无向图的邻接矩阵
图的矩阵表示及习题-答案讲解
177图的矩阵表示图是用三重组定义的，可以用图形表示。
此外，还可以用矩阵表示。
使用矩阵表示图，有利于用代数的方法研究图的性质，也有利于使用计算机对图进行处理。
矩阵是研究图的重要工具之一。
本节主要讨论无向图和有向图的邻接矩阵、有向图的可达性矩阵、无向图的连通矩阵、无向图和有向图的完全关联矩阵。
定义9.4.1 设 G =<V ,E >是一个简单图，V =⎨v 1,v 2,…,v n ⎬ A (G )=(ij a ) n ×n其中：1j i v v v v a j i j i ij =⎩⎨⎧=无边或到有边到 i ,j =1,…,n称A (G )为G 的邻接矩阵。
简记为A 。
例如图9.22的邻接矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111101011011010)(G A 又如图9.23(a)的邻接矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001101111000010)(G A 由定义和以上两个例子容易看出邻接矩阵具有以下性质：①邻接矩阵的元素全是0或1。
这样的矩阵叫布尔矩阵。
邻接矩阵是布尔矩阵。
②无向图的邻接矩阵是对称阵，有向图的邻接矩阵不一定是对称阵。
178③邻接矩阵与结点在图中标定次序有关。
例如图9.23(a)的邻接矩阵是A (G )，若将图9.23(a)中的接点v 1和v 2的标定次序调换，得到图9.23(b)，图9.23(b)的邻接矩阵是A ′(G )。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='0010101100011100)(G A 考察A (G )和A ′(G )发现，先将A (G )的第一行与第二行对调，再将第一列与第二列对调可得到A ′(G )。
称A ′(G )与A (G )是置换等价的。
一般地说，把n 阶方阵A 的某些行对调，再把相应的列做同样的对调，得到一个新的n 阶方阵A ′，则称A ′与A 是置换等价的。
可以证明置换等价是n 阶布尔方阵集合上的等价关系。
虽然，对于同一个图，由于结点的标定次序不同，而得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是置换等价的。
图的邻接矩阵和邻接表相互转换
图的邻接矩阵和邻接表相互转换图的邻接矩阵存储方法具有如下几个特征：1)无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵。
2）对于无向图的邻接矩阵的第i 行非零元素的个数正好是第i 个顶点的度()i v TD 。
3）对于有向图，邻接矩阵的第i 行非零元素的个数正好是第i 个顶点的出度()i v OD （或入度()i v ID ）。
4）用邻接矩阵方法存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连；但是，要确定图中有多少条边，则必须按行、按列对每个元素进行检测，所发费得时间代价大。
邻接表是图的一种顺序存储与链式存储相结合的存储方法。
若无向图中有n 个顶点、e 条边，则它的邻接表需n 个头结点和2e 个表结点。
显然，在边稀疏的情况下，用邻接表表示图比邻接矩阵存储空间。
在无向图的邻接表中，顶点i v 的度恰好是第i 个链表中的结点数，而在有向图中，第i 个链表中结点个数是顶点i v 的出度。
在建立邻接表或邻逆接表时，若输入的顶点信息即为顶点的编号，则建立临接表的时间复杂度是)(e n O +；否则，需要通过查找才能得到顶点在图中位置，则时间复杂度为)*(e n O 。
在邻接表上容易找到任意一顶点的第一个邻接点和下一个邻接点，但要判断任意两个顶点之间是否有边或弧，则需要搜索第i 个或第j 个链表，因此，不及邻接矩阵方便。
邻接矩阵和邻接表相互转换程序代码如下：#include<iostream.h>#define MAX 20//图的邻接表存储表示typedef struct ArcNode{int adjvex; //弧的邻接定点 char info; //邻接点值struct ArcNode *nextarc; //指向下一条弧的指针}ArcNode;typedef struct Vnode{ //节点信息char data;ArcNode *link;}Vnode,AdjList[MAX];typedef struct{AdjList vertices;int vexnum; //节点数int arcnum; //边数}ALGraph;//图的邻接矩阵存储表示typedef struct{int n; //顶点个数char vexs[MAX]; //定点信息int arcs[MAX][MAX]; //边信息矩阵}AdjMatrix;/***_____________________________________________________***///函数名：AdjListToMatrix(AdjList g1,AdjListMatrix &gm,int n)//参数：（传入）AdjList g1图的邻接表,（传入）int n顶点个数，（传出）AdjMatrix gm图的邻接矩阵//功能：把图的邻接表表示转换成图的邻接矩阵表示void AdjListToAdjMatrix(ALGraph gl,AdjMatrix &gm){int i,j,k;ArcNode *p;gm.n=gl.vexnum;for(k=0;k<gl.vexnum;k++)gm.vexs[k]=gl.vertices[k].data;for(i=0;i<MAX;i++)for(j=0;j<MAX;j++)gm.arcs[i][j]=0;for(i=0;i<gl.vexnum;i++){p=gl.vertices[i].link; //取第一个邻接顶点while(p!