椭圆型方程的有限差分法

u ( x, y ) (第一边值问题 ) (3.1)1 u ( x, y ) (第二边值问题 ) (3.1) 2 n u ku ( x, y ) (第三边值问题 ) (3.1)3 n
其中f ( x, y), ( x, y), ( x, y), ( x, y)及k ( x, y) 0都是 连续函数。
1 2
1 2
,x
i
1 2
],
i
i
x
i
1 2
qudx
x
x
fdx, (2.14)
i
1 2
考虑到p( x)允许有间断点，由 (2.15)进一步差分 化是不合适的。但“热 流量” W ( x)恒连续,
故将(2.15)改写成 du W ( x) , dx p ( x) 再沿[ xi 1 , xi ]积分，得 ui ui 1 W ( x) dx, xi 1 p ( x )
, 为给定常数.
区间剖分
将区间 [a, b]分成N等分，分点为 xi a ih i 0,1,2, N , h (b a) / N . 于是我们得到区间 I [a, b]的一个网格剖分， xi 称为网格结点（节点） ，间距h称为步长.
微分方程离散(差分方程）
现在将方程(1.1)在节点xi离散化，对充分光滑 的解u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) h2 d 2u ( x ) h 2 d 4u ( x ) 3 [ ] [ ] O ( h ), (1.3) i i 2 4 dx 12 dx 其中 [ ]i 表示括号内函数在 xi点取值.
, 为给定常数.
我们将介绍差分格式的 两种方法： 直接差分化法、有限体 积法
直接差分化
首先取N 1个节点： a x0 x1 xi xN b, 将区间I [a, b]分成N个小区间： I i : xi 1 x xi , i 1,2, N .
x 1 2 i 2 f ( x ) dx i . x 1 hi hi 1 i
2
如果系数p, q及右端f光滑，则可用中矩形公 式 计算(2.17), (2.19)和(2.21)，从而 ai p 1 p( x 1 ), i i 2 2 d i qi q( xi ), f f ( x ), i i i (2.22)
3.1 五点差分格式
取定沿x轴和y轴方向的步长h1和h2 , h (h h ) .
2 1 1 2 2 2
作两族与坐标轴平行的 直线： x ih1 , i 0,1, y jh2 , j 0,1,
两族直线的交点 (ih1 , jh2 )称为网点或节点， 记为( xi , y j )或(i, j ). 说两个节点( xi , y j )和( xi , y j )是相邻的, 如果 xi xi y yi i 1或 i i j j 1. h1 h2
p( x
i
1) 2
u ( xi ) u ( xi 1 ) hi hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ] 1 o(h 3 ), dx i 2 24 dx i 2 hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ]i o(h 3 ), (2.4) dx i 2 24 dx
于是在xi可将方程(1.1)写成 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) q( xi )u ( xi ) f ( xi ) Ri (u ), (1.4) 2 h h 2 d 4u ( x ) 3 其中 Ri (u ) [ ] O ( h ), (1.5) i 4 12 dx
(1 )
x x( 2 ) x( 2) x( 2) d du ( p )dx (1) qudx (1) fdx, x x dx dx (1) ( 2) x( 2) x( 2)
或 W ( x ) W ( x ) (1) qudx (1) fdx, (2.14)
i 1 2
p
u ( xi ) u ( xi 1 ) ] hi
ri [u ( xi 1 ) u ( xi 1 )] qi u ( xi ) hi hi 1
f i Ri (u ), (2.7)
1 d2 du 其中Ri (u ) (hi 1 hi )( [ 2 ( p )]i 4 dx dx 1 d 3u 1 d 2u [ p 3 ]i [r 2 ]i ) o(h 2 ), 12 dx 2 dx 为差分算子Lh的截断误差，舍去 Ri (u ), 便得逼近边值问题 (2.1), (2.2)的差分方程 .
2 2
p( x
i
1) 2
u ( xi 1 ) u ( xi ) hi 1 du h 2 i 1 d 3u [p ] 1 [ p 3 ]i o(h3 ), (2.5) dx i 2 24 dx
由(2.5)减(2.4)，并除以
hi hi 1 ，得 2 u ( xi 1 ) u ( xi ) u ( xi ) u ( xi 1 ) 2 [ p( x 1 ) p( x 1 ) ] i i hi hi 1 hi 1 hi 2 2
也可用梯形公式，此时 2 pi 1 pi a , i p p i 1 i 1 d i (qi 1 qi 1 ), 2 2 2 1 f i 2 ( f i 1 f i 1 ), 2 2
(2.23)
§3 矩形网的差分格式
考虑Poisson方程 u f ( x, y ), ( x, y ) G (3.1) G是平面上一有界区域， 其边界为分段光滑曲线 ， 在边界上满足下列边值 条件之一：
hi 1 hi d 3u 2 du du ([ p ] 1 [ p ] 1 ) [ p 3 ]i o(h 2 ), hi hi 1 dx i 2 dx i 2 12 dx hi 1 hi d 2 hi 1 hi d 3u d du du [ ( p )]i [ 2 ( p )]i [ p 3 )]i o(h 2 ), (2.6) dx dx 4 dx dx 12 dx
当h足够小，Ri (u )是h的二阶无穷小量 . 若舍去Ri (u )，则得逼近方程 (1.1)的差分方程： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , (1.6) 2 h 式中qi q ( xi ), f i f ( xi ).记[ Lu ]i f ( xi )， 称Ri (u )为差分方程(1.6)的截断误差 .
注意 : 方程(1.8)的个数等于网格内点 x1 , x2 ,, xN 1的 个数,因此它是N 1阶方程组 .
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题： d du du Lu ( p ) r qu f a x b, (2.1) dx dx dx (2.2) u (a) , u (b) 其中p C 1[a, b], p( x) pmin 0, r , q, f C[a, b],
截断误差 Ri (u ) Lhu ( xi ) [ Lu]i ， (1.7) Ri (u )是用差分算子 Lh 代替微分算子 L所引起的 截断误差 .
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1, 时成立， 加上边值条件就得到关 于ui的线性代数方程组： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , i 1,2, N 1, (1.8) 2 h u0 , u N . (1.9) 它的解ui是u ( x)于x xi的近似.称(1.8), (1.9)为逼近(1.1), (1.2)的差分方程或差分格式 .此格式称为中心差分格 式.
称为半整数点，则由节 点 a x0 x 1 x 3 x 1 x
2 2 i 2
N
1 2
又构成[a, b]的一个网格剖分，称为 对偶剖分.
其次用差商代替微商将 方程(2.1)在节点xi离散化， 为此，对充分光滑的解 u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) u ( xi 1 ) hi hi 1 hi 1 hi d 2u du [ ]i [ 2 ]i o(h 2 ), (2.3) dx 2 dx 其中[ ]i 表示括号内函数 xi点取值。
xi
利用中矩形公式，得 W ai [ 又 1 hi
i
1 2
ai
ui ui 1 , hi
(2.16) (2.17) (2.18)

