2021届浙江省高三第一次五校联考理科数学试卷
2021届浙江省名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)高三上学期第一次联考数学试题(解析版)
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）利用辅助角公式化简题中式子，得到 ，从而求得 ，进而求得 ；
（2）根据正弦定理得到 ，从而可以求得 ，能得到 ，结合角 的范围，求得 ，进而得到 .
【详解】
（1）∵
∴ ，即 .
（2）由正弦定理得 ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，∴ ，∴ .
由于 、 、 均为正数，则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此， 的最小值是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.
9．已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先根据题中所给的条件，求得 ，将向量坐标化，设 ，利用题中条件得到点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，结合圆上点的坐标的范围求得 的范围.
【详解】
当 且 时， ， ， 成等比数列，故 ，又
，整理得 ，所以数列 是等差数列，首项为1，公差为1，故 ， ， .
故选：D.
【点睛】
本题考查了数列的递推关系，等差与等比数列的综合应用，属于中档题.
7．函数 在区间 上的图象可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】判断函数的奇偶性，排除C和D，再利用 时， ，得出答案．
5．已知空间中 ， 是两条不同直线， 是平面，则（）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【解析】根据线面关系和直线与平面垂直的性质定理逐一判断可得选项.
【详解】
对于A，B，直线m，n可能平行、相交或异面，A，B错误；
2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考五校联考数学试题
2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.函数 的定义域为A.B. C.D.2.已知 ，则下列不等式一定成立的是A.B. C.D.3.已知 是定义在R 上的偶函数，且在 上是增函数， ，则不等的解集为A.B. C.D.4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)e sin ()e 1x xxf x =-+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是( ) A ． B ．C ．D ．5.已知 ，则的最小值是 ．A. 3B.C.D. 96．已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，若()2l og 3a f =，13log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c f -=则,,a b c 的大小为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>27．已知命题：，；命题q: ，，若、都为真命题，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知函数 有两个极值点，则实数a 的取值范围是A.B.C. D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分，每小题全对得5分，部分对得3分，有错得零分）9.若直线是函数 图象的一条切线，则函数 可以是A.B. C. D.10．设正实数m n 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．2n m n+的最小值为3 B ．mn 的最大值为1 C的最小值为2 D ．22m n +的最小值为211.下列命题中正确命题的是.已知a ，b 是实数，则“”是“ ”的充分而不必要条件； ，使 ；设 是函数 的一个极值点，则若角 的终边在第一象限，则的取值集合为 ．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用 表示不超过x 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， 已知函数，则关于函数 的叙述中正确的是 A. 是偶函数B. 是奇函数C. 在 上是增函数D. 的值域是三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积 ______．14.已知函数 ，且，则 ______． 15.已知三个函数ℎ ℎ′ ， ℎ若 ， ，都有 成立，求实数b 的取值范围16.设 是定义在R 上的偶函数，且 ，当 时，，若在区间 内关于x 的方程 有3个不同的根，则a 的范围是 ．p x ∀∈R 220mx +>x ∃∈R 2210x mx -+≤p q m [1,)+∞(,1]-∞-(,2]-∞-[1,1]-四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题共10分）已知角为第一象限角，且．求，的值；求的值．18.（本题共12分）已知集合，求集合A；若p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.（本题共12分）已知函数，满足： ；．求函数的解析式；若对任意的实数，都有成立，求实数m的取值范围．20. （本题共12分）已知函数是定义在R上的奇函数．求a的值；判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．21.（本题共12分）如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地圆心O在道路上，AB为直径，现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．设单位：弧度，将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．22.已知函数，其中a为正实数．若函数在处的切线斜率为2，求a的值；求函数的单调区间；若函数有两个极值点，，求证：．4。
《精编》浙江省名校新高考研究联盟高三数学第一次联考试题 理 新人教A版.doc
浙江省名校新高考研究联盟2021届第一次联考数学〔理科〕试题卷本试题卷分选择题和非选择题两局部．总分值150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的外表积公式 24S R π=()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高第I 卷(选择题 共50分)一、选择题〔共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。
〕1．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，0,)21(0,)(21x x x x f x那么=-)]4([f f ( )A ．4-B ．4C ．41- D ． 412．设.R a ∈那么”“0112<+--a a a 是“1<a 〞成立的 ( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既非充分也非必要条件3．设,m n 是两条异面直线，以下命题中正确的选项是 ( ) A ．过m 且与n 平行的平面有且只有一个 B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个 C ．m 与n 所成的角的范围是()π，0D ．过空间一点P 与m 、n 均平行的的平面有且只有一个 4． 假设两个函数的图象经过假设干次平移后能够重合，那么称这两个函数为“同形〞函数.给出四个函数： ()x x f 21log 2=，()()2log 22+=x x f ，223log )(）（x x f =，()x x f 2log )(24=. 那么“同形〞函数是(第8题)( )A ．()x f 1与()x f 2B ．()x f 2与()x f 3C ．()x f 1与()x f 4D ．()x f 2与()x f 45．右面的程序框图输出的数值为( ) A ．62B ．126C ．254D ．5106．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，那么ξE 为 ( ) A ．1 B ．5.1 C ．2D ．5.27．P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，那么PN PM -的最小值为 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ．4 8．函数 )2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 的局部图象如以下列图，那么=)(πf 〔 〕 A ．4 B ．32 C ．2 D ．3 9．集合{}2224312(,),,,(,)()(),,,04312x y M x y x y R N x y x a y b r a b R r x y ⎧⎫⎧-≤⎪⎪⎪=∈=-+-=∈>⎨⎨⎬+≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭假设存在R b a ∈,，使得M N ⊆，那么r 的最大值是 ( ) A ．3 B ．5.2 C. 4.2 D. 210. 函数q px x x f ++=2)(与函数)))(((x f f f y =有一个相同的零点，那么)0(f 与)1(fA ．均为正值B ．均为负值 C. 一正一负 D. 至少有一个等于0( )第二卷〔非选择题，共100分〕二、填空题〔此题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置〕11．复数iiz -+=23的模是_______. 12．一个几何体的三视图及其长度如以下列图，那么该几何体的体积为 . 13．正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为α，侧棱与底面所成的角为β，那么=βαtan tan . 14．二项式103)21(xx -的展开式中，常数项的值为 .15．如果一个平面与一个圆柱的轴成α〔︒<<︒900α〕角，且该平面与圆柱的侧面相交，那么它们的交线是一个椭圆. 当=α︒30时，椭圆的离心率是 .16．设函数.)(,3)(2a x x g a ax x x f -=++-=假设不存在．．．R x ∈0，使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立，那么实数a 的取值范围是 .17．三点),3(),,2(),,1(321y C y B y A 不共线，其中i y {}9,8,7,6,5,4∈)3,2,1(=i . 假设对于ABC ∆的内心I ，存在实数λ，使得IB IC IA ⋅=+λ，那么这样的三角形共有个.三、解答题〔本大题共72分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕： 18．〔此题总分值14分〕设函数.cos 2)342cos()(2x x x f +-=π〔Ⅰ〕求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值是x 的集合； 〔Ⅱ〕ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 假设.2,23)(=+=+c b C B f 求a 的最小值.19．〔此题总分值14分〕数列{}n a ，{}n b 满足：31=a ，当2≥n 时，n a a n n 41=+-；对于任意的正整数n ，11222n n n b b b na -+++=．设{}n b 的前n 项和为n S .〔Ⅰ〕计算32,a a ，并求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕求满足1413<<n S 的n 的集合.20．〔此题总分值14分〕 如图，在正三棱柱DEF ABC —中，.1,2==AD AB P 是CF 的沿长线上一点，.t FP =过20题俯视图正视图侧视图〔第12题〕P B A ,,三点的平面交FD 于M ，交FE 于.N 〔Ⅰ〕求证：MN ∥平面CDE ；〔Ⅱ〕当平面⊥PAB 平面CDE 时，求t 的值.21．〔此题总分值15分〕如图，点)0,2(-A ，点P 是⊙B ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交BP 于点Q ，点Q 的轨迹记为曲线C .〔Ⅰ〕求曲线C 的方程；〔Ⅱ〕⊙O ：222r y x =+〔0>r 〕的切线l 总与曲线C有两个交点N M 、，并且其中一条切线满足090>∠MON ，求证：对于任意一条切线l 总有090>∠MON .22．〔此题总分值15分〕函数ax x x a x f ---=2)1(ln )(〔常数a R ∈〕. 〔Ⅰ〕求)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕设.0>a 如果对于)(x f 的图象上两点))(,()),(,(222111x f x P x f x P )(21x x <，存在),(210x x x ∈，使得)(x f 的图象在0x x =处的切线m ∥21P P ，求证：2210x x x +<.浙江省名校新高考研究联盟2021届第一次联考数学〔理科〕答题卷 题号一二 三总分1～1011～17181920212221题得分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
浙江省高三数学9月第一次联考试题(含解析)
满足以下分布列，当 且不断增大时，〔〕
0
1
2
A. 增大， 增大
B. 减小， 减小
C. 增大， 先增大后减小
D. 增大， 先减小后增大
【答案】C
【解析】
【分析】
由分布列可知，随机变量 服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断.
【点睛】此题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.
〔 为虚数单位〕，那么复数z的模长等于〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简复数z,利用模长公式即可求解.
【详解】化简易得 ，所以 ，应选A.
【点睛】此题考查复数的根本运算和概念，了解复数的根本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答此题的关键.
，满足 .假设 那么 的最小值是___________，假设 ，且存在常数 ，使得任意 ，那么 的取值范围是______________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
第一空：令 ,将问题转化为函数问题,那么 表示点 与原点连线的斜率，观察图象即可求解.第二空：将问题转化为当 ,那么 ，结合二次函数的最值以及翻折后图象列式即可求解.
浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题〔含解析〕
考前须知：
1．本试题卷共8页，总分值150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
2021届浙江五校第一次联考数学试题附参考答案
2021届浙江五校第一次联考一、选择题：每小题4分，共40分1.已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则()A B =R ð（）A ．()1,2B ．()0,1C ．()0,+∞D ．(),2-∞2.“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件3.若x ，y 满足约束条件22111x y x y y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．9B ．8C ．7D ．64.已知()1,2=a ，()1,7=-b ，2=+c a b ，则c 在a 方向上的投影为（）A．5-B．10-C．10D．55.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin tan 12cos C A C =-，2c b =，则cos B的值为（）A ．23B ．23C ．34D ．786.函数()2e e x xf x x --=的图象是下列图中的（）7.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈Ν，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．{}n a 为摆动数列C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--8.已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（）A ．45-B ．44125C ．44125-D ．459.已知抛物线2:3C x y =，过点()3,4P m m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭R 作抛物线的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则A 、B 两点到x 轴距离之和的最小值为（）A ．3B ．32C．2D．410.已知函数()()11f x x a x a x a x=++-+∈-R ，()()()20g x p f x q pq =->⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题：①函数()f x 图象关于点()0,0对称；②对于任意a ∈R ，存在实数m ，使得函数()f x m +为偶函数；③对于任意a ∈R ，函数()f x 存在最小值；④当1a =时，关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}3,1,1,2--，其中正确命题为（）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①③④二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.不等式231133xx x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是；不等式()24log 2log x x -<的解集是．12.函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[],ππ-的图象如下图，则()f x 的最小正周期为；()f π=．13.已知双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F P 为双曲线上一点，12120F PF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为；若双曲线C 的实轴长为4，则12F PF △的面积为．14.已知函数()132e 4,13,1x x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩（其中e 是自然对数的底数），则()()2f f =；若()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是．15.某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．16.已知a ，b ，c 是非零向量，-=a b ，()()2-⋅-=-c a c b ，λ为任意实数，当-a b 与a 的夹角为3π时，λ-c a 的最小值是．17.若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则324a bab +的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18.（本题满分14分）已知()sin (sin )f x x x x =，ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()32f A =，2a =，求ABC △周长的取值范围．19.（本题满分15分）已知四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD ，2PA AD ==，AB =．（1）作AM PB ⊥于M ，AN PC ⊥于N ，求证：PC ⊥平面AMN ；（2）求二面角D PC A --的正切值．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 与{}n b 满足()1131nn n n n b a b a +++=-+，2,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，*n ∈N ，且12a =．（1）设2+121n n n c a a -=-，*n ∈N ，求1c ，并证明：数列{}n c 是等比数列；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求2n S ．21.（本题满分15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，M 为AB 中点，()1,0N -，当△AOB （点O 为坐标原点）的面积S 最大时，求MN 的取值范围．22.（本题满分15分）已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a ∈R ．（1）若2a =，求函数()f x 在()0,π上的单调区间；（2）若1a =，不等式()cos f x bx x ≥对任意20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的最大整数b ．2020学年第一学期浙江省高三“五校联考”考试参考答案1-10.CBCADCDBBA11.{|1}x x ≠，{|12}x x <<12.43π，1213.y =，83314.54e -，(27,12](11,)---+∞ 15.4316.1217.335[,]41218.解：1cos 2()sin (sin cos )sin 2222-=+=+x f x x x x x 1sin(2)62π=-+x ……3分由3222262πππππ+≤-≤+k x k ，∈k Z 得536ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k k Z ππππ++∈……………6分（2）∵13()sin(2)622π=-+=f A A ，则sin(2)16π-=A ，∵0π<<A ，∴112666πππ-<-<A ，262ππ-=A ，解得3π=A .……………8分法一：∵2=a ，3π=A ，由余弦定理得，2222cos3a b c bc π=+-，即224b c bc +-=……10分∴2()43b c bc +-=，则22()43()2b c b c ++-≤…………12分又∵2b c +>，∴24b c <+≤…………13分∴△ABC 周长的范围是(6,8]…………14分法二：由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C====∴sin )b c B C +=+…………10分∵23sin sin sin sin()sin cos )3226B C B B B B B ππ+=+-=+=+………12分又∵2(0,3B π∈，∴1sin((,1]62B π+∈，∴(4,6]b c +∈…………13分∴△ABC 周长的范围是(6,8]…………14分19．