1.1勾股定理(1)
1.1.1 探索勾股定理(第1课时)-八年级数学上(北师大版)
y2+ 144=169
即:y2=25
y=5
当
堂
检
测
3.如图所示,在Rt△ABC 中,∠C= 90°,AB=10,AC=8,则BC的长
度是多少？
解：由勾股定理得：
BC2=AB2-AC2
因为BC>0，所以BC=6.
当
堂
检
测
4.如图所示,在锐角三角形ABC中,高AD=12,边AC=13,BC=14,求AB的长.
探
索
新
知
B
c（弦）
a（勾）
C
A
b（股）
= +
=
+
= −
=
−
= −
=
−
探
索
新
知
注意：1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的
前提是直角三角形.
2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确
什么结论？
探
面积/格
索
新
知
A
B
C
A'
B'
C'
4
9
13
9
25
34
你发现了什么规律吗？
我发现 SA+SB=SC，SA'+SB'=SC'
探
索
新
知
勾股定理刻画了直角三角形三边的平方关系，你能用语言描述吗？
我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，
较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.通过以上
探索可以发现：勾2 + 股2 =弦2
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
八下教学案(第一章 勾股定理)
§1.1勾股定理(1)【教学目标】1.会用面积法探索勾股定理，并掌握勾股定理的内容；2.会用勾股定理进行简单计算. 【重点】:勾股定理的内容及证明. 【课堂学习】 一.导1.2002年8月2日世界数学年会在北京召开，下图是本届年会的会徽，这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”.你知道勾股定理吗？2.相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.你知道这个数量关系吗？ 二.学1.下图中A 、B 、C 的面积各是多少？它们之间有什么关系？图(1)中，S A = ，S B = ，S C = . 图(2)中，S A = ，S B = ，S C = .通过(1)、(2)发现:S A +S B =S C ，也就是说:在等腰直角三角形中，以三边为边长向外作正方形，直角边外的两个正方形的面积和等于斜边上正方形的面积. 2.在任意的三角三角形中，具有这样的数量关系吗？图(3)中，S A = ，S B = ，S C = . 图(4)中，S A = ，S B = ，S C = .由上可知，在任意的直角三角形中，以三边为边长向外作正方形，直角边外的两个正方形的面积和等于斜边上正方形的面积.3.你能用三角形的边长表示正方形的A 、B 、C 面积吗？S A = ，S B = ，S C = .因为S A +S B =S C ，所以 . 4.勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ，斜边为c ，那么222c b a =+. 三.议 例1.判断题:(1).如果三角形的三边长分别为a ,b ,c ，则222c b a =+ （ ） (2).如果直角三角形的三边长分别为a ,b ,c ，则222c b a =+ （ ） (3).如果直角三角形的三边长分别为a ,b ,c ，且c 为斜边，则222c b a =+ （ ） 例2.求出下列直角三角形中未知边的长度.四.练1.求下列图中字母所表示的正方形的面积:S A= ，S B= .2.⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= .⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a:b=3:4，则a= ，b= .⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 .五.悟:本节课你有什么收获？【课后练习】:1.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a,b,c是△ABC的三边，则⑴c= .（已知a,b,求c）⑵a= .（已知b，c求a）⑶b= .（已知a，c，求b）2.在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= . ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= .a =2，则b= .⑶如果∠A=45°，a=3，则c= . ⑷如果c=10，b⑸如果a,b,c是连续整数，则a+b+c= .⑹如果b=8，a:c=3:5，则c= .3.如图，欲测量嘉陵江的宽度，沿江岸取B.C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 .BC§1.1勾股定理(2)【教学目标】:掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 【重点】:用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题. 【课堂学习】: 一.导(1)勾股定理的内容是 ； (2)直角三角形两边长为3和4，则第三边长 ； (3).图中x 的值是 . 二.学1.拼图验证. 用准备的四个全等的直角三角形（直角边分别为a 、b ，斜边为c ）拼出正方形. ①如图1，用两种方法表示大正方形的面积是 = ②如图2，用两种方法表示大正方形的面积是 =③化简上面的式子，你可以验证勾股定理吗？ 2.请利用图3验证勾股定理: 三.议:例1.如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO ，这时AO 的距离为2.5m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？x1517例2.折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.C F四.练——课堂练习 1.若△ABC 中，∠C=90°(1)若a =5，b =12，则c = ； (2)若a =6，c =10，则b = ； (3)若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3.直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .4.等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）.A.302cmB.1302cmC.1202cmD.602cm五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.2.一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？§1.1.2 勾股定理(3)【教学目标】1.能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；2.会在数轴上表示无理数.【重点】:利用勾股定理在数轴上表示无理数.【课堂学习】一. 导在Rt△ABC中，∠C=90°(1)若a=1，b=1，则c= ；(2)若a=1，b=2，则c= ；(3)若a=1，b=3，则c= ；(4)若a=1，b=4，则c= ；…………依次类推:若a=1，b=n，则c= .