2021届浙江省高三第一次五校联考理科数学试卷
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A．﹣1B．1C．﹣5D．5
4．已知直线 ，平面 满足 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．函数 的最小正周期为 ，为了得到 的图象，只需将函数 的图象（）
A．向左平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
2021年浙江省高三第一次五校联考理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集为 ，集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．在等差数列 中， ，则此数列 的前6项和为（）
A． B． C． D．
3．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）
∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，
∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．
故选D．
考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．
4．C
【解析】
试题分析：由 不能推出 ，反之，若 ，则有 ，从而为必要不充分条件.
考点：空间中直线与平面的位置关系.
5．C.
【解析】
试题分析：∵最小正周期为 ，∴ ，∴
三、解答题
18．（本题满分14分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， 的面积为 ．
（1）当 ， ， 成等差数列时，求 ；
（2）求 边上的中线 的最小值．
19．（本题满分14分）四棱锥 如图放置， , ，
， 为等边三角形．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值．
20．已知函数 ，其中 ．
13．已知 ， ，则 ________．
14．定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，则 _____．
15．设 ， ，…， ，…是按先后顺序排列的一列向量，若 ，且 ，则其中模最小的一个向量的序号 ______．
16．设向量 ， ，其中 ， ， 为实数．
若 ，则 的取值范围为_______．
17．若实数 满足 ，则 的最大值为________．
2．D.
【解析】
试题分析：由题意得， ，∵等差数列 ，∴ ，∴ 或 .
考点：等差数列的性质及其前 项和.
3．D
【解析】
试题分析：根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．
解：令y=g（x）=f（x）+x，
∵f（2）=1，
∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，
，故 向左平移 个单位，即可得 的图象.
考点：三角函数的图象和性质.
6．B.
【解析】
试题分析：由该几何体的体积为 可知，该几何体为一正方体与四棱锥的组合，如下图所示，故主视图为B.
考点：1.三视图；3.空间几何体的体积计算.
7．A.
【解析】
试题分析：如下图所示，连结 ， ，∵ ， ， 分别是 ， ， 的中点，∴ ， ，∴平面 平面 ，∴ 平面 ，故③正确，又由正四棱锥 ，∴ 平面 ，∴ 平面 ，∴ ，故①正确，②④对于线段 上的任意一点 不一定成立，故正确的结论为①③.
考点：1.线性规划；2.分类讨论的数学思想.
10．A.
【解析】
试题分析：如下图所示，画出函数 以及 的图象，从而可知，当 时，方程 有一正根，∴方程 有两个根，当 时，方程 有一正根，一个根为 ，∴ 有三个根，当 时，方程 有两个正根，一个大于 的负根，∴ 有四个根，当 时，方程 有一个负根 ，三个正根，∴ 有七个根，当 时，方程 有三个正根，一个小于 的负根，∴ 有八个根，当 时，方程 有两个正根，一个小于 的负根，∴ 有六个根，当 时，方程 有一个正根一个小于 的负根，∴ 有四个根，∴ 根的个数可能为 ， ， ， ， ， ，故选A.
②用作商比较法，根据 与1的大小关系及 符号进行判断.
③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件
9．B.
【解析】
试题分析：由题意可得，当 ，即 时，问题等价于在线性约束条件 下，求目标函数 的值域，利用线性规划的知识可知，其取值范围为 ，同理可知，当 时，问题等价于在线性约束条件 下，求目标函数 的值域，为 ，综上， 的取值范围是 .
考点：1.面面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质.
8．D
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，因为数列 是单调递增数列，所以当 时 ；当 时， ，因此 ，选D.
考点：等比数列定义，数列单调性
【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列.
（Ⅰ）若 是函数 的一个“好数对”，且 ，求 ；
（Ⅱ）若 是函数 的一个“好数对”，且当 时， ，求证：
函数 在区间 上无零点；
（Ⅲ）若 是函数 的一个“类好数对”， ，且函数 单调递增，比较 与 的大小，并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：因为 ， ，所以 ，所以 ，故选C．
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集与补集运算．
6．下图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为 ，则它的正视图为（）
7．如图，在正四棱锥 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，动点 在线段 上运动时，下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．中恒成立的为（）
A．①③B．③④C．①②D．②③④
8．已知数列 满足： ， .若 ， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（）
（1）求函数 的单调区间；
（2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
21．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ,记数列{bn}的前n项和为Tn，证明:
22．（本题满分14分）给定函数 和常数 ，若 恒成立，则称 为函数 的一个“好数对”；若 恒成立，则称 为函数 的一个“类好数对”．已知函数 的定义域为 ．
A． B． C． D．
9．定义 ，设实数 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则关于 的方程 的实根个数不可能为（）
A． 个BBiblioteka Baidu 个C． 个D． 个
二、填空题
11．函数 的定义域为_______．
12．已知三棱锥 中， ， ，则直线 与底面 所成角为_________．
4．已知直线 ，平面 满足 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．函数 的最小正周期为 ，为了得到 的图象，只需将函数 的图象（）
A．向左平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
2021年浙江省高三第一次五校联考理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集为 ，集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．在等差数列 中， ，则此数列 的前6项和为（）
A． B． C． D．
3．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）
∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，
∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．
故选D．
考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．
4．C
【解析】
试题分析：由 不能推出 ，反之，若 ，则有 ，从而为必要不充分条件.