（1）BC ABAM PB PA ABCD BC PABC PAB AM BC AM PBC BC ABCD AB PA A PB BC B AM PAB PC PBC ⊥⊥⎫⎫⎫⎫⊥⎫⎪⎪⎪⎪⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎬⎬⎬⊂⎭⎪⎪⎪⎪==⊂⊂⎭⎭⎭⎭面面面面面面 =PC AM PC AN PC AMN AM AN A ⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⎭面………7分（2）方法一：作DE AC E ⊥于，EF PC F ⊥于，连DF ，PA ABCD ⊥ 面，PAC ABCD∴⊥面面DE PAC ∴⊥面，DE PC ∴⊥，EF PC ⊥ ，EF DE E = ，PC DEF ∴⊥面，DF PC ∴⊥，DFE ∴∠是二面角D PC A --的平面角， (11)分2PA AD ==，AB =，AC ∴=，30PCA ∴∠=︒3DE ∴=，3CE =，233EF =，tan DE DFE EF ∴∠==DFE ∴∠是二面角D PC A --.………15分方法二：建立坐标系（以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴）.(0,0,0),(0,(2,(2,0,0),(0,0,2)A B C DP (0,(2,2),(0,0,2)DC PC AP ==-=平面DPC 的法向量1(1,0,1)n = ，平面APC的法向量21,0)n =-设二面角D PC A --的平面角为α，12cos |cos ,|3n n α=<>=，tan α=20.（1）证明：1222a a +-＝，23210a a +＝，两式作差得112c =…………3分对任意*n N ∈，21212231n n n a a ---++＝①，2221231n n n a a ++＝＋②…………2分②－①，得21212134n n n a a -+-⨯-=，即2134n n c -⨯=，于是14n nc c +=.所以{}n c 是等比数列．…………7分（2）证明当*n N ∈且2n ≥时，2113153752123()()()()n n n a a a a a a a a a a =+-+-+-+⋅⋅⋅-+－－－22131(19)92922129n n --=+++++⋅⋅⋅=⋅+…………10分由(1)得112339321922n n n a --⋅++=-⋅+，所以2194n n a -=…………12分12123(19)4n n n a a --+=-，得2391()48n n S n -=-…………15分21.解：（1）由已知22c e a ==，2b =，222a b c =+得2b a ==，故椭圆C 的22142x y +=；……………………5分（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240k x mkx m +++-=2121222424,2121mk m x x x x k k -⇒+=-=++，点O 到直线l的距离d =，1122S d AB =⋅⋅=()222242221m k m k ++-=≤=+S ，当且仅当22242m k m =+-即2221m k =+，①……………10分此时21200022221,221x x mk k k x y kx m m k m m m+==-=-=+=-+=+，法一：即00001,22x m m k x y y ==-=-代入①式整理得()22000102x y y +=≠，即点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠………13分且点N 恰为椭圆1C 的左焦点，则MN 的范围为)1-+……………15分法二：MN =由①得kMN m===-………13分设kt m=代入2221m k =+得22221m m t =+，即22(12)1t m -=，221012m t =>-∴2222t -<<，即2222k m -<<∴)1MN ∈……………15分22、解答：（Ⅰ）当2a =时，()2sin sin 2f x x x =+，于是()2cos 2cos 22(1cos )(2cos 1)f x x x x x '=+=+-…………3分于是()0f x '>，解得(0,3x π∈；()0f x '<，解得(,)3x ππ∈即(0,)3x π∈函数()f x 单调递增，(,)3x ππ∈函数()f x 单调递减…………6分（Ⅱ）当1a =时，()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意2(0,3x π∈恒成立首先考察(0,2x π∈时，易得0b >∵()sin sin 2sin (12cos )cos f x x x x x bx x=+=+≥∴2(,)23x ππ∈时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立…………9分于是只考察()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意(0,)2x π∈恒成立由(14242f b ππ=+≥⋅，于是2128b +≤21238+>，所以3b ≤…11分下证：()sin sin 23cos f x x x x x =+≥对任意(0,2x π∈恒成立考察函数()tan 2sin 3g x x x x =+-，(0,2x π∈32222212cos 3cos 1(cos 1)(2cos 1)()2cos 30cos cos cos x x x x g x x x x x-+-+'=+-==>于是()g x 在(0,)2x π∈上单调递增，则()(0)0g x g >=即tan 2sin 30x x x +->，则sin sin 23cos x x x x +≥综上可知，max 3b =………15分。
浙江省五校联考高中数学第一次试题 理 新人教A版
浙江省五校联考高中数学第一次试题 理 新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间为120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1．已知复数21iz i=-，则z z ⋅的值为A ．0BC ．2D ．2- 2．已知集合2{lg(4)}A x y x ==-，{3,0}xB y y x ==>时，AB =A ．{2}x x >-B ．{12}x x <<C ．{12}x x ≤≤D ．∅3．已知,p q 为两个命题，则“p 是真命题”是“p q ∨是真命题”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．已知等比数列{}n a 中，11a =，且2342,3,4a a a 成等差数列，则3a 等于 A ．0 B ．14 C ．1 D ．14或1 5．位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是 A ．4243 B ．8243 C ．40243 D ．802436．已知ABC ∆中，23sin ,tan 54B C ==，则A ．A CB >> B ．A BC >> C ．B C A >>D ．C B A >>7．已知()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，当3(0,)2x ∈时，2()ln(1)f x x x =-+， 则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是 A ．3 B ．5 C ．7 D ．98．若函数()y f x =图像上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件22x y >，则称函数()f x 具有性质S ， 那么下列函数中具有性质S 的是A ．()1xf x e =- B ．()ln(1)f x x =+ C ．()sin f x x = D ．()tan f x x =9．如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+，则A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<10．已知9290129(2)x a a x a x a x +=++++，则213579(3579)a a a a a ++++-2(2a +2468468)a a a ++的值为A ．93 B ．103 C ．113 D ．123第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．某算法的程序框图如右图所示，输出结果为 ． 12．函数22()(sin cos )2sin f x x x x =+-的单调递增区间为 ． 13．设12cos x A x +=成立，可得2212cos 2x A x +=， 3312cos3,,x A x +=由此推得*1()n n x n N x+∈= ．14．设,,a b c 为三个非零向量，且0,2,2a b c a b c ++==-=，则b c +的最大值是 ．15．关于x 的方程320x px -+=有三个不同实数解，则实数p 的取值范围为 ．16．已知数列{}n a 中，121,3a a ==，对任意*n N ∈，2132,21n n n n n a a a a ++≤+⋅≥+都成立，则1110a a -= ．17．三对夫妇去上海世博会参观，在中国馆前拍照留念，6人排成一排，若每位女士的旁边不能是其他女士的丈夫，则不同的排法种数为 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知向量(2,1),(sin,cos())2Am n B C =-=+， ,,A B C 为ABC ∆的内角，其所对的边为,,a b c（1）若23A π=，求n ；（2）当m n ⋅取得最大值时，求角A 的大小；（3）在（2）成立的条件下，当a =22b c +的取值范围．19．某旅游公司为四个旅行团提供,,,A B C D 四条旅游路线，每个旅行团任选其中一条， （1）四个旅行团选择的旅行路线各不相同的概率；（2）设旅行团选择旅游线路的总数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．20．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==， （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．21．已知函数()ln(1),()1xf x xg x e =+=-， （1）若()()F x f x px =+，求()F x 的单调区间；（2）对于任意的210x x >>，比较21()()f x f x -与21()g x x -的大小，并说明理由．22．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：（1）对任意(0,)x ∈+∞，恒有(10)10()f x f x =； （2）当(1,10]x ∈时，()lg f x x x =- （I ）求(100)f ，1()100f 的值； （II ）记区间1(10,10]k k k I +=，其中k Z ∈，当k x I ∈时，求()f x 的解析式；（III ）当k x I ∈（0,1,2,3,k =）时, ()f x 的取值构成区间k D ，定义区间(,]a b 的区间长度为b a -，设区间k D 在区间k I 上的补集的区间长度为k a ，求证：012012lg lg lg lg n n a a a a a a a a ++++<1081．2010学年浙江省第一次五校联考数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题11．2； 12．3[,]()88k k k Z ππππ-++∈； 13．2cos nA ； 14．； 15．3p >； 16．1024； 17．60． 三、解答题 18．（1）23A π=时，3131(,),12n n =∴=+=；---------------4分 （2）22sincos()2sin 2sin 1222A A Am n B C ⋅=-+=-++，-------------6分 当1sin22A =，即3A π=时，m n ⋅取得最大值；--------------------8分 （3）由2,2sin ,2sin sin sin sin 3a b c b B c C A sinB C π====∴==，----------------10分 22224sin 4sin 42sin(2)6b c B C B π+=+=+-，---------------12分22210,sin(2)1,36326B B b c ππ<<∴-<-≤∴<+≤．-------------------14分19．（1）记事件A ：四个旅行团选择的旅行路线各不相同，4443()432A P A ==；------------------6分（2）-----------------7分1441(1)464C P ξ===，22124442224()21(2)464C C C A A P ξ+===， 32344349(3)416C C A P ξ===，4443(4)432A P ξ===，------------------11分 1219317512346464163264E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．----------------14分 20．（1）由121n n a S +=+----①得121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，113,3n n n n a a a -+∴=∴=；----------------3分5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-； -----------------6分（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--， -------------8分311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即363nn k -∴≥对*n N ∈恒成立，--------10分 令363n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，--------------12分max 32()9n c c ∴==，29k ≥．----------14分 21．（1）()()ln(1)F x f x px x px =+=++，11()11px p F x p x x ++'∴=+=++，-----------2分 ①当0p =时，()0F x '>在(1,)-+∞上恒成立，()F x ∴的递增区间为(1,)-+∞；---------3分 ②当0p >时，()F x 的递增区间为(1,)-+∞；--------------6分③当0p <时，()F x 的递增区间为1(1,1)p ---，递减区间为1(1,)p--+∞；------------8分（2）令()()()1ln(1)(1)xG x g x f x e x x =-=--+>-，11()11x x xe x e G x e x x +-'∴=-=++， 令()1(1)x x H x e x e x =+->-，()(2)0xH x e x '=+>在(1,)-+∞上恒成立，∴当0x >时，()(0)0H x H >=成立，()0G x '∴>在0x >上恒成立， ∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0G x G >=恒成立， ∴当0x >时，()()0g x f x ->恒成立，∴对于任意的210x x >>时，2121()()g x x f x x ->-，---------------12分又212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +∴-+>=+-++， 2121()()()f x x f x f x ∴->-，即21()g x x ->21()()f x f x -．--------------15分22. (1) (100)10(10)10990f f ===, 11(10)10(1)100()1000()10100f f f f === 19()1001000f =-------------4分 (2) k x I ∈且 k N ∈ 则()10()10()10lg 10101010k k k k kx x xx f x f f ⎛⎫====- ⎪⎝⎭10lg 10kkx x k =-+-----------6分 k x I ∈且 ,0k Z k ∈< 时 由 ()10()10x f x f = 得 1()(10)10()1010k k xf x f x f ===即 ()10lg 10kkf x x x k =-+ -------------8分故 k x I ∈且 k Z ∈ 有 ()10lg 10k kf x x x k =-+ -------------9分(3) k x I ∈且 k N ∈时, '1()1100ln10kf x x =-> 故(10,910k k k D ⎤=⎦ k D 在区间k I 上的补集为(1910,10k k +⎤⎦∴ 10kk a =--------------12分 0122012lg lg lg lg 12101010n nn a a a a nT a a a a =++++=+++2311210101010n T n+=+++119111111010101091010n n n n n n T ++⎛⎫=++-=--⎪⎝⎭91109T < 012012lg lg lg lg 1081n n a a a a T a a a a ∴=++++<． -------------15分。
浙江省五校2021届高三数学上学期联考试题(含解析)
浙江省五校2021届高三数学上学期联考试题（含解析）1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. (]0,2 D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出集合,A B 后可得两个集合的交集. 【详解】()1,A =+∞，[]2,2B =-，故(]1,2AB =，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.已知向量1a =，2b =，且a 与b 的夹角为60︒，则（ ） A. ()a ab ⊥+B. ()b a b ⊥+C. ()a ab ⊥-D.()b a b ⊥-【答案】C 【解析】 【分析】逐项采用向量数量积的公式进行验证即可【详解】解析：对A ：()20a a b a a b +=+⋅≠，故不垂直，A 错； 对B ：()20b a b b a b +=+⋅≠，故不垂直，B 错； 对C ：()2110a a b a a b -=-⋅=-=，故垂直，C 对； 对D ：()2140b a b a b b -=⋅-=-≠，故不垂直，D 错； 故选C【点睛】本题考查向量数量积的运算和向量垂直的判断，是基础题型3.函数()332xx xf x =+的值域为（ ） A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. (]0,1D. ()0,1【答案】D 【解析】 【分析】需要先对函数式进行化简，化简成()3132213xxx xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭形式，再进行值域求解 【详解】()3132213xx x xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵2210110133213xxx⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选D【点睛】本题考查复合函数的值域求解，一般复合函数值域求解需要先求内层函数的值域，形如()()f g x ，先求()g x 的值域D 再求()f D 的取值范围4.已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，则（ ） A. 0d <时，n S 一定存在最大值 B. 0d >时，n S 一定存在最大值C. n S 存在最大值时，0d <D. n S 存在最大值时，0d >【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的特点来判断n S 与d 的关系即可【详解】对A ：因为0d <，所以数列单调递减，故n S 一定存在最大值，A 正确； 对B ：因为0d >，所以数列单调递增，故n S 不存在最大值，B 错； 对C ：因为当0d =，10a <时，n S 存在最大值1S ，C 错； 对D ：由C 的解析知，D 错； 故选A【点睛】本题考查等差数列n S 与d 的关系，我们可以通过21=22n n S d d n a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭来加强理解，当公差0d =，数列为常数列，1n S na =，当10a >时，n S 有最小值，10a <时，n S 有最大值；当公差0d ≠时，0d >，n S 有最小值，0d <，n S 有最大值5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. ⎛-∞ ⎝⎭B. 4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. ⎫∞⎪⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可【详解】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则223x a x>=，当且仅当x =所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A【点睛】本题考查不等式与对应函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法 6.已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a bb ab a a b>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论7.定义{}max ,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则关于实数,x y 的不等式组{}22max ,0x y x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】D 【解析】 【分析】通过对新定义的解读，需要先求解{}max ,0x y x y +-≥，即0,00,0x y y x y y +≥≥⎧⎨-≥<⎩，再通过分类讨论形式表示不等式组，画出对应的线性规划区域，再求解对应面积即可【详解】解析：{}0,0max ,00,0x y y x y x y x y y +≥≥⎧+-≥⇒⎨-≥<⎩， 即{}22220220max ,000x x x y y y x y x y x y x y ⎧⎧⎧≤≤≤⎪⎪⎪≤⇔≤≤-≤<⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-≥+≥-≥⎩⎩⎩或 由图像可得：平面区域面积：11642122S =-⨯⨯=，故选D【点睛】本题考查根据新定义表示线性规划区域，对可行域面积的求解，难点在于通过分类讨论合理表示出符合条件的区域8.函数()()sin 22cos 0f x x x x π=+≤≤，则()f x （ ） A. 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 B. 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C. 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 D. 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 【答案】C 【解析】 【分析】由于常规方法无法进行化简，故需要对()f x 进行求导，根据导数来研究函数的增减性 【详解】()()()()22cos 22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->⇒-+<，故151sin 0,,266x x πππ⎛⎫⎛⎫-<<⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，即在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 答案选C【点睛】本题考查根据导数来研究三角函数增减性问题，根据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质9.