二.学:阅读教材1.根据上面的规律，你能画出长度为1、2、3……n的线段吗？2.我们知道数轴上的点与实数是一一对应的.你能在数轴上画出表示1、2、3……n的点吗？三.议:例1.如何在数轴上画出表示13的点？【分析】:除了上面的方法外，利用勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____， _____的直角三角形的斜边.【作法】:在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点.例2.已知:如图，等边△ABC 的边长是6cm .⑴求等边△ABC 的高. ⑵求S △ABC.四.练 1.填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a =8，b =15，则c = .⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a =3，b =4，则c = . 2.已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积. 3.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）五.悟:本节课你收获了什么？ 【课后练习】1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A. 4cm B. 34cm C. 6cm D. 36cm2.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 333.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米 4. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.5.在△ABC中，∠C＝90°(1)已知a＝2.4，b＝3.2，则c＝；(2)已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于；(3)已知∠A＝45°，c＝18，则a＝ .6.一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 .cm，则AB＝.7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝3028.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为 .9.一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家.到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm.你认为小明能拿进屋吗？ .10.有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树m/的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大梢上发出友好的叫声，它立刻以4s树和伙伴在一起？§1.2.1勾股定理的逆定理(1)【教学目标】1.理解勾股定理逆定理的证明方法；掌握勾股定理的逆定理；2.能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形，体会数形结合的思想方法；3.能运用勾股定理的逆定理解决相关问题. 【重、难点】1.重点:理解和运用勾股定理的逆定理.2.难点:勾股定理的逆定理的证明. 【学习过程】 一.导1.勾股定理的内容的是: .2.把勾股定理的题设和结论交换你会得到一个命题: .3.勾股定理的逆命题成立吗？如何证明？ 二.学1.画一个边长为3cm ,4cm ,5cm 的三角形，并观察猜测个三角形的形状？2. 三边长度为3cm ,4cm ,5cm 的三角形与以3cm ,4cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？请简要说明理由？3.△ABC 三边长为a ,b ,c 且满足222c b a =+，那么△ABC 与以a ,b 为直角三角形之间有何关系？试说明理由？bBCC14.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a ,b ,c ，且满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.5.在一对命题中，第一个命题的题设为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰为第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题.若如果把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题.6.若一个定理的逆命题成立，我们就把这个逆命题叫做这个定理的逆定理.任意一个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理. 三.议例1.说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.1.猫有四只脚.2.线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.3.对顶角相等.4.角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. 例2. 判断由线段a ,b ,c 组成的三角形是不是直角三角形: (1)a =15，b =8，c =17 (2)a =13，b =14，c =15【说明】像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）.你还能说出一些勾股数吗？例3.如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD 的形状，并说明理由.四.练1.判断由线段a ,b ,c 组成的三角形是不是直角三角形.(1)a =15 b =8 c =17 （ ） (2)a =13 b =14 c =15 （ ） 2.判断正误:(1)△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且满足222b c a -=那么△ABC 不是直角三角形.（ ） (2)△ABC 中a =5，b =13，c =12，因为222c b a ≠+所以△ABC 不是直角三角形.（ ） (3)在△ABC 中三边长分别为a =10 , b =6, c =8, 因为222a c b =+，所以∠C=900（ ）(4)任何一个命题都有逆命题，任何一个定理都有逆定理.( ) 五.悟:本节课你收获了什么？ 【课后练习】1.下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A.a =8，b =15，c =17B.a =9，b =12，c =15C.a :b :c =2:3:4D.a =5k ，b =12k ，c =13k （k ＞0）2.如图，已知∠B=90°，AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，求四边形ABCD 的面积.3.已知:在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若n 表示大于1的整数且12-=n a ，n b 2=，12+=n c .那么a 、b 、c 是一组勾股数吗b ？