二次量子化简介
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
二次量子化的哈密顿量
二次量子化的哈密顿量二次量子化是量子力学中的一种重要方法，用于描述多粒子系统的相互作用和运动。
它是在二次量子化框架下，通过引入产生算符和湮灭算符来重新表述系统的哈密顿量，从而更加方便地进行计算和分析。
在二次量子化中，我们将系统的基态视为真空态，并引入湮灭算符和产生算符来描述系统中的粒子数目和激发态。
湮灭算符a_i可以将第i个粒子湮灭，而产生算符a_i†可以将第i个粒子产生。
这种描述方式使得我们可以方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
在二次量子化框架下，系统的哈密顿量可以表示为湮灭算符和产生算符的线性组合。
例如，对于一个自由粒子系统，其哈密顿量可以写成：H = ∑_i ε_i a_i† a_i其中，ε_i表示第i个粒子的能量。
这个哈密顿量描述了自由粒子系统中粒子的能量和粒子数目之间的关系。
对于相互作用系统，其哈密顿量可以写成：H = H_0 + H_int其中，H_0表示系统的自由哈密顿量，描述了粒子的动能和势能；H_int表示相互作用哈密顿量，描述了粒子之间的相互作用。
在二次量子化中，我们可以通过引入湮灭算符和产生算符来重新表述这两部分哈密顿量。
通过二次量子化的方法，我们可以方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
例如，在处理费米子系统时，我们可以引入费米算符来描述系统的基态和激发态，并通过对这些算符进行代数运算来得到系统的物理性质。
二次量子化的方法在凝聚态物理、量子场论等领域有着广泛的应用。
它不仅可以用于描述多粒子系统的相互作用和运动，还可以用于研究物质的凝聚态性质、相变行为等。
通过二次量子化的方法，我们可以更加深入地理解量子力学中的多粒子现象，并为实验和理论研究提供了重要的工具。
总之，二次量子化是量子力学中一种重要的描述多粒子系统的方法。
它通过引入湮灭算符和产生算符来重新表述系统的哈密顿量，从而方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
二次量子化方法在凝聚态物理、量子场论等领域有着广泛应用，并为我们深入理解量子力学中的多粒子现象提供了重要的工具。
§9 二次量子化理论
(9.1.28)
&n = − p
∂H ∂ = − f ∑ ( x m − xm +1 ) ( x m − xm +1 ) ∂x n ∂x n m
m
= − f ∑ ( x m − xm +1 )(δ n,m − δ n,m +1 ) = f ( x n+1 + xn −1 − 2 xn )
(9.1.29)
t2
t2
∂L ∂L & dt = δq + δq & ∂q ∂q ∂L d ∂L − = 0 & ∂q dt ∂q
∫
t2
t1
∂L d ∂L δqdt = 0 ∂q − dt ∂q &
即
为拉氏方程。当 V ( q, t ) 不含广义速度时，
2N 个动力学方程
2
&i = q
∂H ∂H &i = − ， p ∂ pi ∂ qi
(9.1.12)
2. 谐振子的粒子数表象 参考§8.2 第 1 中的论述。 §8.2 第 1 中的论述中没有涉及状态随时间的演化， 在粒子数表象 中， 状态由产生算符作用于真空态的形式表示， 所以采用海森伯绘景。 在海森伯绘景中，
) 1 µ )+ ) ) ) H = pk p k + ∑ ω k2 q k+ q k ∑ 2µ k 2 k
∑ x (t ) exp[ −ikna]
n n
(9.1.40)
由哈密顿方程得
p n (t ) = µx &= 1 N
∑ p (t ) exp[ −ikna ]
k k
(9.1.41) (9.1.42)
量子力学中的量子场论与二次量子化
量子力学中的量子场论与二次量子化在量子力学的发展历程中，量子场论和二次量子化是非常重要的概念和方法。
量子场论是一种描述微观粒子行为的理论框架，而二次量子化则是将量子力学的基本概念扩展到多粒子体系的方法。
本文将介绍量子场论的基本知识和二次量子化的概念，以及它们在量子力学研究中的应用和意义。
一、量子场论1.量子场的概念在经典物理学中，物质和场是分开考虑的，而在量子场论中，物质和场被统一起来考虑。
量子场是一种能量和动量在空间中传播的物理场，它可以看作是许多谐振子的集合。
量子场论通过对场算符的量子化来描述不同种类的粒子。
2.量子场算符量子场算符是量子场论的基本工具，它们可以创造和湮灭粒子。
对于费米子，如电子，量子场算符是具有反对易关系的费米子算符；对于玻色子，如光子，量子场算符是具有对易关系的玻色子算符。
3.场的量子化量子场理论将经典的场理论量子化，通过将经典场变量替换为动量和哈密顿算符的算符形式，从而得到了量子场的描述。
