非惯性参考系PPT

[解]设在宇宙中建立一惯性系，太阳的位置矢量为 r s ，地球的位置矢 量是 r e ，如图所示。把太阳也当作质点看待时，不考虑它的转动效果。
因而太阳是一个平动的非惯性参考系。在太阳参考系中，地球的位置矢
量是
r
。
z
太阳
r
re
地球
rs
O
y
24
x
在太阳非惯性参考系中考察地球的运动，则地球除受太阳的引力外，还 需加上惯性力。以
2

0
r
dr v r 2
2
dt
0
t
r t sin v sin t r v v r r sin t 1
1
20
3.2 非惯性系
一 、非惯性系中质点的运动方程 非惯性系：相对惯性系作加速运动的参照系 在非惯性系中，牛二律不成立，即 ma ' F 。 那么对非惯性系如何处理动力学问题？ 或动力学方程如何？ 以下处理这个问题： ∵ a a ' ae ac 以及在惯性系中有：ma F ∴ ma F m(a ' ae ac ) 或 ma ' F mae mac F FI
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3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
计算科氏加速度
ac ac

vr
vr

ac 2vr sin
方向垂直于OAB平面
ac 2vr1 sin900
方向OAB平面上垂直于AB杆
16
1
例 题
一直线以匀角速在一固定平面内绕其一端O转动。当直线位于 Ox位置时，有一质点开始从O点沿该直线运动。如欲使此点的 绝对速度v的量值为常数，问此点应按何种规律沿此直线运动？
解：如图建立坐标系。
drt d r v r dt dt d r r dt r r r ' i r j
y
P
x
O
z
v的量值为常数：
v 2 r ' 2 r 2
r ' v2 2r2
其中，、均为常量。
r' 0 r ' 2r ' 0 解得通解： r '(t ) A cos t B sin t
初始条件：r ' t 0 0,
r ' t 0 v
得通解为：r '(t )
v

sin t
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例3.1 自学 P76
19
3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
dr v r 2 dt
28
例 题
[例3.3](P82)一半顶角为 的圆锥，沿圆锥的母线开有一槽， 圆锥绕铅直的对称轴线以匀角速度 转动。质量为 m 的质点 自圆锥顶点从静止开始无摩擦的向下滑动，如图L3.3所示。求 出当质点离圆锥顶点为 s 距离时，质点对槽作用的压力 FN 。
[解]以圆锥为参考系。由于圆锥旋转，因此是非惯性系。现在我们就以 这个圆锥非惯性参考系来求解问题。取坐标轴固定在圆锥上；如图L3.3 所示，x轴沿圆锥母线，y轴和z轴分别沿锥面的切线和法线方向。 则有：
代入上式即得地球相对于太阳的运动微分方程。
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G (ms me )me d 2r me 2 er 2 dt r
或
Gms me d 2r 2 er 2 dt r
式中，
ms me 为折合质量，地球的这个运动方程与2.5节 ms me
中(2.42)式得结果完全一致。
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---非惯性系中质点的动力学方程
21
3.2 非惯性系
其中：
d FI (mae ) (mac ) (mat ) (m r ') (m ( r ')) (2m v ') dt
(mat )
d (m r ') dt
…… 平移惯性力
……横向力
平动牵连加速度 转动牵连加速度 1.由发生改变所产生的，当O’系以恒 定角速度转动时，此部分为零；
2.由O’系以角速度转动产生。
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3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
ac 2 v 科里奥利加速度（科氏加速度）
方向与 及 v 垂直。 由于质点p对转动的O’系有相对速度，从而 与 v 相互 影响所产生的。如果两者有一为零，或两者不能相互影 响（两者平行），则ac=0.
y A c
y’ u M
vA
t
d l cos j dt

c l sin j cj l sin

t dt
0
d
0
l l sin d cos 0 cos c 0 c
O
B
x x’
d l cos c u u v (d cos l cos 2 )i [ (d sin l sin 2 ) c] j l sin l sin

O
z
质点的位置矢量： 速度： 角速度： 加速度：
r ' xi
(1)
(2) (3) (4)
' xi

mg
( cos i sin k )
a ' xi
29
外力：
F mg Fy' j Fz'k mg cos i Fy' j ( Fz' mg sin )k
3.1 相对运动
动系： 与机身固连 定系： 与地面固连
牵连运动： 机身相对于地面的运动 6
3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
一、绝对速度、相对速度和牵连速度 y
P
r (rP )
r
z
r 绝对位置矢量（p相对于固定参考系o的位矢） r 相对位置矢量（p相对于活动坐标系的位矢） rt 牵连位矢（活动坐标系原点o’在o系中的位矢）
…… 惯性离心力 …… 科氏力
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(m ( r ')) (2m v ')
3.2 平动的非惯性系
二、平动的非惯性系
a a at
F ma ma mat
ma F mat
惯性力
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例 题
(P80)3.2 由于地球和太阳的相互作用，实际上太阳的运动也具有 加速度，因而不是惯性参考系。我们已在2.5节中讨论了地球和太 阳这样的二体力学系问题。现ห้องสมุดไป่ตู้我们用非惯性参考系的角度再来 讨论；以太阳为参考系写出地球相对于太阳的运动微分方程。