如果加以证明，若不是说明理由.§1.2.2勾股定理逆定理(2)【教学目标】:1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.2.培养学生的发展逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合. 【难点】:勾股定理的逆定理的应用 【课堂学习】 一.导1.如果线段a 、b 、c 满足222b c a -=，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 2.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）.A.5，6，7B.10，8，4C.7，25，24D.9，17，15 3.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）. A.a -1，a 2，1+a B.1-a ，2 ，1+a C.1-a ，a 2，1+a D.1-a ，a ，1+a4.若△ABC 的三边a .b .c 满足182-+b a +2)18(-b +30-c =0则△ABC 是 三角形. 二.学例 1.“远航”号.“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？三.议例3.已知正方形ABCD 中E 为AD 的中点，CF=3DF.求证∠BEF 为直角.四.练1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A.3，4，5B.2，3，4C.5，10，15D.4，5，62. 下列条件①∠A=∠B=∠C ； ②∠A+∠B=∠C ； ③∠A=∠B=300；④∠A+∠B=450；⑤∠A=∠B=450；能判断△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A.2个B.3个C.4个D.所有的条件都不能判断3.等腰三角形的周长为36厘米，底边上的高为12厘米，则该三角形的面积为 .4. 一个直角三角形的三边长为连续的整数，则它的三边长分别为 ；一个直角三角形的三边长为连续的三个偶数，则它的周长为 .五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.请完成以下未完成的勾股数:(1)8、15、_______；(2)10、26、_____.2.△ABC 中，222c b a =+，722=-b a ，又c =5，则最大边上的高是_______. 3.以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）.A.，，24，25 C.4，7.5，8.5 D.3.5，4.5，5.54.一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ）.5.已知:如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB ⊥AD.求证:BC ⊥BD.6.一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？§1《勾股定理》单元复习【知识要点】1.如图，在△ABC 中，设BC=a ,AC=b ,AB=c①.若∠C=90°，则a 、b 、c 之间的关系为 . ②.当a 、b 、c 之间的关系满足 时，∠C=90°. 2.勾股定理的应用:(1)已知直角三角形的两边，求第三边.（直接代入公式）(2)已知直角三角形的一边及另两边的关系，求另两边.（利用勾股定理列方程） 3.勾股定理逆定理的应用:用作直角三角形的判定. 【典型例题】【例1】.填空题:在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a =7，c =25，则b = . ⑵如果∠A=30°，a =4，则b= . ⑶如果∠A=45°，a =3，则c = . ⑷如果c =10，b a -=2，则b = . ⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则c b a ++ .⑹如果b=8，a :c =3:5，则c = .【例2】.如图，矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=10cm ，折叠矩形的AD 边，使D 点落在BC 边的F 处，求CE 的长.FD ABC【例3】.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 边的中点，E 是BC 上一点，且CE=BC 41. 求证:∠AFE=90°BDabCA【课后练习】， 一、填空题1.如图，有一块边长为12米的正方形草地，有人常走捷径AB ，为此，小明在A 地立了一个标牌“少走 米，踏之何忍”.米12米BDC2.利用图(1)或图(2)两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 .3.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是 6，则它底边上的高为 .4.如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD.BC 于E.F ，连接CE ，则CE的长为5.若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论:① 以2a ，2b ，2c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；② 以a ，b ，c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③ 以b a +，h c +，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④ 以a1，b 1，c1的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为 . 二.选择题:1.以OA 为斜边作等腰直角三角形OAB ，再以OB 为斜边在△OAB 外侧作等腰直角三角形OBC ，如此继续，得到8个等腰直角三角形（如图），则图中△OAB 与△OHJ 的面积比值是（ ） A.32B.64C.128D.2562.如图，直线上有三个正方形a ,b ,c ，若a ,c 的面积是5和11，则b 的面积是（ ） A.4B.6C.16D.553.以下不能构成三角形三边长的数组是（ ）A.（1，3，2）B.（3，4，5）C.（3，4，5）D.（32，42，52）4.左图是一个边长为）（n m +的正方形，小明将图左中的阴影部分拼成右图形状，由左图和右图能验证的式子是（ ）A.mn n m n m 4)(22=--+）（B.mn n m n m 2)()(222=+-+C.2222)(n m mn n m +=+-D.22))((n m n m n m -=-+三.解答题:1.如图，在一棵树的10米高的B 处两只猴子，其中一只猴子爬到树下，走到离树20米处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直接跃到池塘A 处（假设它经过的路线是直线），如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高度.2.如图，八年级五班几名同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹杆插到离湖1米远的水底，只见竹杆高出水面0.2米，把竹杆的顶端拉向湖边（底端没动），杆顶和湖边的水面刚好平齐，求湖水的深度.CD3.阅读下列解题过程:已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足442222b ac b c a -=-，试判断△ABC 的形状. 解:∵ 442222b ac b c a -=- ————————① ∴ ))(()(2222222b a b a b a c -+=- ————————② ∴222b ac += ————————③ ∴ △ABC 为直角三角形.问:(1)上述解题过程，有错吗？ （填“有”或“无”） (2)如果有错，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； (3)错误的原因是 ； (4)本题正确的结论是 .。