量子场的量子化过程涉及到将场展开为一组谐振子模式，而这些模式称为量子场的模式展开。
二、二次量子化1.多粒子态和Fock空间二次量子化是将量子力学的基本概念推广到多粒子体系的方法。
在二次量子化中，多粒子态由一系列粒子的量子数来描述，而不再是单个粒子的波函数。
Fock空间是用于描述多粒子态的数学空间，它由一系列单粒子态的张量积构成。
2.产生算符和湮灭算符二次量子化中，使用产生算符和湮灭算符来操作多粒子态。
产生算符可以将系统中没有粒子的态变为有一个粒子的态，而湮灭算符则将有一个粒子的态变为没有粒子的态。
这两个算符满足一系列对易或反对易关系。
3.二次量子化的物理意义二次量子化的方法可以更方便地描述多粒子体系的行为，例如，可以通过产生算符和湮灭算符来计算多粒子态的能量、动量等守恒量。
此外，二次量子化还是研究粒子之间相互作用和散射等过程的重要工具。
三、应用和意义1.量子场论在粒子物理中的应用量子场论是研究基本粒子物理学的重要工具，例如，量子电动力学(QED)是量子场论的一个重要分支，用于描述电磁相互作用。
二次量子化
二次量子化说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。
波色子统计法；相同粒子时不可分辨的。
而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。
所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。
泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。
实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。
用12(,......)n ϕεεε代表N 个相同粒子得ε表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。
因而波函数只能改变亦个 常数因子。
即()()121212,......,......n n ϕεεελεεε= 121λ= 俩此交换这对粒子，得2121λ= 故121λ=± 1213141.........n λλλλ===可知波函数只能时全对称或全反对称得。
由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。
由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。
按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。
一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。
例如一种最简单得全对称波函数是()()()12.........n αααϕεϕεϕε这个波函数表示任意N 个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。
不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。
因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。
可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。
二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N 粒子B 值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B 值为b 得粒子。
产生算符和消灭算符由于()12.....N N 得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....N N ，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12N N 时各个算符得本征值。
二次量子化 一维单原子链
二次量子化一维单原子链二次量子化是量子力学中的重要概念之一，它在描述多粒子体系时非常有用。
本文将讨论一维单原子链的二次量子化过程。
一维单原子链是由一系列相互作用的原子组成的，它可以用于研究材料的电子结构、声子传播等问题。
在二次量子化中，我们将一维原子链中的每个原子视为一个量子力学的基本单位，即一个量子态。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地处理多粒子体系的量子态和相互作用。
在一维单原子链中，每个原子可以处于两个可能的状态：自旋向上或自旋向下。
我们可以用一个二维希尔伯特空间来描述这个系统。
对于一个含有N个原子的链，我们可以用一个N维的列向量表示整个系统的量子态。
