高三文科第一轮复习资料

高三文科第一轮复习资料 班别 姓名 座号

导数的性质

一、知识概要： 1、函数的单调性

如果非常数函数y =)(x f 在某个区间内可导，那么若)('

x f ≥0)(x f ⇔为增函数； 若)('

x f ≤0⇔)(x f 为减函数. 2、极值判别法

当函数)(x f 在点0x 处连续时，极值判断法是：

如果在0x 附近的左侧)('

x f >0，右侧)('

x f <0，那么)(0x f 是极大值； 如果在0x 附近的左侧)('

x f <0，右侧)('

x f >0，那么)(0x f 是极小值。 二、基本训练：

1、( 07北京 )()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是 ．

2、下列说法正确的是（ ）

A.函数的极大值就是函数的最大值

B. 函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值

D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 三、例题：

例1、已知f (x ) = ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x = ±1时取得极值，且f (1) =－1

(1)试求常数a 、b 、c 的值； (2)试判断x = ±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由 解: (1) f ′(x ) = 3ax 2+2bx +c , ∵x =±1是函数f (x )的极值点， ∴x = ±1是方程f ′(x ) = 0,即3ax 2+2bx +c =0的两根.

由根与系数的关系，得203 1 3b a

c a

⎧-= ⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②

又f (1) =－1,∴a +b +c =－1,

③

由①②③解得a =2

3

,0,2

1=

=c b , (2) f (x )=21x 3－23x , ∴f ′(x )=23x 2－23=2

3

(x －1)(x +1)

当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0

∴函数f (x )在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数 ∴当x =－1时，函数取得极大值f (－1)=1, 当x =1时，函数取得极小值f (1)=－1 例2、（08福建）如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数

y = f ′ (x )的图象可能是( )

例3、已知1x =是函数32

()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （I ）求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.

解: (I)2

()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,

即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+

（II ）由（I ）知，2

()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

当0m <时，有2

11m

>+

，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：

故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪

⎝

⎭

单调递减，在(1,1)m

+单调递增，在(1,)+∞上单调递减.

（III ）由已知得()3f x m '>，即2

2(1)20mx m x -++> 又0m <所以222(1)0x m x m m -

++<即[]222

(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212

()2(1)g x x x m m

=-+

+，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， 所以22(1)0120(1)010g m m

g ⎧

-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩

解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4

,03⎛⎫- ⎪⎝⎭

课外作业：

1．（06四川卷）曲线3

4y x x =-在点()1,3--处的切线方程是( )

A. 74y x =+

B. 72y x =+

C. 4y x =-

D. 2y x =-

2．下列说法正确的是 ( )

A.当f ′ (x 0) = 0时，则f (x 0)为f (x )的极大值

B.当f ′ (x 0) = 0时，则f (x 0)为f (x )的极小值

C.当f ′ (x 0) = 0时，则f (x 0)为f (x )的极值

D.当f (x 0)为函数f (x )的极值时，则有f ′ (x 0) = 0

3．（08全国）设曲线2

ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）

A ．1

B ．

1

2

C ．1

2

-

D ．1-

4．（08安徽）设函数1

()21(0),f x x x x

=+-< 则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值

C ．是增函数

D ．是减函数

5．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线2

1y x x =++的切线，则其中一条切线为( ) A. 220x y ++= B. 330x y -+= C. 10x y ++= D. 10x y -+=

6．曲线y=

3

1x 3－x 2

+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.

6π B. 4π C. 3π D. π4

3 7．（06天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ， 导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数

)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个