=NULL){ //取下一个邻接顶点gm.arcs[i][p->adjvex]=1;p=p->nextarc;}}}/***________________________________________________***///函数名：AdjMatrixToAdjListvoid AdjMatrixToAdjList(AdjMatrix gm,ALGraph &gl){int i,j,k,choice;ArcNode *p;k=0;gl.vexnum=gm.n;cout<<"请选择所建立的图形是无向图或是有向图：";cin>>choice;for(i=0;i<gm.n;i++){gl.vertices[i].data=gm.vexs[i];gl.vertices[i].link=NULL;}for(i=0;i<gm.n;i++)for(j=0;j<gm.n;j++)if(gm.arcs[i][j]==1){k++;p=new ArcNode;p->adjvex=j;p->info=gm.vexs[j];p->nextarc=gl.vertices[i].link;gl.vertices[i].link=p;}if(choice==1)k=k/2;gl.arcnum=k;}void CreateAdjList(ALGraph &G){int i,s,d,choice;ArcNode *p;cout<<"请选择所建立的图形是有向图或是无向图：";cin>>choice;cout<<"请输入节点数和边数："<<endl;cin>>G.vexnum>>G.arcnum;for(i=0;i<G.vexnum;i++){cout<<"第"<<i<<"个节点的信息：";cin>>G.vertices[i].data;G.vertices[i].link=NULL;}if(choice==1){for(i=0;i<2*(G.vexnum);i++){cout<<"边----起点序号，终点序号：";cin>>s>>d;p=new ArcNode;p->adjvex=d;p->info=G.vertices[d].data;p->nextarc=G.vertices[s].link;G.vertices[s].link=p;}}else{for(i=0;i<G.vexnum;i++){cout<<"边----起点序号，终点序号：";cin>>s>>d;p=new ArcNode;p->adjvex=d;p->info=G.vertices[d].data;p->nextarc=G.vertices[s].link;G.vertices[s].link=p;}}}void CreateAdjMatrix(AdjMatrix &M){int i,j,k,choice;cout<<"请输入顶点个数：";cin>>M.n;cout<<"请输入如顶点信息:"<<endl;for(k=0;k<M.n;k++)cin>>M.vexs[k];cout<<"请选择所建立的图形是无向图或是有向图：";cin>>choice;cout<<"请输入边信息："<<endl;for(i=0;i<M.n;i++)for(j=0;j<M.n;j++)M.arcs[i][j]=0;switch(choice){case 1:{for(k=0;k<M.n;k++){cin>>i>>j;M.arcs[i][j]=M.arcs[j][i]=1;}};break;case 2:{for(k=0;k<M.n;k++){cin>>i>>j;M.arcs[i][j]=1;}};break;}}void OutPutAdjList(ALGraph &G){int i;ArcNode *p;cout<<"图的邻接表如下："<<endl;for(i=0;i<G.vexnum;i++){cout<<G.vertices[i].data;p=G.vertices[i].link;while(p!=NULL){cout<<"---->("<<p->adjvex<<" "<<p->info<<")";p=p->nextarc;}cout<<endl;}}void OutPutAdjMatrix(AdjMatrix gm){cout<<"图的邻接矩阵如下："<<endl;for(int i=0;i<gm.n;i++){。
设计一个算法将无向图的邻接矩阵转为对应邻接表的算法
设计一个算法将无向图的邻接矩阵转为对应邻接表的算法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.设计一个算法将无向图的邻接矩阵转为对应邻接表的算法。
typedef struct {int vertex[m]; int edge[m][m];}gadjmatrix;typedef struct node1{int info;int adjvertex; struct node1 *nextarc;}glinklistnode;typedef struct node2{int vertexinfo;glinklistnode *firstarc;}glinkheadnode;void adjmatrixtoadjlist(gadjmatrix g1[ ],glinkheadnode g2[ ]){int i,j; glinklistnode *p;for(i=0;i<=n-1;i++) g2[i].firstarc=0;for(i=0;i<=n-1;i++) for(j=0;j<=n-1;j++)if [i][j]==1){p=(glinklistnode *)malloc(sizeof(glinklistnode));p->adjvertex=j;p->nextarc=g[i].firstarc; g[i].firstarc=p;p=(glinklistnode *)malloc(sizeof(glinklistnode));p->adjvertex=i;p->nextarc=g[j].firstarc; g[j].firstarc=p;}}设计判断两个二叉树是否相同的算法。
typedef struct node {datatype data; struct node *lchild,*rchild;} bitree;int judgebitree(bitree *bt1,bitree *bt2){if (bt1==0 && bt2==0) return(1);else if (bt1==0 || bt2==0 ||bt1->data!=bt2->data) return(0);else return(judgebitree(bt1->lchild,bt2->lchild)*judgebitree(bt1->rchild,bt2->rchild));}1.设计两个有序单链表的合并排序算法。
图基本算法图的表示方法邻接矩阵邻接表
图基本算法图的表⽰⽅法邻接矩阵邻接表 要表⽰⼀个图G=(V,E)，有两种标准的表⽰⽅法，即邻接表和邻接矩阵。
这两种表⽰法既可⽤于有向图，也可⽤于⽆向图。
通常采⽤邻接表表⽰法，因为⽤这种⽅法表⽰稀疏图（图中边数远⼩于点个数）⽐较紧凑。
但当遇到稠密图（|E|接近于|V|^2）或必须很快判别两个给定顶点⼿否存在连接边时，通常采⽤邻接矩阵表⽰法，例如求最短路径算法中，就采⽤邻接矩阵表⽰。
图G=<V，E>的邻接表表⽰是由⼀个包含|V|个列表的数组Adj所组成，其中每个列表对应于V中的⼀个顶点。
对于每⼀个u∈V，邻接表Adj[u]包含所有满⾜条件（u，v）∈E的顶点v。
亦即，Adj[u]包含图G中所有和顶点u相邻的顶点。