例如，对于一个含有三个原子的链，我们可以用如下的形式表示量子态：|↑↑↑⟩= |↑⟩⊗ |↑⟩⊗ |↑⟩其中|↑⟩表示自旋向上的态，⊗表示张量积。
在二次量子化中，我们引入了产生算符a†和湮灭算符a。
产生算符a†可以将一个粒子从自旋向下的态变换为自旋向上的态，而湮灭算符a则相反。
它们满足如下的对易关系：[a,a†] = aa† - a†a = 1利用这些算符，我们可以方便地表示一维单原子链中的量子态和相互作用。
例如，我们可以用产生算符和湮灭算符来表示自旋向上和自旋向下的态：|↑⟩= a†|0⟩|↓⟩ = a|0⟩其中|0⟩表示真空态，即没有粒子的态。
在一维单原子链中，原子之间可以存在相互作用。
我们可以用相互作用哈密顿量来描述这种相互作用。
例如，我们可以用下面的形式表示相互作用哈密顿量：H = ∑(Ji a†i a†i+1 + hi a†i ai + h.c.)其中Ji表示相邻原子之间的相互作用强度，hi表示每个原子的自旋能级。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地处理相互作用哈密顿量。
例如，我们可以用产生算符和湮灭算符来表示相互作用哈密顿量中的项：a†i a†i+1 = (a†i + a†i+1)(a†i - a†i+1)/2hi a†i ai = hi (a†i a†i - a†i ai)/2h.c.表示共轭项。
二次量子化 matlab
在量子力学中，二次量子化是一种处理多体量子系统的方法，通过将多体波函数表
示为多个产生算符和湮灭算符的乘积的形式，从而简化问题的处理。
在MATLAB 中，可以使用量子力学工具箱（Quantum Mechanics Toolbox）来进行二次量子化的计算和模拟。
以下是一个简单的示例代码，演示如何在MATLAB 中进行二次量子化的计算：
定义产生算符和湮灭算符
a = ctranspose([0 1; 0 0]);
adag = [0 0; 1 0];
% 定义多体波函数
psi = [1; 0; 0; 0];
计算二次量子化表示
psi_second_quantized = a * psi;
上述代码中，我们首先定义了产生算符 a 和湮灭算符adag，然后定义了一个简单的多体波函数psi。
接下来，我们使用产生算符对多体波函数进行二次量子化表示的计算，得到了psi 在二次量子化表示下的结果psi_second_quantized。
需要注意的是，实际的二次量子化计算可能涉及到更复杂的多体系统和算符操作，因此在实际应用中可能需要更复杂的代码和计算过程。
MATLAB 的量子力学工具
箱提供了丰富的量子力学计算工具和函数，可以帮助进行更复杂的二次量子化计算和模拟。
二次量子化
二次量子化二次量子化又叫正则量子化，是对量子力学的一种新的数学表述。
普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。
但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。
二次量子化通过引入产生算符和湮灭算符处理粒子的产生和湮灭，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。
相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。
然而，现在的二次量子化理论反映物质埸的特征是不够全面的。
其一：只用作为埸的自由度的广义坐标，是一维的无穷多个指标的广义坐标，也就是说尽管是多个指标，它在空间的自由度却仅有一维。
无穷多个指标的广义坐标，只分别对应无穷多个光量子，描写它们一维的状态。
为了描写物质埸的矢量性，物质埸的自由度的广义坐标也应该是多维的广义坐标，必须把推广成，对应物质埸在处的振动的动量，对应物质波的几率密度，即传统的二次量子化理论中的态函数。
在各类物理文献（包括科普）中，我们都能经常看到一个术语，即二次量子化，一般指场量子化或从量子力学到量子场论的这个“提升”过程。
然而，所谓的二次量子化其实是一个错误的概念，至少是一个应该被摒弃的不恰当的概念，其产生及仍被使用有着一定的历史根源。
但这并不仅仅是历史错误被认识后人们懒得改变的习惯用法，否则也没有特别说明的必要了，而是依然存在于物理文献中的误解，它还在误导着更多的人。
量子场论的产生是这样一个过程。
物理学家们首先建立了基于平直时空点粒子的量子力学，以薛定谔方程来描述，然后为了统一量子力学和狭义相对论，或者说为了找到符合狭义相对性原理的量子力学，他们认为有必要“推广”薛定谔方程，从而找到了克莱恩－戈登方程和狄拉克方程等等并认为他们就是“推广”的薛定谔方程，进一步研究发现这些方程的变量并不是描述点粒子的动力学量，而是所谓的场，一类在时空每一点都有取值的函数，对这类场进行量子化最终促成了量子场论—同时满足狭义相对论和量子力学的新理论的诞生。
二次量子化理论.
