讲题的四种境界

讲题的四种境界

黄金声

(江西省临川二中 344100)

讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题．笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点．

1 什么是“讲题的四种境界”?

第一种境界：就题讲题，把题目讲清；

(达成目标：一听就能懂)

第二种境界：发散题目的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透；

(达成目标：一点就能透)

第三种境界：理清题目的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活；

(达成目标：一时忘不了)

第四种境界：探究题目之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做题目的主人

(达成目标：一用真有效)

2 “讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释

2．1会解题≠会讲题

会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题．

讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂!——基础太差了!?

②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题?教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢?——悟性有问题!?

③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题．——不信教不会(再不会就没救)!?

会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用．

讲题前情景①教师认真做题；②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的?做题过程中遇到哪些障碍?③学生在思考过程中会遇到哪些障碍?怎样讲才会使学生更容易接受?

在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：

题1 如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分是三角形．

答案很简单：等腰三角形．

由此引起了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形?是等腰三角形吗?是不是随便一折都是等腰三角形?

于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来．结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形．如图所示：

而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中a ∠的变化就轻松搞定，即：

①当︒45＜a ＜︒90时，ABC ∆是锐角三角形；

②当︒0＜a ＜︒45时，ABC ∆是钝角三角形；

③当a =︒45时，ABC ∆是等腰直角三角形，当a =︒60时，ABC ∆是等边三角形．

在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗?从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由a ∠的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等．

2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的．这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定．

2．2 清楚≠懂≠会

清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把“分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来．其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界．

懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”．其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界．

会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力．其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界．

题2 (2007·常州)已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的

三个顶点E 、G

、H 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 、DA 上，2=AH ，连接CF ．

(1)当2=DG 时，求△FCG 的面积；

(2)设x DG =，用含x 的代数式表示△FCG 的面积；

(3)判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由．

讲题分析

第(1)问中“2=DG ”寓意于AH DG =，即△HAE ≌△GDH ，且︒=∠90GHE ．又由菱形EFGH 可得点F (或CF )此时位于BC 边上，由此可知，四边形(菱形) EFGH 已特殊化为正方形．所以，△FCG 的面积等于△GDH 的面积．

第(2)问中“x DG =”是让菱形EFGH 一般化．由于可推知△FCG 中，x CG -=6，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种必然．由图形的对称性可知，应连接GE ，通过证明△HAE ≌△FMC ，得2==AH FM ．

第(3)问是借助试题中“菱形EFGH 的两个顶点E 、G 分别在正方形

ABCD 边AB 、CD 上”的限制作用．由第(2)问可知，2==AH FM ，是一

个定值，则x 的大小就限制了△FCG 的面积．因为HD ＞AH ，所以HC ＞

HB ，即①点E 不可能与点A 重合(x 的最小值为0，即HG 的最小值等

于HD )②点G 不能与点C 重合(即HG 的最大值等于HB )．这样通过求出x 的值并由此求出HG (或AE )的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等于1了．

讲题反思

1 第(1)问中证明“四边形(菱形) EFGH 为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH ≌△FCG 模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍?

2 第(2)问中“连接GE ”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题(或解题)中得到暗示．同时，试题中连接GF 有些不流畅．

3 研究发现：由于点F 是随着点G 、E 的位置变化而变化的，虽然点F 到DC 的距离2==AH FM ，是一个定值，但点F 到AD 的距离却在一定范围内发生变化．

为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形EFGH 中点F 的位置变化为主线，改编成下题：

题3如图，正方形ABCD 的边长为6．以直线AB 为羽轴、AD 为y 轴建立坐标系．菱形EFGH 的三个顶点H 、E 、G 分别在正方形ABCD 边DA 、AB 、CD 上，已知2=AE ．

(1)如图甲，当点F 在边BC 上时，求点F 的坐标；