每个邻接表中的顶点⼀般以任意顺序存储。
如果G是⼀个有向图，则所有邻接表的长度之和为|E|，这是因为⼀条形如（u，v）的边是通过让v出现在Adj[u]中来表⽰的。
如果G是⼀个⽆向图，则所有邻接表的长度之和为2|E|，因为如果（u，v）是⼀条⽆向边，那么u会出现在v的邻接表中，反之亦然。
邻接表需要的存储空间为O（V+E）。
邻接表稍作变动，即可⽤来表⽰加权图，即每条边都有着相应权值的图，权值通常由加权函数w：E→R给出。
例如，设G=<V，E>是⼀个加权函数为w的加权图。
对每⼀条边（u，v)∈E，权值w（u，v）和顶点v⼀起存储在u的邻接表中。
邻接表C++实现:1 #include <iostream>2 #include <cstdio>3using namespace std;45#define maxn 100 //最⼤顶点个数6int n, m; //顶点数，边数78struct arcnode //边结点9 {10int vertex; //与表头结点相邻的顶点编号11int weight = 0; //连接两顶点的边的权值12 arcnode * next; //指向下⼀相邻接点13 arcnode() {}14 arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {}15 arcnode(int v):vertex(v),next(NULL) {}16 };1718struct vernode //顶点结点，为每⼀条邻接表的表头结点19 {20int vex; //当前定点编号21 arcnode * firarc; //与该顶点相连的第⼀个顶点组成的边22 }Ver[maxn];2324void Init() //建⽴图的邻接表需要先初始化，建⽴顶点结点25 {26for(int i = 1; i <= n; i++)27 {28 Ver[i].vex = i;29 Ver[i].firarc = NULL;30 }31 }3233void Insert(int a, int b, int w) //尾插法，插⼊以a为起点，b为终点，权为w的边，效率不如头插，但是可以去重边34 {35 arcnode * q = new arcnode(b, w);36if(Ver[a].firarc == NULL)37 Ver[a].firarc = q;38else39 {40 arcnode * p = Ver[a].firarc;41if(p->vertex == b) //如果不要去重边，去掉这⼀段42 {43if(p->weight < w)44 p->weight = w;45return ;46 }47while(p->next != NULL)48 {49if(p->next->vertex == b) //如果不要去重边，去掉这⼀段50 {51if(p->next->weight < w);52 p->next->weight = w;53return ;54 }55 p = p->next;56 }57 p->next = q;58 }59 }60void Insert2(int a, int b, int w) //头插法，效率更⾼，但不能去重边61 {62 arcnode * q = new arcnode(b, w);63if(Ver[a].firarc == NULL)64 Ver[a].firarc = q;65else66 {67 arcnode * p = Ver[a].firarc;68 q->next = p;69 Ver[a].firarc = q;70 }71 }7273void Insert(int a, int b) //尾插法，插⼊以a为起点，b为终点，⽆权的边，效率不如头插，但是可以去重边74 {75 arcnode * q = new arcnode(b);76if(Ver[a].firarc == NULL)77 Ver[a].firarc = q;78else79 {80 arcnode * p = Ver[a].firarc;81if(p->vertex == b) return; //去重边，如果不要去重边，去掉这⼀句82while(p->next != NULL)83 {84if(p->next->vertex == b) //去重边，如果不要去重边，去掉这⼀句85return;86 p = p->next;87 }88 p->next = q;89 }90 }91void Insert2(int a, int b) //头插法，效率跟⾼，但不能去重边92 {93 arcnode * q = new arcnode(b);94if(Ver[a].firarc == NULL)95 Ver[a].firarc = q;96else97 {98 arcnode * p = Ver[a].firarc;99 q->next = p;100 Ver[a].firarc = q;101 }102 }103void Delete(int a, int b) //删除以a为起点，b为终点的边104 {105 arcnode * p = Ver[a].firarc;106if(p->vertex == b)107 {108 Ver[a].firarc = p->next;109 delete p;110return ;111 }112while(p->next != NULL)113if(p->next->vertex == b)114 {115 p->next = p->next->next;116 delete p->next;117return ;118 }119 }120121void Show() //打印图的邻接表（有权值）122 {123for(int i = 1; i <= n; i++)124 {125 cout << Ver[i].vex;126 arcnode * p = Ver[i].firarc;127while(p != NULL)128 {129 cout << "->(" << p->vertex << "," << p->weight << ")";130 p = p->next;131 }132 cout << "->NULL" << endl;133 }134 }135136void Show2() //打印图的邻接表(⽆权值）137 {138for(int i = 1; i <= n; i++)140 cout << Ver[i].vex;141 arcnode * p = Ver[i].firarc;142while(p != NULL)143 {144 cout << "->" << p->vertex;145 p = p->next;146 }147 cout << "->NULL" << endl;148 }149 }150int main()151 {152int a, b, w;153 cout << "Enter n and m：";154 cin >> n >> m;155 Init();156while(m--)157 {158 cin >> a >> b >> w; //输⼊起点、终点159 Insert(a, b, w); //插⼊操作160 Insert(b, a, w); //如果是⽆向图还需要反向插⼊161 }162 Show();163return0;164 }View Code 邻接表表⽰法也有潜在的不⾜之处，即如果要确定图中边（u,v）是否存在，只能在顶点u邻接表Adj[u]中搜索v，除此之外没有其他更快的办法。