n b b b n b b b
P b b b
b b b n αβναβν
ααββνν
ε
δδδ'
'
'
'
'
'=---∑
即称化基矢的正交归一化关系。
根据这个关系,不同的基矢是正交的,但一个基矢与自己的内积并不全等于1,对于连续谱也不全等于δ函数,而有时是δ函数再乘一个常数。目前我们还不想改变这个情况,因为(30.8式是很方便的,一律改成1或δ函数反而不便。可以认为(30.8式右边是全同粒子系统的对称化的δ函数。这种情况仍称之为归一化。
n b b b a b bb b b
αα
αβαβ
αβναβν
=
=
=
=+
注意由右矢写出相应的左矢时,号内部的内容并不改变次序,因此,新产生的粒子仍应写在最左端。
同样可以得出(
a b与(
a b '的对易关系:
( ( ( ( 0
a b a b a b a b
ε
''
-=
也可以写出
0(
2; ( ( (
; ( ( ( (
1
2
1
; !
P
S
n
P
n b b b
P b
b
b
n α
β
ν
α
β
ν
ε=
∑
只需对玻色子取1ε=,对费米子取1ε=-即可。这一基矢描写的是在n个粒子中,有一个处于b β态,„„,一个处于b ν态的状态。由于已经对称化(以后用对称化一词兼代表反对称化,粒子的编号已无物理意义,因此左边的基矢符号中不出现粒子的编号。
二次量子化与场量子化
二次量子化与场量子化量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论，其在理论物理学中占据着重要的地位。
而在量子力学的发展过程中，二次量子化和场量子化这两个概念也扮演着重要的角色。
本文将介绍这两个概念的背景、原理以及应用。
一、二次量子化的背景和原理1. 量子力学的初步建立量子力学是基于波粒二象性的理论，创立之初描述的是单个粒子的行为。
例如，薛定谔方程可以描述单个粒子的波函数演化。
然而，当牵扯到多粒子系统时，用波函数描述将变得复杂而困难。
2. 多粒子系统的场量子化为了处理多粒子系统，物理学家引入了场的概念，将多粒子系统的态用场的概念来刻画。
场的量子化将多粒子系统的态描述从波函数改为算符，进而引入了二次量子化的概念。
3. 二次量子化的原理二次量子化是在场量子化的基础上发展起来的，它在处理多粒子系统中具有巨大的优势。
在二次量子化中，波函数被替代为算符，物理量也相应地被替代为算符。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地描述多粒子系统中的粒子数变化。
二次量子化使得处理多体量子系统的问题更加简洁和有效。
二、场量子化的背景和原理1. 场的概念场是指空间中的某一物理量在各点上取值的函数。
例如，电磁场、量子场等都是以空间位置为参数的函数。
2. 场量子化的目的场量子化的目的是将传统的经典场理论转化为满足量子力学要求的理论。
在量子场论中，场是算符，而其本征态则是粒子的态矢量。
3. 场量子化的原理场量子化的基本原理是将经典场的变量替换为算符，同时引入对易关系和正则量子化条件。
通过这种方式，我们可以得到满足量子力学要求的场的量子理论，从而描述多粒子系统的行为。
三、二次量子化和场量子化的应用1. 二次量子化在凝聚态物理中的应用二次量子化在凝聚态物理学中具有重要的应用价值。
例如，在超导理论中，通过二次量子化的方法可以很方便地描述库伦相互作用和超导电子之间的相互作用。
2. 场量子化在粒子物理学中的应用场量子化在粒子物理学中也有广泛的应用。
量子力学中的二次量子化
量子力学中的二次量子化量子力学是描述微观粒子行为的一种物理学理论，它描述了量子系统的波函数演化，并通过概率的方式预测微观粒子的性质和行为。
然而，传统的量子力学在描述复杂系统时存在一些困难，无法解释多粒子系统的相互作用等问题。
为了解决这些问题，二次量子化发展起来，并成为现代理论物理学的重要分支。
二次量子化是在量子力学的基础上，对多粒子系统进行重新诠释和描述的一种方法。
它通过引入二次量子算符，将粒子的波函数表示为一个算符的形式，使得描述多粒子系统的运算和计算更加方便和简洁。
在二次量子化中，系统中的每个粒子都由一个纯态或者混合态的波函数来描述，它们之间通过升降算符产生或湮灭算符消灭来描述相互作用。
在二次量子化的框架下，我们可以方便地处理多粒子系统的对称性和反对称性问题。
通过引入费米子和玻色子的概念，对应于自旋为1/2的粒子和自旋为整数的粒子，我们可以简洁地描述系统中粒子的统计行为。