三角形ABC 中，已知sin cos 0sin A C B +=，tan A =，则tan B =（ ）B. C.3D.2【答案】D 【解析】 【分析】 先将sin cos 0sin AC B+=化简，得到sin cos sin A C B =-，此时需要用到()sin sin A B C =+进行代换，化简得到关于B 与C 的正切公式，由于题中求的是角B ，故需将tan C 代换成()tan A B -+，进而化简求值【详解】解析：()sin cos 0sin cos sin sin 2tan tan 0sin AC A C B B C B C B+=⇒=-=+⇒+=，()tan tan 2tan tan tan 1tan tan 2A B B A B B A B +⇒=+=⇒=- 故选D .【点睛】本题考查三角函数的化简求值，由于前期不能锁定解题方向，所以需要进行解题方向预判，大体是弦化切，故整体思路都围绕弦化切展开，中间遇到两次三角函数的整体代换，对基本功要求较高，这就要求平时强化基础，苦练基本功 10.若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A.23B.56C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】将不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭看作两个因式，x a b --和sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，先讨论sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，确定x 对应区间，再对x a b --的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解【详解】解析：法一：由题意可知：当15 , 66x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin06xππ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当151,,166x⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，sin06xππ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，故当15,66x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b--≤，当151,,166x⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b--≥，即有5165316126a b aa bba b⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B；法二：由sin6xππ⎛⎫+⎪⎝⎭右图像可得：显然有5165316126a b aa bba b⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究11.已知集合{}2210A x x x=--<，{}B x a x b=<<，若{}21A B x x⋃=-<<，则a=______；若(){}13RA B x x⋂=≤<，则b=______.【答案】 (1). 2a=- (2). 3b=【解析】【分析】先化简集合A，根据题设条件，画出数轴图，根据交并补关系进行求解即可【详解】{}21210,12A x x x⎛⎫=--<=-⎪⎝⎭，因为{}B x a x b=<<，{}21A B x x⋃=-<<所以2a=-，如图所示[)1,1,2RC A⎛⎤=-∞-+∞⎥⎝⎦，(){}13RA B x x⋂=≤<所以3b=.如图：【点睛】本题考查根据集合的交并补的结果求解参数，最好的方式是结合数轴图加以理解，更具体，更直观12.已知0,6aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2sin sin21a a+=，则tan a=______；sin2a=______.【答案】 (1).12(2).45【解析】【分析】将右式的“1”化成“22sin cosαα+”，再化简求值【详解】22221sin sin21sin cos sin2cos tan2a a a a a a a+==+⇒=⇒=；22tan14sin211tan514aaa===++所以1tan2a=，4sin25a=【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“1”的代换很关键，22tan sin 21tan aa a=+为万能公式的使用，应当熟记 13.不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是______；不等式()212log 31log 4x -<的解集是______.【答案】 (1). {}0x x < (2). 15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】将1212x-⎛⎫ ⎪⎝⎭化简成212x -，再利用指数函数性质解不等式；同理对于12log 4化简成21log 4，但要注意310x ->，再进行求解即可 【详解】123121122312102xx x x x x ---⎛⎫<=⇒-<-⇒< ⎪⎝⎭，所以不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是{}0x x <()2122310115log 31log 4log 214312314x x x x ->⎧⎪-<==-⇒⇒<<⎨-<⎪⎩ 不等式()212log 31log 4x -<的解集是15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，化成同底数再根据函数的增减性求解是常规方法，同时还需注意定义域必须符合对数函数性质14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()112nnn n S a n N *⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则3a =______，7S =______.【答案】 (1). 116- (2). 1256- 【解析】 【分析】再写一个下标减一的递推式，两式作差，表示出n a 的关系式，再根据n 为奇数和偶数求解具体数值即可【详解】当1n =时，1111124S a a =--⇒=-； 当2n ≥时，()()()()()()1111111112111111122112nn n nn n n n n n n n n n n n n n n S a a a a a a S a -------⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤⇒=---+⇒--=-+⎨ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩当n 为偶数时，112nn a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即n 为奇数时112n n a +=-，所以3411216a =-=-； 7812a =-，()7787811111222256S ⎛⎫=---=-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查根据递推数列求解具体通项和n S 的方法，涉及题设包含()1n-这种形式时，一定要分类讨论奇偶性 15.定义{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知(){}max 11,2f x x x =++，()g x ax b =+.若()()f x g x ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，则2a b +的最小值是______.【答案】5 【解析】 【分析】画出()()=11,2m x x h x x ++=的图像，根据题意，表示出()f x 的表达式，再根据()f x 与()g x 的位置关系，进行求解【详解】如图：()(]()11,222,x xf xx x⎧++∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，，若()()f xg x≤对[)1,x∈+∞恒成立，此时()[]()2,1,22,2,x xf xx x⎧+∈⎪=⎨∈+∞⎪⎩，则2a≥，2ax b x+≥+在[]1,2上恒成立，所以3a b+≥()2235a b a a b+=++≥+=当且仅当2a=，1b=时等号成立.即图中的红色直线为临界状态.则2a b+的最小值是5【点睛】本题考查根据新定义写出表达式，根据函数图像求不等式的最值，准确画出函数图像并从临界点切入是解题关键16.已知向量,,a b c，其中2a b-=，a c-=1，b与c夹角为60︒，且()()1a b a c-⋅-=-.则a的最大值为______.221【解析】【分析】可设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，a c CA -=，则2BA =，1CA =，进而可求出BA 与CA 夹角，根据几何关系能得出四点共圆，再根据正弦定理求得圆的半径即可 【详解】设OA a =，OB b =，OC c =，则2BA =，1CA =，1BA CA ⋅=- 所以1cos ,2BA CABA CA BA CA⋅<>==-,即BA 与CA 的夹角为120︒，而OB 与OC 的夹角为60︒, 所以四点,,,O B A C 共圆， 于是a OA =为圆的直径时最大，2212122172BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，72212sin1203BC r 2===︒则a 的最大值为221【点睛】本题考查向量模长的求法，通过构造向量的形式表示a b BA -=，a c CA -=是解题关键，借助几何图形能帮助我们快速解题17.已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析 【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点(),a b 到直线20a b -=问题若相切，则()22224b b z -+=有唯一解222440b zb z +++=，()2221684042z z z z =-+=⇒=⇒=两平行线20a b -=与20a b z --=的距离d ==所以22a b -== 方法二：柯西不等式法 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by ++≥+()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy ++≥+⇔+++≥++()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by --≤-()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy --≤-⇔--+≤+-()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥所以()()()22242212b aa b =--≤-，所以22a b -≥.方法三：判别式法设22a b t a b t -=⇒=+，将其代入2224b a -=，下面仿照方法一即可. 方法四：整体换元0a ->0a +>设x a y a⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，则()40,0xy x y =>>，且22222y xay xa bb-⎧=⎪-⎪⇒-=-=≥=⎨⎪=⎪⎩方法五：三角换元由对称性，不妨设2tanbaθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为锐角）所以sin cos22tan222cos cosa bθθθθθθ-=-==≥=所以2a b-的最小值为2【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面18.已知()sin3f x x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ABC△中，角,,A B C所对的边为,,a b c.（1）若,22xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x的值域；（2）若()13f A=，a=2b=，求sin B的值.【答案】（1）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）6+【解析】【分析】（1）将表达式先展开再合并，化简求值即可（2）将()13f A=化简求得1sin33Aπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，通过数值进一步锁定32Aππ<<，求出22cos 3A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，采用拼凑法求出sin sin 33A A ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用正弦定理求解sin B 【详解】解析：()13sin 3cos sin cos 3cos sin 3223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）∵51,,sin 2236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒-∈-⇒-∈-1, ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）()11sin 333f A A π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，因为1132<，所以036A ππ<-<，或者563A πππ<-<，即32A ππ<<或者7463A ππ<<（舍去），故22cos 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；126sin sin 336A A ππ⎛⎫+⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理得：sin sin a b A b =⇒243sin 6B += 【点睛】本题考查复合三角函数值域的求法，三角恒等变换中关于具体角的求解问题，正弦定理在解三角形中的应用，对于角的拼凑问题是解题过程中经常会遇到的问题，如本题中33A A ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，常见的还有442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，233x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()A A B B =+-等19.已知多面体P ABCD -中，AB CD ∥，90BAD PAB ∠=∠=︒，12AB PA DA PD DC ====，M 为PB 中点. （1）求证：PA CM ⊥；（2）求直线BC 与平面CDM 所成角的正弦.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】 【分析】（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明PA ⊥ CD 直线所在平面 （2）过点B 作BO CMD ⊥面，连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，再采用等体积法求出BO ，即可求得 也可采用建系法直接求解 【详解】法一：（1）由90BAD PAB ∠=∠=︒得：BA PAD ⊥面；如图：取PA 中点E ， 连接ME ，DE 得：ME PA ⊥，DE PA ⊥，PA DEMC ⊥面；故：PA CM ⊥；（2）过点B 作BO CMD ⊥面；连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，即有B CDM M CBD V V --=， 不妨设122AB PA DA PD DC ==-==，即有：11113434213232h h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=，所以2sin h BCO BC ∠==法二：由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；122AB PA DA PD DC=====如图建系得：()200P，，，()3A，，，()3B，，，()004C，，,()0,0,0D，33122M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，（1）()3,0PA=-,33,,-322CM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭则0PA CM PA CM⋅=⇒⊥（2）设面CDM的法向量为(),,n x y z=，()0,0,4DC=，332DM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()1,3,2BC=--即有：()401,3,00330zDC nnDM n x=⎧⎧⋅=⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅==⎪⎩⎩，故132sin cos28BC nα-+=<⋅>==⨯【点睛】本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题20.设数列{}n a是等比数列，数列{}n b是等差数列，若223a b==，359a b==.（1）若nnnn bca⋅=，数列{}nc中的最大项是第k项，求k的值（2）设n n nd a b=⋅，求数列{}n d的前n项和n T【答案】（1）2k=（2）()131nnT n=-⨯+【解析】【分析】（1）根据题设已知条件利用通项公式直接表示出223a b ==，359a b ==的关系式，求解出{}n a 与{}n b 的通项公式，表示出{}n c 的通项公式，利用1n n c c +-进行判断（2）采用错位相减法进行求解即可 【详解】解析：（1）设公差为d ，公比为q则11112111314923a a qb d b a q b d d q =⎧⎪=+==⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎩⎪⎪=⎩，所以13-=n n a ，21n b n =-；2123n n n n n b n n c a -⋅-==，212313n nn n c +++= 222112312461333n n n n nn n n n n n c c +-++--++-=-= 当1n =时，246120n n -++=>，于是21c c >； 当2n ≥时，24610n n -++<，于是1n n c c +<； 综上所述：123n c c c c <>>⋅⋅⋅>， 于是()2max 2n c c ==，2k = （2）错位相减求和法()1213n n d n -=-⋅，()()01112133321331333213n n n nT n T n -⎧=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎩，()()()()1213321233321312213223231n n nn n n T n n n ---=+⨯+⋅⋅⋅+--⨯=+--⨯=-+⨯--()131n n T n =-⨯+【点睛】本题考查等差等比数列基本量的求解，数列前n 项和最大值和对应项的辨析，错位相减法求前n 项和，错位相减法关键在于第二个式子一般乘以公比，跟第一个式子对应时，依次向后错一位，两式相减时，第二个式子多出的末项符号正负要书写正确21.过椭圆2212xy+=的左焦点F作斜率为()11k k≠的直线交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，直线OM交椭圆于C，D两点.（1）设直线OM的斜率为2k，求12k k的值；（2）若F，B分别在直线CD的两侧，2MB MC MD=⋅，求FCD的面积.【答案】（1）12-（2）22【解析】【分析】（1）设直线方程为1y k x b=+，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M的坐标为1221122(,)1212bk bk k-++，代入可得2112kk=-，进行求解（法二）（利用点差法）设点1(A x，1)y，2(B x，2)y，中点(M x，)y，由2211112x y+=与2222112x y+=，作差得21212121()()12()()y y y yx x x x-+-=-+再进行求解（2）设直线方程为()11y k x=-，联立椭圆方程得出211221412kx xk+=+，点M的横坐标为21021212kxk=+，用焦点弦公式表示出())2211122112214222212kkAB a e x xk+=++==+，同理联立方程()22222222122x yk xy k x⎧+=⇒+=⎨=⎩，用弦长公式表示出MC，MD，结合题干2MB MC MD =⋅求出2k ，再用点到直线距离公式求得F 到CD 距离，进而求得面积【详解】（1）解法一：设直线方程为1y k x b =+，代入椭圆方程并整理得：22211(12)4220k x k bx b +++-=，1122412k bx x k +=-+，又中点M 在直线上，所以1212122y y x x k b +⎛⎫⎝+⎪⎭=+，从而可得弦中点M 的坐标为1221122(,)1212bk b k k -++，2112k k =-， 所以1212k k =-解法二：设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，中点0(M x ，0)y 则1202x x x +=，1202y y y +=0122012y y y k x x x +==+，21121y y k x x -=- 又2211112x y +=与2222112x y +=，作差得21212121()()12()()y y y y x x x x -+-=-+所以1212k k =-（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y()()22222221111221242201x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨=-⎪⎩ 211221412k x x k +=+，点M 的横坐标为21021212k x k =+())221112221114221212k k AB a e x x k k +=++==++于是)212111212k MB MB k +==+ 联立方程()22222222122x y k x y k x⎧+=⇒+=⎨=⎩所以3x =4x =2121212k MC k =+，MD =所以()2221222212211212k MC MD k k k ⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭从而有)()222212122221211221121212k k k k k k ⎤+⎛⎫⎢⎥=+- ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合1212k k =-， 从而得2112k =，不妨设12k =，此时22k =-:0CD x +=此时CD ==d =1232FCD S ∆== 【点睛】本题考查直线与曲线相交问题的具体应用，要求考生具有较强的运算能力和逻辑推理能力，用点差法解决弦的中点问题可大大减小运算22.设函数()1xf x e x =+≥- （1）当1a =-时，若0x 是函数()f x 的极值点，求证：0102x -<<； （2）（i ）求证：当0x ≥时，()2112f x x x ≥+++； （ii ）若不等式()25242f x a x x a++≤对任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 注：e=2.71828为自然对数的底数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析 （i i ）(]0,1【解析】【分析】（1）先求导，得()f x '=()21g x e =，求得()0g x '>，可判断()g x 单调递增恒成立，再根据零点存在定理计算两端点值，即可求证（2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，通过求导证明()'0h x >，求得()0=0h ，即可求证 （ii ）先通过必要性进行探路，当0x =时，一定成立，推出(]0,1a ∈ ，当01a <≤时，()()25=224f x a g x x x a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭令，化简得()()2512042x g x e x x x ⎛⎫≥++≥ ⎪⎝⎭， 进一步求导得()54x g x e x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，结合（i ）中2112x e x x ≥++放缩可得()2511424x g x e x x ⎛⎫'=-+≥+- ⎪⎝⎭，再对1x ≥和01x <<分类讨论，进而求证【详解】解析：（1）()xf x e '==，令()()2120x g x e g x e e '=⇒=>即()g x 恒增，又1102g ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，()010g =>，所以()f x '在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一根，即为()f x 的极值点0x ，且0102x -<<； （2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，()1x h x e x '=--，()10x h x e ''=->，即()h x '在[)0,+∞，即()()min 00h x h ''==，所以()0h x '≥恒成立，即()h x 在[)0,+∞单调递增，又有()()min 00h x h ==，所以()0h x ≥恒成立，即()2112f x x x ≥+++（i i ）必要性探路：当0x =，有1201a a a+≤⇒<≤， 当01a <≤时，2225551222424242x x a e a x x x x e x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()2512042x g x e x x x ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭ ()225151142424x g x e x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+≥1+++-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）当1x ≥时，()221111110242424g x x x '≥+->-≥->， 所以函数()()00g x g ≥=（2）当01x <<时，()2111102444g x x '≥->->> 所以函数()()00g x g ≥=综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.【点睛】本题考查导数零点区间的证明，零点存在定理的应用，利用导数证明不等式恒成立，利用利用放缩法证明不等式，利用导数研究恒成立问题求解参数，难度系数比较大，对考生综合素质要求较高。