邻接矩阵和关联矩阵
邻接矩阵和关联矩阵一、概念解释邻接矩阵和关联矩阵是图论中常用的两种表示图的方式。
邻接矩阵是指用一个二维数组来表示图中各个节点之间的连接情况，其中数组的行和列分别代表节点，如果节点i和节点j之间有连边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1，否则为0。
关联矩阵是指用一个二维数组来表示图中各个节点和边之间的联系，其中数组的行代表节点，列代表边，如果节点i与边j有关联，则关联矩阵中第i行第j列的元素为1或-1，分别表示该节点是边的起点或终点；如果该节点与该边没有关联，则为0。
二、邻接矩阵1.构建邻接矩阵要构建一个无向图G={V,E}的邻接矩阵A（V*V），可以按以下步骤进行：（1）初始化A为全0矩阵；（2）遍历E集合中每一条边(u,v)，将A[u][v]和A[v][u]均设为1；（3）对角线上所有元素均设为0。
2.应用场景邻接矩阵适用于稠密图（即节点数较多，边数较多）的存储和计算，因为其空间复杂度为O(V^2)，而且可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。
3.优缺点邻接矩阵的优点包括：（1）易于理解和实现；（2）空间利用率高；（3）可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。
邻接矩阵的缺点包括：（1）对于稀疏图（即节点数很多，但是边数很少），会浪费大量空间；（2）插入或删除节点时需要重新构建整个矩阵，时间复杂度为O(V^2)；（3）如果图中存在重边或自环，则需要额外处理。
三、关联矩阵1.构建关联矩阵要构建一个无向图G={V,E}的关联矩阵B（V*E），可以按以下步骤进行：（1）初始化B为全0矩阵；（2）遍历E集合中每一条边(u,v)，将B[u][e]和B[v][e]均设为1，其中e表示第e条边；（3）对于每个节点i，在B中找到与之相关的所有边，并将它们标记为-1，表示该节点是这些边的终点。
2.应用场景关联矩阵适用于稀疏图（即节点数很多，但是边数很少）的存储和计算，因为其空间复杂度为O(V*E)，而且可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。
图的连通性与矩阵表示
若回路中除起点和终点 相同外，其余顶点互不 相同， 则称其为初级（基本） 回路。
有边重复出现的通路， 称为复杂通路。 有边重复出现的回路， 称为复杂回路。
初级通（回）路一定是 简单通（回）路。
3
如右图所示：
v1e 2 v 3 e 3 v 2就是v1到v 2
v2
v1的一条初级通路e4来自e3 e5v3
e2
4
定 理7.2.1： 在 一 个 图 中 ， 若 从点 顶v i 到 顶 点 v j (v i v j ) 存在通路， 则 从v i 到v j 存 在 初 级 通 路 。
定 理7.2.2： 在 一 个 n阶 图 中 ， (1) 任 何 初 级 通 路 的 长 度 不 均大 于 n 1。 ( 2) 任 何 初 级 回 路 的 长 度 不 均大 于 n。
1,
vi为ej的终点，
称M(D) = (mij)nm为D的关联矩阵。
v1
e2 v3 e3 e1 e4 v2 e5 v4
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 M ( D) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1
20
21
1
给定无向图G V , E ，设G中顶点和边的交替序列 为
v1e1v 2e2 ek v k 1，若满足：v i 和v i 1是ei的端点，
i 1,2, , k，则称为顶点v1到顶点v k 1的通路。
中边的数目k称为的长度。当v1 v k 1时，称为回路。
如右图所示：
e1
v4
当然也是一条简单通路
v1e2v3e5v5e7 v4e6v3e3v2
e6
v5
e7
也是v1到v2的一条简单通路，但却 不是初级通路
图部分习题1
12.若无向图G(V,E)中含有7个顶点,则保证图G在任何情况下都是
连通的,则需要的边数最少是___.
A. 6 B. 15 C. 16
D. 21
解: 对于具有n个顶点的无向图,当其中n-1顶点构成一个完 全图时,再加上任意一条边必构成一个连通图,所以最少边数 =(n-1)(n-2)/2+1=16.答案为C.
1 所有顶点的度之和为偶数;
2 边数大于顶点个数减1;
3 至少有一个顶点的度为1;
A. 只有1 B. 只有2.
C. 1和2.
D. 1和3
解: 在无向图中,一条边在度之和中计为2,所以度之和为边数的 2倍,1正确.无相连通图边数最少时为树图的情况,此时边数为顶 点个数减1,2错误.一个顶点数为3,边数为3的无相连通图中所有 顶点度为2,3错误. 答案为A.
2. 对于一个非连通无向图G，采用深度优先遍历算法访问所有 顶点，调用DFS()的次数正好等于____。 A、顶点个数 B、边的数目 C、连通分量的数目 D、不确定 解：正确答案C。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3. 对于采用邻接表存储的图，其深度优先遍历算法类似于二叉 树的____算法。 A、先序遍历 B、中序遍历 C、后序遍历 D、按层遍历 解：正确答案A。
5.4.2 1.一个无向连通图的生成树是含有该连通图的全部顶点的__. A.极小连通子图 B. 极小子图 C.极大连通子图 D.极大子图
解:生成图是含有全部顶点的极小连通子图. 答案为A.
解:连通分量是无向图的极大连通子图，其中极大的含义是将依附 于连通分量中顶点的所有边都加上，所以，连通分量中可能存在 回路，这样就不是生成树了，本题答案为B.
A. 0
B. 1
C. n-1
带权无向图
