量子力学 第三章 表象理论
第三章 表象
A11 A 21 A Am1 A12 A 22 Am 2 A1 n A2 n A mn
A 矩阵， Aij 矩阵元素，i表示行， j表示列。 A矩阵 为m行，n列，共m×n个元素的矩阵。
例 计算行列式的值
0 | A | 0 1 4 4 2 36 4 ( 1) 7
4 4
36 4
(16 144 ) 160
3、行列式的性质 (1)若行列式的某一行或某一列的每元素为零，则行列式的值为零。
(2) 将行列式的任意两行（或列）互相交换,等于将行列式的值乘以-1。 (3) 若行列式的两行（或列）相同，值等于0。 (4) 将行列式的某行（或列）的所有元素乘以一个常数K， 等于将行列式乘以K。
( x, t )
C
n
( t ) n ( x )
(2)
利用展开定理
C n ( t ) n ( x ) ( x , t ) d
*
（n=1,2,…）
(3)
则 C (t ) [ C ( L , t ) ]为L表象中的表示。 n n 即 ( x , t ) 与 C n (t ) 表示同一态。 有三种情况: (1)连续 (2)不连续 (3)本征态。
(8) 共轭矩阵（转置共轭）（注意名词）（A+）
( A ) ij A
( A ) ij A
* ji
* ji
~ * ( A ) ij
* * * *
( AB ) ( AB ) A B B A B A
*
( ABC ) C B A
量子力学课件第三章
第三章形式理论3.1希耳伯特（Hilbert ）空间在上两章中，我们已经看到了简单量子体系的一些有趣的特性。
其中有些是特定势能的“偶然”特点（例如：谐振子能级间隔的均匀分布），但是另外一些是普遍的，给它们一个彻底的一劳永逸的证明是十分必要的（例如：不确定原理和定态正交性）。
本章的目的是在一个更有力的形式上重新讨论我们的理论。
从重新讨论的角度来讲，本章没有很多完全是新的内容，其基本思想是对我们已在特定情况中的发现做更清晰的了解。
波函数和算符是量子理论的两块基石。
体系的状态用波函数表示，可观察量用算符表示。
数学上讲，波函数满足抽象矢量的定义条件，算符作为线性变换作用于矢量之上。
因此，量子力学的自然语言是线性代数。
1但是我估计它并非是一个你可以很快熟悉的形式。
在N 维空间中，可以简单地用对应于N 个正交归一基矢的分量，{}n a ，的一个N 行列矩阵表示一个矢量α，即：12.N a aa α⎛⎫ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭a [3.1]两个矢量的内积（三维空间标量积的推广）αβ是一个复数，***1122.N N a b a b a b αβ=++ [3.2]线性变换T 用矩阵（相应指定的基矢）表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上（得到新的矢量）：11112121222212.N N N N NN N a t t t t t t a T t t t a βα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b Ta [3.3] 但是在量子力学中我们遇到的“矢量”是函数（绝大多数情况下），它们存在于无穷维空间中，对于它们，用N 行列矩阵/矩阵的方法有点笨拙，以及在有限维下有很好行为的矩阵乘法可能存在问题。
（其理由是，尽管3.2式的有限求和总是存在的，而对于无限求和或积分可能不收敛，在这种情况下内积将不存在，那么涉及到内积的任何论述都有疑问。
）因此，即使对大多数的术语和符号比较熟悉，仍要十分谨慎。
所有x 的函数的集合构成了一个矢量空间，但对于我们的目的来说它太大了。
量子力学IWOP技术发展表象变换理论
这里
（3.3.14）
将（3.3.12）与（3.3.13）作比较，可得
（3.3.15）
（3.3.15）说明：态矢 沿着 的超叠加能得出纠缠态 。在 时，（3.3.15）式的关系就退化为相干纠缠态 与双体纠缠态 （两粒子总坐标 和相对动量 的本征态）的超叠加关系。若对 所组成的投影算子 在侧度 进行积分，则有
（3.4.20）
（3.4.20）和（3.4.17）式解应该是一样的，即
（3.4.21）
这样我们就导出了双模四波混频的压缩算符。它可用于对角化某些哈密顿量，例如当哈密顿量是
（3.4.22）
用（3.4.3）式中的反变换
（3.4.23）
我们看到
（3.4.2）
令
（3.4.25）
得
（3.4.26）
这样就对角化了（3.4.22）。
（3.3.16）
特别地，当 ，（3.3.16）就退化为
（3.3.17）
这个一个比较特殊的纠缠压缩态，（3.3.16）和（3.3.17）告诉我们：态矢 沿着 的超叠加可以得到一个纠缠压缩态，而 则为一个特殊的纠缠压缩算符。若 ，（3.3.17）式即为
（3.3.18）
感兴趣的读者可以计算投影子 对 积分情况。
（3.5.5）
由
.（3.5.6）
则（3.4.3）式就是
（3.5.7）
于是构造式（3.4.1）就有了一个更为简单的写法
（3.5.8）
当 ，（3.5.8）就变成了坐标表象完备性的Gauss积分形式；当 ，（3.5.8）即为动量表象的完备性Gauss积分形式（只是这里的积分变量由 ）。
, ,（3.1.8）
或者取
, .（3.1.9）
量子力学中的量子力学表象和量子测量