费米子遵循泡利不相容原理，即同一量子态不能同时存在多个费米子，而玻色子则不存在这个限制。
二次量子化的框架也为描述相互作用提供了一种便捷的方式。
通过引入相互作用哈密顿量，我们可以方便地描述不同粒子之间的相互作用强度和形式。
这为研究多粒子系统的相互作用行为提供了一种便捷和统一的描述方法，使得我们可以更深入地理解和研究微观粒子之间的相互作用和耦合。
除了对多粒子系统的描述外，二次量子化还在量子场论中起着重要的作用。
量子场论是描述自然界基本粒子相互作用的理论，是粒子物理学的核心理论之一。
二次量子化的思想在量子场论中被广泛应用，使得我们能够描述和研究场的量子化过程，进一步理解与粒子的相互作用和宏观性质。
总结起来，二次量子化在量子力学的基础上建立了一种更加方便和统一的方法来描述多粒子系统的行为。
它通过引入二次量子算符和升降算符，使得多粒子系统的描述和计算更加简洁和方便。
二次量子化不仅为解决多粒子系统的相互作用问题提供了一个框架，还在量子场论中起到了重要的作用。
二次量子化解石墨烯
二次量子化解石墨烯
二次量子化是量子场论中的一个重要概念，它用于描述多粒子系统的量子态和相互作用。
在石墨烯领域，二次量子化可以被用来描述石墨烯中电子的行为，特别是在考虑电子-电子相互作用时。
石墨烯是由碳原子构成的二维材料，其电子行为受到量子力学的影响。
在传统的一次量子化描述中，我们可以用单电子的波函数来描述石墨烯中的电子行为。
然而，当考虑到电子之间的相互作用时，一次量子化描述就显得不够充分了。
二次量子化的方法可以更好地描述多电子系统，它引入了产生算符和湮灭算符来描述系统的激发态和相互作用。
在石墨烯中，电子-电子相互作用可以导致诸如库伦相互作用和费米子的统计效应等现象。
二次量子化理论可以更好地描述这些现象，使我们能够更准确地理解石墨烯中电子的行为。
此外，二次量子化方法也可以用来描述石墨烯中的激发态，如声子和磁子等准粒子的行为。
这些激发态对于石墨烯的热传导和磁学性质具有重要影响，因此二次量子化方法在研究石墨烯的热学和磁学性质时也具有重要意义。
总之，二次量子化方法在研究石墨烯中电子行为和激发态时具
有重要作用，它可以更全面地描述多电子系统的量子态和相互作用，为我们理解和探索石墨烯的奇特性质提供了重要的理论工具。
库仑相互作用的二次量子化
库仑相互作用的二次量子化二次量子化是量子场论的一种表述方式，可以更方便地处理量子力学中的粒子场相互作用问题。
库仑相互作用就是一种粒子之间的相互作用方式，它可以用二次量子化的方式描述。
以下是具体的讲解：一、二次量子化的概念1. 一次量子化一次量子化是指将单个粒子的量子力学描述中的波函数用一个算符表示，即将波函数写成对应的算符关系，并用这些算符来描述系统的状态。
比如说，单个粒子的一次量子化可以用波函数描述。
2. 二次量子化当我们处理多个粒子相互作用问题时，波函数的表示方法就显得非常笨重。
这时，我们可以采用二次量子化的方式描述系统。
这种方法将每个粒子的波函数视为一个场，用算符表示这些场，从而可以更方便地表示多个粒子之间的相互作用。
二次量子化可以将描述粒子的波函数从一阶升级到二阶，简化了粒子场的描述。
二、库仑相互作用的描述库仑相互作用是一种电荷相互作用，即两个粒子之间由于它们的电荷而产生的相互作用力。
这种相互作用可以通过二次量子化的方式来描述。
以下是具体的过程：1. 利用二次量子化描述粒子场粒子场可以用产生算符和湮灭算符表示。
产生算符表示产生一个粒子的波函数，湮灭算符表示消灭一个粒子的波函数。
以电子场为例，它的产生算符为$a^\dagger(\mathbf{r},t)$，湮灭算符为$a(\mathbf{r},t)$。
同时，还定义了电子的费米子性质，即它们不会在同一个状态里。
2. 库仑相互作用的二次量子化表示库仑相互作用可以表示为：$\hat{H}_{\text{int}}=\frac{1}{2}\int{d^3r_1d^3r_2}a^\dagger(\mathbf{r_ 1})a^\dagger(\mathbf{r_2})V(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2})a(\mathbf{r_2})a(\mathbf{r_1})$这里的$V(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2})$是两个粒子之间的库仑相互作用势。
二次量子化简介
• “二次量子化 二次量子化”： 二次量子化
