复变函数 小结

《复变函数》 小结

第一章

一、

复数基本概念及其运算

1. 复数：z x yi =+

，i =

（2）共轭复数：z x i y =-，记作：z 。

性质：z z =； 1212z z z z =；“”可以是：“,,,+-⨯÷”

()()22

22Re Im z z z z x y ⋅=+=+；

Re 2z z x z +==，Im 2

z z

y z -== （3）复数的模、主辐角arg (,]z ππ∈-、辐角

z =

()

()()arctan 0,arctan 0,0arg arctan 0,020,020,0y x x y y x x y z y x x y x y x y ππ

ππ⎧>∀⎪

+<≥⎪⎪

=-<<⎨⎪=>⎪⎪-=<⎩

一四象限

二象限三象限正虚轴负虚轴

rg arg 2A z z k π=+

2. 复数的表示

代数表示：复数z x i y =+11-←−→向量(,)x y 11

-←−→点z ； 三角表示： cos sin z r i r θθ=+(cos sin )r i θθ=+ 指数表示：(cos sin )z r i θθ=+i r e θ

=. 注：r 是z 的模，θ是z 的任意一个辐角。 3. 复数的运算

四则运算：设有111z x i y =+，222z x i y =+两个复数：

121212()z z x x i y y ±=±+±； 1212121221()()z z x x y y i x y x y ⋅=-++； 1

2

z z z =

； 乘幂与方根（利用指数表示、三角表示）

设有复数i z r e θ=，则()n i n n in z re r e

θθ

==

;

21k i n n n k w r e

θπ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

== （0,1,2

1k n =-）

Note ：① 1212||||z z z z ⋅=⋅；1212Arg ()Arg Arg z z z z ⋅=+；

②1122||

||z z z z =；1122Arg Arg Arg z z z z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

；

三、复变函数及其运算 1. 复变函数：()w f z =。

几何意义：把z 平面上的一个点集−−−

→映射

w 平面的一个点集。 与实变函数的关系：设z x i y =+，w u i v =+，则()w f z =可以写成：

()w u iv f x i y =+=+ (,)(,)u x y i v x y =+

第二章

一、复变函数的导数与微分 1. 定义：()w f z =，0()f z '=0lim

z w z ∆→∆∆000()()lim z f z z f z z ∆→+∆-=∆； 或记作0

z z dw dz =. 2．求导法则：四则运算、 复合函数求导、反函数求导与一元函数相同； 3. 微分：d ()d w f z z '=； 二、解析函数※

1.定义：如果函数()f z 在0z 点以及0z 点的邻域内处处可导，则称()f z 在0z 点解析；

2.判别解析函数的方法 （1）定义：()f z '=0lim

z w z ∆→∆∆0()()

lim z f z z f z z

∆→+∆-=∆

（2）Cauchy-Riemann 方程：

函数()(,)(,)w f z u x y i v x y ==+在点z x i y =+处可导 ⇔

(,)u x y ，(,)v x y 在点(,)x y 处可微，且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann )方程：

u v x y ∂∂=∂∂，

u v

y

x ∂∂=-∂∂ 注：解析函数求导公式：()x x f z u iv '=+；

（3）解析函数的性质：

①在区域 D 内(),()f z g z 解析，则()0

()

()(),()(),

()g z f z f z g z f z g z g z ≠±⋅在区域 D 内也

解析；

②复合函数[()]w f g ξ= 在 D 内解析；

③()w f z =的反函数()z w ϕ=在值域内解析，且()

1

()()z w w f z ϕϕ='=

'。

3. 解析函数的构造

问题：已知实部函数(,)u x y ，求虚部(,)v x y (或者已知虚部 v ，求实部 u )，

使得()(,)(,)f z u x y i v x y =+解析，且满足指定的条件。 方法1：偏积分

x y v u =-

(,)v x y =d ()y u x y ϕ-+⎰

由(,)y v x y =x u ，()y ϕ⇒

方法2：第二类曲线积分

①x y dv v dx v dy =+：,x y y x v u v u =-= ②由(,)dv v x y −−−−→曲线积分

全微分

00(,)(,)

(,)d d x y y x x y v x y u x u y =-+⎰

00

(,)d (,)d x y y x u x y x u x y y c =-++⎰⎰

其中，0C C =或12C C +； 二、

初等函数