量子力学中的量子力学表象和量子测量量子力学是研究微观世界的一门科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，我们常常使用不同的表象来描述和理解粒子的运动和相互作用。
其中，量子力学表象和量子测量是非常重要的概念。
量子力学表象是描述量子系统状态的一种方法。
在量子力学中，我们通常使用态矢量来表示一个系统的状态。
在波函数表象中，态矢量被表示为波函数，它是一个复数函数，描述了系统在不同位置和时间上的可能性。
在这种表象中，波函数的平方表示了在特定位置上找到粒子的概率密度。
除了波函数表象，还有另外一种常用的表象，即薛定谔表象。
在薛定谔表象中，态矢量被表示为薛定谔方程的解析解。
薛定谔方程描述了量子系统的演化，它能够预测系统在不同能级上的概率分布。
在薛定谔表象中，我们可以通过求解薛定谔方程来计算系统的能谱和波函数。
量子力学表象提供了一种便捷的工具来计算和分析量子系统的性质。
通过选择不同的表象，我们可以从不同的角度理解系统的行为。
例如，通过在动量表象中描述粒子的运动，我们可以得到粒子的动量谱和动量波函数。
通过在能量表象中描述系统的能谱，我们可以计算系统的能级和能量本征态。
在量子力学中，测量是一个非常重要的概念。
量子测量可以理解为对系统进行观测，从而确定系统的状态。
量子力学中对于测量结果的预测是以概率的形式给出的。
在测量中，我们通常使用算符来描述测量的物理量。
对于每一个物理量，都有对应的算符。
当我们对系统进行某个物理量的测量时，算符会作用在波函数上，从而得到该物理量的测量值。
量子测量的结果是离散的，即只能取一些特定的值。
这是量子力学与经典力学的一大不同之处。
例如，当我们对一个自旋的粒子进行测量时，只能得到自旋向上或自旋向下的结果，而不能得到其他中间态。
这种离散的结果是由量子系统的本征态决定的。
总而言之，量子力学表象和量子测量是量子力学中非常重要的概念。
量子力学表象提供了一种便捷的工具来描述量子系统的状态和性质，而量子测量则是确定系统状态的方法。
量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数()r ϕ 、()r ψ，定义内积(,)()()r r dr ϕψϕψ*=⎰(5.1)物理含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找到粒子处在状态()rϕ的概率幅。
依据内积概念，“幺正算符”[定义1]：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符ˆU恒使下式成立 ˆˆ(,)(,)UU ϕψϕψ= (5.2) 而且有逆算符1ˆ-U 存在，使得1ˆˆUU I -=1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
” 算符Aˆ的厄米算符ˆA +定义为：ˆA +在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定ˆˆ(,)(,)AA ϕψϕψ+= (5.3) 由此，幺正算符Uˆ[定义2]： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ-+=U U。
” (5.4b) 证明：若ˆˆ(,)(,)UU ϕψϕψ=成立，则按+U ˆ定义，由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆUU +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
2, 幺正算符的性质幺正算符性质：i, 幺正算符的逆算符是幺正算符1这里强调1ˆU-既是ˆU的右乘逆又是ˆU 的左乘逆。
注意，无限维空间和有限维空间情况不同，任一算符ˆU 的逆算符有4种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，它俩必相等，唯有此时可简单地写为1ˆU-；4）既无左逆也无右逆。
ˆˆˆˆ(,)(,)(,)UU U U ϕψϕψϕψ+==证明：设 1-+=U U ， 则()()(),111--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正算符。
ii, 两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.证明：设Uˆ、V ˆ是两个幺正算符，则 ()111ˆˆˆˆˆˆ()UVV U V U UV -+++--=== 所以V Uˆˆ也是个幺正算符。
量子力学讲义IV.表象理论（矩阵表述）
量⼦⼒学讲义IV.表象理论（矩阵表述）IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )1．如何⽤矩阵表⽰量⼦态与⼒学量，并说明理由？答：矩阵表⽰⼀般⽤于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。
具体说，如果⼒学量的本征⽮为，相应本征值分别为。
假定⼀个任意态⽮为，将它展开For personal use only in study and research; not for commercial use则态⽮在表象中波函数便可⽤展开系数的⼀列矩阵表⽰其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。
⼒学量⽤厄⽶⽅阵表⽰，。