相对速度
转动牵连速度
平动牵连速度
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例 题
汽车以速度v1沿直线行驶雨滴M以v2铅垂下落， 求雨滴相对于车的速度。
动点：雨滴 动系：汽车 M v’ v2 = v v1 = ve
由v v ' ve
v ' v v
2 1 2 2
v1
v1 tg (vr v2 ) v2
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例 题
解：
3.1（P76）一长为l的棒，两端点A和B分别沿十字槽滑动，A端 的速率为常数c。棒上有一质点M沿棒以恒定的相对速率u向B端 移动，如图。已知初始时，A端与O点相距为d，M点位于A端处。 求M点的速度。
v v ' vA r ui cj utj
i sin i cos j j cos i sin j
3.3 旋转的非惯性系
三、旋转的非惯性系
牛顿第二定律在旋转的非惯性系（不存在平动加速度） 中的修改：
a a r ( r) 2 v
F ma m a r ( r ) 2 v
ma F m r m ( r) 2m v
第 3章
非惯性参考系
主要内容
3.1 相对运动 3.2 平动的非惯性系 3.3 旋转的非惯性系 3.4 地球自转的效应
2
3.1 相对运动
以地面为参考系
以盘为参考系
3
3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动

一个动点、二个参考系、三种运动
行驶中的汽车，其轮胎的运动，不同的观察者观察的结果不同。车 上的人以车厢为参考系观察到车轮边缘一点在做圆周运动。站在地 4 面上的人以大地为参考系观察到车轮边缘一点的轨迹如图所示。
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极坐标系求解： 解：P点的绝对速度
v v vt r v OP r ' er k r ' er ' r ' er ' r ' e
r’
P x

O
绝对速率为常数： r '2 2 r '2 v2
上式两边同时求时间导数：2r ' r ' 2 r ' 0
惯性力 由非惯性系的加速转 动引起的。对于匀速
转动，该项为零
惯性 离心 力
科里奥 利力
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3.3 旋转的非惯性系

O' m r '
r'
O'
(a)

e e
m ( r ')
惯性离心力
r'
(b)
v
v'

O

O ' 2m v '
科里奥利力
(c)惯性系
(d) 非惯性系
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3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
二、加速度 科里奥利加速度
drt d r v r vt v ' r dt dt
dvt d dv dvt d a (v r ) (v r ) (v r ) dt dt dt dt dt d 2 rt d 2 r d d r 2 2 r (v r ) dt dt dt dt at a r 2 v ( r ) a ae ac
3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
(相对轨迹、 速度与加速度)
动点
(绝对轨迹、 速度与加速度)
牵连运动
动系
(刚体运动)
定系
(牵连速度与加速度)
动系上与动点 重合的点(牵连点)
相对运动+牵连运动 绝对运动
合成 分解
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动点：螺旋桨上一点M
相对运动： 动点M相对于机身作圆周运动 绝对运动： 动点M相对于地面 作空间曲线运动
k
j
rt (ro )
o
i
y
r rt r (rP rO ' r )
x
O
rt xt i yt j zt k
x
r xi yj zk
7
3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
绝对速度：p点相对于固定参考系o的速度
dr drt dr v dt dt dt
1.相对微商：r’相对O’系的时间变化率。是在O’系中观察到P 点的速度-相对速度。此时i’, j’, k’保持定值，r’随t改变。 2.牵连微商：是由于O’系转动，相应的r’也转动而引起的r’随 时间的变化率。
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3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
drt dr d r v r v ve dt dt dt
drt xt i yt j zt k vt dt
活动坐标系原点O’相对于固定参考系原点O的速度， 即活动坐标系的平动速度，质点的平动牵连速度。
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3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
dr di dj dk xi yj zk x y z dt dt dt dt xi yj zk ( xi yj zk ) d r r dt
d 2 r a 2 dt
ae at r ( r)
ac 2 v
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3.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
d 2 r a 2 dt
相对加速度：p点相对于o’系的加速度
ae at r ( r) 牵连加速度：只与O’的运动有关。
ms 和 me 分别记为太阳和地球的质量。则地球相
对于太阳的运动方程为
Gms me d 2 rs d 2r me 2 F me at er me 2 2 dt r dt
又因太阳也受地球的引力作用，因此在宇宙惯性系中太阳的运动惯性为
d 2 rs Gms me ms 2 er 2 dt r