最新将军饮马问题(讲)

将军饮马问题

类型一、基本模式

类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）

2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上

的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．

【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河

OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．

3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?

4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小

5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）

A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24

6. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.

7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.

8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.

练习

1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

2、 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓

库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？

a

B

A

3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．

4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．

N

M

D C

B A

5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。

6、如图，直角坐标系中有两点A 、B,在坐标轴上找两点C 、D,使得四边形ABCD 的周长最小。

.A

. B

7、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？

8、4)9(122+-++=

x x y ,当x 为何值时，

y 的值最小，并求出这个最小值.

9、在平面直角坐标系中，A(1，-3)、B(4，-1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形PABN 的周长最小时，求a 的值.

10、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E 、F 是底边AD 与BC 的中点，连接EF ，在线段EF 上找一点P ，使BP+AP 最短．

练习

1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．平行四边形 3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们

把这样的图形变换叫做滑动对称变换

．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变

换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换

．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )

(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分

(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行

6、对右图的对称性表述，正确的是（）．

A．轴对称图形 B．中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形

7、如图，△A′B′C′是由△ABC经过变换得到的，则这个变换过程是

（A）平移（B）轴对称（C）旋转（D）平移后再轴对称

C

B

A

B′B

A′B

C′

8、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段

BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－1

2

x＋b交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S关于b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，9、探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

【答案】（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝3 2

若直线经过点B（3，1）时，则b＝5 2

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤3

2

，如图25-a，

此时E（2b，0）

∴S＝1

2

OE·CO＝

1

2

×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即3

2

＜b＜

5

2

，如图2