带权无向图（用邻接矩阵表示）#include <>#include<>#define int_max 10000#define inf 9999#define max 20dj=int_max;[i][j].info=NULL;}printf("输入一条边依附的顶点和权:\n");for(int k=0;k!=;++k){scanf("%c%c%d",&v1,&v2,&w); dj=w;[j][i].adj=w;}return ;}typedef struct ArcNode ata=[i];[i].firstarc=NULL;}for(i=0;i!=;++i){for(j=0;j!=;++j){if[i].firstarc==NULL){if[i][j].adj!=int_max&&j!={arc=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));arc->adjvex=j;[i].firstarc=arc;arc->nextarc=NULL;p=arc;++j;while[i][j].adj!=int_max&&j!={tem=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));tem->adjvex=j;[i].firstarc=tem;tem->nextarc=arc;arc=tem;++j;}--j;}}else{if[i][j].adj!=int_max&&j!={arc=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));arc->adjvex=j;p->nextarc=arc;arc->nextarc=NULL;p=arc;}}}}=;=;printf("图G的邻接表创建成功!\n"); return 1;}typedef struct{int adjvex;int lowcost;}closedge;int prim(int g[][max],int n) \n");printf("１、使用prim算法求最小生成树……………\n"); printf("２、退出系统…………………………………\n\n"); }void main(){ALGraph G1;MGraph_L G;int i,d,g[20][20];char y='y';int k;while(y=='y'){list();printf("请选择菜单：\n");scanf("%d",&k);switch(k){case 0:d=createMGraph_L(G);CreateUDG(G1,G);break;case 1:for(i=0;i!=;++i)for(int j=0;j!=;++j)g[i+1][j+1]=[i][j].adj;printf("prim:\n");prim(g,d);break;case 2:break;//exit(1);}printf("\n是否继续操作y/n:");scanf("%c",&y);}}。
邻接矩阵-南京大学
v4
v3
0 0 A(G) 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
可推广到简单无向图
举例（邻接矩阵）
v1 v2
v4
v3
0 1 A(G) 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
简单无向图的邻接矩阵是对称矩阵
邻接矩阵(adjacency matrix)
简单有向图G = (V, E, ) ，设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。
A(G)＝aij称为G的邻接矩阵(n×n 阶矩阵)，其中
1 如果v i邻接到v j a ij 0 否则
eE. (e)=(vi, vj)
举例（邻接矩阵）
邻接矩阵的运算
逆图（转置矩阵）
设Ｇ的邻接矩阵为 A ，则 G 的逆图的邻接矩阵是 A 的转 置矩阵，用AT表示。
０１００ ００１１ A １１０１ １０００
００１１ １０１０ T A ０１００ ０１１０
邻接矩阵的运算
邻接矩阵的运算
顶点的度
行中1的个数就是行中相应结点的出度
列中1的个数就是列中相应结点的入度
v1
v2
v4
v3
Hale Waihona Puke 0 0 A 1 11 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Deg+(1)=1,Deg-(1)=2
Deg+(2)=2,Deg-(2)=2
Deg+(3)=3,Deg-(3)=1 Deg+(4)=1,Deg-(4)=2
邻接表
数据结构单元8练习参考答案
单元练习8一．判断题〔以下各题，正确的请在前面的括号内打√；错误的打╳〕〔√〕〔1〕图可以没有边，但不能没有顶点。
〔ㄨ〕〔2〕在无向图中，〔V1，V2〕与〔V2，V1〕是两条不同的边。
〔ㄨ〕〔3〕邻接表只能用于有向图的存储。
〔√〕〔4〕一个图的邻接矩阵表示是唯一的。
〔ㄨ〕〔5〕用邻接矩阵法存储一个图时，所占用的存储空间大小与图中顶点个数无关，而只与图的边数有关。
〔ㄨ〕〔6〕有向图不能进展广度优先遍历。
〔√〕〔7〕假设一个无向图的以顶点V1为起点进展深度优先遍历，所得的遍历序列唯一，则可以唯一确定该图。
〔√〕〔8〕存储无向图的邻接矩阵是对称的，因此只要存储邻接矩阵的上三角〔或下三角〕局部就可以了。
〔ㄨ〕〔9〕用邻接表法存储图时，占用的存储空间大小只与图中的边数有关，而与结点的个数无关。
〔√〕〔10〕假设一个无向图中任一顶点出发，进展一次深度优先遍历，就可以访问图中所有的顶点，则该图一定是连通的。
二．填空题（1）图常用的存储方式有邻接矩阵和邻接表等。
（2）图的遍历有：深度优先搜和广度优先搜等方法。
（3）有n条边的无向图邻接矩阵中，1的个数是_2n____。
（4）有向图的边也称为_ 弧___。
（5）图的邻接矩阵表示法是表示__顶点____之间相邻关系的矩阵。
（6）有向图G用邻接矩阵存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的__出度____。
（7）n个顶点e条边的图假设采用邻接矩阵存储，则空间复杂度为： O〔n2〕。
（8）n个顶点e条边的图假设采用邻接表存储，则空间复杂度为： O〔n+e〕。
（9）设有一稀疏图G，则G采用_邻接表____存储比拟节省空间。
（10）设有一稠密图G，则G采用_邻接矩阵____存储比拟节省空间。
（11）图的逆邻接表存储构造只适用于__有向____图。
（12） n个顶点的完全无向图有 n(n-1)/2_ 条边。
（13）有向图的邻接表表示适于求顶点的出度。
（14）有向图的邻接矩阵表示中，第i列上非0元素的个数为顶点V i的入度。
《数据结构之图》相关知识点总结