xi
xi 1
dx 1 ] . p ( x)

x
i
x
1 2
qudx
1 i 2
hi hi 1 d i ui , 2
将(2.16), (2.18)代到(2.14)，即得守恒型差分方程 [ai 1 ui 1 ui u u 1 ai i i 1 ] (hi hi 1 )d i ui , hi 1 hi 2 1 (hi hi 1 )i , 2 (2.20) (2.21)
(2.9)
u0 , u N ,
有限体积法
考虑守恒型微分方程： d du Lu ( p ) q( x)u f ( x)， (2.13) dx dx 如果把它看作是分布在 一根杆上的稳定温度场 方 程，则在 [a, b]内任一小区间 [ x (1) , x ( 2) ]上的热量守 恒律具有形式
于是得到区间 I的一个网格剖分，记 hi xi xi 1 , 称h max hi为最大网格步长。用 I h 表示网格内点
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x1 , x2 , xN 1的集合, I h 表示内点和界点 x0 a, xN b 的集合.
取相邻节点xi 1 , xi的中点x
i
1 2

1 ( xi 1 xi )(i 1,2, , N )， 2 x N b,
u u u u 2 [ p 1 i 1 i p 1 i i 1 ] i hi hi 1 i 2 hi 1 hi 2
(2.8)
Lhui
ri [ui 1 ui 1 ] qi ui f i , i 1,, N 1, hi hi 1 (2.10)
第2章 椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念
考虑二阶常微分方程的 边值问题 d 2u Lu 2 qu f a x b, (1.1) dx (1.2) u (a) , u (b) 其中q, f为[a, b]上的连续函数, q 0;
令p
1 i 2
p( x
1 i 2
), ri r ( xi ), qi q( xi ), f i f ( xi ),
则由(2.3), (2.6)知, 边值问题的解 u( x)满足方程：
Lhu ( xi ) u ( xi 1 ) u ( xi ) 2 [p 1 hi hi 1 i 2 hi 1
x x
其中 W ( x) p( x)
du ， (2.15) dx
把微分方程写成积分守恒型后，最高阶微商由二阶降到一阶， 从而可减弱对函数光滑性的要求。
特别于(2.14)取[ x (1) , x ( 2 ) ]对偶单元[ x 则 W (x
1 ) W (x 2 1) 2 x
i 1 2
i
i