尚未到达节点A。则对于线路Z1 有： u1 = u1q + u1 f ; i1 = i1q + i1 f
u1q = Z1 ⋅ i1q ; u1 f = − Z1 ⋅ i1 f
√线路末端开路 线路末端开路
∵ Z2 = 0
∴α u = 0 ⇒ u2 q = 0
βu = −1 ⇒ u1 f = −u1q
α i = 2 ⇒ i2 q = 2i1q
βi = 1 ⇒ i1 f = i1q
反射电压波等于负的入射电 压波，末端电压等于零，末端 电流将增加一倍。反射电压波 到达处的全部电场能量将转变 为磁场能量，从而使电流上升 一倍。
√两条不同波阻抗 、Z2线路连接 两条不同波阻抗Z1、 线路连接 两条不同波阻抗 若 Z1 < Z 2 ，则α u < 1, βu < 0 ，折射电压 u2 q < u1q ，反射电压 u1 f < 0 若 Z1 > Z 2 ，则α u > 1, βu > 0 ，折射电压 u2 q > u1q ，反射电压 u1 f > 0 折反射波形参考教材P210图7-2-4。
★讨论过电压下输电线路状态的分析方法 由简单到复杂，从理想线路逐步接近实际线路，依次讨论 下列条件下的输电线路波过程。 均匀无损单导线 均匀性遭到破坏时的情况
多导线系统
有损耗线路
§7-1 无损耗单导线线路中的波过程 一、波过程的一些物理概念
★什么是波过程？ √将传输线设想为许多无 穷小的长度元dx串联而 成。 √电压波和电流波沿线路 的流动就是电磁波传播 的过程称为波过程。 √这种电压波、电流波以 波的形式沿导线传播称 为行波。
√线路末端接一集中参数电阻 线路末端接一集中参数电阻R 线路末端接一集中参数电阻
2R αu = Z1 + R
βu =
R − Z1 Z1 + R
R u R = α u u1q = ⋅ 2u1q Z1 + R