新高中数学湘教版必修二各章知识点的整合 文档

高中数学湘教版必修二各章知识点的整合必修二第四章向量平面向量知识回顾 基本知识点：1.向量的概念： (1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a；坐标表示法,(y x yj xi a =+= (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0.单位向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x (6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量2.向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理：21,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使211e e aλλ+=(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a＝λb ⇔1221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x(4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ， 则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (向量公式)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x平面向量的数量积1. 两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·＝︱︱·︱︱cosa b θa b a b θ叫做与的数量积（或内积），规定。

2. 向量的模与平方的关系：。

3. 乘法公式成立：；4. 平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： ②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：（2）消去律不成立：不能得到（3）＝0不能得到＝或＝ 5. 两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则·＝6. 向量的夹角：已知两个非零向量与，作＝，＝，则∠AOB ＝（）叫做向量与的夹角。

cos ＝＝当且仅当两个非零向量与同方向时，θ＝0°，当且仅当与反方向时θ＝180°，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

7. 垂直：如果与的夹角为90°则称与垂直，记作⊥。

8. 两个非零向量垂直的条件：⊥·＝0。

【典型例题】例 1. 判断下列各命题正确与否： （1）；a b 00a ⋅=22||a a a a ⋅==()()2222a b a b a b a b+⋅-=-=-()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b=±⋅+a b b a ⋅=⋅()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±()()a b c a b c⋅⋅≠⋅⋅a b a c⋅=⋅c b=a b ⋅a 0b 01122(,),(,)a x yb x y ==a b 1212x x y y +a b OA a OB b θ001800≤≤θa b θcos ,a b a b a b•<>=•222221212121y x y x y y x x +⋅++a b a b 0a b a b a b a b ⇔a b⇔02121=+y y x x 00a ⋅=（2）； （3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立； （5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。

例 2. 已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。

例3. 已知，，，按下列条件求实数的值。

（1）；（2）；例4. 已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?（θ＝）例5. 在△ABC 中，＝（2，3），＝（1，k ），且△ABC 的一个内角为直角，求k 值。

（k ＝ ；k ＝ ，k ＝ ）例6. 已知＝（3，4），＝（4，3），求x ，y 的值使（x +y ）⊥，且｜x +y ｜＝1。

（）【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 若＝（－4，3），＝（5，6），则－4＝（ ）A. 23B. 57C. 63D. 832. 已知＝（1，2），＝（2，3），＝（－2，5），则△ABC 为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不等边三角形3. 已知＝（4，3），向量是垂直的单位向量，则等于（ ）A. 或B. 或00a ⋅=0,a a b a c≠⋅=⋅b c =a b a c ⋅=⋅b c ≠0a =()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅,,a b ca 22a a=a b1202,3c a b d b a=-=-c d ()4,3a =()1,2b =-,m a b λ=-2n a b=+λm n ⊥//m n (3)m n=a 3b 33a b4πAB AC 23-3112133±a b a b a a b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和a b 2||3a b a ⋅ab c a b ab )54,53()53,54()54,53()54,53(--C. 或D. 或 4. 已知＝（λ，2），＝（－3，5）且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A. λ＞ B. λ≥ C. λ＜ D. λ≤5. 给定两个向量＝（3，4），＝（2，－1）且（+x ）⊥（－），则x 等于（ ）A. 23B.C.D.6、已知A(2,1),B(3,2),C(－1,4),则ΔABC 是（ ）A ．锐角ΔB ．Rt ΔC ．钝角ΔD ．任意Δ 7、已知a=(2,3) ,b=(－4,7) ,则a 在b 上的投影值为（ ）A ．13B ．513C ．565D ．658、已知a=(2,1) , b =(3,x), 若(2a －b)⊥b,则x 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．－1或3D ．－3或1 9、A(0,－3)、B(3,3)、C(x,－1),且∥则x 等于（ ）A ．5B ．1C ．－1D ．－5 10、若向量a = (1,1), b= (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于（ ）A ．－21a+23bB ．21a － 23bC ．23a － 21bD ．－ 23a+ 21b11、已知a=(4,2), b= (6,y)且 a ∥b,则y 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．512、若向量a=(1,－2) , | b| = 4 |a|,且a,b 共线,则b 可能是（ ） A ．(4,8) B ．(－4,8) C ．(－4,－8) D ．(8,4)13、已知a=(3,4) ,b ⊥a 且b 的起点为(1,2),终点为(x,3x), 则b=_______. 14、已知a=(2,4), b=(－1,－3),c=(－3,2). 则|3a+2b|=________. 15、已知a=(2,－1), b=(λ,3).1)若a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是________. 2)若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是_________. 3)若a ⊥b,则λ的取值范围是_________. 4)若a ∥b,则λ的取值范围是_________.16、在平行四边形ABCD 中,已知|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60°,则·=______,·=_______.17. ＝（2，3），＝（－2，4），则（+）·（－）＝ 。

)54,53(-)53,54(-)54,53(-)54,53(-a b a b310310310310a b a b a b223323423a b a b a b18. 已知＝（3，2），＝（－1，－1），若点P （x ，－）在线段的中垂线上，则x ＝ 。

19. 已知＝（1，0），＝（3，1），＝（2，0），且＝，＝，则与的夹角为 。

20. 已知||＝，＝（1，2）且∥，则的坐标为 。

21. 已知＝（1，2），＝（1，1），＝－k ，若⊥，则＝ 。

22. 已知＝（3，0），＝（k ，5）且与的夹角为，则k 的值为 。

23. 已知＝（3，－1），＝（1，2），求满足条件x ·＝9与x ·＝－4的向量x 。

24. 已知ABC 的三顶点分别为A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和的坐标。

25、平面向量a = (3,－4), b= (2,x), c=(2,y),已知a ∥b,a ⊥c,求b,c 及b,c 的夹角.26、已知向量a= (4,3), b=(－1,2),①求a 、b 的夹角； ②若向量a －λb 与2a+b 垂直,求λ的值. 27、设向量 =(3,1) ,=( －1,2),向量⊥,∥,又+=,求.28、已知ba x f x xb x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.第3章三角函数和第5章三角恒等变换 知识要点1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Zk k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Zk k ∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：ab 21AB a bc a BC b CA a ba 10b a b aa b c b a c a c a b a b 43πa b ab ∆AD{}Zk k ∈+⨯=,45180|ββ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=180360k⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ）3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则r y =αsin ； r x =αcos ；x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. y r=αcsc .5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.正切、余切余弦、正割正弦、余割(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx16. 几个重要结论:8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin = αααcot sin cos =1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三x x k xx k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππx x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六 x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x xx x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ （二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ααα2tan 1tan 22tan -=公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos 1+tan 2x =sec 2xtan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2x =1βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan 2sin 2ααα+=2tan 12tan 1cos 22ααα+-=2tan 12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a②x y sin =与xy cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tanxy =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y的对称中心（0,2πk ）.x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则 .⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨不是周期函数；xy sin =为周期函数（π=Txy cos =是周期函数（如图）；xy cos =为周期函数（=T 212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩a bb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22.11、三角函数图象的作法： １）、几何法： ２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||T πω=，频率1||2f T ωπ==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x) 由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ） 由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，xy sin =y=|cos2x +1/2|图象要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。