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题 含解析
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题含解析【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。
但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（）A． B． C． D．【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析：解：由题可知，所以D正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2.设集合，，则＝（）A． B． C． D．【知识点】集合.A1【答案解析】 C 解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为，函数为连续函数，所以函数的零点在之间. 【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间. 4. 已知m ，n ，则 “a ＝2”是“mn ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“mn ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系.5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 ．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
浙江省2021届理科数学复习试题选编32抛物线(学生版)
浙江省2021届理科数学复习试题选编32：抛物线〔学生版〕一、选择题1 ．〔浙江省永康市2021年高考适应性考试数学理试题 〕抛物线1C :y x 22=的焦点为F ,以F 为圆心的圆2C 交1C 于,A B ,交1C 的准线于,C D ,假设四边形ABCD 是矩形,那么圆2C 的方程为 〔 〕 A ．221()32x y +-= B ． 221()42x y +-= C ．22(1)12x y +-=D ．22(1)16x y +-=2 ．〔浙江省五校联盟2021届高三下学期第一次联考数学〔理〕试题〕P 为抛物线x y 42=上一个动点,Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点,那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和最小值是 〔 〕 A ．171+ B ．172- C ．25+ D ．171-3 ．〔浙江省宁波市金兰合作组织2021届高三上学期期中联考数学〔理〕试题〕过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,假设3AF =,那么AOB ∆的面积为〔 〕A ．22B ．2C ．322D ．224 ．〔浙江省诸暨中学2021届高三上学期期中考试数学〔理〕试题〕抛物线24y x =的焦点为F ,准线l 与x轴相交于点E ,过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的局部相交于点A ,AB l ⊥,垂足为B ,那么四边形ABEF 的面积等于 〔 〕 A ．33B ．43C ．63D ．835 ．〔浙江省湖州市2021年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) 〕直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆()2211x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，,那么ABCD的值为 〔 〕A ．16 B ．116C ．4D ．14 6 ．〔浙江省杭州四中2021届高三第九次教学质检数学〔理〕试题〕抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 恰好是双曲线12222=-b y a x 的右焦点,且两条曲线的交点的连线过F,那么该双曲线的离心率为〔 〕A ．2B ．2C ．12+ D ．12-7 ．〔浙江省温州市2021届高三第二次模拟考试数学〔理〕试题〕抛物线y 2=2px(p>0)的准线交x 轴了点C,焦点为F. 〔 〕 A ．B是抛物线的两点.己知〔 〕 A ．B,C三点共线,且|AF|,|BF|成等差数列,直线AB的斜率为k,那么有 〔 〕A ．412=k B ．432=k C ．212=k D ．232=k 非选择题局部(共100分)8 ．〔浙江省温州八校2021届高三9月期初联考数学〔理〕试题〕设动圆M 与y 轴相切且与圆C :0222=-+x y x 相外切, 那么动圆圆心M 的轨迹方程为〔 〕 A ．24y x = B ．24y x =-C ．24y x =或0(0)y x =<D ．24y x=或0y =9 ．〔浙江省温岭中学2021届高三冲刺模拟考试数学〔理〕试题〕如图,点P 是双曲线C :)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点,F 1,F 2是双曲线的左、右两个焦点,且PF 1⊥PF 2,PF 2与两条渐近线相交于M ,N两点,点N 恰好平分线段PF 2,那么双曲线的离心率是 〔 〕A ．5B ．2C ．3D ．2二、填空题10．〔浙江省嘉兴市第一中学2021届高三一模数学〔理〕试题〕己知抛物线y 2=4x 的焦点为F,假设点A, B 是该抛物线上的点,2π=∠AFB ,线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N,那么||||AB MN 的最大值为____. 11．〔浙江省温岭中学2021届高三高考提优冲刺考试〔三〕数学〔理〕试题 〕F 为抛物线)0(2>=a ay x 的焦点,O 为坐标原点.点M 为抛物线上的任一点,过点M 作抛物线的切线交x 轴于点N ,设21,k k 分别为直线MO 与直线NF 的斜率,那么=21k k ________.12．〔浙江省2021年高考模拟冲刺〔提优〕测试一数学〔理〕试题〕抛物线C :)0(22>=p px y 的焦点为F ,准线与x 轴交于M 点,过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,假设||45||AF AM =,那么k 的值_______.13．〔浙江省一级重点中学〔六校〕2021届高三第一次联考数学〔理〕试题〕直线()y k x m =-与抛物线22(0)y px p =>交于B A ,两点,且OA OB ⊥,又OD AB ⊥于D , 假设动点D 的坐标满足方程2240x y x +-=,那么m =_______.14．〔浙江省宁波市2021届高三第二次模拟考试数学〔理〕试题〕曲线12221,22:4:l x y C x y C 直线和-=+=与C 1、C 2分别相切于A 、B,直线2l ,(不同于1l )与C 1、C 2分别相切于点C 、D,那么AB 与CD 交点的横坐标是__________.15．〔浙江省黄岩中学2021年高三5月适应性考试数学(理)试卷 〕抛物线)0(2:2>=p px y M焦点为F ,直线2pmy x +=与抛物线M 交于B A ,两点,与y 轴交于点C ,且||||BF BC =,O 为坐标原点,那么BOC ∆与AOC ∆面积的比值为________.16．〔浙江省温州市2021届高三第三次适应性测试数学(理)试题〔word 版〕 〕点),(a a A ,)1,1(++a a B ,动点P 到点)0,1(M 的距离比到2-=x 的距离小1的轨迹为曲线C ,且线段AB 与曲线C 有且仅有一个焦点,那么a 的取值范围是______.17．〔浙江省温州十校联合体2021届高三期中考试数学〔理〕试题〕在平面直角坐标系xOy 中,焦点为F 的抛物线y 2=2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15,那么线段PF 的长为_____.18．〔浙江省温岭中学2021届高三冲刺模拟考试数学〔理〕试题〕P 为抛物线C :x y 42=上一点,假设P 点到抛物线C 准线的距离与到顶点距离相等,那么P 点到x 轴的距离为_____________.19．〔2021年普通高等学校招生统一考试浙江数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,假设2||=FQ ,那么直线的斜率等于________.20．〔浙江省六校联盟2021届高三回头联考理科数学试题〕过抛物线24y x =的焦点作一条倾斜角为a,长度不超过8的弦,弦所在的直线与圆2234x y +=有公共点,那么a 的取值范围是_______________ 21．〔浙江省海宁市2021届高三2月期初测试数学〔理〕试题〕抛物线26y x =,准线l 与x 轴交于点M ,过M作直线交抛物线于,A B 两点(A 在,M B 之间),点A 到l 的距离为2,那么||||AB MA =____. 三、解答题22．〔浙江省杭州二中2021届高三6月适应性考试数学〔理〕试题〕抛物线2:4C y x =,直线:l y x b =-+与抛物线交于,A B 两点.(Ⅰ)假设以AB 为直径的圆与x 轴相切,求该圆的方程; (Ⅱ)假设直线l 与y 轴负半轴相交,求AOB ∆面积的最大值.23．〔浙江省嘉兴市2021届高三第二次模拟考试理科数学试卷〕如图,抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上,点P 是抛物线1C 上的动点. (Ⅰ)求抛物线1C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)过点P 作抛物线2C 的两条切线,M 、N 分别为两个切点,设点P 到直线MN 的距离为d ,求d 的最小值.24．〔温州市2021年高三第一次适应性测试理科数学试题〕点11(,)A x y ,22(,)B x y 是抛物线24y x =上相异两点,且满足122x x +=.(Ⅰ)假设AB 的中垂线经过点(0,2)P ,求直线AB 的方程;(Ⅱ)假设AB 的中垂线交x 轴于点M ,求AMB ∆的面积的最大值及此时直线AB 的方程.25．〔浙江省宁波市2021届高三第一学期期末考试理科数学试卷〕如图,设点2213(,):(1)4P m n C x y ++=是圆上的动点,过点P 作抛物线22:(0)C x ty t =>的两条切线,切点分别是A 、B.圆C 1的圆心M 在抛物线C 2的准线上. (I)求t 的值;(Ⅱ)求PA PB ⋅的最小值,以及取得最小值时点P 的坐标.OxyPMN 1C 2C 〔第21题〕26．〔浙江省建人高复2021届高三第五次月考数学〔理〕试题〕抛物线22212:,: 1.4y C y x C x =+=椭圆 (1)设12,l l 是C 1的任意两条互相垂直的切线,并设12l l M =,证明:点M 的纵坐标为定值;(2)在C 1上是否存在点P ,使得C 1在点P 处切线与C 2相交于两点A 、B ,且AB 的中垂线恰为C 1的切线?假设存在,求出点P 的坐标;假设不存在,说明理由.27．〔浙江省温州中学2021届高三第三次模拟考试数学〔理〕试题〕如图,抛物线C :2ax y =)0(>a 与射线1l :12-=x y )0(≥x 、2l :)0(12≤--=x x y 均只有一个公共点,过定点)1,0(-M 和)41,0(N 的动圆分别与1l 、2l 交于点A 、B ,直线AB 与x 轴交于点P . (Ⅰ)求实数a 及NP AB ⋅的值;(Ⅱ)试判断:||||MB MA +是否为定值?假设是,求出该定值;假设不是,说明理由.28．〔浙江省2021年高考模拟冲刺〔提优〕测试二数学〔理〕试题〕圆C 的圆心在y 轴上,且与两直线l 1:0105=+-+y x ;l 2:0105=--+y x 均相切. (I)求圆C 的方程;(II)过抛物线2ax y =上一点M ,作圆C 的一条切线ME,切点为E,且MC ME ⋅的最小值为4,求此抛物线准线的方程.29．〔浙江省乐清市普通高中2021届高三上学期期末教学质量检测数学〔理〕试题〕点F 是抛物线yx C 4:21=与椭圆)0(1:22222>>=+b a b x a y C 的公共焦点,且椭圆的离心率为21. (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是在x 轴上方的椭圆上任意一点,F 是上焦点,过P 的直线PQ 与圆222b y x =+相切于Q 点,问:||||PQ PF +是否为定值,假设是,求出该定值;假设不是,请说明理由.30．〔浙江省温岭中学2021届高三冲刺模拟考试数学〔理〕试题〕以抛物线my x 22=(0>m )的顶点O 为圆心的圆,截该抛物线的准线所得的弦长为m 3 (Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)过圆C 上任一点M 作该圆的切线l ,它与椭圆1222=+y a x (R a ∈,且2>a )相交于A 、B 两点,当OB OA ⊥时,求m 的可能取值范围.31．〔浙江省绍兴一中2021届高三下学期回头考理科数学试卷〕抛物线)0(2:2>=p py xC 的焦点为F ,抛物线上一点A 的横坐标为1x )0(1>x ,过点A 作抛物线C 的切线1l 交x 轴于点D ,交y 轴于点Q ,交直线:2pl y =于点M ,当2||=FD 时, 60=∠AFD . (1)求证:AFQ ∆为等腰三角形,并求抛物线C 的方程;(2)假设B 位于y 轴左侧的抛物线C 上,过点B 作抛物线C 的切线2l 交直线1l 于点P ,交直线于点N ,求PMN ∆面积的最小值,并求取到最小值时的1x 值.32．〔浙江省温州十校联合体2021届高三期中考试数学〔理〕试题〕假设椭圆2212:1(02)4x y C b b +=<<的离心率等于32,抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点在椭圆的顶点上. (1)求抛物线2C 的方程;(2)过(1,0)M -的直线l 与抛物线2C 交P , Q 两点,又过P , Q 作抛物线2C 的切线12,l l ,当12l l ⊥时,求直线l 的方程.33．〔浙江省嘉兴市2021届高三上学期根底测试数学〔理〕试题〕如图,11(,)A x y ,22(,)B x y 是抛物线2:2C x py =(p 为正常数,p>0)上的两个动点,直线AB 与x 轴交于点P,与y 轴交于点Q,且2124p y y = (Ⅰ)求证:直线AB 过抛物线C 的焦点; (Ⅱ)是否存在直线AB,使得113?PA PB PQ+=假设存在,求出直线AB 的方程;假设不存在,请说明理由.34．〔浙江省杭州市2021届高三第二次教学质检检测数学〔理〕试题〕直线y=2x-2与抛物线x 2=2py(p>0)交于M 1,M 2两点,直线y=2p与y 轴交于点F.且直线y =2p恰好平分∠M 1FM 2. (I)求P 的值; (Ⅱ)设A 是直线y=2p 上一点,直线AM 2交抛物线于另点M 3,直线M 1M 3交直线y=2p于点B,求OA ·OB 的值.35．〔浙江省宁波市金兰合作组织2021届高三上学期期中联考数学〔理〕试题〕在平面直角坐标系xOy 中,F是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. (Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)是否存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?假设存在,求出点M 的坐标;假设不存在,说明理由;(Ⅲ)假设点M 的横坐标为2,直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ,l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ,求当122k ≤≤时,22AB DE +的最小值. 36．〔浙江省金华十校2021届高三4月模拟考试数学〔理〕试题〕抛物线2:2(0),C y px p M =>点的坐标为(12,8),N 点在抛物线C 上,且满足3,4ON OM =O 为坐标原点.(II)以点M 为起点的任意两条射线12,l l 关于直线l :y=x —4,并且1l 与抛物线C 交于A 、B 两点,2l 与抛物线C 交于D 、E 两点,线段AB 、DE 的中点分别为G 、H 两点.求证:直线GH 过定点,并求出定点坐标.浙江省2021届理科数学复习试题选编32：抛物线〔学生版〕参考答案一、选择题 1. B 2. B 3. C 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C9. A.⎪⎩⎪⎨⎧=+=-22222221c y x by a x 得,c b y P 2=,∴c b y N 22=,得c ab x N 2=,从而c c ab x P 2-=. ∵P 是双曲线上,∴1)(2242222=--c b b c a c ab ,化简得,b a =2,得5=e .二、填空题10.211. 21－解析:设),(200a x x M ,那么过点M 的抛物线的切线方程为:ax x x a x y 2000)(2+-=,令0=y 得:021x x N =,故)0,2(0x N ,)4,0(aF ,即:022x a k k NF -==,又axx a x k k MO 0021===,故2121-=k k12. 34±13. 414.12 15. 4116. [1,0][3,4]-⋃ 17.7218. 2;得P 点到焦点距离与到顶点距离相等,∴214==p x P ,得2||=P y . 19. 1±20.21. 2 三、解答题22.解:(Ⅰ)联立24y x b y x=-+⎧⎨=⎩,消x 并化简整理得2440y y b +-=. 依题意应有16160b ∆=+>,解得1b >-.设1122(,),(,)A x y B x y ,那么12124,4y y y y b +=-=-,设圆心00(,)Q x y ,那么应有121200,222x x y y x y ++===-. 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切,得到圆半径为0||2r y ==, 又222121212||()()(11)()2(1616)AB x x y y y y b =-+-=+-=+ .所以||22(1616)4AB r b ==+=,解得12b =-. 所以121203222x x y b y b x +-+-+===,所以圆心为3(,2)2-.故所求圆的方程为223()(2)42x y -++=.(Ⅱ)因为直线l 与y 轴负半轴相交,所以0b <,又直线l 与抛物线交于两点,由(Ⅰ)知1b >-,所以10b -<<,点O 到直线l 的距离||2b d =, 所以211||||2(1616)2(1)222AOB b S AB d b b b ∆==+=+. 令223()(1)g b b b b b =+=+,10b -<<22'()323()3g b b b b b =+=+,()g b ∴在2(1,)3--增函数,在2(,0)3-是减函数()g b ∴的最大值为24()327g -=. 所以当23b =-时,AOB ∆的面积取得最大值43923.解:(Ⅰ)1C 的焦点为)2,0(pF , 所以102+=p,2=p 故1C 的方程为y x 42=,其准线方程为1-=y(Ⅱ)设),2(2t t P ,)121,(211+x x M ,)121,(222+x x N ,那么PM 的方程:)()121(1121x x x x y -=+-,所以12122112+-=x tx t ,即02242121=-+-t tx x . 同理,PN :121222+-=x x x y ,02242222=-+-t tx x MN 的方程:)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-, 即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-. 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ,得t x x 421=+,21211221t tx x -=- 所以直线MN 的方程为222t tx y -+=于是222222241)1(241|24|t t t t t t d ++=+-+-=. 令)1(412≥+=s t s ,那么366216921=+≥++=s s d (当3=s 时取等号). 所以,d 的最小值为324.方法一:解:(I)当AB 垂直于x 轴时,显然不符合题意,所以可设直线AB 的方程为y kx b =+,代入方程24y x =得: ∴122422kbx x k-+== 得:2b k k=- ∴直线AB 的方程为2(1)y k x k=-+∵AB 中点的横坐标为1,∴AB 中点的坐标为2(1,)k∴AB 的中垂线方程为1213(1)y x x k k k k=--+=-+∵AB 的中垂线经过点(0,2)P ,故32k =,得32k =∴直线AB 的方程为3126y x =-(Ⅱ)由(I)可知AB 的中垂线方程为13y x k k=-+,∴M 点的坐标为(3,0)因为直线AB 的方程为2220k x ky k -+-=∴M 到直线AB的距离d ==由222204k x ky k y x⎧-+-=⎨=⎩得222204k y ky k -+-=,∴214(1AMB S k ∆=+,t =,那么01t <<, 234(2)48S t t t t =-=-+,2'128S t =-+,由'0S =,得t =即k =时max S =此时直线AB的方程为30x -= (此题假设运用根本不等式解决,也同样给分) 法二:(1)根据题意设AB 的中点为(1,)Q t ,那么2121222121244AB y y y y k y y x x t--===--由P 、Q 两点得AB 中垂线的斜率为2k t =-,由2(2)1t t -⋅=-,得43t = ∴直线AB 的方程为3126y x =-(2)由(1)知直线AB 的方程为2(1)y t x t-=- AB 中垂线方程为(1)2ty t x -=--,中垂线交x 轴于点(3,0)M点M 到直线AB的距离为d ==由22(1)4y t x ty x⎧-=-⎪⎨⎪=⎩得:22248(2)0x x t -+-= 当243t =时,S,此时直线AB方程为310x ±-=25. 