ˆ 一次量子化中力学量的平均值( H )→算符( H ) 对于场的量子化来说， ˆ 的算符性来源于场变量的算符 H 化，即 ∗ +
ˆ ψ (x ) → ψ (x )
ˆ ψ (x ) → ψ (x )
二次量子化一般选用粒子数表象
原因：采用坐标表象描述全同粒子系统的量子态比复杂利用它进行计 算也很不方便，事实上，对于全同粒子编号是没有意义的，只需要把处于 每个单粒子态上的粒子数 (n1 , n2 ,⋅ ⋅ ⋅, nN ) 交待清楚，全同粒子系的量子态就完 全确定了。 全同Bose子体系的量子态可以用下列右矢来标记：
n1n 2 ⋅ ⋅ ⋅ n N
对于Fermi子体系，Pauli原理要求粒子态上的粒子数为1或0，若 n nα = nβ ⋅ ⋅⋅ = 1 其余单粒子态上无粒子， i = 0 ，则量子态可记为：
n α = 1, n β = 1,⋅ ⋅ ⋅
简记为
αβγ
⋅⋅⋅
α , β , γ ⋅ ⋅ ⋅ 指被粒子占据的单粒子态。
α
二次量子化后
ψˆ ( x , t ) = ψˆ +
ˆ+ ˆ 其中 bα为态粒子的产生算符，bα 为态粒子的湮没算符，
∗ ˆ bα (t ) = ∫ ϕα ( x ) ˆ ( x, t )dx ψ ˆ b + (t ) = ϕ ( x ) ˆ + ( x, t )dx ψ
∑ bˆα ϕ α (x ) α ˆ ( x , t ) = ∑ bα ϕ α ( x ) α
1.在经典理论中取连续值谱的物理量，在量子力学中变为 离散值谱的现象 2.参照系统的经典运动规律写出量子运动规律的方法
• “一次量子化 一次量子化”： 一次量子化
高等量子力学理论方法-二次量子化
一、一次量子化的薛定谔方程
i ( x1...xN , t ) H ( x1...xN , t ) t N 常有 1 N H T ( xk ) V ( xk , xl ) 2 k l 1 k 1
这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标， T是动能，V是粒子间的相互作用势能。
用单粒子定态波函数的完备集合或完备基展开多粒子波 函数(理论上是严格的)：
( x1...xN , t )
' ' E1 ... EN
C(E ...E
' 1
' N
, t) E' ( x1 )... E' ( xN )
1 N
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms)
二、二次量子化方法
多粒子希尔伯特空间 n1n2 n 1. 抽象不含时态矢 ' ' ' n n n 正交性 1 2 n1 n2 n n n n n n n 完备性 n1n2 n n1n2 n 1 nk 0,1, 2,,
二次量子化基本思想
多体量子体系的理论处理
多体波函数 ( x1...xN , t ) 包含了所有信息，但直接求解薛 定谔方程很困难。常需依赖于： 1. 二次量子化。用二次量子化算符体现全同粒子的统 计性比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描 述全同粒子的统计方便。 2. 量子场论：避免直接处理多粒子波函数和坐标而只 关注感兴趣的几个矩阵元。 3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态 能量和寿命等物理信息，可用Feynman-Dyson微 扰理论和Feynman图、Feynman规则求得。
1 ˆ H bi i T j b j bib j ij V kl bl bk 2 ijkl ij
“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介
根据x与p的对易关系，得
定义 故有
1` a , a 2 x, p i p, x i 1
m 2 p2 i 1 N a a x x , p 2 2 2 2 m 2
由波函数的对称性得： x p 0
2
2 x0 基态时： x 2m 2
,
m p , 2
2
2 (x) (p) 4
2 2
。
满足最小测不准关系(基态波函数具有高斯形式)。
由 x 2 (a 2 a 2 a a aa ) (a 2 a 2 2 N 1)
在n表象中，x和p均非对角（x、p与N不对易）。
四、本征波函数
用算符的方法可得出坐标空间的能量本征函数。
x | a | 0 0 x | m ip m d x | 0 x x | 0 2 m 2 m dx
n 0 2
n exp n n!