第5章图●图的定义①图由顶点集V和边集E组成，记为G=（V，E），V(G)是图G中顶点的有穷非空集合，E(G)是图G中顶点之间变得关系集合，|V|表示顶点个数，也称图的阶，|E|表示边数（线性表和树都可以是空的，但图可以只有一个顶点没有边）②有向图：弧是顶点的有序对，记为<v,w>，v,w是顶点,v是弧尾，w是弧头，从顶点v到顶点w的弧。
无向图：边是顶点的无序对，记为(v,w)③简单图：一个图满足：不存在重复边；不存在顶点到自身的边。
多重图相对于简单图定义④完全图：无向图中，任意两顶点之间存在边，称为完全无向图。
N个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。
在有向图中，任意两顶点之间存在方向相反的两条弧，称为有向完全图，N 个顶点的有向完全图有n(n-1)条边。
⑤连通图：在无向图中任意两顶点都是连通的。
无向图中的极大连通子图称为连通分量。
极大要求连通子图包含其所有的边和顶点，极小连通子图既要保持图连通，又要保持边数最少⑥在有向图中任意两顶点v,w，存在从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v两条路径，这种图称为强连通图。
有向图的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。
⑦生成树：①包含图中所有顶点n，②生成树有n-1条边, ③任意两点连通。
对生成树而言，砍去一条边变成非连通图，加上一条边形成一个回路。
在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。
⑧顶点的度：以该顶点为端点的边的数目。
无向图的全部顶点的度之和等于边数的两倍。
有向图的度等于出度和入度之和，入度是以该顶点为终点的有向边的数目，出度是以该顶点为起点的有向边的数目。
有向图的全部顶点的入度之和和出度之和相等且等于边数。
⑨图中每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为边的权值。
带有权值的图称为网。
○10对于无向图G=(V, {E})，如果边(v，v’)∈E，则称顶点v，v’互为邻接点，即v，v’相邻接。
边(v，v’)依附于顶点v 和v’，或者说边(v, v’)与顶点v 和v’相关联。
图表算法—无向图
图表算法—⽆向图1. 图表算法 本篇随笔写的是图表算法。
图表可以⼤致分为两种：⽆向图和有向图。
⽆向图例⼦： 有向图例⼦： 从上述例⼦中可以看出，⼀个图表是由数个顶点和边组成的。
其中，⽆向图的边是没⽅向的，即两个相连的顶点可以互相抵达。
⽽有向图的边是有⽅向的，即两个相连的顶点，根据边的⽅向，只能由⼀个顶点通向另⼀个顶点。
（当然，如有向图例⼦中的2和3，由于有两个指向对⽅的⽅向，所以2和3是互通的。
） 本⽂写的是⽆向图的算法，有向图的算法将写在下篇随笔中。
2. ⽆向图（UndirectedGraph） 要讨论⽆向图的算法前，⾸先要讨论如何创建⼀个⽆向图。
创建⽆向图有两个关键点： a. 这个⽆向图有哪些点 b. 哪些点可以通往哪些点 举个例⼦： 显然，这个⽆向图有13个点。
0可以通往1,2,5,6；6可以通往0,4;5可以通往0,3,4。
即0的邻居点有1,2,5,6；6的邻居点有0,4。
那么，我们怎么告诉程序这个⽆向图呢？ ⽬前有两种主流的⽅法：邻接矩阵（Adjacency-matrix）和邻接列表（Adjacency-list）。
邻接矩阵： 如果两个点相邻，则⽤1表⽰，否则⽤0。
例如1是0的邻居点，所以0和1相交对应的格⼦为1。
从这个图可以看出，如果每个点不是与⼤量的其它点互为邻居，则会有很多0出现。
如果点的数量庞⼤，矩阵将⼗分巨⼤，且有很多空间浪费（0占据的格⼦）。
邻接列表： 就是⽤⼀个数组把所有点装起来，每个位置是由对应点的所有邻居点形成的数组。
即adj[0]=6,2,1,5(0可以通往1,2,5,6);adj[6]=0,4（6可以通往0,4）。
这个列表⽐较适合每个点只与少量其它点相邻的情况。
我们可以根据实际情况进⾏选择⽤列表还是矩阵。
通过创建⼀个矩阵或者列表，程序可以知道这个⽆向图有哪些点和点与点之间的联系。
如果要加点或者删点，应该不难实现，这⾥不做详述。
接下来，我们讨论算法：深度优先搜索（depth-first search）和⼴度优先搜索（breadth-first search）。
无向图的邻接矩阵
无向图的邻接矩阵
邻接矩阵是用于研究图的一种重要工具，它可以帮助我们更好地了解图的结构，对许多图算法的分析有着重要的价值。
其中，无向图的邻接矩阵也同样得到研究者们广泛的关注。
无向图的邻接矩阵是建立在“点-边”模型的基础上的，即假设图
由节点和边组成，边可以经过这些节点的某一阶段，组成整体的网络结构。
此时可以把节点-边对应的邻接矩阵用一个二阶方阵表示，每一个节点都有一个元素。
在无向图的邻接矩阵中，每个元素的值代表了该节点之间的边，如果两个元素
之间有一条边，那么就给予该构想的矩阵非零（非0）值；反之，如果相互之间没
有边，则矩阵则为0，表示不相连。
因此，无向图的邻接矩阵可以帮助我们更加清
晰地了解一个网络结构的各部分之间的联系。
无向图的邻接矩阵的应用在生活娱乐中也十分普遍。
比如，大家可以用它来解
决社交关系中的“朋友关系图”问题。
在一次社交场合讨论朋友关系时，通过彼此之间Answer（是/不是）来表示朋友关系，即可以构建出一个无向图的邻接矩阵。
每一行或列均表示一个独立的个体，用二阶方阵形式表示（1表示是朋友、0表示
不是朋友）。
这样，我们就可以轻松地确定和谁形成友谊，又谁是与谁共同的朋友，即将复杂的社会关系用化简的图及邻接矩阵的方式表示出来。
通过以上介绍就可以清晰地看出，无向图的邻接矩阵是一种非常重要的工具，
它可以帮助我们更好地把握网络结构之间的联系，以及在生活娱乐中更有趣味性地去解决复杂的社交关系问题，可谓是非常具有实践价值的理论工具。
有了它，我们就可以更好地理解图论中的网络结构，将自然现象从计算机的视角去研究，给我们的生活娱乐带来更多的惊喜和期待。
数据结构练习_第七章_图
数据结构练习第七章图一、选择题1.设有6个结点的无向图，该图至少应有( )条边才能确保是一个连通图。
A.5B.6C.7D.82. 设某完全无向图中有n个顶点，则该完全无向图中有（）条边。
A. n(n-1)/2B. n(n-1)C. n2D. n2-1 3．设某有向图中有n个顶点，则该有向图对应的邻接表中有（）个表头结点。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n-1 4．设无向图G中有n个顶点e条边，则其对应的邻接表中的表头结点和表结点的个数分别为（）。