显然，⼀列矩阵和⽅阵维数与希尔伯空间维数是相等的。
⽤矩阵表⽰⼒学量，有如下理由：第⼀可以反映⼒学量作⽤于⼀个量⼦态得到另⼀个量⼦态的事实。
设，式中，。
取，两端左乘，取标积得，即第⼆矩阵乘法⼀般不满⾜交换率，这恰好能满⾜两个⼒学量⼀般不对易的要求。
第三厄⽶矩阵的性质能体现⼒学量算符的厄⽶性。
对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运⽤矩阵表⽰，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。
2.量⼦⼒学中，不同表象间：基⽮、波函数、⼒学量是如何变换的？答：量⼦⼒学中由⼀个表象到另⼀个表象的变换为⼳正变换，它类似于欧⽒空间中坐标转动。
设表象中的基⽮为表象中的基⽮为(1) 基⽮变换关系为式中，（为⼳正矩阵）。
设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。
(2) 波函数变换规则为：矩阵。
(3) ⼒学量变换规则为：。
（式中与为⼒学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？答：⼳正变换特点：(1⼳正变换不改变态⽮的模，这⼀特征相当于坐标旋转变换；(2⼳正变换不改变⼒学量本征值；(3)⼒学量矩阵之迹 TrF与矩阵⾏列式 dgtF亦不因⼳正变换⽽改变．4. 学量在其⾃⾝表象中如何表⽰？其本征⽮是什么 ?答：如果⼒学量本征值为离散谱，那么，它在其⾃⾝表象中表⽰式为对⾓矩阵，为诸本征值。
本征⽮为单元素⼀列矩阵如果⼒学量本征值为连续谱，则它在其⾃⾝表象中为纯变量其本征⽮为函数。
量子力学 表象理论
⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ i 1 − h E21t ⎟ e ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ ⎟ M ⎠ 1 e
i − E10t h
（9）
2 力学量算符在任意表象中的表示 力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应， 以保证对波函数的作用有意义 ∧ ∂ 2.1 任意力学量算符 F ( x,−ih ) 在 Q 表象中的表示 ∂x
* Fnm = Fmn
（15） （16）
当 m = n 时，对角矩阵元
* Fmm = Fmm
即对角矩阵元为实数 （3）由共轭矩阵（转置取复共轭）的定义知 ~* + * Fmn = Fmn = Fnm = Fmn 这样的矩阵称为厄米矩阵 （4）算符 F 在自身表象中的矩阵为对角矩阵，即当 F = Q 时，有
∧
5
∧ v ∧ v v v v * v ( x) p′p′′ = ∫ u * p′ ( r ) xu p′′ ( r ) dr = ∫ u p′ ( r ) xu p′′ ( r )dr
=
v v v ( p′′ − p′ )⋅r v 1 ∂ ∂ v v h h ( i ) e dr = ih δ ( p ′ − p ′′) 3 ∫ ′ ′ ∂p x ∂p x (2πh)
共厄矩阵为
（4）
ψ + = a1* (t ) a 2 * (t ) L a n * (t )
2 2 n
(
)
（5）
体系的归一化条件 ∫ ψ ( x, t ) dx = ∑ a n (t ) = 1 写为矩阵形式为
ψ +ψ = 1
1.3 讨论
（6）
（1）Q 表象中状态的描述 {a n (t )}依赖于坐标表象中力学量 Q 的本征函数系 {u n ( x)}，每 一个 u n ( x) 必定给出ψ 在 Q 表象中的一个对应数 a n (t ) ，可见 几何空间坐标轴 ⇔ {u n ( x)} ⇔ Q 表象的基矢 几何空间中的矢量 ⇔ ψ ⇔ 态矢 态矢ψ 在 Q 表象基矢上的分量 {a n (t )}构成了ψ 在 Q 表象中的表示， 由于 {a n (t )}构 成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的 ⇒ 希尔伯特空间（态空间） （2）对于连续谱，
4-表象理论
专题讲座4-表象理论一、狄拉克符号和表象我们用一个矢量ψ（右矢）来表示量子力学的一个状态, 这个状态可以用一套基矢量{}α来展开(某个算苻本征矢或几个的共同本征矢，基矢量是正交、归一完备的)，选定一套基对应选定一个表象在本征值是分立时，nn naαψ=∑n n a α=ψ用一个列矩阵来表示展开系数12...n a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ψ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭这称为在这个表象中的波函数也可以用左矢ψ来表示状态*n n na ψ=∑ **()n n n a αα=ψ=ψ在{α表象中ψ用ψ的转置共轭矩阵表示（行矩阵）()†***12....n a a a ψ=右矢和左矢的标积定义为()12†****12....... .n n n n n a a b b b b a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪Φψ=Φψ== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 