北师大版八年级上册1.1第1课时认识勾股定理说课稿
为了激发学生的学习兴趣和动机，我采取以下策略和活动：
1.创设情境：通过引入实际问题，让学生感受到勾股定理在生活中的广泛应用，从而激发他们的学习兴趣。
2.探索活动：组织学生进行小组合作，引导他们通过观察、猜想、归纳等方法，探索勾股定理的发现过程，增强学生的参与感和成就感。
3.竞赛激励：开展勾股定理知识竞赛，鼓励学生积极参与，提高他们的学习热情。
2.提出问题：提出一个与勾股定理相关的问题：“一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，那么它的斜边是多少？”让学生尝试解答，引发学生对勾股定理的探究兴趣。
3.故事导入：讲述古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的传说故事，让学生在轻松愉快的氛围中进入新课学习。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
-及时给予学生反馈，针对性地解答学生的疑问。
-课后评估教学效果，通过作业、测试和学生的反馈来了解教学成效。
课后，我将进行以下反思和改进：
1.分析学生的作业和测试成绩，查找教学中的不足。
2.根据学生的接受程度，调整教学节奏和难度。
3.定期与学生交流，了解他们的学习需求，不断优化教学方法。
3.课堂展示：鼓励学生将小组探究的成果进行展示，其他学生进行评价和提问，以此提高学生的表达能力和批判性思维。
4.课后交流：利用网络平台，开展线上讨论和交流，让学生在课后继续探讨勾股定理相关知识，延伸学习空间。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一张古老的直角三角形图形，引发学生思考：“为什么在古老的建筑中，直角三角形如此常见？”从而激发学生对直角三角形相关性质的好奇心。
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
1.1 勾股定理学案
1.1 探索勾股定理（1）一、课前预习1、正方形面积的计算公式，边长为5时，面积为多少？2、三角形两边分别是2,5第三边是c ，求第三边的取值范围.3、直角三角形两直角边为3、4求则第三边斜边的取值范围，斜边与这两条直角边的长度之间还有什么关系？二、新课学习 1、观察下面两幅图：2、填表：A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积）左图 右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？ 【小结】求面积常用方法： ____________________________（4）你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？【结论】：以_______三角形两_______边为边长的小正方形的面积的和，等于以______边为边长的正方形的面积．AB CC BA思考：（1）若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？★【勾股定理】如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么_________________ 即_______三角形两_____边的______和等于斜边的_______． 几何语言：∵在△ABC 中，∠____＝900∴____2＋____2＝____2三、典型例题及练习：例1、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？ 解：∵在△ABC 中，∠____ ＝900 ∴____2＋____2＝____2 即92 ＋122＝AB 2∴AB 2＝____ ∴AB ＝____∴大树在折断之前高 。
【跟踪练习】：1、如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.弦股勾ACBabc2、求图形中未知正方形的面积：3、若△ABC 中，∠C =90°，（1）若a =5，b =12，则c =________；（2）若a =6，c =10，则b =________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =________，b =________.4.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为多少？5.底边长6cm ，底边上的高为4cm 的等腰三角形的腰长为多少？6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是_________cm 2．1.1 探索勾股定理（2）一、课前复习：1、勾股定理：直角三角形_________________________ 几何语言：在△ABC 中，∵∠____ ＝900∴____2＋____2＝____22、在直角三角形ABC 中, ∠C =900,BC =12,CA =5,AB = ______.3、 如果直角三角形的一条直角边长为40，斜边长为41，那么另一条直角边的长为______.?2251002572577cmDACB二、典型例题：例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？例2、受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？(提示：方程思想)三、课堂练习：1．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为多少？2．我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？6米5000m4000mC B A500m400m C B A“路”4m3m3、一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）． A ．30cm 2 B ．130cm 2 C ．120cm 2 D ．60cm 25、轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.6、如图学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开 拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅 少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花 草．7、一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？A BOCD3米9km AB9km 4km6km9km 2km8、△ABC中，∠C=900,AC=6,BC=8,沿AD折叠，使C点与AB边上的E点重合，求CD的长。