n
n 是某平均n
2． 可由 0 经原点平移一定距离而得。
3． 满足最小测不准关系。
与 0 的关系
0 ( x ' L) x ' | T ( L) | 0 x ' | e
iLp /
| 0 x ' | e
( a a )
可得
it i 2 2 H , H , x(0) x(t ) x(0) [ H , x(0)] 2 … 2!
1 t 3 2 p(0) p(0) 1 2 2 x(0) t t x(0) … 3! m m 2!
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n !
!
2
t
f (n1L
n ,t)
i
iT
i
ni
L
ni L N!
! 2
f (n1L
ni L
n ,t)
1
i j
iT
L j ni
(ni 1)!L (nj 1)!L N!
2
f (n1L
ni 1L
nj 1L n ,t)
1
i jkl
ij V kl
1 2
ni
n
j
L
(ni
1)!L
(nj 1)!L (nk 1)!L N!
可简化为：
ih t
f (n1L
n , t)
i
i T i ni f (n1L ni L n , t)
1
1
i T j (ni )2 (n j 1)2 f (n1L ni 1L n j 1L n , t)
i j
i jk l
ij V kl
1 2
(ni
)
1 2
(n
j
)
1 2
(nk
1
1) 2 (nl
E'
W
W'
1 2 nE
(nE'
EE'
)
EE' V WW '
C(n1 L nE 1L nW 1L nE' 1L nW' 1L n,t)
i
j
k
l
1 2ni (nj
ij
)
ij V kl
C(n1 L ni 1L nk 1L nj 1L nl 1L n,t)
薛定谔方程变为：
1
1
ih
n1
!L N
4 2
k
h2k 2 2m
ak ak
e2
2V 13 24 k1 k2 ,k3 k4 k11 k22 k33 k44
(k1
4
k3 )2
2
a a a a k11 k22 k44 k33
（T是单粒子算符，V含两粒子坐标）
三、全同粒子 (L xi L xj L ,t) (L xj L xi L ,t)
充分+必要条件：C(L Ei L Ej L ,t) C(L Ej L Ei L ,t)
玻色子：由于C的对称性，可将量子数重组
C(121324L ,t) C(1{ 11L 212223L L ,t)
eik3
x1 3
(1)eik4
x2 4
(2)
yv
xv1
xv2 ,
xv2
xv
e2 V2
d xe 3 i(k1k2 k3 k4 )x
e 3
i
(
v k3
v k1
)
yv
y
d ye y 1,3 24
2
eV 1,3 2 ,4 k1 k2 ,k3 k4
4
(k1 k3 )2
2
^
H
1 e2N 2 2V
(nl 1)! 2
f (L ni 1L nj 1L nk 1L nl 1L n ,t)
1
i jkl
ii V kl
1 2 ni (ni
1)
L
(ni
2)!L
(nk 1)!L N!
(nl
1)!L
2
f (L ni 2L nk 1L nl 1L n ,t) etc
etc表示i,j,k,l相等和不等关系的其他13种可能
!)