态的归一化可以表示为()12†****12...1.n n n nn a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ψψ=ψψ=== ⎪ ⎪⎝⎭∑在连续谱情况时，（比如坐标的本征矢x ，动量的本征矢p ）()x x dx ψ=ψ⎰()x x ψ=ψ （这就是我们熟悉的坐标表象的波函数）*()()x x dx Φψ=Φψ⎰态的归一化可以表示为*()()1x x dx ψψ=ψψ=⎰当一个算苻作用在一个态上，它的作用是是这个态变成了另外一个态F Φ=ψ在一个算苻Q 的表示里（利用本征矢的封闭性1k k kαα=∑）k k m m mF ααααΦ=ψ∑即n nm m b F a = 1,2,3,...m =写成矩阵形式1111211221222212. .. ..... . ... . . . . . . . .n n n n n nn n b F F F a b F F F a b F F F a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中算苻F 矩阵元为km k mF F αα=要具体计算出来，一般可以借助Q 在坐标表象的本征函数'''*'''*()(,/)()()()(,/)()km k m k m k m k m F F x x F x x dx dxx F x i x x x x dx dx x F x i x x dxααααδααα===-∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰本征态方程F ψλψ=在Q 表象1112111212222212.... ......... . . . . . . .n n n n nn n n F F F F F F F F F ββββλββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（在坐标表象 (,/)()()F x i x x x ψλψ-∂∂= ）久期方程11121111121212222212221212... .... . .....0..... .... . . . . . . . . n n n n n n nn n n n nn F F F F F F F F F F F F F F F F F F λβλλβλλβλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪=→⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0 . . . .= 表象变换设算苻A 的本征矢为{}m a ， 算苻B 的本征矢为{}b αb α可以用{}ma 展开m m mb S a αα=∑展开系数*()()m m m m S a b dx a x x b dxa x b x αααα===⎰⎰以m S α为矩阵元的矩阵成为变换矩阵。
量子力学中的表象理论
量子力学中的表象理论表象理论在量子力学中是一种根据物理定律做出的概念，它是大多数量子力学理论实践中最常用的抽象表达形式。
它可以用来更深入地理解量子力学中的相互作用和物理现象。
表象理论能够帮助发现量子力学中的一致性，从而构建出有效的模型来解释实验结果。
表象理论是一种抽象的概念，它有助于科学家在量子力学中描述具体的物理现象。
它以直观的方式解释了纳米世界的单体、分子、原子和其他微观物理系统的行为。
在该理论中，物理定律变得易于理解，可以运用于对实际系统的描述。
表象理论允许更具体地描述物质状态，以便科学家们能够准确地模仿实际系统的行为。
表象理论用威尔逊算符来表示系统的无量纲状态。
这种表示法是一种抽象的表示法，它可以解释由纳米等级的粒子所形成的复杂系统的行为。
这是基于Heisenberg不确定性原理的威尔逊算符已被用于研究纳米系统的行为，其中的粒子具有可能的处于不同的状态。
因此，威尔逊算符可以描述系统的可能性，使得研究者可以把这些状态当作独立的、相互关联的表象本质。
表象理论还能够解释量子力学中的相干效应。
一个引人注目的特性是，表象理论可以在纳米级别上界定每个粒子的干涉不变性，这一点可以帮助研究者们更好地控制纳米系统，从而了解系统中的相干效应，使得科学家们可以准确地描述这些粒子的行为。
另外，由于表象理论的有效性，它还被用于研究量子力学中的趨向性，包括量子能量跃迁等现象。
到目前为止，表象理论已经得到广泛的应用，它应用于描述量子力学中的行为与过程，从而帮助研究者们更好地掌握量子力学中的现象。
此外，它也被用于研究量子力学表象和实际物理系统之间的相互作用。
在今天，表象理论仍然是量子力学研究领域中广泛使用的抽象建模技术，用于更好地理解量子力学中的运动。
总的来说，表象理论是一种非常实用的量子力学理论，它可以帮助我们更具体地描述和理解量子力学中的物理系统。
由于它的多样性，表象理论也可以被用于研究复杂的纳米系统，从而实现准确的预测和模拟。
量子力学第三章PPT课件
P当(r粒) 满子足被周限期制性在边边界长条为件L 的立方体内时，本征函数
P
L 2
,y,来自zPL 2
,
y
,
z
rB
L 2
,
y,
z
y
P
x
,
L 2
,
z
P
x
,
L 2
,
z
B
B o
x
P
x
,
y
,
L 2
i
dPy
dy
Py Pz (y)
Px ( x ) C 1e i Pxx Py ( y ) C 2e i Pyy
归一化 常数