考点：空间中直线与平面的位置关系.
5．C.
【解析】
试题分析：∵最小正周期为 ，∴ ，∴
三、解答题
18．（本题满分14分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， 的面积为 ．
（1）当 ， ， 成等差数列时，求 ；
（2）求 边上的中线 的最小值．
19．（本题满分14分）四棱锥 如图放置， , ，
， 为等边三角形．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值．
20．已知函数 ，其中 ．
13．已知 ， ，则 ________．
14．定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，则 _____．
15．设 ， ，…， ，…是按先后顺序排列的一列向量，若 ，且 ，则其中模最小的一个向量的序号 ______．
16．设向量 ， ，其中 ， ， 为实数．
若 ，则 的取值范围为_______．
17．若实数 满足 ，则 的最大值为________．
2．D.
【解析】
试题分析：由题意得， ，∵等差数列 ，∴ ，∴ 或 .
考点：等差数列的性质及其前 项和.
3．D
【解析】
试题分析：根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．
解：令y=g（x）=f（x）+x，
∵f（2）=1，
∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，
，故 向左平移 个单位，即可得 的图象.
考点：三角函数的图象和性质.
6．B.
【解析】
试题分析：由该几何体的体积为 可知，该几何体为一正方体与四棱锥的组合，如下图所示，故主视图为B.
考点：1.三视图；3.空间几何体的体积计算.
7．A.
【解析】
试题分析：如下图所示，连结 ， ，∵ ， ， 分别是 ， ， 的中点，∴ ， ，∴平面 平面 ，∴ 平面 ，故③正确，又由正四棱锥 ，∴ 平面 ，∴ 平面 ，∴ ，故①正确，②④对于线段 上的任意一点 不一定成立，故正确的结论为①③.
考点：1.线性规划；2.分类讨论的数学思想.
10．A.
【解析】
试题分析：如下图所示，画出函数 以及 的图象，从而可知，当 时，方程 有一正根，∴方程 有两个根，当 时，方程 有一正根，一个根为 ，∴ 有三个根，当 时，方程 有两个正根，一个大于 的负根，∴ 有四个根，当 时，方程 有一个负根 ，三个正根，∴ 有七个根，当 时，方程 有三个正根，一个小于 的负根，∴ 有八个根，当 时，方程 有两个正根，一个小于 的负根，∴ 有六个根，当 时，方程 有一个正根一个小于 的负根，∴ 有四个根，∴ 根的个数可能为 ， ， ， ， ， ，故选A.
②用作商比较法，根据 与1的大小关系及 符号进行判断.
③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件
9．B.
【解析】
试题分析：由题意可得，当 ，即 时，问题等价于在线性约束条件 下，求目标函数 的值域，利用线性规划的知识可知，其取值范围为 ，同理可知，当 时，问题等价于在线性约束条件 下，求目标函数 的值域，为 ，综上， 的取值范围是 .
考点：1.面面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质.
8．D
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，因为数列 是单调递增数列，所以当 时 ；当 时， ，因此 ，选D.
考点：等比数列定义，数列单调性
【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列.
（Ⅰ）若 是函数 的一个“好数对”，且 ，求 ；
（Ⅱ）若 是函数 的一个“好数对”，且当 时， ，求证：
函数 在区间 上无零点；
（Ⅲ）若 是函数 的一个“类好数对”， ，且函数 单调递增，比较 与 的大小，并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：因为 ， ，所以 ，所以 ，故选C．
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集与补集运算．
6．下图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为 ，则它的正视图为（）
7．如图，在正四棱锥 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，动点 在线段 上运动时，下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．中恒成立的为（）
A．①③B．③④C．①②D．②③④
8．已知数列 满足： ， .若 ， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（）
（1）求函数 的单调区间；
（2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
21．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ,记数列{bn}的前n项和为Tn，证明:
22．（本题满分14分）给定函数 和常数 ，若 恒成立，则称 为函数 的一个“好数对”；若 恒成立，则称 为函数 的一个“类好数对”．已知函数 的定义域为 ．
A． B． C． D．
9．定义 ，设实数 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则关于 的方程 的实根个数不可能为（）
A． 个BBiblioteka Baidu 个C． 个D． 个
二、填空题
11．函数 的定义域为_______．
12．已知三棱锥 中， ， ，则直线 与底面 所成角为_________．