26.即27.解:(I)联立221y ax y x ⎧=⎨=-⎩得:2210ax x -+=设动圆()222235:88Q x t y t ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(5544t -<<,圆与1l ,2l 相切时取到等号)联立()2222135:88:21Q x t y t l y x ⎧⎛⎫⎛⎫-++=+⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪=-⎩得:214,525t t A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 同理得:214,525t t B ⎛⎫--⎪⎝⎭4821:5552AB t t t l y x ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令0y =得2,05t P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(Ⅱ)||||MB MA +=5544t t ⎫++-=⎪⎭是定值. (动圆()222235:88Q x t y t ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,5544t -<<,圆与1l ,2l 相切时取到等号)(或由A B y y =,及几何法得||||MB MA+=28.29. 解:(1)∵1=c ,21=a c ∴2=a ,即椭圆方程为13422=+x y(2)设),(y x P ,那么∴2||||=+PQ PF =定值30.解(Ⅰ):抛物线的准线方程是2my -=(0>m ),由于圆C 截抛物线的准线所得的弦长为m 3,所以圆C 的半径m m m r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=22232,故所求圆的方程是222m y x =+ 31.解:(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x A 2,211,那么A 处的切线方程为p x x p x y l 2:2111-=,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21x D ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p x Q 2,021 所以AF px p FQ =+=2221;即AFQ ∆为等腰三角形又D 为线段AQ 的中点,所以4=AF ,得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1642222121p x p x p 所以2=p ,.4:2y x C =(2)设)0(),(222<x y x B ,那么B 处的切线方程为42222xx x y -=由)4,2(42422121222211x x x x P x x x y xx x y +⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,由)1,22(14211211x x M y x x x y +⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=,同理)1,22(22x x N +, 所以面积212211221221116)4)(()41)(2222(21x x x x x x x x x x x x S --=---+=① 设AB 的方程为b kx y +=,那么0>b 由044422=--⇒⎩⎨⎧=+=b kx x yx b kx y ,得⎩⎨⎧-==+b x x kx x 442121代入①得:bbk b b b b k S ++=++=2222)1(64)44(1616,要使面积最小,那么应0=k ,得到bbb S 2)1(+=② 令t b =,得t t t t t t S 12)1()(322++=+=,222)1)(13()(tt t t S +-=', 所以当)33,0(∈t 时)(t S 单调递减;当),33(+∞∈t )(t S 单调递增, 所以当33=t 时,S 取到最小值为9316,此时312==t b ,0=k , 所以311=y ,即3321=x32.解:(1)由椭圆方程得2a =,c e a ==所以c =1b == 由题意得:抛物线的焦点应为椭圆的上顶点,即(0,1) 所以2p = 抛物线方程为24x y =(2) 可判断直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+ 设P Q 、坐标为1122(,),(,)x y x y 联立2(1)4y k x x y=+⎧⎨=⎩ 整理得 2440x kx k --=33. (Ⅰ)由题意知,直线AB 的斜率存在,且不为零.设直线AB 的方程为:b kx y += (0≠k ,0>b )由⎩⎨⎧=+=pyx b kx y 22,得0222=--pb pkx x . ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==+>+=∆pb x x pk x x pb k p 22084212122, ∴2222121214)2(22b ppb p x p x y y =-=⋅=. ∵4221p y y =,∴422p b =,∵0>b ,∴2p b =.∴直线AB 的方程为:2pkx y +=.抛物线C 的焦点坐标为)2,0(p,∴直线AB 过抛物线C 的焦点 (Ⅱ)假设存在直线AB ,使得||3||1||1PQ PB PA =+, 即3||||||||=+PB PQ PA PQ . 作x AA ⊥/轴,x BB ⊥/轴,垂足为/A 、/B ,∴212121//222||||||||||||||||y y y y p y py p BB OQ AA OQ PB PQ PA PQ +⋅=+=+=+ ∵p pk p x x k y y +=++=+221212)(,4221p y y =∴||||||||PB PQ PA PQ +=42222pp pk p +⋅=242+k 由3242=+k ,得21±=k . 故存在直线AB ,使得||3||1||1PQ PB PA =+.直线AB 方程为221p x y +±= 34.(第21题)(Ⅰ) 由⎩⎨⎧=-=pyx x y 2222 ,整理得0442=+-p px x ,设MR 1R(11,y x ),MR 2R(22,y x ),那么⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+>-=∆p x x p x x p p 440161621212 ,∵ 直线2py =平分21FM M ∠,∴ 021=+F M F M k k ,∴ 0)22(42121=⋅+⋅+-x x x x p ,∴ 4=p ,满足0>∆,∴4=p (Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为y x 82=,且⎩⎨⎧==+16162121x x x x ,)8,(2111x x M ,)8,(2222x x M ,设)8,(2333xx M ,A )2,(t ,)2,(a B ,由A 、MR 2R 、MR 3R 三点共线得232AM M M k k =,∴ t x x x x --=+22232288,即:16)(22323222-=+-+x x x t x x x , 整理得:16)(3232-=+-x x t x x , ①由B 、MR 3R 、MR 1R 三点共线,同理可得 16)(3131-=+-x x a x x , ② ②式两边同乘2x 得:2322132116)(x x x x x a x x x -=+-, 即:232316)16(16x x x a x -=+-, ③由①得:16)(3232-+=x x t x x ,代入③得:23231616)(1616x a x x ta a x -=++--, 即:)()(163232x x at x x +=+,∴ 16=at . ∴ 204=+=⋅at OB OA35.225'()828f t t t =--,当554t ≤≤时,5'()'()64f t f ≥=,()f t 在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增,故当54t =,即12k =时,有最小值13236.。
浙江省高三数学五校联考试卷理科一 人教版
浙江省高三数学五校联考试卷理科一 人教版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合{}(){}21,lg 10A x y x B y y x ==-==+，则有（ ）（A ）（B ）（C ）A B = （D ）A=C R B2、如果复数z 满足：210z +=，则3z i（i 为虚数单位）的值为（ ）（A ）i ± （B ）i - （C ）1± （D ）1 3、已知随机变量()2~3,2N ξ，若23ξη=+，则D η=（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）44、已知{}n a 是正项的等差数列，如果满足：225757264a a a a ++=，则数列{}n a 的前11项的和为（ ）（A ）8 （B ）44 （C ）56 （D ）64 5、函数()cos (cos sin ),0,4f x x x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域是（ ） （A ）121,2⎡+⎢⎣⎦ （B ）120,2⎡+⎢⎣⎦ （C ）122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6、设,a b R ∈，则“1a b +=”是“41ab ≤”的（ ）条件（Ａ）充分非必要 （Ｂ）必要非充分 （Ｃ）充分必要 （Ｄ）既不充分也不必要 7、函数()322f x x ax x =+++在R 上存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,3- （B ）3,3⎡-⎣（C ）(),33,⎡-∞-+∞⎣（D ）((),33,-∞-+∞8、同时抛掷三枚骰子，出现正面朝上的点数之和不大于5的概率是（ ）（A ）3206 （B ）3106 （C ）396 （D ）376 9、已知平面向量,,a b c 满足1,2,3a b c ===，且向量,,a b c 两两所成的角相等，则a b c ++=（ ）（A 3（B ）62 （C ）6 （D ）6310、设二次函数()()220f x ax x b a =++≠，若方程()f x x =无实数解，则方程()f f x x =⎡⎤⎣⎦的实数根的个数为（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）4个以上第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 11、()622xx -展开式中5x 的系数是 ▲ ．12、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是 ▲ （用数字作答）． 13、在直角三角形ABC 中，,,c r S 分别表示它的斜边、内切圆半径和面积，则crS的最小值是 ▲ ．14、命题：①若函数()1f x x =+⎪⎩ ()()00x x ≥<，则()0lim 0x f x →=；②若()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内一定存在最大值和最小值；③已知()323f x x ax x =++-，若()3lim3x f x x →-存在，则3a =-；④1x x ==．则其中不正确的命题的序号是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分. 15．（本小题满分14分）已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin cos 3x x +=-．（1）求cos()4x π+的值；（2）求cos 2tan cot xx x+的值．16．（本小题满分14分）已知函数()212f x x x =+，()22ln (1)g x a x a x =++． （1）求过点()2,4与曲线()y f x =相切的切线方程；（2）如果函数()g x 在定义域内存在导数为零的点，求实数a 的取值范围； （3）设()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调递增区间．17．（本小题满分14分）在一袋中有x 个红球、3个黑球和2个白球，现从中任取3个． （1）如果3x =，求取出的3球中颜色都相同的概率；（2）在（1）的前提下，设ξ表示取出的3球中红球的个数，求ξ的概率分布及数学期望 （3）如果取出的3球的颜色各不相同的概率为1235，求x 的值．18．(本小题满分14分)已知正项数列{}n a 满足：()()()2*113,2122181,n n a n a n a n n n N -=-+=++>∈ ．（1）求证：数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）求12111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭的值．19.（本小题满分14分）已知向量()(),1,,1p x q ax x ==-+，设（1）若1a =，求证：函数()f x 的值恒正；（2）如果不等式()0f x ≥对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分14分）设,,,a b p q 都是正实数，且1a b +=，定义函数()nf x x =()*n N ∈．（1）试比较()2f 与21n +的大小； （2）证明：()()()af p bf q f ap bq +≥+．[参考答案]二．填空题：11．160- 12．28 13．2 14．①②④三．解答题：15．（1）∵sin cosx x+=1)sin()443x xππ+=⇒+=- 2分∵,02xπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,444xπππ⎛⎫+∈-⎪⎝⎭， 4分∴cos()43xπ+==．（2）∵cos2cos21sin cos cos2sin4sin costan cot4cos sinx xx x x xx xx xx x===++8分又∵cos2sin22sin cos4449x x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦10分27sin2cos212cos449x x xππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12分∴cos2117sin4tan cot429981xxx x⎛⎛⎫==⨯-⨯-=⎪+⎝⎭⎝⎭14分16．（1）()'1f x x=+，∵点()2,4在曲线上，∴()'23k f==∴所求的切线方程为43(2)y x-=-，即32y x=- 3分（2）()()22'1ag x ax=++若()'0g x=，则221axa=-+．∵221axa=->+，∴1a<-． 6分（3）()()()2222112ln 12ln 022h x x x a x a x x a x ax x =+--+=--> ()22222'0a x ax a h x x a x x--=--=≥ 即()()20x a x a x-+≥ 11分当0a >时，单调递增区间为[)2,a +∞ 当0a =时，单调递增区间为()0,+∞当0a <时，单调递增区间为[),a -+∞ 14分17．（1）设3球中颜色都相同的事件为A当3x =时，()333338128C C P A C +== 4分 （2）0123565656568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 9分（3）设取出3球中颜色都不相同的事件为B ，则有()1113235x x C C C P B C += 11分 依题意有11132351235x x C C C C += 化简得321258600x x x +-+= 12分 即()()2214300x x x -+-=因x N ∈，所以2x = 14分 18．（1）∵()()21212218n n n a n a n --+=++∴()()21212182n n n a n a n ---+=-即()1212121n n a an n n --=>+- 4分∵1121a =+，∴21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列 5分 （2）∵()1122121na n n n =+-⨯=-+ ∴241n a n =- 9分（3）∵()()211111141212122121n a n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭11分 ∴12111111111123352121n a a a n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭12分 ∴12111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭111lim 12212n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭ 14分19．（1）()2212f x p q a ax x a =+=-++ 1分 ∵1a =，∴()212f x x x =-++当1x ≥-时，()210f x x x =-+>恒成立 3分 当1x <-时，()230f x x x =++>恒成立 5分∴()212f x x x =-++对一切x R ∈都恒正． 6分（2）方法1：因为对一切实数x ，都有 2120ax x a -++≥即212x a x +≥+ 8分 设()212x g x x +=+，则(){}max a g x ≥ 9分 令1t x =+，则()()222312tt g x t t t ==-+-+（ⅰ）当1x ≥-，即0t ≥时，有()21234t g x t t =≤=-+ 当且仅当t =，即1x =时，等号成立． 11分（ⅱ）当1x <-，即0t <时，有()21234t g x t t -=≤=-+当且仅当t =，即1x =时，等号成立． 13分综合可得(){}1max 4g x =，所以实数a 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭14分 方法2：把问题转化为不等式()0f x <的解集为空集即2120ax x a -++< 7分 当0a =，则101x x -+<⇒≠-，矛盾 8分 当0a ≠时，不等式2120ax x a -++<要无解 （ⅰ）当1x ≥-时，()2210g x ax x a =-+-<无解 若112a<-时，则()112100g a a a -=++-≥⇒≥矛盾若112a≥-时，则()1142104a a a ∆=--≤⇒≥或14a ≤则有a ≥（1） 11分 （ⅱ）当1x <-，()2210g x ax x a =+++<无解若112a-<-时，()14210a a a ∆=-+≤⇒≥a ≤则12a >≥若112a -≥-时，则()112100g a a a -=-++≥⇒≥ 则12a ≥综合有a ≥（2） 13分所以实数a 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭14分20．（1）当1n =时，()22213f n =<+= 1分 当2n =时，()24215f n =<+= 2分 当3n ≥时，()()01122112221nnn nn n n n f C C C C n n -==+=++++≥+>+（用数学归纳法也可以证明）． 6分 （2）即证：()nnnap bq ap bq +≥+ 7分证法1：（数学归纳法）（ⅰ）当1n =时，()ap bq ap bq +=+不等式成立， 8分（ⅱ）假设n k =时，有()kkkap bq ap bq +≥+当1n k =+时， ()()()()1()k kk k ap bq ap bq ap bq ap bq ap bq ++=++≤++2121k k k k a pb q abpq abqp ++=+++因11()()0kkkkk k p q p q qp pq p q ++--≥⇒+≤+故()1k ap bq ++()212111k k k k a p b q ab p q ++++≤+++1111()()k k k k ap a b bq a b apbq++++≤+++=+即当1n k =+时命题成立． 13分 根据（ⅰ）（ⅱ）可得对一切*n N ∈不等式均成立． 14分 方法2：构造函数()()nnnf p ap bq ap bq =+-+若p q =，则等号成立， 7分 若p q ≠，根据对称性，不妨设p q >，当1n =时，不等式成立， 8分 当1n >时， 因()()()()1111'n n n n f p anpna ap bq na ap bp ap bq ----⎡⎤=-+=+-+⎣⎦10分∵10,n ap bp ap bq ->+>+ ∴()()11n n ap bp ap bq --+>+∴()'0f p >，即()f p 在[),q +∞上是单调增函数 12分当p q >时，有()()0f p f q >=∴()nnnap bq ap bq +>+综上得()nnnap bq ap bq +≥+即()()()af p bf q f ap bq +≥+． 14分。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)2021届高三第一次联考数学试题含答案
B．若 m / / ， n / / ，则 m n
C．若 m ， n ，则 m / /n
D．若 m ， n ，则 m n
6．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1 ，当 n 2 且 n N * 时，an ， Sn ， Sn 1成等比数列，则 a5
（）
A． 1 5
Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2021 届第一次联考 数学试题卷
考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一 律无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 参考公式：
B． - 1 5
C． 1 20
D． - 1 20
7．函数
y
cos
x
|
sin x x2
|
在区间 [2
, 0)
(0,
2
]
上的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知正实数 x ， y ， z 满足 x2 y2 z2 1，则 5 8xy 的最小值是（ ） z
A．6
B．5
C．4
D．3
9．已知平面向量
a
（1）求角 A 的值； （2）求 b c 的取值范围．
19．如图，在三棱台 ABC ABC 中，平面 A ABB 平面 BBCC ， AB BC ，四边形 A ABB 是等腰
梯形，且 AB 2 AB 2BB BC ．
3
（1）证明： BC 平面 A ABB ；
（2）求直线 CC 与平面 ABC 所成角的正弦值．
2021届浙江省五校高三上学期第一次联考数学试题解析