i Pr
(r) Ae P
i
dPz
dz
PzPz (z)
Pz ( z ) C 3e i Pzz
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归
一化方法确定归一化常数 A ，即
如果算符 Fˆ表示力学量 F ，那么当体系处于 Fˆ
的本征态中时，力学量 F 有确定值，这个值就是Fˆ 属于该本征态的本征值。
该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系
9
（5）厄米算符及其性质
① 厄米算符的定义
若对于任意两函数 和 ，算符 Fˆ满足等式
*F ˆd (F ˆ)* d
则称 Fˆ为厄米算符
这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我 们学习中的重点。
2
讲授内容
3.1 表示力学量的算符 3.2 动量算符与角动量算符 3.3 电子在库仑场中的运动 3.4 氢原子 3.5 厄米算符本征函数的正交性 3.6 力学量算符与力学量的关系 3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
量子力学的表象变换
量子力学的表象变换量子力学是描述微观粒子行为的理论，它具有许多奇特的特性和规律。
其中一个重要的概念就是表象变换，它是一个数学工具，用于描述在不同的观测角度下，量子系统的性质和行为。
量子力学的表象变换可以理解为从一个视角切换到另一个视角，就像在观察一幅画时，可以从不同的角度看到不同的景象一样。
这种变换的目的是为了更好地理解和描述量子系统的行为。
在量子力学中，存在多种不同的表象，如波函数表象（也称为薛定谔表象）和狄拉克表象（也称为自由度表象）。
在波函数表象中，系统的状态由波函数描述，而在狄拉克表象中，系统的状态由态矢量描述。
表象变换的基本原理是变换矩阵的应用。
这个变换矩阵是一个数学工具，用于在不同的表象之间建立联系。
它可以将一个态矢量或波函数从一个表象变换到另一个表象，从而描述量子系统在不同观测角度下的行为。
在量子力学中，表象变换有两种基本形式，即基态表象变换和幺正变换。
基态表象变换是将系统的基矢量从一个表象变换到另一个表象，通过变换矩阵的作用，得到新的基矢量。
幺正变换则是将整个系统的态矢量或波函数进行变换，通过变换矩阵的作用，得到新的态矢量或波函数。
通过表象变换，我们可以更好地理解和描述量子系统的性质和行为。
例如，在不同的表象下，量子系统的能量、动量和位置等物理量的表达式可以有所不同。
通过表象变换，我们可以在不同的表象下计算这些物理量，从而得到更全面的量子力学描述。
除了基本的表象变换之外，量子力学还涉及到更复杂的变换，如相互作用表象变换和相互作用绘景变换。
这些变换是为了更好地描述量子系统在相互作用下的行为和演化。
表象变换在量子力学中发挥着重要的作用。
它不仅为我们提供了一种理解和描述量子系统行为的数学工具，也为实际应用提供了基础。
例如，在量子计算和量子通信中，表象变换可以用于描述和控制量子态的演化和传输，从而实现更高效和安全的量子信息处理。
最后，需要注意的是，量子力学的表象变换本质上是一种数学工具，它并不涉及具体的实验操作。
第3：量子力学,表象理论5.09年
* = ∑∑am (t )Fmn an (t ) m n
F11 F12 ⋯ a1 (t ) * * F = (a1 (t ), a2 (t ),⋯) F21 F22 ⋯ a2 (t ) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ + 简记作： F = Ψ FΨ
∗ m ∗ m n n
即
ˆ bnδmn = bm = ∑an ∫ u ( x)Fun ( x)dx ∑
∗ m n n
*
令 则
ˆ Fmn = ∫ um ( x )Fun ( x )dx bm = ∑ Fmn a n
n
ˆ 称为F在Q表象中的矩阵元
( m = 1,2,⋯)
b 1 = F 11 a 1 + F 12 a 2 + F 13 a 3 + ⋯ b 2 = F 21 a 1 + F 22 a 2 + F 23 a 3 + ⋯ b 3 = F 31 a 1 + F 32 a 2 + F 33 a 3 + ⋯ ⋯⋯
一 条 归 化 件
a2 (t ) (a1 *(t) a2 *(t) ⋯ an *(t) ⋯) ⋮ = 1 an (t ) ⋮
§4.2 算符的矩阵表示
在坐标表象中： 在坐标表象中：
ˆ Fψ ( x, t ) = ϕ( x, t )
an (t ) = ∫ un ( x) ( x, t )dx ψ
写成矩阵形式如下（m为行，n为列） 为行， 为列 为列） 写成矩阵形式如下（ 为行
b1 F11 b2 F21 b = F 3 31 b ⋮ 4
第三章 表象理论
第三章 表 象 理 论在第一章中我们已经介绍了量子力学的基本原理。
在这些原理的表述中，状态是用以坐标为自变量的波函数表示的，相应地，力学量是用与坐标有关的算符表示的，在此基础上，本征方程和Schr ӧdinger 方程都是以坐标为变量的微分方程。
实际上，这只是量子力学原理的一种具体的（虽然是最常用的）表述形式而已。
除了这种表述形式之外，还可以用其它力学量作为自变量的波函数来表示状态，这时力学量的表示形式也要作相应的改变。
量子力学中状态和力学量的具体表示方式称为表象。
这样我们以前所采用的表象就称为坐标表象。
这一章我们要讨论任意力学量的表象。
