多项式的基本概念

多項式的基本概念 建國中學‧林信安 老師

2-2-1 多項式的基本概念

多項式的定義與性質

我們學過的一次函數y ＝3x ＋2，二次函數y ＝2x 2－4x ＋1，三次函數y ＝4x 3－x ，所對應的式子：

3x ＋2，2x 2－4x ＋1，4x 3－x 都是x 的多項式（含單項式）。

像下列的式子：

x ＋1 x ，x ＋1 x －1 －x －1 x ＋1

，分母含有「變數x 」，它們都是分式。 x － x ，3

x ＋ x ，根號內含有「變數x 」，它們都是根式。

分式與根式都不是多項式。什麼是多項式？

何謂多項式

設n 是正整數或0，而a 0，a 1，…，a n 是 ( n ＋1 ) 個給定的常數，

凡是可以寫成：a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0 形式的式子，稱為x 的多項式（polynomial ）。 多項式是由「變數x 與常數a k 」透過「加、乘」兩種運算而形成的代數式子（如x 2－3x 看成x 2＋(－3)x ）。為方便計，常用f (x )，g (x )，P (x )，Q (x ) 等符號來代表不同的多項式。

f (x )＝3

（常數多項式）。 g (x )＝ 4x ＋ 1 3

（一次多項式）。 P (x )＝1＋3x ＋x 2

（二次多項式）。 Q (x )＝2x 3－3x ＋1

（三次多項式）。

相關的名詞說明

有關多項式f (x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的一些基本概念，介紹如下：

設f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0，a n,a n-1,…a1,a0均為實數

(a)係數

在多項式f (x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0中，a n，a n－1，…，a1分別稱為x n，x n－1，…，x項的係數。

當a n≠0，a n稱為f (x) 的首項係數（領導係數），a0稱為f (x) 的常數項。

(b)次數

一個單項式的次數是指x的乘冪。例如：

2x3是三次多項式。

5 是零次多項式 ( 5＝5x 0 )。

0 是零多項式，規定為「沒有次數」。

「零次多項式」與「零多項式」合稱為常數多項式。

一個多項式中，次數相同的項稱為同次項，利用交換律與結合律可以將同次項的係數合併。

一個多項式，先合併同次項，再依各項次數由大而小、由左而右順序排列，此形式的多項式稱為降冪排列。例如：

相對的，有升冪排列（次數由小而大、由左而右排列）。例如：

一個多項式的次數，是指各單項式次數中的最大次數。

因此，一個降冪排列或升冪排列的多項式

f (x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0( 降冪 )

＝a0＋a1x＋…＋a n－1x n－1＋a n x n( 升冪 )

當a n≠0時，f (x) 的次數就是a n x n項中x的乘冪n。

f (x) 的次數簡記作de

g f (x)。

(c)各項係數都是「整數」的多項式，簡稱為整係數多項式。

同樣，可以定義有理係數多項式、實係數多項式。例如：

f (x)＝5x3+2x 7 ( 缺項的「係數」為0 )，是「整係數」多項式.

g (x)＝5x3－2

3 x＋7 ( x

2項的係數為0 )，是「有理係數」多項式.

h (x)＝5x3－2x＋ 7 ( x2項的係數為0 )，是「實係數」多項式.

(d)多項式的值

一個多項式f (x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，當x指定一個數值x0代入

f (x)，則f (x0)＝a n x0n＋a n－1x0n－1＋…＋a1x0＋a0稱為多項式的值。

例如：f (x)＝1＋x＋x2－x3，取x＝1代入f (x)，則f (1)＝2，

即多項式f (x) 在x＝1處的值為2。

(e)由多項式的係數決定多項式全體：

Z[x]代表全體整係數多項式

Q[x]代表全體有理係數多項式

R[x]代表全體實係數多項式

[本單元中，若沒有指定多項式的係數所在的數系，則多項式均為實係數多項式]

(4)多項式的相等：

多項式有不同的表現形式，以二次多項式f (x) 為例，常見的形式有：

(1) 一般形式：f (x)＝x2＋4x－5。

(2) 頂點形式：f (x)＝( x＋2 )2＋(－9 )。

(3) 因式形式：f (x)＝( x＋5 ) ( x－1 )。

(4) 其他形式：如f (x)＝( x＋1 ) ( x－2 )＋5 ( x＋1 )－8。

兩個多項式P (x) 與Q (x) 在什麼條件下稱為相等？

通常將P (x)，Q (x) 先整理成降冪排列（或升冪排列），再進一步觀察它們的次數與係數。

多項式的相等：

設P (x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0( a n≠0 )，

Q (x)＝b m x m＋b m－1x m－1＋…＋b1x＋b0( b m≠0 )，

如果(1) P (x) 與Q (x) 的「次數相等」( n＝m )。

(2) P (x) 與Q (x) 的「同次項的係數一一相等」，即

a n＝

b m，…，a1＝b1，a0＝b0。

就稱P (x) 與Q (x) 相等，記作P (x)＝Q (x)。

當多項式P (x)，Q (x) 相等時，x以任何「數值α」分別代入P (x)，Q (x) 中，恆有P (α)＝Q (α)。

1

設f (x)＝x3＋4x2－2x－x2＋3x－x3－5，先合併同次項，再降冪排列。

請回答下列問題：f (x) 的首項係數為 ，deg f (x)＝ ，f (x) 的常數項＝ 。

2

下列哪些多項式會「相等」？

(1) P (x)＝x2＋4x－5

(2) Q (x)＝( x＋2 )2－9

(3) R (x)＝( x＋5 ) ( x－1 )

(4) T (x)＝( x＋1 ) ( x－2 )＋5 ( x＋1 )－8

Ans：都相等

3

若 ( a－2 )x2＋3x＋( c＋1 )＝( 2b－1 ) x＋10，求a，b，c的值。

Ans：a=2、b=2、c=9

1

f(x)= a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0，則各項係數之和= ，常數項=

奇次項係數之和=，偶數項的係數之和=

Ans：

f(x)= a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0，則

各項係數之和=f(1)，常數項=f(0)

奇次項係數之和=f(1)-f(-1)

2，偶數項的係數之和=

f(1)+f(-1)

2