2021届浙江省五校高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则()RA B =（）A ．1,2B ．0,1C ．0,D ．(),2-∞答案：C先求定义域得集合A ，再根据补集与并集定义求结果. 解：{{}10(,1]A x y x x ===-≥=-∞所以()RA B ={}(1,)02(0,)x x +∞<<=+∞故选：C 点评：本题考查补集与并集运算、函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不必要也不充分条件答案：B根据充分必要条件的定义即可判断. 解：设命题p ：直线l 与平面α内无数条直线垂直， 命题q ：直线l 与平面α垂直， 则pq ，但q p ⇒，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B 点评：本题主要考查必要不充分条件的判断，涉及线面垂直的定义和性质，属于中档题.3．若x ，y 满足约束条件22111x y x y y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．9B ．8C ．7D ．6答案：C先作可行域，再根据目标函数表示直线，结合图象确定最大值取法，即得结果.解：142201y x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩ 先作可行域，如图，则直线2z x y =-过点(4,1)A 时z 取最大值，为7 故选：C点评：本题考查利用线性规划求最值，烤箱数形结合思想方法，属基础题. 4．已知()1,2a =，()1,7b =-，2c a b =+，则c 在a 方向上的投影为（） A ．35B ．32C 32D ．355答案：A由向量的坐标表示可得(3,3)c =-，利用数量积公式求向量夹角余弦值，进而可求c 在a 方向上的投影.解：由题意知：2(3,3)c a b =+=-， ∴10cos ,||||a c a c ab ⋅<>==-，故c 在a 方向上的投影：35||cos ,c a c <>=-， 故选：A 点评：本题考查了向量数量积的坐标表示，由向量线性关系求向量的坐标，利用向量数量积的坐标表示求向量的夹角，进而求向量的投影.5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin tan 12cos C A C =-，2c b =，则cos B 的值为（）A ．23B ．23C ．34D ．78答案：D先化切为弦，再根据两角和正弦公式以及正弦定理得2b a =，最后根据余弦定理求结果. 解：()()2sin tan 12cos 2sin cos sin 12cos C A C C A A C =-∴=- 2sin()sin 2sin sin 2C A A B A b a ∴+=∴=∴=2222222447cos 288a cb b b b B ac b +-+-=== 故选：D 点评：本题考查两角和正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.6．函数()2x xe ef x x--=的图象是下列图中的（） A ． B ．C ．D ．答案：C先确定函数奇偶性，舍去A,B ；再根据函数值确定选择项. 解：()()220,()x x x xe e e ef x x f x f x x x ----=∴≠-==-∴()2x x e e f x x --=为奇函数，舍去A,B ；因为当0x >时，()20x xe ef x x --=>，所以舍去D, 故选：C 点评：本题考查函数图象识别、奇函数判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 7．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯- D ．6236n n S n =⨯--答案：D利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 解：因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.8．已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（） A ．45-B ．44125C ．44125-D ．45答案：B先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果. 解：2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选：B 点评：本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.9．已知抛物线2:3C x y =，过点()3,4P m m R ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭作抛物线的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则A 、B 两点到x 轴距离之和的最小值为（）A ．3B ．32C D 答案：B由题意得到切线PA 、PB 的方程，联立求得P 点坐标，结合已知()3,4P m m R ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即可的1294x x =-，设直线AB 为y kx b =+联立抛物线方程可求34b =，即可求A 、B两点到x 轴距离之和的最小值.设221212(,),(,)33x x A x B x ，由抛物线2:3C x y =知：23x y '=， ∴切线PA 、PB 分别为：21112()33x x y x x -=-，22222()33x x y x x -=-，联立PA 、PB 的方程，可得：1212(,)23x x x x P +，而()3,4P m m R ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴1294x x =-，若设直线AB 为y kx b =+，联立抛物线方程得：2330x kx b --=， ∴12934x x b =-=-，即34b =，而123x x k +=， ∴2121233()322y y k x x k +=++=+，故当0k =时12y y +有最小值32，故选：B 点评：本题考查了抛物线，利用准线上的动点与抛物线的切线的关系求得切点横坐标的数量关系，由切点到横轴的距离为切点纵坐标之和，结合已知方程所得函数式求最值. 10．已知函数()()11f x x a x a R x a x=++-+∈-，()()()20g x p f x q pq =->⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题：①函数()f x 图象关于点()0,0对称；②对于任意a R ∈，存在实数m ，使得函数()f x m +为偶函数； ③对于任意a R ∈，函数()f x 存在最小值；④当1a =时，关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}3,1,1,2--， 其中正确命题为（） A ．②③ B ．②④C ．②③④D ．①③④答案：A举例说明①不成立；根据偶函数定义证明②成立；根据绝对值定义说明③成立；举例说明④不成立.当0a ≠时，f a 没有意义，即不满足()()0f a f a +-=，故①错误；对于任意a R ∈，存在实数2am =，()()h x f x m =+=112222a a x x a a x x+++-++-此时函数定义域为{|}2ax x ≠±，且1111()2222()2222a a a a x x x x h x a a a a x x x x x h -+++++=-++++=-+-+=+-即函数()f x m +为偶函数；故②正确； 对于任意a R ∈，函数()1111||||||||f x x a x x a x x a x x a x =++-+=++-+-- 当0a =时，()12(||)24||f x x x =+≥⨯（当且仅当||1x =时取等号），此时函数()f x 存在最小值；当0a >时，()11,11,011,0x x a x a x x a f x a x a x a x x x a x x x a ⎧++-+>⎪-⎪⎪=++<<⎨-⎪⎪---+-<⎪-⎩当0x a <<时，()1111()1()(2)x a x a x a f x a a a x a x x a x a a x a x+--=++=++=+++---14(2a a a a ≥++=+，当且仅当2a x =时取等号，此时当2a x =时，()f x 存在最小值()2af 当x a >时，()()()2233111111,2,20,()22()f x x x a f x f x x x a x x a x x a '''=++-+=--=++>--- 因此()'f x 在(,)a +∞上单调递增又()22111240,1210,12(1)()2f a f a a a ⎛⎫''+=--<+=--> ⎪+⎝⎭+ 因此存在唯一0(,)x a ∈+∞，使得0()0f x '=即当0a x x <<时，()0f x '<；当0x x >时，()0f x '>； 因此当0x x =时，()f x 存在最小值0()f x综上，当0,x x a >≠时，()f x 存在最小值0min{(),()}2a f x f 因为()()f x f a x =-，所以()f x 关于2ax =对称，从而函数()f x 必存在最小值，即③正确；当1a =时，()1f 没有意义，即关于x 的方程()0g x =的解集不可能为{}3,1,1,2--，故④错误； 故选：A 点评：本题考查函数奇偶性、最值以及函数与方程，考查综合分析判断能力，属中档题. 二、双空题 11．不等式231133xx x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是___________；不等式()24log 2log x x -<的解集是___________.答案：(,1)(1,)-∞⋃+∞(1,2)利用指数函数、对数函数的单调性及其性质求不等式解集即可. 解： 231133xx x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭有23133x x x -+->，所以231x x x -+>-，即2(1)0x ->，解得1x ≠； ()24log 2log x x -<有()1222log 2log x x -<，所以()22{020x x x x >->->，解得12x <<；故答案为：(,1)(1,)-∞⋃+∞；(1,2)； 点评：本题考查了利用函数的单调性，结合一元二次不等式的解法解不等式，属于基础题.12．函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[],ππ-的图象如下图，则()f x 的最小正周期为___________；()fπ=___________.答案：43π12将4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式，即可得42962k πππωπ-+=-+，再结合22T πππω<=<，即可求得ω的值，从而求出()f x 的解析式，即可得周期和()f π的值.解： 由图知4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()cos 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ωf x x π图象上，且为图象上升时与x 轴的交点，所以42962k πππωπ-+=-+，()k Z ∈，解得：()392kk Z ω-=∈， 因为2T ππ<<，所以22πππω<<，所以12ω<<， 令0k =，得32ω=，所以224332T πππω===，所以()3cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()31cos sin 2662f ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，故答案为：43π；12 点评：本题主要考查了利用三角函数图象求解析式，考查了周期公式和诱导公式，属于中档题.13．已知双曲线:C ()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3P 为双曲线上一点，12120F PF ∠=，则双曲线的渐近线方程为___________；若双曲线C 的实轴长为4，则12F PF △的面积为___________. 答案：2y x=833双曲线的离心率为213c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭2b a =P 在右支上，1PF m =，2PF n =，由双曲线的定义可知4n m -=，再利用余弦定理列方程，即可求出323mn =，再利用三角形面积公式即可以求面积. 解：双曲线的离心率为c e a ===b a =所以双曲线的渐近线方程为：y =，由题意知：2a =，所以c =，b =，设点P 在右支上，1PF m =，2PF n =，则4n m -=，在12F PF △中，由余弦定理得：()222121222cos120c PF PF PF PF =+-， 即222214822m n mn m n mn ⎛⎫=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭①， 将4n m -=两边同时平方得：22216m n mn +-=②， 由①②得：332mn =，所以323mn =，所以12F PF △的面积为1132sin1202232mn ⨯=⨯⨯=故答案为：y = 点评：本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率、渐近线，考查求焦点三角形的面积，涉及余弦定理和三角形面积公式，属于中档题. 三、填空题14．已知函数()1324,13,1x e x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩（其中e 是自然对数的底数），则()()2f f =___________；若()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是___________. 答案：54e -(27,12](11,)---+∞根据自变量范围代入对应解析式，计算即得第一空；先转化为函数()13294,,9131x e x x h x x x x x -⎧--<=⎨-≥-⎩与y b =交点，再结合导数确定函数()h x 单调性，最后根据数形结合确定实数b 的取值范围. 解：()()()3252232(4)4f f f f e =-⨯=-=-；()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，即函数()13294,,9131x e x x h x x x x x -⎧--<=⎨-≥-⎩与y b =的图象有两个不同的公共点， 当1x <时，()194xh x ex -=--单调递减；当1≥x 时，()()322993(33(6)31)h x x x h x x x x x x -∴-=-'=-+=-，即()h x 在[1,3)上单调递减，在[3,)+∞上单调递增；画出示意图，由图可知当(27,12](11,)b ∈---+∞时，()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，点评：本题考查求分段函数值、根据函数交点求参数，考查数形结合思想方法，属中档题. 15．某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________.答案：43先还原三视图，再根据锥体体积公式求结果. 解：先还原三视图，几何体为三棱锥11A BB D -,112A BB D d -=，因此体积为1142222323⨯⨯⨯⨯= 故答案为：43点评：本题考查三视图、锥体体积公式，考查空间想象能力，属基础题.16．已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________. 答案：12设PA a =，PB b =，PC c =，(),C x y ，利用23a b -=可以设()3,0A -)3,0B 利用()()2c a c b -⋅-=-即可求出点C 的轨迹为单位圆，c a PC AP λλ-==+，c aλ-的最小值是点C 到直线PA 的距离，从而求得答案. 解：设PA a =，PB b =，PC c =，(),C x y 因为23a b PA PB AB -=-==，()3,0A -，)3,0B，因为a b -与a 的夹角为3π，所以BA 与PA 夹角为3π，所以3BAP π∠=， 所以tan603OP OA ==，所以()3,0P-，因为()()·2c a c b --=-得：所()()223,3,32AC BC x y x y x y ⋅=⋅=+-=-，所以221x y +=，所以点C 的轨迹为单位圆，c a PC PA PC AP λλλ-=-=+所以c a λ-的最小值是点C 到直线PA 的距离. 过点O 作OH PA ⊥于点H ,交单位圆于点G ， 所以22AOPOA OP AP OHS==， 3933OH +⨯=，解得：32OH =， 所以min31122c aGH OH OG λ-==-=-=， 故答案为：12点评：本题主要考查了向量模的几何意义，运用坐标法可以使向量问题更简单，属于难题.17．若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则324a bab +的取值范围是___________.答案：335[,]412构造函数224()a f b b ab=+，根据其在24b ≤≤单调性，得到两边含有a 的不等式组，结合a 的范围、基本不等式，应用导数研究22()4a g a a=+的最值，即可求324a bab +的范围. 解：设2222344124()()a f b a b ab b a a =+=+-，故24b ≤≤上()f b 单调减，∴2212()164a a f b a a +≤≤+，而2211131616224a a a a a +=++≥=, 当且仅当2a =时等号成立；令22()4a g a a =+，则324()2a g a a -'=，即()g a 在上单调减，在上单调增， 而9(1)4g =，35(3)12g =， 所以max 35()(3)12g a g ==， 综上，有324335[,]412a b ab +∈ 故答案为：335[,]412.点评：本题考查了构造函数法求代数式的范围，利用基本不等式、导数研究函数最值，结合已知条件求目标式的范围. 四、解答题18．已知()sin (sin )f x x x x =，ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若()32f A =，2a =，求ABC 周长的取值范围.答案：（1）2[,]63k k ππππ++，k Z ∈；（2）(4,23+ （1）利用正余弦的倍角公式化简函数式得()1sin(2)26f x x π=-+，结合正弦型函数的单调性求()f x 的单调递增区间即可；（2）由已知条件求A ，由余弦定理、基本不等式、三角形三边关系有23b c <+≤，进而可求ABC 周长的范围. 解：（1）()2111sin cos (cos22)sin(2)2226f x x x x x x x π==-=-+， ∴()f x 在3222262k x k πππππ+≤+≤+上单调递增， ∴2[,]63x k k ππππ∈++，k Z ∈ （2）()13sin(2)262f A A π=-+=，得32262A k k Z πππ+=+∈，，即23A k ππ=+，0A π<<，则23A π=， 而2a =，由余弦定理知：2222cos 4a b c bc A =+-=，有22()()444b c b c bc ++=+≤+，所以03b c <+≤b c =时等号成立，而在ABC 中2b c +>， ∵周长2l a b c b c =++=++，∴423l <≤+ 点评：本题考查了应用三角恒等变换化简三角函数求其单调区间，利用余弦定理、基本不等式以及三角形三边关系求周长范围.19．已知四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD ，2PA AD ==，AB =（1）作AM PB ⊥于M ，AN PC ⊥于N ，求证：PC ⊥平面AMN ； （2）求二面角D PC A --的正切值. 答案：（1）证明见解析；（2）2；（1）由线线垂直证明线面垂直即可；（2）构建空间直角坐标系，利用空间向量求二面角正余弦值，进而求得其正切值. 解：（1）四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD 有：PA DA ⊥，AB DA ⊥， 由AB PA A ⋂=，即DA ⊥面PAB ，又//DA CB∴CB ⊥面PAB ，又AM ⊂面PAB ，则CB AM ⊥，又AM PB ⊥且CB PB B =，∴AM ⊥面PBC ，而PC ⊂面PBC ，有AM PC ⊥，又AN PC ⊥且AM AN A =，∴PC ⊥面AMN .（2）由题意，构建以A 为原点，以,,AD AB AP 为,,x y z 轴正方向的空间直角坐标系，则有(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(2,22,0)C ，∴(2,0,2)PD =-，(2,2,2)PC =-，(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =， 令(,,)m x y z =是面PDC 的一个法向量，则：220220x z x z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，若1z =，有(1,0,1)m =， 令(,,)n x y z =是面PAC 的一个法向量，则：2020z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，若1y =，有(2,1,0)n =-， 3cos ,||||||m n m n mn ⋅<>==，由图二面角D PC A--∴二面角D PC A --. 点评：本题考查了线面垂直的判定证垂直，通过空间向量求二面角的三角函数值，属于中档题. 20．已知数列{}n a 与{}n b 满足()1131nn n n n b a b a +++=-+，2,211,2n n k b n k ∈+⎧=⎨∈⎩且k ∈N ，*n N ∈，且12a =.（1）设2+121n n n c a a -=-，*n N ∈，求1c ，并证明：数列{}n c 是等比数列； （2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求2n S . 答案：（1）112c =，证明见解析；（2）221243332nn S n +-+=； （1）根据已知条件即递推关系可求1c ，且2143n n c -=⋅即可证{}n c 是等比数列；（2）结合（1）奇数项之差为等比数列，同理可得偶数项之差也为等比数列，进而可得2121312n n a --+=、22134nn a -=，可知数列212{}n n a a -+前n 项和即为2n S ； 解：（1）由题意知：()()()()()112223334212122221231,231,231,...,231,23 1.n n n n n n a a a a a a a a a a --++=-++=-++=-++=-++=-+∵12a =，有22a =-，314a =， ∴13112c a a =-=，由221212+121(3)(3)43n n n n n n c a a ---=-=---=⋅，*n N ∈， ∴数列{}n c 是首项为12，公比为9的等比数列. （2）由（1）知：2122222()(3)(3)n n n n a a ++-=---，∴令22222(3)nn n n d a a +=-=-⋅-，即{}n d 是首项为18-，公比为9的等比数列，∴11212113...(91)2n n n c c c a a ---+++=-=-，即2121312n n a --+=，1121229...(19)4n n n d d d a a --+++=-=-，即22134n n a -=，∴21212334n n n a a ---+=，即数列212{}n n a a -+前n 项和即为2n S ，∴122312433(981...9)41232n n nn n S +-+=-+++=. 点评：本题考查了数列的递推关系，根据递推关系求新数列的首项，且证明其为等比数列，由递推式将奇偶项分离，分别到它们的通项，将相邻的奇数项与偶数项的和作为新数列的项求原数列的前n 项和.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，M 为AB 中点，()1,0N -，当△AOB （点O 为坐标原点）的面积S 最大时，求MN 的取值范围.答案：（1）22142x y +=；（2）1). （1）由已知条件求出a 、b 的值，代入椭圆方程即可.（2）()11,A x y ()22,B x y 将直线与椭圆方程联立，写出判别式>0∆，以及122412km x x k -+=+，21222412m x x k-=+，再利用点到直线的距离求三角形的高，利用弦长公式求AB ，再利用面积公式求AOBS，利用基本不等式即可求得取得最值的条件是2221m k =+，再根据中点坐标公式求出21,k M m m -⎛⎫⎪⎝⎭，由两点间距离公式即可将MN 表示出来，从而求得取值范围.