表象理论的意义在于，首先，对于给定的一个具体问题，选取恰当的表象往往可以简化运算过程或便于与实验结果直接对比；另外，微观粒于还有一些全新的，与坐标无关的，在经典力学中没有对应量的力学量，如对化学工作者来说是十分重要的电子自旋等，只有学了表象理论，才有可能把它很好地表达出来。
为了学习表象理论，首先需要掌握一些最基本的矩阵代数知识作为数学准备。
而这些矩阵代数的知识对于后面有关章节（尤其是第七章群论）的学习也是必需的。
§1 矩 阵数学上矩阵的引入往往与向量的线性变换相连系，但矩阵的普遍定义却不一定要连系线性变换。
1. 矩阵的定义把一些数（实数或复数）排列成如下形式的表：1112121222311n m m mn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=A （3.1-1） A 作为一个整体就称为一个矩阵。
ij A 称为矩阵元素。
i 代表行数， j 代表列数。
一般的矩阵是长方形的，即行数和列数可以不相等。
但是表象理论所涉及的除了单行矩阵，单列矩阵外都是方矩阵，即行数和列数相等的矩阵，因此下面我们只讨论方矩阵。
此时111212122212n n n n nn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭=A （3.1-2）一共有n 2个元素，n 称为矩阵的阶数。
量子力学中的表象实用资料ppt
态的表象
体系的态既可用以x（表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描
写，也可用以动量p为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之
量子力学中的表象
由于刚开始学习时，觉得表象的概念不是很容易 理解，特别是动量表象、能量表象的意义。因此 查阅了相关资料，并作了如下总结。
什么是表象？
体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在
这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表 示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变 量的函数作为波函数来描写体系的状态。
坐标表象中，算符 F 的矩阵元为
( x , t ) u m ( x ) d x u m ( x ) u n ( x ) a n ( t ) d a x n ( t ) m a m n ( t )
即
n
n
an(t) (x,t)un (x)dx
其物理意义是，体系处在ψ(x,t)所描述的状态时，力学量Q具有确定值
Qn的几率为
设在x表象中，算符 F 作用于波函数ψ(x,t)后得到一新的波函数
(x ,t)F (x , i) (x ,t) x
并设在Q表象中波函数ψ(x,t)和Φ（x,t）分别以{a1(t),a2(t),…,an(t),…}
和{b1(t),b2(t),…,bn(t),…}表示,un(x)为
Q
本征函数，则可得
nbn(t)un(x)nan(t)F(x,i x)un(x)
量子力学讲义第三章讲义
量子力学讲义第三章讲义第三章力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
Auv = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符?，称为线性算符11221122()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符?pi =-? ，单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??AB =。
3、算符之和若两个算符?、?B对体系的任何波函数ψ有：()A B A B C ψψψψ+=+=，则A B C +=称为算符之和。
AB B A +=+，()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符?与?B之积，记为??AB ，定义为 ()()ABA B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ABBA ≠。
5、对易关系若ABBA ≠，则称?与?B 不对易。
若A B B A=，则称?与?B 对易。
若算符满足AB BA =-，则称?A 和?B 反对易。
例如：算符x , ?x pi x=-? 不对易证明：(1) ?()x xpx i x ψψ?=-? i x xψ?=-? (2) ?()x px i x x ψψ?=-? i i x xψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以：x x xpp x ≠ ??()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以x x xpp x i -= 对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足y y ypp y i -= ，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
量子力学习题解答-第3章
=c
2.