1 2
E10 (x1)
EN0 (x1)
L E10 (xN ) M
L EN0 (xN )
二次量子化态矢
(t)
f (n1n2 L n,t) n1n2 L n
n1n2L n
费米子的产生与湮没算符：
ar , as rs;
ar , as ar , as 0
n1n2 L n (a1 )n1 (a2 )n2 L (a )n 0
1 e2 N 2 i j
e ri rj ri rj
Hb
1 2
e2
d 3xd 3x ' n(x)n(x ')e xx' x x'
1 2
e2
N V
2
d 3xd 3 x ' e xx' x x'
1 2
e2
N V
2
d 3x d 3z ez z
1 e2 N 2 4 2 V 2
N
1 2
N
V (xk , xl )
k l 1
(t)
f (n1n2 L n ,t) n1n2 L n
n1n2L n
五、费米子 (x1L xN ,t) 1 f (n1L n,t)n1L n (x1L xn) n1L n 0
反对称波函数（一次量子化）
n1L n (x1 L
xN
)
(
n1
!L N
n !
n
!)
1 2
E1 (x1)... EN (xN )
E1L EN n1n2L n
f (n1n2 L n , t) n1n2L n (x1x2 L xN )
n1n2L n
( ni N )
i
完全对称的波函数用完全对称和正交的完备基展开
应用于动能项有：
N
Ek T W C(E1 ...Ek1WEk1...EN , t)
L
EN ,t)
N
dxk Ek (xk )T (xk )W (xk )C(E1 L Ek1WEk1 L EN , t)
k 1 W
1 N
2 kl1 W W '
dxkdxl Ek (xk ) El (xl )V (xk , xl )W (xk )W' (xl )
C(E1L Ek1WEk1L El1W 'El1L EN ,t)
Helb e2
i 1
d 3x n(x)e xri x ri
N
e2
N
d 3 x e xri
i1 V
x ri
N
e2
N
d 3.z ez
i1 V
z
e2
N2 V
4 2
H
1 e2 N 2V 14 2
2
H el
感兴趣的物理效应均体现于Hel
二次量子化形式
k11 T
k22
1 2mV
d
3
xe
ik1x 1
薛定谔方程
ih
t
C
E1
L
EN ,t
N
Ek T W C(E1L Ek1WEk1L EN ,t) L
k 1 W
将E顺序排列产生额外相因子：
(1)nW 1 nW 2 L nEk1 (1)nEk1 nEk2 nW 1
W Ek ; W Ek
相应有：
ih (t) t
L
n1' n2' L n' i j
f n1n2 L
n ,t n1n2 L
n
L
1
1
i T j f (L ni 1L nj 1L , t) ni 2 nj 1 2 n1n2 L n L
n1n2L n i j
i ni N
1
1
L
i T j f L ni' L n'j L , t ni' 1 2 n'j 2 L ni' 1L n'j 1L L
“高等量子力学”补充专题：
二次量子化简介
一、多体量子体系的理论处理
多体波函数 (x1...xN , t) 包含了所有信息，但直接求解薛定
谔方程很困难。常需依赖于：
1. 二次量子化：用二次量子化算符体现全同粒子的统计性比 用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描述全同粒子 的统计方便，也是相对论性量子理论描述粒子产生与湮 灭所必需。此外，常可作合理的物理近似将二次量子化 哈密顿算符简化为二次形式而有严格解。
t
Hˆ
bi
ij
iT
j
bj
1 2
bi
b
j
ijkl
ij V kl blbk
H是抽象占据数Hilbert空间（二次量子化）的哈密
顿算符。粒子的统计性和算符性质包含于产生和湮
灭算符中。<i|T|j>和<ij|V|kl>是c数。 f 给出了一次 与二次量子化态矢之间的联系。
H
N
T (xk )
k 1
as L ns L
1
（ { -1）Ss (ns ) 2 L ns 1L
0
if ns 1 otherwise
as L ns L
1
（ { -1）Ss (ns 1) 2 L ns 1L
0
if ns 0 otherwise
as†as L ns L ns L ns L
ns 0,1
Ss n1 n2 L ns1
2. 量子场论：避免直接处理多粒子波函数和坐标而只关注感 兴趣的几个矩阵元。
3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态能量、 寿命和对外扰的线性响应等物理信息，可用FeynmanDyson微扰理论和Feynman图、Feynman规则求得。
二、一次量子化的薛定谔方程
ih
t
(
x1...xN
N
，ni大部分为0)
应用于势能项
1 N
2 kl1 W
W'
Ek El V WW ' C(E1 ...Ek1WEk1...El1W 'El1L EN ,t)
1 N
2 kl1 W