A. n，e B e，n C 2n，e D n，2e 5．设某强连通图中有n个顶点，则该强连通图中至少有（）条边。
A. n(n-1)B. n+1C. nD. n(n+1) 6．设某无向图中有n个顶点e条边，则该无向图中所有顶点的入度之和为（）。
A .n B. e C. 2n D. 2e7．设某有向图的邻接表中有n个表头结点和m个表结点，则该图中有（）条有向边。
A. nB. n-1C. mD. m-1 8．设连通图G中的边集E={(a，b)，(a，e)，(a，c)，(b，e)，(e，d)，(d，f)，(f，c)}，则从顶点a出发可以得到一种深度优先遍历的顶点序列为（）。
A. abedfcB. acfebdC. aebdfcD. aedfcb 9．设某无向图中有n个顶点e条边，则建立该图邻接表的时间复杂度为（）。
A. O(n+e)B. O(n2)C. O(ne)D. O(n3) 10．设用邻接矩阵A表示有向图G的存储结构，则有向图G中顶点i的入度为（）。
A. 第i行非0元素的个数之和B.第i列非0元素的个数之和C. 第i行0元素的个数之和D. 第i列0元素的个数之和11．设某无向图有n个顶点，则该无向图的邻接表中有（）个表头结点。
A. 2nB. nC. n/2D. n(n-1) 12．设无向图G中有n个顶点，则该无向图的最小生成树上有（）条边。
A. nB. n-1C. 2nD. 2n-113．设无向图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。
数据结构实验报告-无向图的邻接矩阵存储结构
数学与计算机学院课程设计说明书课程名称: 数据结构与算法课程设计课程代码: 6014389 题目: 无向图的邻接矩阵存储结构年级/专业/班: 2010级软件4班学生姓名: 吴超学号: 312010*********开始时间: 2011 年 12 月 9 日完成时间: 2011 年 12 月 30 日课程设计成绩：指导教师签名：年月日数据结构课程设计任务书学院名称：数学与计算机学院课程代码：__6014389______ 专业：软件工程年级：2010一、设计题目无向图的邻接矩阵存储结构二、主要内容图是无向带权图，对下列各题，要求写一算法实现。
1）能从键盘上输入各条边和边上的权值；2）构造图的邻接矩阵和顶点集。
3）输出图的各顶点和邻接矩阵4）插入一条边5）删除一条边6）求出各顶点的度7）判断该图是否是连通图，若是，返回1；否则返回0.8）使用深度遍历算法，输出遍历序列。
三、具体要求及应提交的材料用C/C++语言编程实现上述内容，对每个问题写出一个算法实现，并按数学与计算机学院对课程设计说明书规范化要求，写出课程设计说明书，并提交下列材料：1)课程设计说明书打印稿一份2)课程设计说明书电子稿一份；3)源程序电子文档一份。
四、主要技术路线提示用一维数组存放图的顶点信息，二维数组存放各边信息。
五、进度安排按教学计划规定，数据结构课程设计为2周，其进度及时间大致分配如下：六、推荐参考资料[1] 严蔚敏，吴伟民.数据结构.清华大学出版社出版。
[2] 严蔚敏，吴伟民. 数据结构题集(C语言版) .清华大学出版社.2003年5月。
[3]唐策善，李龙澎.数据结构(作C语言描述) .高等教育出版社.2001年9月[4] 朱战立.数据结构(C++语言描述)（第二版本）.高等出版社出版.2004年4月[5]胡学钢.数据结构(C语言版) .高等教育出版社.2004年8月指导教师签名日期年月日系主任审核日期年月日目录引言 (7)1 需求分析 (7)1.1任务与分析 (7)1.2测试数据 (8)2 概要设计 (8)2.1 ADT描述 (8)2.2程序模块结构 (9)2.3各功能模块 (11)3详细设计 (11)3.1类的定义 (11)3.2 初始化 (12)3.3 图的构建操作 (13)3.4 输出操作 (13)3.5 get操作 (14)3.6 插入操作 (14)3.7 删除操作 (15)3.8 求顶点的度操作 (15)3.10 判断连通操作 (17)3.11 主函数 (17)4 调试分析 (17)4.1 测试数据 (20)4.2调试问题 (20)4.3 算法时间复杂度 (20)4.4 经验和心得体会 (21)5用户使用说明 (21)6测试结果 (21)6.1 创建图 (21)6.2插入节点 (22)6.3 深度优先遍历 (22)6.4 求各顶点的度 (22)6.5 输出图 (23)6.6 判断是否连通 (23)6.7 求边的权值 (24)6.8 插入边 (24)6.9 删除边 (25)结论 (26)致谢 (27)摘要随着计算机的普及，涉及计算机相关的科目也越来越普遍，其中数据结构是计算机专业重要的专业基础课程与核心课程之一，为适应我国计算机科学技术的发展和应用，学好数据结构非常必要，然而要掌握数据结构的知识非常难，所以对“数据结构”的课程设计比不可少。
数据结构(visualc++)用邻接矩阵表示给定无向图并进行深度遍历
1.给定无向图，请用邻接矩阵表示法表示该图#include<iostream>#include<string>using namespace std;#define MAX 20typedef int Adj[MAX][MAX];typedef struct{string vexs[MAX]; //顶点表Adj arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的顶点和弧数}MGraph;int LocateVex(MGraph &G,string u);int CreateUDN(MGraph &G){int i,k,j;string v1,v2;cout<<"请输入顶点数、弧数：";cin>>G.vexnum>>G.arcnum;cout<<"输入顶点:";for(i=0;i<G.vexnum;i++){cin>>G.vexs[i]; //构造顶点数}for(i=0;i<G.vexnum;i++){ //构造邻接矩阵for(j=0;j<G.vexnum;j++){G.arcs[i][j]=0;}}for(k=0;k<G.arcnum;k++){cout<<"输入第"<<k+1<<"边依附的两个顶点：";cin>>v1>>v2;i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2);G.arcs[i][j]=1;G.arcs[j][i]=1; //置<v1，v2>的对称弧<v2，v1>}return 0;v 4 v 5 v 3v 2 v 1}int LocateVex(MGraph &G,string u){ //确定u在G中序号int i;for (i=0;i<G.vexnum;i++){if (u==G.vexs[i])return i;}if (i==G.vexnum){cout<<"Error u!"<<endl;exit(1);}return 0;}void ShowG(MGraph &G){int i,j;for(i=0;i<G.vexnum;i++){cout<<G.vexs[i]<<" ";}cout<<endl;for(i=0;i<G.vexnum;i++){for(j=0;j<G.vexnum;j++){cout<<G.arcs[i][j]<<" ";}cout<<endl;}}main(){MGraph A;int a;a=CreateUDN(A);ShowG(A);}2.分别使用邻接矩阵表示法和邻接表表示法，用深度优先搜索法遍历该图。