解：由题意知：2c e a ==，2b =222a b c =+，解得：b =2a =，c =所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ()22,B x y ，将:l y kx m =+代入椭圆的方程得：()2224x kx m ++=，即()222124240kxmkx m +++-=，()()222216412240k m k m ∆=-+->，即22420k m -+>， 122412km x x k -+=+，21222412m x x k -=+，12AB x =-==221212k k==++， 坐标原点O 到直线:l y kxm =+的距离为：d =1122AOBSd AB =⨯⨯===2222224242122122k m m k k k -+++≤⨯=⨯=++ 当且仅当22242k m m -+=，即2221m k =+时等号成立，此时122244412km km kx x k m m---+===+，()2212124222k m y y k x x m m m-++=++==，因为M 为AB 中点，所以21,k M m m -⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()222222222211m k m k k MN m m m -+--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222422(1)k k km m m =-+=-，1MN ∴=-，由2221m k =+，得22212()12()k k m m m +=>，即22k m -<<，11122k m --<-<-，得11122k m -<-<+，11MN <<，即11)MN ∈.点评：本题主要考查了求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交所得原点三角形面积取得最大值的条件，涉及弦长公式，两点间距离公式，基本不等式求最值，属于难题. 22．已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a R ∈.（1）若2a =，求函数()f x 在()0,π上的单调区间； （2）若1a =，不等式()cos f x bx x ≥对任意20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的最大整数b .答案：（1）()f x 在(0,)3π上单调递增，在()3ππ,上单调递减；（2）3；（1）利用导数研究函数的单调区间即可； （2）根据分析()sin sin 2f x x x =+知在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x >恒成立，分类讨论参数 b ，当0b =时不等式恒成立，0b <时，22()0()33h f >=ππ不能恒成立，0b >时，2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0()f x h x >>恒成立，在(0,)2x π∈也要恒成立则必须要()tan 2sin ,(0,)2g x x x bx x π=+-∈，有()(0)0g x g ≥=，结合基本不等式即可求b 的范围，进而得到最大整数值.解：（1）当2a =时，()2sin sin 2f x x x =+， 2()2cos 2cos22(2cos cos 1)f x x x x x '=+=+-2(2cos 1)(cos 1)x x =-+，而()0,x π∈时，1cos 1x -<<， ∴1cos 12x <<时，()0,()f x f x '>在(0,)3π上单调递增， 11cos 2x -<<时，()0,()f x f x '<在()3ππ,上单调递减； 综上，()f x 在(0,)3π上单调递增，在()3ππ,上单调递减； （2）1a =，()sin sin 2f x x x =+，令()cos h x bx x =由2()cos 2cos24cos cos 2f x x x x x '=+=+-知： 20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0cos x =时0()0f x '=，而12<<04(,)3x ππ∈， ∴0(,)43x ∃∈ππ，使()f x 在0(0,)x 上单调增， 在02(,)3x π上单调减；而2(0)()03f f π==， ∴()f x 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x >恒成立. ∴当0b =时，20,3x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭有()0()f x h x >=恒成立.当0b ≠时，有恒有(0)()02h h ==π， 令()cos t x x x =即()cos sin t x x x x '=-， ∴2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0t x '<， 而在(0,)2x π∈上，令()()μx t x ='，()2sin cos 0x x x x '=--<μ，即()t x '单调减，又1()(1)0,()(1042432t t πππ''=->=<， 所以0(,)43x ππ'∃∈使0()0t x ''=，即0(0,)x '上()0t x '>，()t x 单调增， 0(,)2x π'上()0t x '<，()t x 单调减， ∴综上，0(,)43x ππ'∃∈，使()t x 在0(0,)x '上单调增，02(,)3x π'上单调减； 又()()h x b t x =⋅，1、0b <时，()h x 在0(0,)x '上单调减，02(,)3x π'上单调增， 且22()0()33h f >=ππ，故此时不能保证()()f x h x ≥恒成立； 2、0b >时，2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0()f x h x >>恒成立； 在(0,)2x π∈上要使()()f x h x ≥恒成立， 令()tan 2sin ,(0,)2g x x x bx x π=+-∈，有()(0)0g x g ≥=恒成立，所以只要()g x 单调递增即可，有21()2cos 0cos g x x b x '=+-≥成立，即22112cos cos cos 3cos cos x x x b x x +=++>=≥综上，知：03b ≤≤时不等式()cos f x bx x ≥对任意20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 故max 3b =.点评： 本题考查了利用导数研究函数的性质，由导数确定函数的单调区间，根据函数不等式恒成立求参数最值.。
浙江省2021届高三数学第一次联考试题(含解析)
浙江省2021届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <， 所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（ ）A.2C.3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,a c ==3c e a ==，故选C.【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y满足312(1)xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y=+的最大值为（）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y=+的几何意义，当直线2y x z=-+在y 轴上的截距达到最大时，z取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y=+的几何意义，当直线2y x z=-+在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，当直线过点(3,4)A时，其截距最大，所以max23410z=⨯+=，故选B.【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z=-+在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C的方程为22(3)1x y-+=，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心、半径为3的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是（）A. 1B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】 【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到0y <<【详解】设0(0,)A y，两圆的圆心距d =因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，所以313124d -<<+⇒<<，解得0y <<B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】 【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ， 当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><， 所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】 【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大， 当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=， 因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<， 所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况： （1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，a b ≤+≤（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤； 综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或a b ≤+≤所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或a b ≤+≤ 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（ ） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】 【分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】 (1). -1 (2). 2 【解析】 【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=，故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ， 表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】 【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-； （2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-； 所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】 (1). 326+ (2). 2 【解析】 【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒， 所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin152321BE ===+⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅2242(422)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】 分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ， 则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b， 由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 841282b b b b b b -∠==≤=+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-， 所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos cos f x x x x =+． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 4cos 10α= 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值； （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=. 【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】 【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值. 【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ， 平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥， 又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ， 又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角． 设 2AB BC ==， 由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====sinBHBMHBM∠===，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为5．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55a=，36S a=，数列{}n b满足1122(22)2n n na b a b a b n b+++=-+．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令*,nnnac n Nb=∈，证明：122nc c c++<．【答案】(1) n a n=.2nnb=. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a=，36S a=得到关于1,a d的方程，得到na n=；利用临差法得到12nnbb-=，得到{}n b是等比数列，从而有2nnb=；（2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n-+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，11145335a da d a d+=⎧∴⎨+=+⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，∴数列{}n a的通项公式为n a n=.122(22)2n nb b nb n b∴++=-+，当2n≥时，12112(1)(24)2n nb b n b n b--++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=， 即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n n n a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+， 则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】【分析】（1）由题设可知26,13P⎛⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26,13P⎛⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标. 【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26,1P⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++， 令0y =得()32083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m =【解析】【分析】（1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正， 故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+ ()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，0F '⎛ < ⎪ ⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >，又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-， 令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=． 在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。
(浙江省五校联考)浙江省高三第一次五校联考试题(数学理).pdf
孤独之旅 1．熟读课文，体会成长中的感受； 2．理解文意，概括故事情节及人物形象； 3．了解小说三要素，理解环境描写的用。
教学重点： 1．细节描写和环境描写的作用； 2．标题的含义。
教学建议： 1．在自读中学会圈点勾画，快速捕捉主要信息； 2．在朗读中逐步进入情境，体会文中美好的情韵； 3．在研读中联系实际，体验成长的感受； 4．教学方法可以小组讨论、个人感悟为主。
教学课时：1课时 教学过程： 一、导入新课 “孤独”二字，我们总会感到凄凉，酸苦，每天都是阳光灿烂的日子该多好。
可是小小少年总要长高，烦恼和孤独总会尾随我们而来。
可以说孤独随时间而来，孤独使生命更加灿烂。
同学们，让我们今天一起来学习曹文轩的小说《孤独之旅》。
二、初读课文，整体感知课文内容1．学生自读课文，读时注意在文中圈点勾画出主要信息。
2．检查预习字词情况。
注意下列字词的读音：嬉闹、掺杂、给予、撩逗、凹地、胆怯 积累下列词语：厚实、嬉闹、一落千丈、置之不理、歇斯底里 3．重点朗读以下段落，学生朗读时，注意体会人物心中的孤独感，读出语气，读出感情。
(1)从“小木船赶着鸭子……杜雍和这才将船停下来”。
刚开始，杜小康想回家，父亲则不肯，怕自己也会像儿子一样突然对前方感到茫然和恐惧。
(2)从“这才是真正的芦荡……并且迟迟不能人睡”。
到达芦苇荡后，父子感受不同，儿子“害怕”，父亲也有些“慌张”，却安慰自己的儿子。
(3)从“日子一天一天地过去了……就不再忽然地恐慌起来”。
随着时间的流逝，父子俩感到孤独。
(4)。
从“那天，是他们离家以来所遇到的最恶劣的天气……也滴在跟在他们身后那群鸭的羽毛上……”最恶劣的天气中，杜小康经受了考验 4．整体感知课文内容。
(1)要求学生用一句话概括文章的内容和主旨。
这篇文章讲述了一个故事，表达了的主题学生只要说出自己的想法即可(2)本文虽是长篇小说的节选，但也有完整的故事情节。
要求学生阅读课文，理清小说的故事情节。
《精编》浙江省新高考研究联盟高三数学第一次考联考 理 新人教A版.doc
浙江省新高考研究联盟2021届第一次联考数学(理科)试题卷(2021.12.16)注意：〔1〕本卷总分值150分，考试时间120分钟； 〔2〕答案写在答题卷上，交卷时仅交答题卷；第I 卷〔选择题 共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
〕 1．设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，那么以下关系中正确的选项是 〔 〕 A ．MN R = B ．R N C M R = C ．R M C N R = D ．M N M =2．R x ∈，设p ：1-<x ，q ⌝：022>--x x ，那么以下命题为真的是 〔 〕A ．假设q 那么p ⌝B ．假设q ⌝那么pC ．假设p 那么qD ．假设p ⌝那么q3．函数)(x f y =，R x ∈，数列{}n a 的通项公式是*∈=N n n f a n ),(，那么“函数)(x f y =在),1[+∞上递增〞是“数列{}n a 是递增数列〞的 〔 〕 A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件 4．阅读右面的程序框图，那么输出的S= 〔 〕 A . 14 B . 20 C . 30 D . 55 5. OAB ∆三顶点坐标分别是)0,0(O 、)1,1(A 、)0,2(B ，直线1=+by ax 与线段OA 、AB 都有公共点，那么对于b a -2 以下表达正确的选项是 〔 〕 A . 有最大值2 B . 有最小值2 C . 有最大值21 D . 有最小值21 6. 如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，那么该几何体的体积等于A .34B .38C . 328D . 338 〔 〕7. 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为62，那么双曲线的渐近线方程为正视图俯视图左视图A .2y x =±B .x y 2±=C .x y 22±= D .12y x =± 〔 〕8. 点P 为ABC ∆所在平面上的一点，且13AP AB t AC =+，其中t 为实数，假设点P 落在ABC ∆的内部，那么t 的取值范围是 〔 〕A ．104t <<B ．103t <<C ．102t <<D ．203t <<9．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，而且1+=n nT S n n ，那么109910b a b a ⋅等于 〔 〕 A .1 B .360323 C . 36037 D .1008110．定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足以下两个条件：〔1〕对任意的),0(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；〔2〕当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(。
浙江省五校高三第一次联考数学（理科）试题
