高斯-拉盖尔积分公式

实习论文

题目高斯拉盖尔积分公式

专业信息与计算科学

班级计算092

学号3090811065

学生周吉瑞

指导教师秦新强

2011 年

高斯拉盖尔积分公式

专 业： 信息与计算科学

学 生： 周吉瑞

指导老师： 秦新强

摘要

关于数值积分公式0()()b n

k k k a f x dx A f x =≈∑⎰，除了用误差来分析其精度以外，还可以

用代数精度来判断其代数精度的高低，已知n+1点Newton-Cotes 型积分公式，当n 为奇数时，其代数精度为n ，当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。

n+1点的Newton-Cotes 型积分公式属于插值积分型积分公式，一般地，若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n 次代数精度，但是，如果求积节点选取适当，就有可能提高数值积分的代数精度，高斯型积分公式就可以实现这一目标。

关 键 词：数值积分，代数精度，高斯型积分公式

一、目的意义

构造Gaoss 型求积公式除需要求出正交多项式外，还需要求出正交多项式的零点和求积系数，当3n ≥时，这些工作均很困难，因此给出高斯-拉盖尔积分公式的零点和系数。

二、公式

高斯-拉盖尔积分公式：10()()n

x

k k k e f x A f x ∞-=≈∑⎰； 三、算法流程

Step1:输入所用的点数n ；

Step2:对i=1，2，···，n 循环执行步3；

Step3:I= I+ ()i i A f x ;

Step4:输出I ；结束。

四、算法程序

#include

#include

double Lag(double x)

{

double z;

z=1/(1+exp(2*x));

return z;

}

void main()

{

double x[7],A[7],I=0;

int i,n;

printf("请输入点数n:");

scanf("%d",&n);

switch(n)

{

case 2: x[1]=0.5857864376,x[2]=3.4142135624;

A[1]=0.853*******,A[2]=0.1464466094;break;

case 3: x[1]=0.4157745567,x[2]=2.2942803602,x[3]=6.2899450829;

A[1]=0.7110930099,A[2]=0.2785177335,A[3]=0.010*******;break;

case 4: x[1]=0.3225476896,x[2]=1.7457611011,x[3]=4.5366202969,x[4]=9.3950709123;

A[1]=0.6031541043,A[2]=0.3574186924,A[3]=0.0388879085,A[4]=0.0005392947;break;

case 5: x[1]=0.2635603197,x[2]=1.4034030591,x[3]=3.5964257710,x[4]=7.0858100058,x[5]=12.6408008442;

A[1]=0.5217556105,A[2]=0.3986668110,A[3]=0.0759424497,A[4]=0.0036117587,A[5]=0.0000233700;break;

case 6: x[1]=0.2228466041,x[2]=1.1889321016,x[3]=2.9927363260,x[4]=5.7751435691,x[5]=9.8374674183,x[6]=15.9828739806;

A[1]=0.4589646793,A[2]=0.4170008307,A[3]=0.1133733820,A[4]=0.010*******,A[5]=0.0002610172,A[6]=0.0000008985;break;

default :printf("errer\n");

}

for(i=1;i<=n;i++)

I=I+A[i]*Lag(x[i]);

printf("原积分I=%f\n",I);

}

五、数值算例

例 用高斯型积分公式计算积分：20

11x dx e ∞

+⎰ 解：

六、分析评价

其结果与用复化积分公式所得的结果做比较可得，高斯积分公式的结果的代数精度更高。

七、参考文献

[1] 秦新强．数值逼近 [D]. 西安:西安理工大学，2010年元月