无向图邻接矩阵
无向图邻接矩阵
无向图邻接矩阵能够用来表示无向图中节点间的相互关系。
无向图是一种用来表示非简单环路网络的图形抽象结构。
它是一个无序的由边连接的节点组成的集合，其中节点是图的数学对象，边则表示节点之间的关系。
对于节点的描述和空间位置没有明确的规定，可以用来描述任何网络结构。
无向图用邻接矩阵表示，这种方法又叫作矩阵表示法，是一种典型的表示图结构的常用方法。
无向图邻接矩阵是一个方阵，其行列数等于图中节点数，主对角线上的元素均为0，非对角线上的元素均非0，表示节点间是否有边。
无向图邻接矩阵在图的存储和处理中被广泛使用，他的优点在于可以直观的表示无向图的关系，这可以有效降低存储和处理数据的难度。
无向图邻接矩阵也有一些特殊的应用，例如用于图计算问题，比如可以用来求解最短路径问题，最小生成树问题等。
此外，通过无向图邻接矩阵来表示图的连通性也是一种重要的应用，可以用来确定图的连通分量，以及可以表达节点之间的行为关系，例如说入射网络中的服务关系，这些关系可以用来进行控制和求解各种优化问题。
最后，利用无向图邻接矩阵可以实现快速算法，用于图中节点的搜索、遍历、排序等操作，以及根据邻接矩阵计算图中节点间距离和路径，这些技术可用于多种实际应用，例如信息查询、社交网络中的用户关联等。
总之，无向图邻接矩阵具有极强的实用性，在无向图的存储和处理中可被广泛应用，可用于求解距离、路径、搜索、遍历等问题，也可以表达入射网络之间的服务关系，可以被用来进行系统的控制和优化。
因此，无向图邻接矩阵被广泛应用于算法和数据结构的实际编程中，可以用来优化现有算法，从而提高算法的效率。
运筹学邻接矩阵
运筹学邻接矩阵运筹学是一门研究如何在有限的资源下，做出最优决策的学科。
邻接矩阵是运筹学中常用的一种数据结构，用于表示图的关系。
本文将介绍邻接矩阵在运筹学中的应用。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图中各个节点之间的关系。
在邻接矩阵中，每个节点都对应着矩阵中的一行和一列。
如果两个节点之间有边相连，则在对应的行和列上标记为1；否则标记为0。
例如，下面是一个简单的邻接矩阵：```A B C DA 0 1 0 1B 1 0 1 0C 0 1 0 1D 1 0 1 0```在运筹学中，邻接矩阵常用于表示图的关系，例如最短路径问题、最小生成树问题等。
下面将分别介绍这些问题的应用。
最短路径问题最短路径问题是指在一个加权有向图中，找到从起点到终点的最短路径。
在运筹学中，最短路径问题常用于网络优化、物流配送等领域。
邻接矩阵可以用于表示加权有向图，其中矩阵中的每个元素表示两个节点之间的距离。
例如，下面是一个加权有向图的邻接矩阵：```A B C DA 0 2 0 1B 0 0 3 0C 4 0 0 0D 0 1 0 0```在这个邻接矩阵中，A到B的距离为2，A到D的距离为1，B到C的距离为3，等等。
使用Dijkstra算法可以求解最短路径问题，该算法的基本思想是从起点开始，依次遍历所有节点，更新每个节点的最短路径。
最终得到的结果就是起点到终点的最短路径。
最小生成树问题最小生成树问题是指在一个加权无向图中，找到一棵包含所有节点的生成树，使得树上所有边的权值之和最小。
在运筹学中，最小生成树问题常用于电力网络、通信网络等领域。
邻接矩阵可以用于表示加权无向图，其中矩阵中的每个元素表示两个节点之间的距离。
例如，下面是一个加权无向图的邻接矩阵：```A B C DA 0 2 0 1B 2 0 3 0C 0 3 0 0D 1 0 0 0```在这个邻接矩阵中，A到B的距离为2，B到C的距离为3，等等。
使用Prim算法可以求解最小生成树问题，该算法的基本思想是从任意一个节点开始，依次加入与当前树相邻的最短边，直到所有节点都被加入到树中。
【数据结构期末试题及答案】样卷7
2020学年数据结构期末试题及答案（七）一、选择题1、12、对于具有n个顶点的图，若采用邻接矩阵表示，则该矩阵的大小为（）。
A. nB. n2C. n-1D. (n-1)22、如果从无向图的任一顶点出发进行一次深度优先搜索即可访问所有顶点，则该图一定是（）。
A. 完全图B. 连通图C. 有回路D. 一棵树3、关键路径是事件结点网络中（）。
A. 从源点到汇点的最长路径B. 从源点到汇点的最短路径C. 最长的回路D. 最短的回路4、下面（）可以判断出一个有向图中是否有环（回路）。
A. 广度优先遍历B. 拓扑排序C. 求最短路径D. 求关键路径5、带权有向图G用邻接矩阵A存储，则顶点i的入度等于A中（）。
A. 第i行非无穷的元素之和B. 第i列非无穷的元素个数之和C. 第i行非无穷且非0的元素个数D. 第i行与第i列非无穷且非0的元素之和6、采用邻接表存储的图，其深度优先遍历类似于二叉树的（）。
A. 中序遍历B. 先序遍历C. 后序遍历D. 按层次遍历7、无向图的邻接矩阵是一个（）。
A. 对称矩阵B. 零矩阵C. 上三角矩阵D. 对角矩阵8、当利用大小为N的数组存储循环队列时，该队列的最大长度是（）。
A. N-2B. N-1C. ND. N+19、邻接表是图的一种（）。
A. 顺序存储结构B.链式存储结构C. 索引存储结构D. 散列存储结构10、下面有向图所示的拓扑排序的结果序列是（）。
A. 125634B. 516234C. 123456D. 52164311、在无向图中定义顶点vi与vj之间的路径为从vi到vj的一个（）。
A. 顶点序列B. 边序列C. 权值总和D. 边的条数12、在有向图的逆邻接表中，每个顶点邻接表链接着该顶点所有（）邻接点。
A. 入边B. 出边C. 入边和出边D. 不是出边也不是入边13、设G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)为两个图，如果V1V2,E1E2则称（）。
A. G1是G2的子图B. G2是G1的子图C. G1是G2的连通分量D. G2是G1的连通分量14、已知一个有向图的邻接矩阵表示，要删除所有从第i个结点发出的边，应（）。