浙江省五校高三第一次联考数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列关系中不是相关关系的是（ ）（A ）产品投入的广告费与产品的销售量 （B ）数轴上的点与实数x （C ）人的身高与体重的大小 （D ）一天中的时间与气温的高低2．设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） （A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）b c a >>3．已知ABC ∆满足：3B π∠=，3,7AB AC ==，则BC 的长（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1或2 （D ）无解 4．下面框图表示的程序所输出的结果是（ ）（A ）3 （B ）12 （C ）60 （D ）360 5．定义运算：222x y x y xy *=-+，则cossin33ππ*的值是（ ）（A ）314- （B ）312+ （C ）312+- （D ）312- 6．在ABC ∆中，3,2,2AB BC A π==∠=，如果不等式BA tBC AC -≥恒成立，则实数t的取值范围是（ ）（A ）[)1,+∞ （B ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦（D ）(][),01,-∞+∞7．函数()221f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(],1-∞ （B ）(]{},01-∞ （C ）()(],00,1-∞ （D ）(),1-∞8．已知实数,a b 满足：711122a bi i i +=-+（其中i 是虚数单位），若用n S 表示数列{}a bn +的前n 项的和，则n S 的最大值是（ ）（A ）16 （B ）15 （C ）14 （D ）129．下列命题中：①函数()()()2sin 0,sin f x x x xπ=+∈的最小值是22；②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是等腰或直角三角形；③如果正实数,,a b c 满足a b c +>，则111a b ca b c+>+++；④如果()y f x =是可导函数，则()0'0f x =是函数()y f x =在0x x =处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（ ）（A ）①②③④ （B ）①④ （C ）②③④ （D ）②③10．设1a >，定义()111122f n n n n=+++++，如果对2n ∀≥，不等式()127log a f n b +>17log 7a b ++恒成立，则实数b 的取值范围是（ ）（A ）292,17⎛⎫⎪⎝⎭（B ）()0,1 （C ）()0,4 （D ）()1,+∞ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．22sin xdx ππ-=⎰ ▲ ．12．10mx x ⎛ ⎝的展开式中4x 项的系数为210，则实数m 的值为 ▲ ． 13．设()~0,1N ξ，且()()01,0P b a a b ξ<=<<>，则()P b ξ≥的值是 ▲ （用a 表示）．14．已知()()5sin 3sin αβαβ-=+，且tan tan x αβ=，则实数x 的值为 ▲ ． 15．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()223f =，且对任意的x 都有()()13f x f x +=-，则()2009f = ▲ ．16．如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是 ▲ ．17．在一个圆周上有间距不同的9个点，以这9个点为顶点作没有公共顶点的3个三角形，则其不同的3个三角形的边不相交的概率是 ▲ ． 三、解答题18．（本小题满分14分）已知函数()sin cos f x x x =+，()'f x 是()f x 的导函数． （Ⅰ）求函数()()()()2'F x f x f x f x =+的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若()()2'f x f x =，求221sin cos sin cos xx x x+-的值.19．（本小题满分14分）把一根长度为7的铁丝截成3段． （Ⅰ）如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；（Ⅱ）如果把铁丝截成2，2，3的三段放入一个盒子中，然后有放回地摸4次，设摸到长度为2的次数为ξ，求E ξ与D ξ；（Ⅲ）如果截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．20．(本小题满分14分）在ABC ∆中，满足：AB AC ⊥，M 是BC 的中点． （I ）若AB AC =，求向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角的余弦值； （II ）若O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，求的最小值；2AP =， 求（Ⅲ）若点P 是BC 边上一点，且AB AC AP ++的最小值．21.（本小题满分15分）已知函数()()ln 1f x x x =+-，数列{}n a 满足：()11111,ln 2ln 2n n n n n a a a a f a a +++=+=+．（Ⅰ）求证：()ln 1x x +≤； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求证不等式：()12ln 2ln 2n a a a n n +++<+-+．22.（本小题满分15分）已知函数()()()2ln ,0f x x g x ax x a ==-≠．（Ⅰ）若函数()y f x =与()y g x =的图象在公共点P 处有相同的切线，求实数a 的值并求点P 的坐标；（Ⅱ）若函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点M 、N ，求a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过线段MN 的中点作x 轴的垂线分别与()f x 的图像和()g x 的图像交S 、T 点，以S 为切点作()f x 的切线1l ，以T 为切点作()g x 的切线2l ．是否存在实数a 使得1l //2l ，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．浙江省五校第一次联考数学（理）答案题号1 2345678910答案B ACD D C B A C D二．填空题11．2 12．1± 13．12a- 14．4 15．(23- 16．75 17．370三．解答题18．（Ⅰ）∵()'cos sin f x x x =- 2分∴()()()()2'F x f x f x fx =+22cos sin 12sin cos 1sin 2cos 2x x x xx x=-++=++1224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 5分∴ 当()22428x k x k k Z πππππ+=+⇒=+∈时，()max 12F x = 最小正周期为22T ππ== 7分（Ⅱ）∵()()2'sin cos 2cos 2sin f x f x x x x x =⇒+=-∴1cos 3sin tan 3x x x =⇒=10分 ∴ 222221sin 2sin cos cos sin cos cos sin cos x x xx x x x x x++=--2112tan 111921tan 63x x +===- 14分19． （Ⅰ）设构成三角形的事件为A基本事件数有4种情况：“1，1，5”；“1，2，4”；“1，3，3”；“2，2，3”其中能构成三角形的情况有2种情况：“1，3，3”；“2，2，3” 则所求的概率是21()42P A == 4分（Ⅱ）根据题意知随机变量2~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴28433E np ξ==⨯= ()21814339D np p ξ=-=⨯⨯= 8分 （Ⅲ）设把铁丝分成任意的三段，其中一段为x ，第二段为y ，则第三段为7x y --则007x y y x >⎧⎪>⎨⎪+<⎩10分如果要构成三角形，则必须满足：000772777272x x y y y x x y x y x x y y y y x y x x ⎧⎪⎪>>⎧⎪>⎪⎪>⎪⎪⎪⎪+>--⇒+>⎨⎨⎪⎪+-->⎪⎪<+-->⎪⎪⎩⎪⎪<⎪⎩12分则所求的概率为()14MNP OEF S P A S ∆∆== 14分 20．（Ⅰ）设向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角为θ∴()()22cos 22AB AC AB AC AB AC AB ACθ++=++令AB AC a ==∴2224cos 555a a a θ+== 4分 （Ⅱ）∵2AB AC ==1AM =设OA x =，则1OM x =-，而2OB OC OM +=PNMFEO∴()22cos OA OB OC OA OA OB OC OA OM OA OM π+=+==()22112122222x x x x x ⎛⎫=--=-=-- ⎪⎝⎭当且仅当12x =时，OA OB OC OA +的最小值是12-． 9分 （Ⅲ）设2CAP BAP παα∠=⇒∠=-∵2AP AC =，1AP AB =，2AP = ∴ 12cos 2cos AC AC αα=⇒=，12cos()122sin AB AB παα-=⇒= ∴2222222AB AC AP AB AC AP AB AC AC AP AB AP ++=+++++ 2211424cos 4sin αα=++++ 22222222222222sin cos sin cos 10cos 4sin sin cos 45cos 4sin 4sin cos 45454921cos 4sin 444αααααααααααααα++=++=++≥=+=当且仅当2222sin cos 2tan cos 4sin 2ααααα=⇒=时，min 72AB AC AP ++=． 14分 21．（Ⅰ）()()ln 1f x x x =+- ()1'111xf x x x=-=-++ 当10x -<<时，()'0f x >，即()y f x =是单调递增函数； 当0x >时，()'0f x <，即()y f x =是单调递减函数； 所以()'00f =，即0x =是极大值点，也是最大值点()()()()ln 100ln 1f x x x f x x =+-≤=⇒+≤，当0x =时取到等号． 5分 （Ⅱ）由()111ln 2ln n n n n n a a a f a a ++++=+得 1121n n n a a a ++=+方法1 112n na a +=- 1111122n n n n a a a a +--=-=--111111n n a a +=--- 即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，首项为1121a =--，公差为1- ∴1111n n nn a a n =--⇒=-+ 10分 方法2利用函数不动点方法3利用观察、归纳、猜想、数学归纳法证明 （Ⅲ）1211111111211n a a a n +++=-+-++-+++ 111231n n ⎛⎫=-+++⎪+⎝⎭又∵0x >时，有()ln 1x x >+ 令101x n =>+，则112ln 1ln 111n n n n +⎛⎫>+= ⎪+++⎝⎭∴11134512ln ln ln lnln 2312341n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫-+++<-+++++⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()3422ln ln ln 2ln 22312n n n n n n n ++⎛⎫=-⨯⨯⨯=-=+-+ ⎪+⎝⎭ ∴()12ln 2ln 2n a a a n n +++<+-+ 15分用数学归纳法证，酌情给分22．（Ⅰ）设函数()y f x =与()y g x =的图象的公共点()00,P x y ，则有2000ln x ax x =- ①又在点P 有共同的切线 ∴()()000020011''212x f x g x ax a x x +=⇒=-⇒=代入①得0011ln 22x x =- 设()()()1111ln '00222h x x x h x x x =-+⇒=+>>所以函数()h x 最多只有1个零点，观察得01x =是零点，∴1a =，此时()1,0P 5分 （Ⅱ）方法1 由()()22ln ln x xf xg x x ax x a x+=⇒=-⇒=令()()()2243112ln ln 12ln 'x x x x x x x x x r x r x x x x⎛⎫+-+ ⎪+--⎝⎭=⇒== 当01x <<时，()'0r x >，则()r x 单调递增 当1x >时，()'0r x <，则()r x 单调递减，且2ln 0x xx+> 所以()r x 在1x =处取到最大值()11r =，所以要使2ln x xy x +=与y a =有两个不同的交点，则有01a << 10分 方法2 根据（Ⅰ）知当1a =时，两曲线切于点()1,0，此时变化的()y g x =的对称轴是12x =，而()y f x =是固定不动的，如果继续让对称轴向右移动即11122x a a =>⇒<，两曲线有两个不同的交点，当0a <时，开口向下，只有一个交点，显然不合，所以01a <<.（Ⅲ）不妨设()()1122,,,M x y N x y ，且12x x >，则MN 中点的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭以S 为切点的切线1l 的斜率12122'2S x x k f x x +⎛⎫==⎪+⎝⎭ 以T 为切点的切线2l 的斜率()1212'12T x x k g a x x +⎛⎫==+-⎪⎝⎭如果存在a 使得S T k k =，即()121221a x x x x =+-+ ①而且有2111ln x ax x =-和2222ln x ax x =- 如果将①的两边同乘12x x -得()()22121212122()x x a x x x x x x -=---+11 / 11221211122121222()()ln ln ln x x x ax x ax x x x x x x -=---=-=+ 即1121222(1)ln 1x x x x x x -=+ 设121x x μ=>，则有()()21ln 11μμμμ-=>+ 令()()()21ln 11h μμμμμ-=->+ ()()222114'(1)(1)h μμμμμ-=-=++ ∵1μ>，∴()'0h μ>因此()h μ在[)1,+∞上单调递增，故()()10h h μ>= 所以不存在实数a 使得1l //2l ． 15分。
《精编》浙江省五校联盟高三数学下学期第一次联考理试题新人教A版.doc
浙江省五校联盟2021届高三下学期第一次联考数学理试题本试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
总分值150分。
考试时间120分钟。
本卷须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) V =Sh 如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高P (A ·B )=P (A )·P (B ) 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么nV =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高P n (k )=C 错误！不能通过编辑域代码创立对象。
p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的外表积公式 棱台的体积公式 S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 V =错误！不能通过编辑域代码创立对象。
πR 3的高 其中R 表示球的半径第I 卷(选择题 共50分)一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、假设集合{}}{R x x y y N R t x x M t ∈==∈==-,sin ,,2，那么M N ⋂=〔 ▲ 〕A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,1-D ．∅ 2、复数123,1z i z i =+=-，那么复数12z z 在复平面内对应的点位于 〔 ▲ 〕 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、假设某程序框图如以下列图，那么输出的p 的值是 〔 ▲ 〕A ．22B ． 27C ． 31D ． 564、a ∈R ，那么“2a <〞是“|2|||x x a -+>恒成立〞的 〔 ▲ 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、两个不重合的平面,αβ，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②,l m 是α内的两条直线，且//,//l m ββ； ③,l m 是两条异面直线，且//,//,//,//l l m m αβαβ；其中可以判定//αβ的是〔 ▲ 〕A ．①B ．②C ．①③D ．③ 6、假设函数)0(cos sin )(≠+=ωωωx x x f 对任意实数x 都有)6()6(x f x f -=+ππ，那么)3(ωππ-f 的值等于〔 ▲ 〕A ．1-B ．1C ．2 D ．2-7、对函数112)(2---=x x f x 的零点个数判断正确的选项是〔 ▲ 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个8、在平面直角坐标系中，不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00a (为常数)表示的平面区域的面积为8，那么32+++x y x 的最小值为〔 ▲ 〕 A ．1028- B ．246- C ．245-D ．329、P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P 到点Q的距离与点P 到y 轴距离之和最小值是 〔 ▲ 〕 A ．171+B ．172-C ．25+D ．171-10、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数和原数相加，假设和中没有一个数字是偶数，那么称这个数是奇和数。
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14．定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，则 _____．
15．设 ， ，…， ，…是按先后顺序排列的一列向量，若 ，且 ，则其中模最小的一个向量的序号 ______．
16．设向量 ， ，其中 ， ， 为实数．
若 ，则 的取值范围为_______．
17．若实数 满足 ，则 的最大值为________．
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
4．已知直线 ，平面 满足 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．函数 的最小正周期为 ，为了得到 的图象，只需将函数 的图象（）
A．向左平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
6．下图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为 ，则它的正视图为（）
7．如图，在正四棱锥 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，动点 在线段 上运动时，下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．中恒成立的为（）
A．①③B．③④C．①②D．②③④
8．已知数列 满足： ， .若 ， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（）
（Ⅰ）若 是函数 的一个“好数对”，且 ，求 ；
（Ⅱ）若 是函数 的一个“好数对”，且当 时， ，求证：
函数 在区间 上无零点；
（Ⅲ）若 是函数 的一个“类好数对”， ，且函数 单调递增，比较 与 的大小，并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：因为 ， ，所以 ，所以 ，故选C．
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集与补集运算．
∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，
∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．
故选D．
考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．
4．C
【解析】
试题分析：由 不能推出 ，反之，若 ，则有 ，从而为必要不充分条件.
考点：空间中直线与平面的位置关系.
5．C.
【解析】
试题分析：∵最小正周期为 ，∴ ，∴
考点：1.面面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质.
8．D
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，因为数列 是单调递增数列，所以当 时 ；当 时， ，因此 ，选D.
考点：等比数列定义，数列单调性
【方法点睛】解决号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
21．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ,记数列{bn}的前n项和为Tn，证明:
22．（本题满分14分）给定函数 和常数 ，若 恒成立，则称 为函数 的一个“好数对”；若 恒成立，则称 为函数 的一个“类好数对”．已知函数 的定义域为 ．
2．D.
【解析】
试题分析：由题意得， ，∵等差数列 ，∴ ，∴ 或 .
考点：等差数列的性质及其前 项和.
3．D
【解析】
试题分析：根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．
解：令y=g（x）=f（x）+x，
∵f（2）=1，
∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，
2021年浙江省高三第一次五校联考理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集为 ，集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．在等差数列 中， ，则此数列 的前6项和为（）
A． B． C． D．
3．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）
三、解答题
18．（本题满分14分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， 的面积为 ．
（1）当 ， ， 成等差数列时，求 ；
（2）求 边上的中线 的最小值．
19．（本题满分14分）四棱锥 如图放置， , ，
， 为等边三角形．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值．
20．已知函数 ，其中 ．
②用作商比较法，根据 与1的大小关系及 符号进行判断.
③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件
9．B.
【解析】
试题分析：由题意可得，当 ，即 时，问题等价于在线性约束条件 下，求目标函数 的值域，利用线性规划的知识可知，其取值范围为 ，同理可知，当 时，问题等价于在线性约束条件 下，求目标函数 的值域，为 ，综上， 的取值范围是 .
，故 向左平移 个单位，即可得 的图象.
考点：三角函数的图象和性质.
6．B.
【解析】
试题分析：由该几何体的体积为 可知，该几何体为一正方体与四棱锥的组合，如下图所示，故主视图为B.
考点：1.三视图；3.空间几何体的体积计算.
7．A.
【解析】
试题分析：如下图所示，连结 ， ，∵ ， ， 分别是 ， ， 的中点，∴ ， ，∴平面 平面 ，∴ 平面 ，故③正确，又由正四棱锥 ，∴ 平面 ，∴ 平面 ，∴ ，故①正确，②④对于线段 上的任意一点 不一定成立，故正确的结论为①③.
考点：1.线性规划；2.分类讨论的数学思想.
10．A.
【解析】
试题分析：如下图所示，画出函数 以及 的图象，从而可知，当 时，方程 有一正根，∴方程 有两个根，当 时，方程 有一正根，一个根为 ，∴ 有三个根，当 时，方程 有两个正根，一个大于 的负根，∴ 有四个根，当 时，方程 有一个负根 ，三个正根，∴ 有七个根，当 时，方程 有三个正根，一个小于 的负根，∴ 有八个根，当 时，方程 有两个正根，一个小于 的负根，∴ 有六个根，当 时，方程 有一个正根一个小于 的负根，∴ 有四个根，∴ 根的个数可能为 ， ， ， ， ， ，故选A.
A． B． C． D．
9．定义 ，设实数 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则关于 的方程 的实根个数不可能为（）
A． 个B． 个C． 个D． 个
二、填空题
11．函数 的定义域为_______．
12．已知三棱锥 中， ， ，则直线 与底面 所成角为_________．