b * 1 a
ò
f
* 1
( x ) g ( x ) dx + c ò f ( x ) g ( x ) dx = c
展开系数 C ( p, t ) 称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数 C ( p, t ) 来研究这个 态。 Y 的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。
ˆ 的本征态为分立谱 f 时， 当力学量 F n Y = å cn f n ,
n
cn = f n Y
ˆ 表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数（展 在 F ˆ 表示为一个方矩阵 开系数 {c 可表示为一列矩阵，算符 G n } æ c æ G11 G12 1 ö ç c ÷ çG 22 ç 2 ÷ ç 21 G Ψ = ç M ÷ G = ç ... ... ç ÷ ç ç cn ÷ ç Gn1 ... ç M ÷ ç ... ... è ø è
2
测量力学量 Q ，得到的可能结果必是 Q 本征值中的一个，得到 q n 几率为 c n 。对系综测量 力学量 Q （具有大量相同 Y 态系综中的每一个 Y 进行测量）所得的平均值（期待值）为
Q = å qn cn
n
2
ˆ Ydx 计算方法等价。 这与用 Q = ò Y Q
*
ˆ 具有连续谱的本征函数系 如果力学量 Q
a a
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第三章表象理论
本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。
首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。
之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。
接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。
最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。
1.表象：完备基的选择不唯一。
因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。
除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。
因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。
若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述
②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数
③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQ
ˆ又可写作()()G Q G Q ψψ=ˆ 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G Q
G ˆˆˆψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ下的“坐标”（波函数） 如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ的i
G 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择
但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基）
*注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象）
2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号
（1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G G
i i P
i
⎰∑==ˆ，称为投影算符
（2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量
（3）本征方程：ψ=ψ=ψI P
ˆˆ，表明投影算符就是单位算符 （4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i
⎰∑==ˆ
3.不同表象下的态矢量展开和波函数：
①离散谱：∑=
i
i i
F F
ψψ，ψψi i F =为F
ˆ表象下的波函数 {}i ψ可表示为一列矩阵，第i 行元素就是ψψi i F =
观测值恰为i Q 的概率：用Q
ˆ表象展开∑=i
i i Q Q ψψ，2
2
Pr ψ
ψi i Q ob ==
概率归一等价于波函数归一
∑==i
i 12
ψψψ
算符Q
ˆ的观测平均值：ψψψQ Q Q i
i i ˆˆ2
==∑
②连续谱：⎰==dG G G
I
ψψψˆ，ψψG =称为G
ˆ表象下的波函数
观测值落在dQ Q Q +~范围内的概率：用Q