1.1探索勾股定理(教案)
今天在教授《1.1探索勾股定理》这一章节时，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出很大的兴趣。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功激发了学生的好奇心。然而，我也注意到在讲授过程中，部分学生对代数证明部分的理解存在困难。
在理论介绍环节，我尽量用简单明了的语言解释勾股定理，并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。不过，我意识到在讲解难点时，需要更多具体的例子和图形演示来帮助学生理解。今后，我可以在这一部分增加一些互动环节，如让学生自己动手画图，加深对定理的理解。
2.教学难点
（1）理解勾股定理的证明过程，尤其是代数证明部分。
（2）将勾股定理应用于解决实际问题，特别是需要将实际问题转化为数学模型的能力。
举例：
-在代数证明部分，学生可能对平方的概念理解不深，教师需要通过具体例子和图形演示，帮助学生理解平方的含义。
-在解决实际问题时，学生可能不知道如何将问题转化为直角三角形的模型。教师可以通过案例分析和示范，引导学生学会提取关键信息，建立数学模型。
3.培养学生的数学应用意识，将勾股定理应用于解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作意识和探究精神，鼓励学生在小组讨论、合作探究中发展团队协作能力和创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并掌握勾股定理的表达式：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢？
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13；
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形，即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的探 究方法；
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你 知道它的第三边长吗？
实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理.
观察：
A＇
C＇
B＇
图②
正方形A＇中含有__1_6_个小正方形，即 A＇的面积是__1_6__.
正方形B＇中含有__9__个小正方形，即 B＇的面积是__9___.
正方形C＇中含有__2_5_个小正方形，即 C＇的面积是__2_5__.
第一章勾股定理学案1.1-1.2
1．1探索勾股定理（1）一、前提补偿：1、通过计算填表格 a 11 12 1314 15 16 17 18 19 20 2a2X 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 X二、导学点拨：（一）：自主尝试 （1）观察图1-1正方形A 中含有 个小方格，即A 的面积是 个单位面积。
正方形B 的面积是 个单位面积。
正方形C 的面积是 个单位面积。
（2）在图1-2中，正方形A ，B ，C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？__________________________________________（3）你能发现图1-1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？____________________________________________ （1）观察图1-3、图1-4，并填写右表：A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积） 图1－3 图1－4（2）三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系？ ___________________________________________（3）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？___________________________________- （4）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
结论：勾股定理：________________________________________________我国古代把直角三角形中较短的直角边称为________，较长的直角边称为_________，斜边称为_______。
如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么勾股定理表示为____________________。
这个式子还能变形为：_________________________________ （二）合作交流AB CAB C（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2ABC图1-3A B C图1-4abc勾股弦刚刚我们是通过数格子的方法探索发现了勾股定理，，那么从刚才探索的过程中，你是怎么得到正方形C 的面积的，你能验证勾股定理吗？A ：在图1-4中以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，你能用此图验证勾股定理吗？试一下提示：（1） （2）B ：如图是美国总统Garfield 于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能用它来验证勾股定理吗？并写出验证过程。
1.1 探索勾股定理(1)教学课件(共23张PPT) 八年级数学上册北师大版
探究新知
数格子法探索勾股定理
A
B
图1
C
C A
B
图2
16
9
25
4
9
13
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的大正方形的面积． 也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
C A
B SA SB SC
随堂练习
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8
cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且
与AE重合，求CD的长．
A
解：由勾股定理，得
E
AB
10 ，S△ABC
1 68 2
24 ，
CD
B
S△ABC
S△ABD
S△ACD
1 10DE＋ 1 6CD
2
2பைடு நூலகம்
24．
(3)三个正方形的面积之间有什么关系?
探究新知
数格子法探索勾股定理
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，
等于以斜边为边长的大正方形的面积．
也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
AB
C SA SB SC
如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个 单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.