ˆ表象展开⎰=dQ Q Q
ψψ，
dQ Q dQ ob 2
2
Pr ψ
ψ==，满足概率归一⎰=12
dQ ψ
算符Q
ˆ的观测平均值：()()
ψψψQ dQ Q Q Q ˆ,ˆ2==⎰
③本征函数和态矢量的内积统一：设f f =，g Q g =，有
()
g f gdQ f dQ g Q f Q dQ g Q f g I f g f ,ˆ**
=====⎰⎰
⎰
结论：量子态g f 在同一表象Q 下投影得波函数g f ,，则()g f g f ,=
算符对本征函数作用：()()
ϕψϕψϕψϕψϕψQ Q Q
Q Q
ˆˆˆ,ˆˆ,==== 示例：()ϕψϕψϕψϕψϕψϕψp dx p
dx x p dx p x x p I p
ˆ,ˆˆˆˆˆˆ*
*=====⎰⎰⎰
④位置表象与动量表象：
4.力学量的测量值问题：
①当待测系统处于算符本征态：此时ψ=ψQ Q
ˆ，对系统中所有粒子的测量结果都是本征态ψ对应的本征值i Q ，显然i Q 的统计平均值还是i Q ，i
Q Q =ˆ。
这相当于对非本征态做了第二次测量的情况（已经坍缩了！）
②当待测系统处于非算符本征态：此时测量结果一定是Q
ˆ的本征值，但对任一粒子都无法确定得到哪一个本征值，只能计算出测到某个本征值的概率。
这时，使用统计力学观点考察
系综平均值，就是ψψψQ Q Q
i
i i ˆˆ2
==∑或()(
)ψψψQ dQ Q Q Q ˆ,ˆ2==⎰
（思路解说：对每个本征值i Q 找到对应的本征矢i Q ，计算波函数ψi Q 的模方得到“观
测值恰为i Q ”的概率2
i ψ，再乘上本征值求和）
③两个不等价的定义式：根据动量算符推导过程我们自然地定义⎰
∞
∞
-ψψ=dx Q
Q
ˆˆ*。
但这个定义与上面提出的系综平均公式并不总是等价的，其适用范围甚至比后者要小！
（1）再考察平均值：实际上，在动量表象中有()()dp p p p
⎰
ψψ=*
ˆ，所以与x ˆ形式相
匹配的真正的平均值定义式应该是()
ψψQ Q
ˆ,ˆ= （2）异类波函数：并非所有波函数都能归一化，譬如自由粒子波函数就像动量本征函数那样无法归一化，换而言之平方不可积，此时⎰
∞
∞
-ψψdx Q
ˆ*失效，但系综公式仍可用
5.算符和态矢在Q 表象下的矩阵形式（离散谱）： ①算符作用于态矢：
i
j ij i j
j ij i j j
j i M M Q Q Q M Q M βαβαβαβα=⇒=⇒=⇒=∑∑ˆˆ ****ˆˆi
ji j i j
ji j i j
i j j M M Q Q M Q Q M βαβαββα=⇒=⇒=⇒=∑∑ （1）矩阵元：j
i ij Q M Q M ˆ=为算符M ˆ在Q 表象下的矩阵元
（2）右矢：ααj j Q =为右矢
α在Q 表象下的（第j 行）列矩阵元
（3）左矢：j j Q αα=*
为共轭左矢
α在Q 表象下的（第j 列）行矩阵元
②算符的期望值：∑∑
=ψψ=ψψ=j
i j
ij i j
i j j i i M Q Q M Q Q M M
,*,ˆˆˆαα ③算符的本征方程：∑∑=⇒
=j j ij j
j
ij M M
αδλα
αλαˆ
④表象变换：若ψαk
k Q =，ψβj j R =，则∑∑==k
k jk k
k k j j S Q R ααβ
把矩阵k j jk Q R S =称为表象Q 到R 的变换矩阵，有性质I S S SS H
H ==，数学上称它
为幺正矩阵（或酉矩阵），特征是向量的范数在变换前后保持不变
6.附录1：ψψψQ Q Q
i
i i ˆˆ2
==∑的推导
已知i i ψψ=，()∑∑∑===i
i i i i
i i
i i
i
i Q Q Q Q
Q Q Q Q
ψψψψ本征方程
投影
算符
ˆˆ
因此
()()∑∑∑===i
i i i
i i i i
i i i Q Q Q Q Q Q 2*ˆψψψψψψψ
附录二：本征方程αλα=M
ˆ矩阵形式的推导
等式左边乘i Q = ∑∑==j j ij j j j
i i M Q Q M
M
αααˆˆ
等式右边乘i Q = ∑∑∑===j
j ij j
j ij j
j j i i M Q Q Q ααδλαλαλ
前三章总论
①态矢量与狄拉克符号描述的优势：从以上两公式的推导中显然易见括号表示的优势——尖端的左右朝向内含了左右矢共轭关系、括号按从左到右顺序来结合，写态矢不需要给出表象，写内积不需要写长积分式，能简单地区分本征矢（带括号）和本征值（不带括号）等。
但这套符号被沿用至今的最重要的一点还是在于表述简洁，毕竟简单就是美。
②量子力学选择希尔伯特空间的理由
（1）物理要求上，玻恩指出波函数的模方应该能代表概率密度。
（2）从双缝实验得到的启示是状态应该具有可加性，所以态用矢量描述最合适。
（3）态是矢量，概率是数，描述由矢量到数的映射，可以选择的最合适的数学工具就是内积，但内积有正负，所以取内积模方为几率。
定义这样的内积就得到内积空间。
（4）状态有无穷多个，所以内积空间维数无穷大。
有限维下不会有向量跑出空间，但无限维下就要谨慎考虑这个问题。
为了不让任何一个物理态跑出空间，数学上来说就要求空间要完备。
没有完备性这个保证，无法保证任何态都能表示成一些本征态的叠加，也无法保证左右矢是一一对应的。
（5）综上，要找的是完备的内积空间，这就是希尔伯特空间。