问题思考：(1)运用此定理的前提条件是什么? (2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
1.1 探索勾股定理 课件(北师大版上册)1
方法二：
方法三：
“割”
分割为四个直 角三角形和一 个小正方形
“补”
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积
“拼”
将几个小块拼成 一个正方形，如 图中两块红色 （或绿色）可拼 成一个小正方形
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 左图 右图 B的面积 C的面积
4 16
9 9
13 25
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角
边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积.
探究活动二：
观察右边两 幅图：
A B B C A C
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 左？
4
9
9
16
？
方法一：
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界. 3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足 a 2 b 2 c 2?
a
c b
a c
b
S A S B SC
结论2 以直角三角形两直角边为
边长的小正方形的面积的和，等于以
斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和 斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
A a
c
C A
a c b
C
B
b
B
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在 什么关系吗？ 2 2 2
1.1.1探索勾股定 理
（第1课时）
学习目标
• ● 知识与技能目标 • 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解 勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股 定理进行简单的计算和实际运用． • ● 数学思考 • 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结 合和特殊到一般的思想方法． • ● 解决问题 • 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与 现实生活的紧密联系． • ● 情感与态度 • 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理 在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想， 激励学生发奋学习．zxxk
北师大版-数学-八年级上册-第一章第一节勾股定理 第一课时教案--
《八年级上第一章第一节勾股定理》教案第1课时 1.1勾股定理（1）【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：1. 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2. 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
【教学重点】：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
【教学难点】：勾股定理的发现【教学工具】：1．学生准备方格纸．2．多媒体课件，易折的小木棍◆教学情景导入王大妈家的天线杆在一次大风中被刮成了两节，成了如图所示的样子，（出示动画课件）rew天线杆高24米，在离地面9米处断裂，杆顶落地点离线杆底的距离在什么范围内？生：这是已知三角形的两边，求第三边范围，利用三角形三边关系可求出杆顶落地点离线杆底的距离在大于7米且小于24米之间。
师：好！如果线杆底部仍和地面垂直，顶部到底部的距离唯一吗？如何解决？（用小木棍演示三角形三边的变化过程。
）将这个图形抽象成数学图形，这是已知直角三角形两边求第三边的问题，这节课我们就来探索直角三角形三边有什么关系。
（板书课题）◆教学过程设计1．活动与探究［师］（出示课件）观察右图，并回答问题：图中的三个正方形和直角三角形之间有什么关系？正方形的边长恰好是直角三角形的三边长。
［师］好！那这三个正方形的面积有无联系呢？我们先来看看方个格中的图形：bca（1）观察方格中的图1．正方形A 中含有_________个小方格，即A 的面积是_________； 正方形B 中含有_________个小方格，即B 的面积是_________ 正方形C 中含有_________个小方格，即C 的面积是_________．（2）在图2、图3中，正方形A 、B 、C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？（与同伴交流．）A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积） 图1 图2 图3（［生1］在图1中，正方形A 含1个小方格，所以它的面积是1个单位面积；正方形B 含1个小方格，所以B 的面积也是1个单位面积；正方形C 含2个小方格，所以C 的面积是2个单位面积．［师］如何求得正方形C 的面积呢？［生2］正方形C 可划分为四个直角边长都为1个单位的四个全等的等腰直角三角形，所以C 的面积为4×（21×1×1）=2个单位面积． ［生3］我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成2个小方格，所以C 的面积为2个单位面积．［生4］正方形C 还可以看成边长为2个单位的正方形面积的一半，即C 的面积为21×22=2个单位面积．）［师］同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图1中C 的面积，图2，图3中的A ，B ，C 的面积是否可借鉴图1中的A ，B ，C 的求法获得呢？请小组讨论、交流。
1.1 探索勾股定理 教案学案练习测试全
第一章勾股定理1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？测验评价等级：A B C ，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：________ 姓名：________1.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.图12.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.测验评价结果：_____________；对自己想说的一句话是：______________________.参考答案1.(1)2.5 (2)30 (3)30米2.如图：等边△ABC 中BC =12 cm ，AB =AC =10 cm作AD ⊥BC ，垂足为D ，则D 为BC 中点，BD =CD =6 cm 在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2－BD 2=102－62=64 ∴AD =8 cm ∴S △ABD =21BC ·AD =21×12×8=48(cm 2)3.解：(1)∵△ABC 中，∠C =90°，AC =2.1 cm ，BC =2.8 cm ∴AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.25 ∴AB =3.5 cm ∵S △ABC =21AC ·BC =21AB ·CD∴AC ·BC =AB ·CD ∴CD =ABBC AC ⋅=5.38.21.2⨯=1.68(cm)(2)在Rt △ACD 中，由勾股定理得： AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=AC 2－CD 2=2.12－1.682 =(2.1+1.68)(2.1－1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21∴AD =2×3×0.21=1.26(cm)∴BD =AB －AD =3.5－1.26=2.24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m 2)5.解：根据题意得：Rt △ADE ≌Rt △AEF∴∠AFE =90°,AF =10 cm,EF =DE设CE =x cm ，则DE =EF =CD －CE =8－x 在Rt △ABF 中由勾股定理得： AB 2+BF 2=AF 2，即82+BF 2=102， ∴BF =6 cm∴CF =BC －BF =10－6=4(cm)在Rt △ECF 中由勾股定理可得： EF 2=CE 2+CF 2，即(8－x )2=x 2+42 ∴64－16x +x 2=x 2+16 ∴x =3(cm),即CE =3 cm参考例题［例1］如下图所示，△ABC 中，AB =15 cm ，AC =24 cm ，∠A =60°，求BC 的长.分析：△ABC 是一般三角形，若要求出BC 的长，只能将BC 置于一个直角三角形中. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D 在Rt △ACD 中，∠A =60° ∠ACD =90°－60°=30° AD =21AC =12(cm)CD 2=AC 2－AD 2=242－122=432， DB =AB －AD =15－12=3. 在Rt △BCD 中，BC 2=DB 2+CD 2=32+432=441BC =21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解. ［例2］如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点.因为B ′D =DB .所以B ′D =AC .∠B ′DO =∠OCA =90°， ∠B ′=∠CAO所以△B ′DO ≌△ACO (SSS ) 则OC =OD =21AB =21×6=3米.连结OB ，在Rt △ODB 中，OD 2+BD 2=OB 2 所以OB 2=32+42=52，即OB =5(米).所以点B到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.。
1.1 探索勾股定理 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册
拨
［答案］ B
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
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方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
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例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
［解题思路］设 AC=b，BC=a，AB=c，易得 AB⊥DE，所
考
点
清 以四边形 ACBE 的面积=S△ACB+S△ABE= AB·DG+ AB·EG=
单
解
2
读 AB·（DG+EG）= AB·DE= c ， 四边形 ACBE 的面积
=S
梯形 ACFE
）b+
+S△EFB=
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［答案］ 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
所以∠ADB=∠ADC=90°．
设 BD=x，则 CD=21-x，
在 Rt△ABD 中，AD2=102-x2，
在 Rt△ADC 中，AD2=172-（21-x）2，
解得 x=6，所以 AD2=102-62=64，
所以 AD=8，即 BC 边上的高为 8．
（1）已知∠C=90°，a=6，b=8，求 c；
（2）已知∠B=90°，a=15，b=25，求 c.
1.1 探索勾股定理
考
点
清
【初二】第三章勾股定理讲义
勾股定理1.1 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
1.2勾股定理的证明：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
1.4勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为（ ）CABcb aDCGFE Hcb a cba ED CBA【例3】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例4】 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【例5】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5 C【例6】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例7】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______； （2）如果68a b ==，，则c =_______； （3）如果512a b ==，，则c =________； （4）如果1520a b ==，，则c =________.(5)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (6)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______；(7)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______．【例8】 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例9】 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 【例10】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，EC 的长为 ． 【例11】一个矩形的抽屉长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 【例12】如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？CBA“路”4m3m【例13】 将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为（ ） 【例14】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为（ ） 【例15】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．(1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ．2 勾股定理的逆定理【例1】 分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)5、12、13；(3)8、15、17； (4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【例2】 下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【例3】 已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（ ）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定【例4】 在ABC △中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．【例5】 若ABC △中，()()2b a b a c -+=，则B ∠=____________； 【例6】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC△是______三角形．【例7】 下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169【例8】 已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角D ．形状无法确定【例9】 若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【例10】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【例11】 如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7【例12】 如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【例13】 如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（ ）【例14】 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．【例15】 如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，．（1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．【例16】 已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【例17】 如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA =2：2：3：1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．【例18】 如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =BE ，AE =BD ．（1）试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并说明你的结论； （2）若AC =5，BD =12，求CE 的长．【例19】 阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且PBCA21EBDCADCBAABDCD CBACDBE AA12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为5，这边上的中线长为，另两边之和为7，求这个三角形的面积．【例20】 已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【例21】 已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDN AM MAND CB【例22】 在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?． 1.等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．2.如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆CB A底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为3.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于 ．4. Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )．5.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，则CD 的长为 ．6.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 7.如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（ ）A ．10B ．12C ．14D ．168.如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是 ．9. 如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（ ）2cm ．10. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．DCBAFECBDAE DBC AQCA。
第一章《勾股定理》(全章)
第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理（一）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正即4×21×＋﹝﹞2＝c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________右边S=_____________左边和右边面积相等，即_________________________化简可得_______________________三、合作探究bbbccccaabbbaaccaabcc1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c= 。
1.1勾股定理_1PPT课件(沪科版)
2．勾股定理的适用条件： 直角三角形，它反应了直角三角形三边的关系，
即已知直角三角形两边长可求第三边长．对于非直 角三角形问题，可根据图形特征构造直角三角形．
3．由勾股定理的基本关系式： a2＋b2＝c2可得到一些变形关系式： c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝ (a－b)2 ＋ 2ab ； a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等.
3和4，则第三边长为( D )
A．5
B. 7 C. 5 D．5或 7
知识点 2 勾股定理与图形面积
知2－讲
1．命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2．常用证法：利用拼图法，通过求面积来验证；这 种方法以数形转换为指点思想、图形拼补为手段， 以各部分面积之间的关系为根据而到达目的．
知2－讲
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的
面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形
M的面积为________；
知2－讲
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径 向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积 之间的关系式是________； (用图中字母表示)
知2－讲
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3 和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆， 请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
知1－导
探究 在行距、列
距都是1的方格网
中，任意作出几
个 以格点为顶点
的直角三角形，
分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，
如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积.
视察图(1)，并填写:
视察图(2)，并填写:
知1－导
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图1-1-3 图1-1-1 第一章 勾股定理
探索勾股定理（1）
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1．任意的直角三角形，如果它的两直角边分别为，斜边为，那么一定有 ，即直角三角形两直角边的平方和等于 ． 一课一得
1．△ABC 中，，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．
（1）若，，则______；
（2）若，，则______；
2．如图1-1-1，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．无法计算 能力训练
3．等腰直角三角形的斜边长为10，则直角边长为 ．
4．等腰△ABC 中，，，则BC 边上
的高是 ．
5．如图1-1-2，由边长为的正方形地砖铺设的地面示意图，
小明沿图中所示的折线从A B C →→，则小明所走的路程
为 ． 6．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．
7．中，斜边，则的值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．6
D ．无法确定
8．直角三角形的斜边长25，一条直角边长为7，则该三角形的的面积为（ ）
A ．81
B ．82
C ．83
D ．84
9．如图1-1-3，中，，是边上的高线，
，则BD 等于（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．
11．b a 、c 90C ∠=︒5a =12b =c =41c =40a =b =Rt ABC ∆90ACB ∠=︒15AB cm =ADEC BCFG 2150cm 2200cm 2225cm 10AB AC cm ==12BC cm =1m Rt ABC ∆2BC =222AB AC BC ＋＋ABC ∆10AB AC ==BD AC 2DC =102图1-1-2
10．在中，，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若34a b =∶∶，75c cm =，求a 、b ；
（2）若35a c =∶∶，，求的面积；
（3）若，，求a 、c ．
11．如图1-1-5，在中，，，，求边上的高的长．
Rt ABC ∆90C ∠=︒12b =ABC ∆4c a -=16b =ABC ∆13AB =14BC =15AC =BC AD 图1-1-5
D C B A
博学近思
12．如图1-1-6，ABC ∆中，90C ∠=︒．
（1）分别以直角三角形的三边为边向三角形外作等边三角形（如图①），探究S 1＋S 2与S 3的关系；
（2）分别以直角三角形的三边为斜边向三角形外作等腰直角三角形（如图②），探究S 1＋S 2与S 3的关系；
（3）分别以直角三角形的三边为直径向三角外作半圆（如图③），探究S 1＋S 2与S 3的关系．
13．如图1-1-16是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一
个直角三角形，两直角边分别为和．按照输油中心O 到
三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长
（计算时视管道为线，中心O 为点）是 ．
6m 8m 图① 图② 图③ 图1-1-6 图1-1-16
14．如图1-1-17，在中，，，4AC =，平分交于点，求的长．
ABC ∆90BAC ∠=︒3AB =AD BAC ∠BC
D BD 图1-1-17 A B C D。